Halloween

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Através da festa do Halloween, construir

um chapéu de bruxa, utilizando a

planificaçao do cone para diferentes

ângulos;

2. Estudar diferentes medidas de ângulos:

grau e radiano;

3. Gerar uma função matemática da forma

C/x, para x não nulo e C constante, bem

como o gráfico de tal função.

Halloween

Série

Matemática na Escola

Conteúdo

Cone, planificação.

Duração

Aprox. 10 minutos.

Objetivos

1. Estudar a planificação de um cone circular reto, reconhecendo as suas propriedades;

2. Estudar as medidas de ângulos: radiano, grau e sua relação;

3. Introduzir uma função matemática da forma f(x) = C/x, para x não nulo e C constante, e estudar o seu gráfico.

Sinopse

Uma jovem estudante sonha em trabalhar com moda. Ela recebe uma encomenda, por telefone, de chapéus para uma festa de Halloween, ou seja, de chapéus de bruxa. Fica aflita e pede ajuda a uma senhora, que é modista e entende matemática. Esta senhora lhe ensina a fazer o molde do corpo do chapéu, que, na realidade, é de um tronco de cone circular reto, e em seguida as abas que são faixas circulares. Surgem alguns parâmetros que estão relacionados e geram uma função do tipo f(x) = C/x, para x positivo.

Material relacionado

Experimentos: Princípio de Cavalieri; Vídeos: 3,2,1, mistério; Softwares: Volume de um cone; Áudios: O que é hipérbole?

VÍDEO

Halloween 3/13

Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do Ensino Médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

O programa aborda um

problema cujo modelo

matemático é um cone

cirucular reto. As abas

dos chapéus são obtidas

por faixas circulares. As

planificações são

obtidas e o chapéu é

construído. As medidas

de radiano e grau de um

ângulo são relacionadas.

Professor, atenção às

figuras do vídeo: o

ângulo que aparece denotado por α é

denotado aqui por θ.

VÍDEO

Halloween 4/13

A construção do chapéu de bruxa é também um bom exemplo de

como obter como modelo uma função da forma f(x) = C/x, para x real não nulo e C uma constante.

Vamos refazer a construção do cone para diferentes ângulos.

A figura abaixo mostra um chapéu de bruxa, a planificação do corpo do chapéu e da aba.

A planificação de um cone reto.

� g é geratriz do cone � r é o raio da base � θ é o ângulo do vértice na planificação

A parte pontilhada é onde deve ser dobrado.

VÍDEO

Halloween 5/13

Sugestões de atividades

Depois da execução

Atividade 1) Sugira aos alunos que construam corpos de chapéus, em cartolina, para os diferentes ângulos �:

•2

π radianos( 90 graus);

•3

π radianos(60 graus);

•4

πradianos (45 graus);

•3

2π radianos ( 120 graus); e

• π radianos ( 180 graus).

Exemplos de como fazer:

VÍDEO

Halloween 6/13

Exemplo 1. Vamos considerar uma pessoa que tenha cm54 de medida do comprimento C , da maior circunferência da cabeça. No caso de

2

πradianos, observe que o comprimento deste arco de circunferência

de raio g correspondente a este ângulo é 4

2 gπ (ver a figura).

Sendo assim, Cg

=4

2π, onde cmC 54= , ou seja,

π

254 ×=g .

Vamos considerar g aproximadamente igual a 35 cm ( ≈π 3,14159654).

Daí, com um compasso feito de barbante, faça o cone.

Feche o cone com cola.

VÍDEO

Halloween 7/13

Exemplo 2. Considere novamente C = 54 cm. No caso de 3

πradianos, o

comprimento do arco da circunferência de raio g correspondente a

este ângulo é 6

2 gπ (ver figura).

Daí Cg

=6

2π, ou seja,

π

354×=g ou aproximadamente 52 cm.

VÍDEO

Halloween 8/13

Exemplo 3. Considere novamente C = 54 cm. No caso de 4

π radianos,

teremos que o arco da circunferência de raio g correspondente a este

ângulo é de 8

2 gπ, e daí C

g=

8

2π.

