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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL

MARCOS ANDREW RABELO SOEIRO

PÓS-PROCESSADOR PARA DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE BARRAS DE PÓRTICO PLANO DE CONCRETO ARMADO

FORTALEZA

2009

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Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota

FORTALEZA 2009

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Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Aprovada em ___/___/___

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota (Orientador) Universidade Federal do Ceará - UFC

Prof. Dr. Augusto Teixeira de Albuquerque Universidade Federal do Ceará - UFC

Engo André Luis Mourão Sólidos Engenharia Estrutural

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Dedico este trabalho aos meus pais, Marcos A. Soeiro e Denise R. Soeiro, pela a oportunidade que me deram para poder chegar aonde cheguei, com muito estudo e dedicação.

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AGRADECIMENTOS

A DEUS, que me deu vida e inteligência, e que me dá força para continuar a

caminhada em busca dos meus objetivos.

Ao professor Joaquim Eduardo Mota, pela sua paciência e orientação na realização

deste trabalho.

À minha noiva Silmária, que me deu apoio, e esteve sempre comigo me dando força

para finalizar este trabalho.

E aos demais que, de alguma forma, contribuíram na elaboração desta monografia.

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RESUMO

A criação de uma planilha Excel para o dimensionamento e a verificação de barras

de pórtico plano de concreto armado é o objetivo principal do presente trabalho. Para o

desenvolvimento de tal planilha, torna-se necessário o conhecimento de alguns fundamentos

teóricos de resistência dos materiais e de cálculo de estruturas de concreto armado. O trabalho

baseia-se fundamentalmente na equação da linha elástica de vigas. Tal equação será resolvida

pela planilha, de modo que forneça ao usuário elementos essenciais para o dimensionamento e

detalhamento das armaduras das barras estudadas. Para a resolução da equação são

necessárias algumas condições de contorno, que usualmente são encontradas através de seus

apoios, considerando estes como engastados ou apoio simples, desconsiderando assim, os

esforços e deformações advindas da interação viga-pilar. No presente trabalho esses esforços

e deformações nos apoios serão considerados, de modo que seus valores serão encontrados

através de um programa auxiliar chamado PPLAN, criado pelo orientador. Este programa irá

calcular o pórtico e dará como resultado um relatório com os esforços e deformações nos

extremos das barras. Tais valores irão ser usados como condição de contorno para resolução

da equação da barra estudada pelo o usuário da planilha. Depois de resolvida a equação, a

planilha fornecerá como resposta a declividade, flecha, momentos fletores e esforços cortantes

ao longo da barra, além de mostrar graficamente os diagramas. Após isso, a planilha irá

dimensionar automaticamente a viga estudada e dará como resultado as armaduras

longitudinais e transversais, determinadas pela verificação do E.L.U. (Estado Limite Último),

conforme a NBR 6118:2003. Com estas informações fica o usuário apto a detalhar a barra

estudada.

Palavras-chaves: Equação Linha Elástica, Cálculo de Pórticos, Concreto Armado.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Viga biapoiada............................................................................................. 2 Figura 1.2 – Declividade da viga...................................................................................... 3 Figura 1.3 – Condições de contorno................................................................................. 3 Figura 1.4 – Ensaio de Sttutgart..................................................................................... 6 Figura 1.5 – Estádio I....................................................................................................... 6 Figura 1.6 – Estádio II...................................................................................................... 7 Figura 1.7 – Estádio III..................................................................................................... 7 Figura 1.8 – Diagramas de tensões na seção de concreto armado na ruptura por flexão. 8 Figura 1.9 – Domínios de deformação no ELU................................................................ 9 Figura 1.10 – Seção retangular com armadura simples ................................................... 10 Figura 1.11 – Limites dos domínios de deformação em função de Kx............................. 11 Figura 1.12 – Seção T com a linha neutra fictícia tangente à mesa................................. 12 Figura 1.13 – Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da mesa........................... 12 Figura 1.14 – Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da nervura...................... 13 Figura 1.15 – Distribuição de tensões normais e tangenciais na seção no ELU.............. 14 Figura 1.16 – Trajetórias das tensões principais em peças não fissuradas....................... 15 Figura 1.17 – Estado de cisalhamento puro...................................................................... 15 Figura 1.18 – Modelo de funcionamento de uma viga segundo a treliça de Mörsch....... 16 Figura 1.19 – Equilíbrio da treliça de Mörsch................................................................. 17 Figura 2.1 – Esquema de entrada de dados..................................................................... 21 Figura 2.2 – Diagrama de cortantes gerado..................................................................... 22 Figura 2.3 – Diagrama de momentos gerado................................................................... 22 Figura 2.4 – Diagrama da deformada gerado.................................................................. 23 Figura 2.5 – Diagrama de declividade gerado................................................................. 23 Figura 2.6 – Esquema da entrada e saídas de dados (flexão).......................................... 25 Figura 2.7 – Diagrama de armaduras gerado................................................................... 25 Figura 2.8 – Entrada de dados......................................................................................... 26 Figura 2.9 – Cálculo da armadura positiva....................................................................... 26 Figura 2.10 – Cálculo da armadura negativa.................................................................... 27 Figura 2.11 – Esquema da entrada e saídas de dados (cortante)...................................... 28 Figura 2.12 – Diagrama de espaçamento para estribos com dois ramos.......................... 28 Figura 2.13 – Caso específico de uma seção em particular (cortante)............................. 29 Figura 2.14 – Viga biapoiada para exemplo..................................................................... 30 Figura 2.15 – Viga engastada em um apoio e simplesmente apoiada em outro............... 31 Figura 3.1 – Pórtico com seu carregamento e dimensões................................................. 33 Figura 3.2 – Nós e barras do pórtico................................................................................ 34 Figura 3.3 – Seções da viga com seus deslocamentos e esforços..................................... 35 Figura 3.4 – Resultados do dimensionamento ao cisalhamento....................................... 35 Figura 3.5 – Espaçamentos entre estribos e armaduras mínimas..................................... 36 Figura 3.6 – Gráfico dos espaçamentos entre estribos.................................................... 36 Figura 3.7 – Resultados do dimensionamento à flexão.................................................... 37 Figura 3.8 – Gráfico das armaduras por seção da viga.................................................... Figura 3.9 – Pórtico de uma arquibancada...................................................................... Figura 3.10 – Nós e barras no pórtico de arquibancada................................................... Figura 3.11 – Dados inseridos e dados obtidos pela planilha...........................................

37 38

39 40

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ELU Estado Limite Último ELS Estado Limite de Serviço M Momento Fletor E Módulo de Elasticidade I Momento de Inércia w Carga distribuida L Comprimento da Viga θ Declividade y Flecha na Viga, Linha Neutra Fictícia Rcc Resultante das Tensões de Compressão do Concreto Rst Resultante de Tração na armadura z Braço de Alavanca Msd Momento de Cálculo fcd Resistência de Cálculo do Concreto à Compressão bw Base da Viga σsd Tensão de Tração no Aço As Área da Armadura Longitudinal d Altura Útil da Viga hf Altura da Mesa da Viga bf Comprimento da Mesa da Viga fyd Tensão de Tração no Aço no ELU Vsd Cortante de Cálculo Vrd2 Força Cortante Resistente de Cálculo α Programa de Coeficiente para Verificação das Diagonais de Concreto Vc Parcela da Força Cortante Absorvida por Mecanismos Complementares fck Tensão de Compressão Característico do Concreto kN Kilo Newton MPa Mega Pascal

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................1 1.1 Equação da Linha Elástica...........................................................................................1 1.2 Dimensionamento das Estruturas de Concreto Armado...........................................5

1.2.1 Elementos Lineares à Flexão.....................................................................................5 1.2.2 Elementos Lineares à Força Cortante .....................................................................13

1.3 Programa auxiliar PPLAN.........................................................................................18 2. METODOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA.............................21

2.1 Esforços – Primeira Parte............................................................................................21 2.2 Dimensionamento – Segunda Parte...........................................................................24

2.2.1 Dimensionamento à flexão......................................................................................24 2.2.1.1 Planilha Geral....................................................................................................24 2.2.1.1 – Planilha Auxiliar ...........................................................................................25 2.2.2 – Dimensionamento à força cortante........................................................................27 2.2.2.1 Planilha Geral....................................................................................................27 2.2.2.2 Planilha Auxiliar...............................................................................................28

2.3 Testes para verificação do funcionamento da planilha ................................................29 2.3.1 Viga simplesmente apoiada ...................................................................................29 2.3.2 Viga engastada no primeiro apoio e simplesmente apoiada no segundo................31

3. EXEMPLOS ..................................................................................................................33 3.1 Pórtico de um edifício..................................................................................................33 3.2 Pórtico de uma arquibancada.......................................................................................38

4. CONCLUSÃO ...............................................................................................................42 4.1 Resultados....................................................................................................................42 4.2 Melhorias ....................................................................................................................42

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................43 LISTA DE APÊNDICES........................................................................................................44 APÊNDICES...........................................................................................................................45

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1. INTRODUÇÃO

Pórticos são estruturas constituídas por barras retas que formam quadros entre si.

No caso de edifícios, as barras horizontais são as vigas e as barras verticais são os pilares. O

método tradicional para o dimensionamento de vigas de edifícios usuais, consiste em tratar a

viga isoladamente, desconsiderando ou considerando de forma simplificada a interação viga-

pilar. Sabe-se que tal interação existe, e que os pilares transmitem esforços para as vigas,

sendo assim necessário que as vigas e os pilares sejam tratados e estudados como elementos

de pórtico. A consideração desta interação é importante, sobretudo no caso em que a ação

horizontal do vento está incluída na análise. Mas para tal consideração torna-se necessário o

uso de programas computacionais que muitas vezes não são de fácil manuseio e nem de

acesso público. O objetivo do trabalho a ser desenvolvido é, então, apresentar um pós-

processador para análise de barras horizontais de pórticos planos de concreto armado, que de

modo fácil, rápido, e de acesso a qualquer pessoa, possa servir como uma ferramenta ao

Engenheiro Projetista nas tarefas de verificação de deslocamentos limites de norma,

determinação e detalhamento de armaduras. Nesse trabalho será elaborada uma planilha que

estará dividida em duas partes distintas, mas relacionadas entre si.

Na primeira parte da planilha, será criada uma programação que dará suporte para

determinar, baseado na equação da linha elástica de vigas, os esforços solicitantes e

deslocamentos ao longo do eixo das barras, a partir dos esforços e deslocamentos nas suas

extremidades, obtidas num programa auxiliar de análise de pórticos planos. A segunda parte

da planilha consiste no dimensionamento estrutural dessas barras, que será baseado nas

prescrições da Norma da ABNT NBR 6118: 2003, “Projeto de Estruturas de Concreto -

Procedimento”.

1.1 Equação da Linha Elástica

Segundo Beer e Johnston (1982, p.188), a deformação de uma barra submetida à

flexão é medida pela curvatura da superfície neutra, que é definida como o inverso do raio de

curvatura ρ. Fazendo a consideração de que a viga está em regime elástico e usando

conhecimentos de resistência dos materiais pode-se chegar à expressão

1/ρ = M/EI (1.2)

2

Onde, M é o momento fletor, E é o módulo de elasticidade e I é o momento de

inércia da seção transversal em relação à linha neutra da viga.

Considerando uma viga biapoiada de vão L, com uma carga distribuída uniforme

w (Figura 1.1), se x for a distância da extremidade esquerda da viga até uma seção qualquer,

pode-se escrever

1/ρ = M(x)/EI (1.2)

Fig.1.1 –Viga biapoiada

Ainda segundo Beer e Johnston (1982, p.434), “a deformação transversal da viga

em um ponto é chamada flecha”, representada pela letra y. A relação entre y medida em um

certo ponto Q e a distância x desse ponto é a equação da linha elástica.

Sabe-se que a expressão que fornece a curvatura de uma curva em um ponto

Q(x,y) é

1/ρ = (d²y/dx² )/[1 + (dy/dx)²]³/² (1.3)

No entanto, segundo Beer e Jonhston (1982, p.435), a declividade dy/dx é muito

pequena, de modo que o seu quadrado é desprezado em face da unidade. Pode-se escrever,

então

1/ρ = (d²y/dx² ) (1.4)

Substituindo 1/ρ na equação 1.2, tem-se

EI(d²y/dx² ) = -M(x) (1.5)

Integrando a equação 1.5, tem-se

EI(dy/dx) = -∫M(x)x + C1 (1.6)

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Onde, (dy/dx) é o ângulo que a tangente à curva elástica no ponto Q, forma com a

horizontal (Figura 1.2), simbolizado por θ(x)

Fig. 1.2 – Declividade da viga

Integrando mais uma vez, tem-se

EIy = -∫M(x)x²/2 + C1x + C2 (1.7)

As equações. 1.6 e 1.7 definem respectivamente a declividade e a flecha em

qualquer ponto da viga.

As constantes C1 e C2 são determinadas através das equações de contorno

impostas pelos seus apoios. No caso da viga considerada, suas condições de contorno são as

indicadas na figura 1.3

Fig.1.3 – Condições de contorno

Resolvendo a viga considerada como exemplo, tem-se

M(x) = - (wLx/2 - wx²/2) (1.8)

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Substituindo M(x) na eq.5, tem-se

EI(d²y/dx²) = - (wLx/2 - wx²/2) (1.9)

Integrando, tem-se

EI(dy/dx) = - (wLx²/4 - wx³/6) + C1 = EI θ (1.10)

Integrando mais uma vez

EIy = - (wLx³/12 - wx4/24) + C1x + C2 (1.11)

Utilizando as condições de contorno para determinação das constantes, encontra-

se que C1 = - wL³/24 e C2 = 0.

Substituindo os valores das constantes nas equações. 1.10 e 1.11, respectivamente,

têm-se

EI θ = - (wLx²/4 – wx³/6 - wL³/24)

θ = - (w (6Lx² - 4x³ - L³)/24EI)

EIy = - (wLx³/12 – wx4/24 - wL³x/24)

y = - (w (2Lx³ - x4 - L³x)/24EI)

A equação y = - (w (2Lx³ - x4 - L³x)/24EI), encontrada é exatamente a equação da

linha elástica para a viga considerada no exemplo.

Tomando agora como exemplo a mesma viga anterior e considerando o caso em

que já conhecemos M0, Q0, θ 0 e y0, ou seja, os esforços nos extremos das barras, que são os

obtidos pelo programa auxiliar, pode-se resolver a viga tomando esses dados como novas

condições de contorno para o problema, assim tem-se que

-M(x) = - (M0 + Q0x – wx²/2) = EI(d²y/dx² ) (1.12)

Derivando a equação 1.12, tem-se

EI(d3y/dx3) = - (Q0 – wx) = -Q(x) (1.13)

Achando dessa forma a equação do cortante Q(x) para qualquer ponto da viga.

Derivando agora a equação 1.13, tem-se

EI(d4y/dx4) = w (1.14)

Obtendo a equação que define a carga na viga.

Agora integrando a equação 1.12, tem-se

- (M0x+ wLx2/4 – wx3/6) + C1 = EI(dy/dx ) (1.15)

Que podemos escrever da seguinte forma

- (M0x+ Q0x2/2 – wx3/6) + C1 = EI(dy/dx ) (1.16)

Integrando a equação 1.17, tem-se

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EIy = - (M0x2/2 + Q0x

3/6 – wx4/24) + C1x + C2 (1.17)

Calculando agora as constantes C1 e C2, tem-se que para x=0 temos θ = θ 0 e y =

y0, então substituindo esses valores respectivamente nas equações 1.16 e 1.17, tem-se C1 = EI

θ 0 e C2 =EIy0.

Substituindo os valores dessas constantes nas equações 1.16 e 1.17,

respectivamente obtêm-se

- (M0x+ Q0x2/2 – wx3/6) + EI θ 0 = EI(dy/dx ) = EI θ (x) (1.18)

- (M0x2/2 + Q0x

3/6 – wx4/24) + EI θ 0 x +EIy0 = EIy =EIy(x) (1.19)

Enfim temos todas as equações necessárias para a resolução das vigas, a citar

-M(x) = - (M0 + wLx/2 – wx²/2) = EI(d²y/dx² )

-Q(x) = - (Q0 – wx) = EI(d3y/dx3)

θ (x) = - (M0x+ Q0x2/2 – wx3/6) + EI θ 0 = EI(dy/dx )

y(x) = - (M0x2/2 + Q0x

3/6 – wx4/24) + EI θ 0x + EIy0 = EIy

A partir do método da linha elástica demonstrado resumidamente, a planilha

analisa as barras longitudinais do pórtico e fornece os valores dos cortantes, momentos,

rotações e flechas para qualquer ponto da viga, além de gerar os diagramas de deslocamentos

e de esforços solicitantes.

1.2 Dimensionamento das Estruturas de Concreto Armado

1.2.1 Elementos Lineares à Flexão

Segundo Teatini (2005, p.177), “a flexão de um elemento estrutural caracteriza-se pela atuação de momentos fletores, que produzem tensões normais na seção transversal e a sua rotação”.

Uma viga quando submetida à flexão pura ou simples, são identificadas algumas

fases bem definidas no seu comportamento, tais fases são denominadas de “estádios”.

Esses estádios foram observados a partir de um ensaio à flexão de uma viga de

concreto armado, conhecido como “ensaio de Stuttgart”, onde são aplicadas forças iguais e

simétricas em seu eixo, em estágios crescentes de carga até a ruptura da peça.

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Fonte: Clímaco, J. C. T. S. Estruturas de Concreto Armado: Fundamentos de Projeto, Dimensionamento e Verificação

Fig.1.4 – Ensaio de Sttutgart

Existem três estádios característicos da flexão a considerar, que vai do estádio I ao

estádio III.

O estádio I corresponde à fase em que a viga ainda não está fissurada, ou seja, os

valores do momento fletor atuante não são muito elevados, ocasionando uma variação linear

das tensões normais com sua distância à linha neutra. Neste estádio, a tensão máxima de

tração é menor que à resistência à tração do concreto e a tensão máxima de compressão é

muito menor que a resistência à compressão do concreto.


Fig.1.5 – Estádio I

Conforme vai se aumentando a carga, o momento atuante aumenta também, até o

limite em que o concreto esgota sua resistência à tração, fazendo com que as tensões normais

de tração sejam absorvidas pela armadura longitudinal. Neste caso a peça já está fissurada,

então consideramos que estamos no estádio II.

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Fig.1.6 – Estádio II

O estádio III é aquele em que a peça está na iminência de ruptura à flexão, estádio

este que, não queremos que ocorra, então, “dimensionar uma peça no E.L.U. (Estado Limite

Ultimo) à flexão significa estabelecer uma margem adequada de segurança para que a viga

não atinja esse estádio.” (Teatini 2005, p.182)


Fig.1.7- Estádio III

Para o dimensionamento à flexão no ELU, algumas hipóteses básicas devem ser

consideradas, como a de que as seções transversais permanecem planas após as deformações

de flexão.

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Segundo a NBR 6118 – 17.2.2, “a distribuição de tensões no concreto se faz de

acordo com o diagrama parábola-retângulo”, esse diagrama pode ser substituído pelo

diagrama retangular simplificado, com altura y = 0,8x, conforme a figura 1.8.


Fig.1.8- Diagramas de tensões na seção de concreto armado na ruptura por flexão

Ainda segundo a NBR 6118:2003 – 17.2.2, “o alongamento máximo do aço da

armadura de tração é de 10‰, para evitar deformações plásticas excessivas da peça no ELU.”

“O encurtamento de ruptura do concreto é de 2‰, na compressão simples, e de

3,5‰, na flexão simples”. (NBR 6118 – 17.2.2)

Com essas hipóteses de dimensionamento podemos entrar no conceito de

domínios de deformações das seções.

De acordo com Teatini (2005, p.187), “denomina-se domínio de deformações a

um intervalo convencional que compreende todas possíveis situações de ruptura da seção

transversal plana de um elemento linear de concreto armado, para uma determinada

solicitação normal”.

Existem cinco domínios de deformação no ELU, cada um deles, caracterizado e

associado ao tipo de solicitação, às dimensões da seção e á taxa de armaduras de aço.

O domínio 1 é caracterizado pela ruptura da peça por tração, sem compressão, ou

seja, a peça rompe quando o aço alcança o alongamento de 10‰.

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O domínio 2 se dá com o escoamento do aço atingindo os 10‰ de alongamento

máximo, e com compressão, mas sem esmagar o concreto, ou seja, sem atingir o

encurtamento máximo de 3,5‰.

Quando a peça rompe por flexão com o escoamento do aço ocorrendo juntamente

ao esmagamento do concreto, caracteriza o domínio 3.

O domínio 4 ocorre quando há o esmagamento do concreto sem o escoamento do

aço, podendo causar uma ruptura sem aviso.

Já no domínio 5, há ruptura apenas por compressão, quando o concreto sofre

translação e rompe com o encurtamento máximo de 2‰.


Fig.1.9 – Domínios de deformação no ELU

No dimensionamento de vigas á flexão, procura-se obter seções que compreendam

entre os domínios 2, 3 e 4, sendo que no domínio 4 há a necessidade de armadura dupla na

seção. O dimensionamento ideal seria aquele em que os materiais alcancem os limites

convencionais de norma, ou seja, o limite entre os domínio 2 e 3.

Dizemos que uma seção retangular está dimensionada com armadura simples,

quando apenas há a necessidade de armadura na zona de tração, caso contrário, dizemos que

ela está armada duplamente. Sabemos que a viga na sua zona de compressão somente é

necessária o concreto para constituir o binário interno resistente junto com a armadura de

tração, conforme a figura 1.10.

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Fig.1.10 – Seção retangular com armadura simples

De acordo com a figura 1.10, temos que

Rcc . z = Rst . z = Msd (1.20)

Onde, z é o braço de alavanca das resultantes de tração e compressão, Rcc é a

resultante das tensões de compressão do concreto e Rst a resultante de tração na armadura.

Sabemos que

Rcc = 0,85fcd . bw . 0,8x (1.21)

Rst = σsd . As (1.22)

Substituindo a equação (1.21) na equação (1.20), temos

0,85 . fcd . bw . 0,8x . z = Msd (1.23)

Onde z = d – 0,4x

Temos então

0,85 . fcd . bw . (0,8x.d – 0,32x²) - Msd = 0 (1.24)

Resolvendo a equação do 2º grau, temos com resultado o valor da profundidade

da linha neutra “x”.

Substituindo agora a equação (1.22) na equação (1.20) temos

σsd . As . z . = Msd (1.25)

Desta equação obtém-se a área de aço necessária ao equilíbrio

As = Msd / z . σsd (1.26)

Multiplicando a equação (26) por d/d, obtém-se o coeficiente adimensional Kz =

z/d, teremos então

As = Msd / Kz . d . σsd (1.27)

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Existem ainda mais dois coeficientes adimensionais que têm como função

identificar o domínio de deformações no ELU para o dimensionamento á flexão, são eles, Kx

e Kmd.

Esses coeficientes são definidos como

Kmd = Msd / bw . d² . fcd (1.28)

Kx = x/d

Conhecendo esses coeficientes, pode-se definir os limites dos domínios de

deformações, conforme mostrado a figura 1.11.


Fig.1.11 – Limites dos domínios de deformação em função de Kx

Considerando agora uma viga de seção T, temos que inicialmente como fizemos

para uma seção retangular, achar a profundidade da linha neutra “x” através do equilíbrio da

seção, que é garantido por um binário resistente, onde a resultante de compressão é fornecida

pela mesa comprimida de concreto. Logo após é necessário obter a profundidade da linha

neutra fictícia “y”, onde y = 0,8x.

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Fig.1.12 – Seção T com a linha neutra fictícia tangente à mesa

Verificada a posição da linha neutra fictícia, é feita a seguinte comparação

Se y = hf � linha neutra fictícia tangente à mesa

Se y < hf � linha neutra fictícia dentro da mesa

Se y > hf � linha neutra fictícia dentro da nervura

Temos então dois casos de dimensionamento para a seção T, o primeiro em que

“y” é igual ou menor que a altura da mesa e o segundo em que “y” é maior que hf.

No primeiro caso, como a linha neutra fictícia está dentro da mesa, ou no limite,

tangente à face inferior da mesa, a zona comprimida da seção é retangular.


Fig.1.13 – Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da mesa

Consideramos então, para cálculo da área de aço, uma seção retangular de base

igual à bf e altura h.

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O que torna conhecida a equação do As

As = Msd / Kz . d . σsd (1.27)

No segundo caso, a linha neutra fictícia está dentro da nervura, o que faz com que

a zona comprimida tenha a forma de T. O cálculo então será feito, dividindo o Msd em duas

parcelas, conforme figura 1.13.


Fig.1.14 - Viga seção T com a linha neutra fictícia dentro da nervura

Mdf = 0,85fcd . hf . (bf-bw).(d-hf/2) (1.29)

Mdw = Msd – Mdf (1.30)

Encontramos então duas áreas de aço

Asf = Mdf / (d-hf/2) . fyd (1.31)

Asw = Mdw / Kz . d . fyd (1.32)

A área da armadura total de tração será dada por

As = Asf + Asw (1.33)

A planilha também está habilitada a fazer tal dimensionamento, segundo o

capítulo de dimensionamento de elementos lineares da Norma ABNT NBR 6118:2003

“Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento”.

1.2.2 Elementos Lineares à Força Cortante

De acordo com Teatini (2005, p.233) “dá-se o nome cisalhamento na flexão à

solicitação originada da atuação conjunta de forças cortantes e momentos fletores, para a qual

deve ser dimensionada uma armadura específica, transversal ao eixo do elemento estrutural”.

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Tratando-se de uma estrutura de concreto armado no estádio I, as tensões normais

e de cisalhamento em cada seção, foram demonstradas através dos estudos de mecânica dos

sólidos, de onde chegaram às seguintes equações

σ = M.y/I (1.34)

τ = V.Sy/b.I (1.35)

Onde, M é o momento atuante e V é o cortante.

No momento em que a estrutura fissura, passando ao estádio II, a resistência a

tração do concreto se torna desprezível, considerando então, que as tensões de tração são

absorvidas pelo aço. A estrutura ao atingir o ELU, apresenta uma distribuição de tensões

normais e tangenciais de acordo com a figura 1.14.


Fig.1.15 – Distribuição de tensões normais e tangenciais na seção no ELU

Considerando que ela possua uma seção constante, a tensão tangencial máxima

será constante na zona tracionada e é dada pela expressão

τdmáx = Vsd/bw.z (1.36)

Onde z é o braço de alavanca das resultantes de compressão no concreto e de

tração no aço, e de forma simplificada é dado por

z = 0,9.d (1.37)

Para vigas retangulares ou de seção “T”, na fase elástica, as tensões principais de

tração e de compressão têm trajetórias iguais as da figura 1.15. Em cada ponto, as tensões

possuem inclinação variável ao eixo da peça e são perpendiculares entre si. Caso não exista

alguma armadura, suficiente e conveniente disposta há o surgimento de fissuras no concreto,

15

na direção perpendicular às tensões principais de tração, quando a resistência à tração do

material for atingida.


Fig.1.16 – Trajetórias das tensões principais em peças não fissuradas

Essas fissuras que eventualmente surgirão têm inclinação de 45º com o eixo

neutro, pois no que consideramos como “estado de cisalhamento puro”, as tensões principais

de tração, σ1, e de compressão, σ2, possuem a mesma inclinação, conforme figura 1.16.


Fig.1.17 – Estado de cisalhamento puro

Então, para dimensionar uma peça a força cortante, precisamos sempre de duas

etapas, a primeira que é a verificação das diagonais comprimidas quanto ao esmagamento do

concreto, causado pela a ação das tensões σ2, e a segunda que é a obtenção da armadura

transversal para absorver as tensões σ1.

16

O conceito de “diagonais comprimidas” foi idealizado por Ritter e Mörsch, que

explicaram a resistência do concreto no estádio II, como sendo análoga a uma treliça.


Fig.1.18 – Modelo de funcionamento de uma viga segundo a treliça de Mörsch

De acordo com a figura 1.17, as diagonais tracionadas seriam a armadura

transversal, que podem ter 90º ou podem ser inclinadas. Já as diagonais comprimidas, terão

que ser verificadas quanto ao esmagamento do concreto, adotando o modelo II da NBR 6118:

2003.

Para tal verificação, a NBR 6118:2003 – 17.4.2.3 diz, “a resistência do elemento

estrutural quanto á diagonal comprimida do concreto, é satisfatória numa determinada seção

transversal quando se verifica a seguinte condição: Vsd ≤ Vrd2”.

Onde Vrd2 e α são dadas pelas expressões respectivamente

Vrd2 = 0,54.α.fcd.bw.d.sen² θ.(cotα+cot θ) (1.38)

α = (1-fck/250) (1.39)

Para o dimensionamento da armadura transversal, usamos como referência a

figura 1.18, que mostra o equilíbrio da treliça de Mörsch com uma seção “S” cortando uma

diagonal tracionada.

17


Fig.1.19 – Equilíbrio da treliça de Mörsch

As barras transversais, com espaçamentos s, resistem a uma força por unidade de

comprimento igual a (Asw/s).σswd. A resultante das forças que deve equilibrar o cortante Vsd é

dada por

Ft = (Asw/s).σswd.z.(cotα+cot θ) (1.40)

Desta expressão é obtida a área de armadura transversal

(Asw/s) = (Vsd/0,9.d).(1/ σswd.senα.(cotα+cot θ)) (1.41)

A NBR 6118:2003 apresenta dois modelos de cálculo para o dimensionamento da

armadura transversal, introduzindo uma parcela de contribuição na força cortante resistente de

mecanismos complementares à treliça de Mörsch. O modelo mais utilizado é modelo de

cálculo II.

Segundo a NBR 6118:2003-17.4.1.1.5, “o ângulo de inclinação das armaduras

transversais em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no

intervalo 45º ≤ α ≤ 90º”. Já o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas, no modelo II

varia entre 30º ≤ θ ≤ 45º, sendo que foi considerado na planilha um θ de 45º.

De acordo com o modelo II da NBR 6118:2003-17.4.2.3, “a resistência do

elemento estrutural quanto à armadura transversal é considerada satisfatória, se verificada a

condição Vsw ≥ Vsd – Vc”.

Onde Vsw é a parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal e Vc é

a parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares a treliça, sendo

Vsw = (Asw/s).0,9.d.fywd.(cotα + cot θ).senα (1.42)

Vc = 0,09.fck2/3.bw.d (1.43)

18

Da equação (1.42) foi obtida uma expressão genérica para a área da armadura

transversal

(Asw/s) = Vsw/(0,9.d.fywd.(cotα + cot θ).senα) (1.44)

Considerando agora que armadura transversal seja constituída por estribos a 90º,

será obtida a seguinte expressão

(Asw/s) = (Vsw/(0,9.d.fyd)).tg θ (1.45)

1.3 Programa auxiliar PPLAN

Para auxiliar a planilha desenvolvida é necessário um programa que resolva

pórticos, de uma forma que nos forneça os dados necessários para a resolução das vigas

estudadas, ou seja, as condições de contorno no apoio das barras.

Este programa pode ser da preferência do usuário, mas para exemplificar,

usaremos o programa PPLAN, de autoria do Prof. Dr. Joaquim E. Mota.

Programa esse que tem como entrada um arquivo de dados, com todas as

informações necessárias para o cálculo do pórtico.

Logo abaixo, tem-se uma tabela, exemplificando um arquivo de dados qualquer

para o programa PPLAN.

Tabela 1 - Arquivo de Dados: PORTICO.DAD PORTICO EXEMPLO,TF/M Título, Sistema de Unidades COORDENADAS NODAIS COORDENADAS NODAIS 5 , 2 X,Y 40 , 20 X,Y 5 , 2 X,Y INCIDENCIA INCIDENCIA 1 , 2 , 1 , 1 Nó inicial, nó final, tipo de material, tipo de

seção 2 , 3, 2 , 2 Nó inicial, nó final, tipo de material, tipo de

seção MATERIAL MATERIAL – Tabela de materiais 3000000 módulo de elasticidade SECOES Linha de comando para entrada da tabela de

seções .8 , .267 área da seção,momento de inércia VINCULACOES VINCULAÇÕES 3 , 110 , 0 , 0 , 0 nó com vinculação,código,dir X,dir Y, rot Z 13 , 110 , 0 , 0 , 0 nó com vinculação,código,dir X,dir Y, rot Z

19

23 , 110 , 0 , 0 , 0 nó com vinculação,código,dir X,dir Y, rot Z CARGA PERMANENTE, 2 , 24 , 0 Carga Permanente, número de cargas

nodais,número de cargas em barras, número de cargas nodais equivalentes

CARGAS NODAIS Linha de comando para entrada de cargas nodais 1 , 0 ,-6 , 0 nó,Fx,Fy,Mz (Sistema Global) 25 , 0 ,-6 , 0 nó,Fx,Fy,Mz (Sistema Global) CARGAS NAS BARRAS Linha de comando para entrada de carga em

barras 1 , 1 , 0 ,-5 , 24 , 0 , 0 barra,código de carga, p1,p2,p3,p4,p5 1 Barra 2 Barra 3 Barra 4 Barra 5 Barra 6 Barra 7 Barra 8 Barra 9 Barra 10 Barra 11 Barra

Códigos de Vinculação:

Número formado por três algarismos ( # # # ) . O primeiro está associado ao grau

de liberdade de translação na direção X global, o segundo ao grau de translação na direção Y

global e o terceiro à rotação em torno do eixo Z. Os algarismos só podem assumir os valores

“0”ou “1”.

O valor “0” significa deslocamento livre e o valor “1”significa deslocamento

impedido.

Exemplos:

111 = Engastamento perfeito

010 = Deslocamento na direção Y (vertical) impedido.

110 = Translação Impedida e rotação livre.

20

Tabela 2 - Códigos de Carga em Barras Tipo de Carga código p1 P2 p3 p4 p5

Carga uniforme eixo global

1 qx qy

Número de barras com esta

carga

0 0

Carga trapezoidal parcial – eixo local

2 Q1

q1 q2 a b c

q2 a B c

21

2. METODOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA

2.1 Esforços – Primeira Parte

O início do desenvolvimento da planilha foi dado a partir da sua primeira parte, ou

seja, a parte estática do problema, que é a resolução das equações da linha elástica e a criação

dos diagramas dos esforços. A planilha tem como entrada, os dados gerais que caracterizam a

barra estudada, tais como, o módulo de elasticidade, as dimensões, o comprimento e a carga

na barra.

A partir daí, já é calculado internamente o momento de inércia da seção,

considerando uma seção “T”, e a área de concreto.

Logo a planilha pede a inserção dos dados essenciais ao cálculo das equações da

linha elástica, Mo, Qo, y0 e θ0, dados estes que são obtidos com o programa auxiliar utilizado.

Com os dados já inseridos, a planilha divide a barra em onze seções, e a partir das

equações citadas no capítulo 1.1, calcula os momentos, cortantes, flechas e rotações para

todas essas onze seções da barra.

Fig. 2.1 – Esquema de entrada de dados

22

Com o resultado obtido, são gerados os diagramas respectivos, além de informar

os pontos de momento nulo e máximo, e qual o momento máximo obtido. Informa também a

flecha máxima e a seção onde ela ocorre. Tais informações são obtidas internamente pela

planilha através de cálculos auxiliares.

Fig.2.2 – Diagrama de cortantes gerado

Fig.2.3 – Diagrama de momentos gerado

23

Fig.2.4 – Diagrama da deformada gerado

Fig.2.5 – Diagrama de declividade gerado

Com a primeira parte concluída, partimos para o desenvolvimento da segunda

parte da planilha, que trata do dimensionamento da barra estudada.

24

2.2 Dimensionamento – Segunda Parte

2.2.1 Dimensionamento à flexão

2.2.1.1 Planilha Geral

Para o dimensionamento à flexão, se torna necessário fornecer alguns dados

iniciais a planilha, como o fck do concreto e o fyk do aço utilizado, e a distância “c” e “ c’ ” do

centro de gravidade da armadura positiva e negativa à fase inferior e superior da viga,

respectivamente.

A partir desses dados, a planilha calcula o fcd do concreto e o fyd do aço, assim

como a altura útil da viga. São importados da primeira parte da planilha os valores dos pontos

de cada seção e seus respectivos momentos característicos, de onde são obtidos os momentos

de cálculos.

Parte-se então para o cálculo da linha neutra da seção da barra, que é obtida

através da equação (1.24), mostrada no capitulo 1.2.1. Encontrada a linha neutra, a planilha

calcula internamente a linha neutra fictícia “y”, e compara com a altura da mesa “hf”

informada anteriormente, e a partir daí, informa em qual caso se enquadra a viga, a saber,

Se y ≤ hf � Caso 1

Se y > hf � Caso 2

A linha neutra também se faz necessária para obter o coeficiente adimensional Kx,

além dos outros coeficientes, como o Kmd e Kz. A partir do Kx, a planilha verifica cada seção

da barra internamente, e indica em qual domínio de deformação cada seção está.

A planilha indica também se a seção vai precisar de armadura simples ou dupla.

Após essas etapas, serão calculadas as armaduras longitudinais positivas e

negativas necessárias para cada seção da barra, de acordo com o capitulo 1.2.1, além de

informar as armaduras mínimas positivas e negativas necessárias, e informar se a barra deve

ser simples ou duplamente armada. Caso seja necessária uma armadura dupla, a planilha não

está habilitada a fazer esse dimensionamento.

25

Fig.2.6 – Esquema da entrada e saídas de dados (flexão)

Após de obtida todas as áreas de armaduras necessárias, é criado um diagrama

com os valores das armaduras em cada seção.

Fig.2.7 – Diagrama de armaduras gerado

2.2.1.2 Planilha Auxiliar

Existe a opção de se dimensionar uma seção especifica isoladamente, através de

uma planilha auxiliar, onde só é necessário fornecer os momento característico positivo e o

valor da linha neutra específica, além do fck e fyk.

26

Fig.2.8 – Entrada de dados

É calculada então a armadura positiva, de acordo com o caso em a seção se

encontra.

Fig.2.9 – Cálculo da armadura positiva

27

Após é calculado a armadura negativa, onde se precisa apenas fornecer o valor do

momento característico negativo da seção escolhida.

Fig.2.10 – Cálculo da armadura negativa

2.2.2 Dimensionamento à força cortante

2.2.2.1 Planilha Geral

Para o dimensionamento à força cortante, é necessário fornecer alguns dados

iniciais, como o fck, o fyk, e o “c”, assim como no dimensionamento à flexão. A planilha então

nos fornece o fcd, o fyd, a altura útil e o fctd, além do coeficiente par verificação das diagonais

de concreto “α”. São importados da primeira planilha os valores dos cortantes em cada seção

para o cálculo dos cortantes de cálculo.

A planilha faz a verificação das bielas comprimidas internamente, através da

condição imposta Vsd ≤ Vrd2, e nos fornece se a seção passa ou não por essa verificação.

Após é calculado a área por unidade de comprimento dos estribos, considerando

os estribos a 90º e usando o modelo de cálculo II da NBR 6118:2003.

A planilha fornece também a armadura mínima e o espaçamento para estribos de

dois ramos considerando a bitola do aço entre 5mm e 12.5mm, assim como dois diagramas

desses espaçamentos em cada seção, sendo um com bitolas de 5mm, 6.3mm e 8mm, e o outro

com bitolas de 10mm e 12.5mm.

28

Fig.2.11 - Esquema da entrada e saídas de dados (cortante)

Fig.2.12 – Diagrama de espaçamento para estribos com dois ramos

2.2.2.2 Planilha Auxiliar

Assim como na flexão, existe também a opção de fazer o dimensionamento de

apenas uma seção em particular, onde é necessário fornecer o cortante obtido, assim como os

dados dos materiais usados, concreto e aço.

29

Fig.2.13 – Caso específico de uma seção em particular (cortante)

2.3 Testes para verificação do funcionamento da planilha

Após de desenvolvida todas as fases da planilha foram feitos alguns testes

simples, aonde foram utilizados como exemplo a resolução de algumas vigas clássicas, com

apoios bem definidos, para que os resultados obtidos pela planilha fossem comparados com os

resultados obtidos pela resolução das mesmas pelos métodos clássicos de dimensionamento

fora da planilha. Tudo isso para verificar se as fórmulas e os cálculos obtidos estavam

corretos.

2.3.1 Viga simplesmente apoiada

Foi considerada uma viga simplesmente apoiada com as dimensões e

carregamentos mostradas na figura 2.14, com comprimento de 7m, aonde foi utilizado um fck

de 25MPa, fyk de 500MPa e um Ec de 2,4GPa.

30

Fig. 2.14 – Viga biapoiada para exemplo

Sabe-se que para uma viga como esta, os valores dos esforços e deslocamentos

nos apoios, já são conhecidos, como

M0 = 0 kN.m

Q0 = wl/2 = 70 kN

θ0 = wl³/24.E.I = 3.31E-3 rad

y0 = 0 m

Sabe-se também que o momento máximo, que se dá no meio do vão, é dado por

Mmáx = wl²/8 = 122,5 kN.m

Sabe-se ainda que o valor da flecha máxima, que também se dá no meio do vão, é

obtido pela expressão

ymáx = 5wl4/384.E.I = 7,24 mm

Em relação à flexão e ao cortante, foi feito manualmente todo o dimensionamento,

e foram obtidos os seguintes resultados para a seção no meio do vão

As/s = 0,461 cm²/m

As = 7,66 cm²

Ao ser utilizada a planilha, foram obtidos os seguintes resultados, que estão no

Apêndice A.

31

2.3.2 Viga engastada no primeiro apoio e simplesmente apoiada no segundo

Uma segunda viga foi escolhida para ser feito mais um teste, onde foi utilizada

desta vez uma seção T, com dimensões e carregamentos indicados na figura 2.15. Os valores

inerentes ao material continuaram o mesmo.

Fig.2.15 – Viga engastada em um apoio e simplesmente apoiada em outro

Neste caso a condição de contorno foi encontrada no apoio engastado, onde os valores

dos esforços e dos deslocamentos são

M0 = wl²/8 = -122,5 kN.m

Q0 = wql/8 = 87,5 kN

θ0 = 0 rad

y0 = 0 m

Sabe-se que no segundo apoio temos os seguintes valores

M = 0 kN.m

Q = -3wl/8 = -52,5 kN

θ = wl³/48.E.I = 9,683 rad

y = 0 m

Foi feito o dimensionamento manual e foi encontrado que a seção possui a linha

neutra fictícia dentro da mesa, e foram calculadas também as suas respectivas armaduras

positiva e negativa, além da armadura de cisalhamento, onde foi considerada a seção central e

no primeiro apoio do vão.

32

No primeiro apoio foi obtido

As = 0 cm²

As’ = 7,66 cm2

As/s = 1,559 cm²/m

No meio do vão foi encontrado o seguinte

As = 3,5 cm²

As’ = 0 cm2

As/s = 0 cm²/m

Ao ser feito o dimensionamento pela planilha obtivemos os resultados que se

encontrão no Apêndice B.

Feito esses testes para verificação do funcionamento da planilha, foi verificado

que a mesma estava corretamente desenvolvida.

33

3. EXEMPLOS

3.1 Pórtico de um edifício

Para mostrar a eficiência da planilha desenvolvida, foi feito um exemplo, onde foi

considerado um pórtico plano de um edifício, com carregamento vertical uniformemente

distribuído e também foi considerado um carregamento horizontal simulando a carga de

vento.

Foi considerado vigas de dimensões 15cmx60cm, e pilares de 30cmx30cm, todos

com coeficientes de elasticidades iguais à 24GPa.

Fig.3.1 – Pórtico com seu carregamento e dimensões

34

Primeiramente dividimos o pórtico em oito nós e oito barras, como mostrado logo

abaixo.

Fig.3.2 – Nós e barras do pórtico

Logo após foi feito o arquivo de dados “EXEM1.DAD” para o programa auxiliar

PPLAN, de acordo com a tabela 1 do capítulo 1.3, para o cálculo do pórtico. O arquivo citado

está em no Apêndice C, assim como o relatório de saída que foi gerado, que está no Apêndice

D, de onde foram obtidos os valores dos esforços e deslocamentos nodais essenciais para a

planilha.

Para a análise e dimensionamento foi escolhida a viga superior, que é composta

pelos nós 6,7 e 8, e pelas barras 5 e 6.

Com o relatório de saída em mãos, foi observado que para a barra “5” nó “6”, os

valores do momento fletor, cortante, flecha e declividade são respectivamente

M0 = -66.810 kN.m

Q0 = 146.645 kN

y0 = 0.794E-3 m

θ0 = 0.355E-2 rad

As dimensões da viga foram inseridas na planilha juntamente com o seu módulo

de elasticidade, carregamento e o seu comprimento.

Os valores obtidos pelo relatório são informados para a planilha, que

automaticamente gera os diagramas de esforços e de deslocamentos e informa para cada seção

em que a viga foi dividida os valores dos mesmos.

35

Fig.3.3 – Seções da viga com seus deslocamentos e esforços

A próxima etapa é o dimensionamento ao cisalhamento, onde foi considerado um

fck de 25MPa, um fyk de 500MPa, e as distâncias do centro de gravidade das armaduras

negativas e positivas iguais a 3cm.

Foram obtidos então os seguintes resultados, indicados logo abaixo

Fig.3.4 – Resultados do dimensionamento ao cisalhamento

36

Observe que para as seções em que a armadura é muito pequena, a planilha

automaticamente usa a armadura mínima de norma. Observe também os espaçamentos dos

estribos para cada bitola de aço, exemplo, se quiséssemos usar uma bitola de 6.3mm,

deveríamos usar um espaçamento de 7cm na seção 1 da viga.

Fig.3.5 – Espaçamentos entre estribos e armaduras mínimas

Os espaçamentos entre estribos também é informado graficamente, assim como

indicado na figura 3.6, logo abaixo.

Fig.3.6 – Gráfico dos espaçamentos entre estribos

37

O dimensionamento á flexão teve as seguintes respostas dadas pela planilha,

mostradas na figura 3.7.

Fig.3.7 – Resultados do dimensionamento à flexão

Observe que as seções centrais foram dimensionadas para o domínio 3, enquanto

as outras ficaram no domínio 2, a maior área de armadura foi de 10,06cm², exatamente no

meio do vão, como esperado, a área de armadura negativa se deu nos apoios, com o valor

máximo de 5,4cm².

Logo abaixo temos o gráfico com as áreas de armadura por seção.

Fig.3.8 - Gráfico das armaduras por seção da viga

38

A viga está agora com todos os elementos essenciais para que o Engenheiro

Calculista possa a detalhar.

O resultado completo pode ser encontrado no Apêndice E.

3.2 Pórtico de uma arquibancada

O segundo exemplo feito foi o de um pórtico simulando uma arquibancada, com

uma viga inclinada. O carregamento utilizado foi apenas vertical no valor de 45kN/m.

Foi considerado uma viga de dimensões 15cmx90cm, e pilares de 25cmx30cm e

outro de 25cmx50cm, todos com coeficientes de elasticidades iguais à 24GPa.

Observe que o carregamento não é perpendicular a viga, e sim uniforme seguindo

a projeção do pórtico.

Fig.3.9 – Pórtico de uma arquibancada

Como feito anteriormente, o pórtico foi dividido em nós e em barras, mais

exatamente, 5 nós e 4 barras.

39

Fig.3.10 – Nós e barras no pórtico de arquibancada

Logo após foi feito o arquivo de dados “EXEM2.DAD” para o programa auxiliar

PPLAN, para o cálculo do pórtico. O arquivo citado está no Apêndice C, assim como o

relatório de saída que foi gerado, que está no Apêndice D, que igualmente como no exemplo

anterior, foram obtidos os valores dos esforços e deslocamentos nodais essenciais para a

planilha.

Foi analisada então a única viga existente, que está limitada entre o nó 2 e 4, e

possui as barras 2 e 3.

Para a inserção da carga da viga na planilha, observe que planilha considera que o

carregamento é sempre perpendicular a viga, o que não é o nosso caso. Então foi feito uma

decomposição desta carga, para que obter um novo carregamento que produza o mesmo

momento do carregamento original.

Dessa forma, foi sabido que, com um ângulo de inclinação da viga de 26.565º, o

novo carregamento seria igual à cos²α, ou seja, 36kN/m.

Observe também, que o comprimento da barra tem de ser o real, e não a projeção,

sendo assim, foi inserido o valor de 8,944m como o comprimento da barra.

O valor do deslocamento é dado verticalmente, por causa do carregamento, mas

para a planilha deve ser feito uma decomposição para obter o deslocamento perpendicular à

viga, que no caso, não é vertical, e sim inclinada.

40

O valor desse deslocamento, no nosso caso, é expresso por

δ = δycosα + δxcos(90-α) (3.1)

De acordo com a expressão acima, no nosso caso foi usado um valor de y0 igual a

5,24E-4 m. Observe que os deslocamentos vão diferir dos resultados do relatório, pois a

planilha dar como resultados a componente ortogonal à viga desses deslocamentos.

Os próximos dados a serem inseridos foram os valores dos esforços e dos

deslocamentos no nó “2”, que foi obtido do relatório de saída, que pode ser encontrado no

Apêndice H.

M0 = -55,986 kN.m

Q0 = 152,688 kN

y0 = 0.209E-3 m

θ0 = 0.327E-2 rad

Depois de inseridos os dados corretamente, a planilha gera automaticamente os

diagramas de esforços e de deslocamentos, informando para cada seção em que a viga foi

dividida os valores dos mesmos.

Fig.3.11 – Dados inseridos e dados obtidos pela planilha

41

Logo após a planilha nos forneceu o dimensionamento à flexão e ao

cisalhamento, com todas as informações necessárias e importantes para o usuário

poder detalhar a viga.

O resultado deste exemplo está no Apêndice E, deste trabalho.

42

4. CONCLUSÃO

4.1 Resultados

Com o desenvolvimento desta planilha temos agora uma ferramenta muito útil

para Engenheiros e estudantes, ferramenta esta que é muito fácil de ser manuseada e que com

uma linguagem muito simples, fornece rapidamente seus resultados, contemplando um dos

objetivos deste trabalho.

Apesar de que a planilha necessite de um programa auxiliar, ela ainda assim é de

muita importância, pelo fato de fazer a análise estática do problema juntamente com o

dimensionamento.

A planilha também serve para dimensionamento e verificação de vigas simples,

com apoios bem definidos, como vimos anteriormente.

4.1 Melhorias

Há alguns procedimentos que visam à melhoria da planilha, procedimentos esses,

que infelizmente não puderam ser abordados neste trabalho.

Uma das melhorias seria a inclusão da verificação das flechas decorrentes da

deformação lenta, e o cálculo da flecha na viga, considerando ela no estádio II, onde para isso

teríamos que calcular o momento de inércia para a viga fissurada, utilizando a fórmula de

Branson.

Outro seria o dimensionamento da viga para armadura dupla.

Dessa forma teríamos uma ferramenta mais completa para verificação e

dimensionamento de vigas e barras de pórticos, abrangendo mais as prescrições da NBR

6118:2003.

43

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118:2003. Projeto de Estruturas de

Concreto – Procedimento. 2003

Beer, F. P. Resistências dos Materiais. São Paulo: Ed. McGraw-Hill, 1982. cap 4, p.188,

cap.8, p.434-435.

Clímaco, J. C. T. S. Estruturas de Concreto Armado: Fundamentos de Projeto,

Dimensionamento e Verificação. Brasília: Ed. Universidade de Brasília, 2005. cap. 5, p.177,

182, 187, cap. 6, p. 233.

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