Neste caso, g é aproximadamente igual a 69 cm. Como a folha de cartolina mede 50 cm x 66 cm, deve ser colado um pedaço de papel na extremidade da folha, como mostra a ilustração.

Exemplo 4. Considere cmC 54= . No caso de 3

2πradianos, o

comprimento do arco da circunferência de raio g correspondente a

VÍDEO

Halloween 9/13

este ângulo é 3

2 gπ, e daí

π2

354 ×=g ou g é aproximadamente igual a 26

cm.

Exemplo 5. Para C = 54 cm, o comprimento do arco da circunferência

de raio g correspondente a este ângulo é 2

2 gπ, e daí

π2

254 ×=g ou

aproximadamente igual a 17,5 cm, no caso de 180 graus.

VÍDEO

Halloween 10/13

Atividade 2. Sugira aos alunos fazerem a aba de cada chapéu.

Desenvolvimento: seja r o raio da cabeça, que é obtido por π2

Cr = .

Trace dois círculos concêntricos de raios r e r + 4 cm, por exemplo, e recorte por dentro e por fora, ou seja, fazendo uma coroa circular com raios r e r + 4. Para facilitar, recorte um quadrado bem grande e o dobre em 4. A partir do centro, marque os arcos de raios r e r+4. Recorte o papel por dentro e por fora.

Cole a aba no cone. Segue uma sequência do procedimento no caso de 90 graus.

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Halloween 11/13

Veja os chapéus com diferentes ângulos.

Atividade 3) Sugira a generalização da solução do problema, ou seja, encontrar a geratriz g em função do angulo θ.

Desenvolvimento: sabemos que o comprimento do arco de ângulo central θ de uma circunferência de raio g é igual a θg . Veja na figura ao lado.

Assim, temos que Cg =θ , onde C é o comprimento da maior

circunferência da cabeça. Temos então que θ

Cg = , para o ângulo θ ,

medido em radianos.

Considere novamente cmC 54= . Peça aos alunos que analisem algumas

características da funçãoθ

54=g .

É importante que todos se deparem com as conclusões que seguem:

VÍDEO

Halloween 12/13

1) A função é decrescente, ou seja, se 21 θθ > , então 21

5454

θθ< .

2) Não existe θ tal que 0)( =θg .

3) Quando θ cresce indefinidamente, θ

54 se aproxima de zero.

4) Quando θ decresce, se aproximando de zero, θ

54 cresce

rapidamente.

A partir dessas informações, peça aos alunos que desenhem um esboço do gráfico desta função num plano coordenado g por θ , para θ positivo, em papel quadriculado, marcando alguns pontos obtidos nas etapas anteriores. Sugestão: compare os esboços obtidos pelos alunos com o gráfico de g , obtido num software gráfico ou numa calculadora gráfica, sem esquecer que o domínio de g é o conjunto dos reais positivos.

A figura mostra o gráfico da função θ

54=g feita na tela do Winplot.

p/4 p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 2p 9p/4 5p/2

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

x

y

VÍDEO

Halloween 13/13

Atividade 4: Estenda esta função, que dá a geratriz em função do ângulo, para uma função definida no conjunto dos números reais não

nulos da forma x

axf =)( , onde a é uma constante real não nula.

Utilizando uma calculadora gráfica ou um software gráfico ou um papel quadriculado, desenhe os gráficos das seguintes funções:

xxf

1)( = ,

xxf

2)( = ,

xxf

3)( = ,

xxf

2)( −= ,

xxf

3)( −= .

Sugestões de leitura

1. E.Wagner, Construções Geométricas. Rio de Janeiro, SBM,1993.

2. Elon L.Lima, P.C.P.Carvalho,E.Wagner,A.C.Morgado, A Matemática do Ensino Médio- Coleção do Professor de Matemática, volume 2– SBM, Rio de Janeiro ,1999-

3. E.L.Lima- Medidas e Formas em Geometria- Rio de Janeiro, SBM, 1991.

4. E.Q.Frota, M.L.B.Queiroz, Geometria Plana Euclidiana e construções geometricas- Editora da UNICAMP- 2008.

Ficha técnica

Autor Otilia Terezinha W. Paques

Revisor Samuel Rocha de Oliveira

Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Diretor Jayme Vaz Jr.

Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira