IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA MULTITANQUES UTILIZANDO … · SILVA, Brenna Karolyna dos Santos -...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA – CT

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE

PETRÓLEO - PPGCEP

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA MULTITANQUES UTILIZANDO

REDES DE FUNÇÕES DE BASE RADIAL

Brenna Karolyna dos Santos Silva

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Natal / RN, fevereiro de 2016

IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA MULTITANQUES UTILIZANDO

REDES DE FUNÇÕES DE BASE RADIAL


Natal / RN, fevereiro de 2016

Silva, Brenna Karolyna dos Santos. Identificação de um sistema multitanques utilizando redes defunções de base radial / Brenna Karolyna dos Santos Silva. -Natal, 2016. vii, 87f: il.

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de PósGraduação em Ciência e Engenharia de Petróleo.

1. Redes neurais artificiais. 2. Funções de base radial. 3.Identificação de sistemas não lineares. 4. Multitanques. I.Maitelli, André Laurindo. II. Título.

Catalogação da Publicação na FonteUniversidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI


Identificação de um Sistema Multitanques Utilizando Redes de Funções de Base Radial

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação em Ciência e

Engenharia de Petróleo - PPGCEP, da

Universidade Federal do Rio Grande do

Norte, como parte dos requisitos para

obtenção do título de Mestre em Ciência e

Engenharia de Petróleo.

Aprovado em 23 de fevereiro de 2016.

____________________________________

Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Orientador – DCA/UFRN

____________________________________

Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo

Membro Interno – DCA/UFRN

____________________________________

Prof. Dr. Oscar Gabriel Filho

Membro Externo à Instituição – PRH PB-220/PETROBRAS

SILVA, Brenna Karolyna dos Santos - Identificação de um Sistema Multitanques Utilizando

Redes de Funções de Base Radial. Dissertação de Mestrado, UFRN, Programa de Pós-

Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Área de Concentração: Pesquisa e

Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de Pesquisa: Automação na

Indústria de Petróleo e Gás, Natal – RN, Brasil.

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

RESUMO

A identificação de sistemas dinâmicos não lineares tem grande importância em várias

áreas da Engenharia. Esta dissertação apresenta uma técnica de identificação de sistemas

utilizando Redes Neurais Artificiais do tipo Funções de Base Radial – RBF aplicada a um

sistema bastante comum na indústria de química e petroquímica, o sistema de multitanques

(tanques acoplados), que apresenta uma dinâmica de natureza não linear. Em tal sistema, o

comportamento não linear deste pode dificultar a identificação e apresentar um modelo que não

reflete seu comportamento real. Esse fator é fonte de motivação para utilizarmos uma

ferramenta matemática tal como a RBF na identificação dos aspectos não lineares do sistema.

Essa rede apresenta potencialidades como habilidade de tratar sistemas complexos, aprendizado

e generalização. A identificação de sistemas utilizando RBF pode ser tratada como um

problema de ajuste de curvas através da combinação das funções de base.

Palavras-Chaves: redes neurais artificiais, funções de base radial, identificação de sistemas

não lineares, multitanques.

SILVA, Brenna Karolyna dos Santos - Identification a Multi tanks System Using Radial Basis

Function Networks. Master's dissertation, UFRN, Graduate Program in Science and Petroleum

Engineering. Concentration Area: Research and Development in Science and Petroleum

Engineering. Research Line: Automation in the oil and gas industry, Natal - RN, Brazil.

Leader: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

ABSTRACT

The identification of nonlinear dynamical systems is of great importance in many areas

of engineering. In this dissertation presents a system identification technique using Artificial

Neural Networks Radial Basis Function type - RBF applied to a very common system in the

chemical and petrochemical industry, multi tanks system (coupled tanks), which features a

dynamic nature not linear. In such a system, the nonlinear behavior of this can make it difficult

to identify and present a model that does not reflect their actual behavior. This factor is a source

of motivation we use a mathematical tool such as RBF in the identification of nonlinear aspects

of the system. This network has potential as ability to handle complex systems, learning and

generalization. Identification systems using RBF can be treated as a curve fitting problem by

combining the basic functions.

Keywords: neural networks, radial basis functions, identification of nonlinear systems, multi

tanks.

“... gradualmente, depois rapidamente’. É assim que a depressão

atinge. Você acorda numa manhã com medo de viver”.

Geração Prozac

i

Brenna Karolyna dos Santos Silva – Fevereiro 2016

Dedico esta dissertação aos meus pais, Sr. Batú e Nice, à minha Tia

Egivânia, minha segunda mãe, minha Alice... Em nome de todo amor

e carinho que a mim é dado ao longo de toda minha vida.

Com muito amor, para vocês!

ii


AGRADECIMENTOS

A Deus, primeiramente, pela vida a qual tento aproveitar e viver plenamente; por todo amor,

proteção e força para continuar minha jornada.

Aos meus Pais, Sebastião e Eunice, pela educação, zelo e amor com que me criaram, pelo apoio

em todos os momentos, pelos investimentos em meus estudos e por confiarem em mim.

À minha Tia, Egivânia, por esse amor puro e imenso que me tornam uma filha muito querida e

especial; por tanta dedicação a mim e confiança em minha capacidade de realizar meus sonhos.

Ao meu Namorado, que acima de tudo foi meu companheiro, por tanta paciência e estímulo

constante, por aguentar meus choros, por colocar um sorriso em mim e jamais ter me deixado

sozinha.

Ao meu irmão, Iure, e a minha avó Maria de Lourdes, que sempre se fazem presente em minha

vida e contribuem com seu incentivo, carinho e motivos que fazem sorrir e me sentir cuidada.

Ao meu orientador, Prof. Dr. André Laurindo Maitelli por todo conhecimento que me foi

passado, colaboração e orientação para realização deste trabalho; agradeço também pela

paciência e confiança em mim, por não ter desistido de meu sonho. Obrigada de todo coração

Professor.

Ao Programa de Recursos Humanos (PRH – PB 220/UFRN), pelo apoio e suporte financeiro.

Ao Laboratório de Automação em Petróleo (LAUT/UFRN) pela estrutura disponibilizada.

A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo –

PPGCEP.

A todos meus colegas do LAUT, pelas trocas de informações e sugestões, também pela amizade

que foi construída durante esse tempo, em especial a Ana Carla, sempre presente e prestativa.

Ao Dr. Bruno, por cuidar de minha saúde, sempre priorizando meu desempenho acadêmico.

A Dra. Tatiana, por estar comigo apoiando e ajudando a vencer e mim mesma.

Meu agradecimento se estende a todos aqueles que contribuíram de alguma forma para a

realização dessa dissertação de mestrado.

Muito obrigada!

iii


Sumário

LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................. IV

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 2

1.1 - Objetivo.......................................................................................................................... 3

1.2 - Definição do problema .................................................................................................. 3

1.3 - Apresentação do trabalho............................................................................................... 3

2. ASPECTOS TEÓRICOS ..................................................................................................... 6

2.1 - Identificação de Sistemas............................................................................................... 6

2.1.1 - Sistemas dinâmicos................................................................................................. 6

2.1.2 - Modelagem.............................................................................................................. 8

2.1.3 - Estimação de parâmetros....................................................................................... 11

2.1.4 - Estimador dos mínimosquadrados......................................................................... 11

2.2 - Redes de funções de base radial.................................................................................... 14

2.2.1 - Redes Neurais Artificiais....................................................................................... 14

2.2.2 - Redes de funções de base radial............................................................................ 18

3. ESTADO DA ARTE ........................................................................................................... 24

4. METODOLOGIA ............................................................................................................... 28

4.1 - Representações lineares................................................................................................ 28

4.1.1 - Modelo AR............................................................................................................. 29

4.1.2 - Autoregressivo com média móvel.......................................................................... 30

4.1.3 - Autoregressivo com entradas externas................................................................... 30

4.1.4 - Modelo autoregressivo com média móvel e entradas externas.............................. 30

4.2 - Representações não lineares......................................................................................... 32

4.3 - Redes neurais artificiais do tipo RBF em modelagem não linear................................ 33

4.4 - Sistema de tanques acoplados...................................................................................... 37

4.5 - Modelagem matemática............................................................................................... 39

5. RESULTADOS OBTIDOS ................................................................................................ 55

5.1 - Análises dos resultados obtidos da identificação......................................................... 55

6. CONCLUSÕES ................................................................................................................... 69

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 72

APÊNDICE ............................................................................................................................. 78

iv


LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1. Representação gráfica de um sistema sofrendo estímulos externos............................... 7

Figura 2.2. Tempo continuo............................................................................................................. 8

Figura 2.3. Tempo discreto............................................................................................................... 8

Figura 2.4. Representação gráfica de um problema de identificação de sistemas............................ 9

Figura 2.5. Representação gráfica das etapas envolvidas na identificação de sistemas................... 10

Figura 2.6. Neurônio artificial.......................................................................................................... 14

Figura 2.7. Função limiar................................................................................................................. 15

Figura 2.8. Função linear ................................................................................................................. 15

Figura 2.9. Função sigmoide............................................................................................................ 16

Figura 2.10. Função gaussiana......................................................................................................... 16

Figura 2.11. Arquitetura de uma RBF com uma única camada oculta............................................ 19

Figura 2.12. Função gaussiana......................................................................................................... 20

Figura 2.13. Soma ponderada de funções de base radial do tipo gaussiana..................................... 21

Figura 2.14. Estrutura implementada para identificação utilizando rede RBF................................ 22

Figura 4.1. Diagrama em blocos de um sistema dinâmico não linear.............................................. 32

Figura 4.2. Rede neural NARX para um sistema SISO.................................................................... 34

Figura 4.3. Sistema de tanques acoplados implementado no simulink®.......................................... 38

Figura 4.4. Modelo do sistema de tanques acoplados implementado no simulink®........................ 39

Figura 4.5. Sistema utilizado na simulação para obtenção do conjunto entrada / saída utilizado

no processo de identificação.............................................................................................................

43

Figura 4.6. Visualização do primeiro e do segundo tanque com suas respectivas entradas e as

saídas acrescidas de ruído...............................................................................................................

44

Figura 4.7. Visualização da soma do valor absoluto de um sinal senoidal...................................... 44

Figura 4.8. Visualização do sinal de entrada no primeiro tanque, o sinal de entrada composto das

10000 primeiras amostras e o nível de saída no primeiro tanque.....................................................

46

Figura 4.9. Visualização do sinal de entrada no segundo tanque, o sinal de entrada composto das

10000 primeiras amostras e o nível de saída no segundo tanque.....................................................

47

Figura 4.10. Visualização do sinal de entrada no terceiro tanque, o sinal de entrada composto

das 10000 primeiras amostras e o nível de saída no terceiro tanque................................................

48

Figura 4.11. Visualização do sinal de entrada no quarto tanque, o sinal de entrada composto das

10000 primeiras amostras e o nível de saída no quarto tanque........................................................

49

Figura 4.12. Visualização do sinal de entrada no quinto tanque, o sinal de entrada composto das

10000 primeiras amostras e o nível de saída no quinto tanque........................................................

50

Figura 4.13. Gráfico dos dados de entrada / saída do primeiro tanque utilizados durante a fase de

treinamento.......................................................................................................................................

51

Figura 4.14. Gráfico dos dados de entrada / saída do segundo tanque utilizados durante a fase de

treinamento.......................................................................................................................................

52

Figura 4.15. Gráfico dos dados de entrada / saída do terceiro tanque utilizados durante a fase de

treinamento.......................................................................................................................................

52

Figura 4.16. Gráfico dos dados de entrada / saída do quarto tanque utilizados durante a fase de

treinamento.......................................................................................................................................

53

Figura 4.17. Gráfico dos dados de entrada / saída do quinto tanque utilizados durante a fase de

treinamento.......................................................................................................................................

53

Figura 5.1a. Gráfico comparativo do nível no primeiro tanque onde temos os dados acrescidos de

ruído (em azul, pontilhado), o estimado pela RBF (em vermelho, tracejado) e os dados sem a

presença de ruído, tido como o desejado (preto, tracejado)..............................................................

56

Figura 5.1b. As mil primeiras amostras referentes a Figura 5.1a..................................................... 57

v


Figura 5.2a. Gráfico comparativo do nível no segundo tanque onde temos os dados acrescidos de


presença de ruído, tido como o desejado (preto, tracejado)..............................................................

57


Figura 5.3a. Gráfico comparativo do nível no terceiro tanque onde temos os dados acrescidos de


presença de ruído, tido como o desejado (preto, tracejado)...............................................................

58


Figura 5.4a. Gráfico comparativo do nível no quarto tanque onde temos os dados acrescidos de



59


Figura 5.5a. Gráfico comparativo do nível no quinto tanque onde temos os dados acrescidos de



60

Figura 5.5b. As mil primeiras amostras referentes a figura 5.5a...................................................... 61

Figura 5.6. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no primeiro tanque para o sinal de

entrada apresentado..........................................................................................................................

62

Figura 5.7. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no segundo tanque para o sinal de


63

Figura 5.8. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no terceiro tanque para o sinal de


64

Figura 5.9. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no quarto tanque para o sinal de


65

Figura 5.10. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no quinto tanque para o sinal de


66

vi


LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Parâmetros escolhidos durante a fase de treinamento.................................. 55

Tabela 2. Erro médio quadrático na etapa de validação............................................... 66

vii


LISTA DE ABREVIAÇÕES E SIGLAS

AR autoregressive

ARMA autoregressive moving average model structure

ARX autoregressive model structure with exogenous inputs

BIBO bounded input bounded output

BFGS Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

BJ

BP

Box-Jenkins model structure

back propagation

CPNN constructive probabilistic neural network

FIR finite impulse response

GN Gauss-Newton

HMLP hybrid multilayered perceptron

LM

LMS

Levenberg-Marquardt

least mean square

MIMO multi inputs multi outputs

MISO multi inputs and single outputs

MLP multi layer perceptron

NARX

NARMAX

non-linear autoregressive model structure with exogenous inputs

non-linear autoregressive moving average model structure with

exogenous inputs

NNARX

neural network autoregressive

NNARMA neural network autoregressive moving average output error model

OE output error model

OLS orthogonal least square

RNA’S Redes neurais artificiais

RBF Radial basis function

RMSE

WNN

Roots Mean Squared Error

Wavelets Neural Networks

Capítulo 1

Introdução

Capítulo 1 - Introdução

2


1. Introdução

A indústria petrolífera visa cada vez mais elevar a qualidade dos produtos e segurança

na operação, bem como alcançar níveis elevados de eficiência. Para isso é necessário que os

equipamentos envolvidos no processo estejam em boas condições de operação. No entanto, tais

equipamentos apresentam um alto grau de não linearidades que influenciam diretamente na

dinâmica do sistema. Daí a importância de se obter um modelo matemático que possa ser

implementado computacionalmente, sendo possível utilizá-lo na otimização e controle de

plantas sem interferir na estabilidade do sistema, por exemplo.

A área do conhecimento que desenvolve modelos matemáticos empíricos relacionando

diferentes variáveis (entrada / saída) e a determinação dos parâmetros associados ao modelo é

chamada de identificação (COELHO, 2004).

A identificação de sistemas pode ser tratada como um problema de otimização que

envolve algumas medidas para adequação de modelos candidatos a representar um processo

real (COELHO, 2004). Para obtenção de modelos, alguns passos são necessários: coleta de

dados, detecção de não linearidades, seleção de uma estrutura de modelo, estimação de

parâmetros e validação do modelo. Com um modelo matemático que represente o processo real

é possível desenvolver diversos estudos como: detecção de falhas, controle de processos,

análise de comportamento etc. Uma potencialidade da identificação de sistemas é a capacidade

de se prever o comportamento dinâmico de um sistema com certo tempo de antecedência

tornando possível a tomada de decisões preventivas quando o sistema estiver sujeito a falhas

ou mudanças em sua dinâmica. Isso justifica a fundamental importância em compreender um

sistema antes de manipulá-lo.

Nesta dissertação a ferramenta computacional utilizada na identificação é uma rede

neural do tipo Funções de Base Radial – RBF (“radial basis funtion”). As redes neurais

artificiais (RNA) são aplicáveis na área de identificação e controle de sistemas não lineares

devido suas características de capacidade de aprendizado através de treinamento e por serem

mapeadores universais de funções (LIPPMANN, 1987). A identificação de sistemas dinâmicos

utilizando RBF pode ser tratada como um problema de ajuste de curvas (aproximação de

funções), nesse contexto, as redes de função de base radial possuem apenas uma camada oculta,

cujos neurônios possuem função de ativação não linear, geralmente gaussianas, e a estrutura


3


pode ser entendida como um modelo matemático que realiza aproximação de funções (ou

interpolação) através da combinação linear de funções de base gaussianas.

1.1 - Objetivo

O objetivo deste trabalho é realizar a identificação de um sistema bastante utilizado na

indústria petrolífera, o sistema multitanques, utilizando uma rede de funções de base radial.

1.2 - Definição do Problema

A construção de um modelo neural capaz de descrever o comportamento dinâmico de

um sistema não linear com múltiplas entradas e múltiplas saídas.

1.3 - Apresentação do trabalho

A dissertação está organizada da seguinte forma:

No Capítulo 2 apresentamos os aspectos teóricos em duas áreas de conhecimento:

identificação de sistemas e redes neurais artificiais. Traz conceitos básicos sobre identificação

de sistemas, envolvendo conceitos sobre a modelagem matemática, as etapas de um processo

de identificação e um algoritmo de estimação baseado no método dos mínimos quadrados. É

apresentado as redes neurais de funções de base radial bem como as funções de ativações

comumente utilizadas em projetos que envolvem redes neurais artificias, a topologia da rede e

seu algoritmo de treinamento.

O Capítulo 3 apresenta o estado da arte com o objetivo de contextualizar a relevância

do tema apresentando algumas pesquisas desenvolvidas nesta área de estudo ao longo dos anos.

No Capítulos 4 apresentamos a metodologia utilizada no uso das redes de funções de

base radial na identificação de sistemas encontrados na literatura para apresentar a eficácia do

algoritmo na identificação de sistemas dinâmicos de natureza não linear, bem como são

apresentados resultados para a visualização de tal eficácia e o método utilizado no treinamento

da rede neural.


4


No Capítulo 5 finalmente apresentamos a identificação proposta para a conclusão do

trabalho, expandindo a técnica de identificação para sistemas com múltiplas entradas e

múltiplas saídas e uma análise dos resultados obtidos, em seguida é apresentado o Capítulo 6

com as conclusões obtidas e perspectivas de trabalhos futuros.

Capítulo 2

Aspectos Teóricos

Capítulo 2 – Aspectos Teóricos

6


2. Aspectos Teóricos

Neste capítulo são apresentadas as definições básicas sobre sistemas, os aspectos

teóricos de modelagem e identificação de sistemas dinâmicos, e da estimação de parâmetros, e

também algumas definições básicas sobre redes neurais artificiais e alguns aspectos teóricos

das redes de funções de base radial.

2.1- Identificação de sistemas

Conhecer o comportamento dinâmico do sistema é de vital importância em diversas

áreas do conhecimento, dentre elas a petrolífera. Identificação de sistemas é a capacidade de se

prever o comportamento dinâmico de um sistema a partir do conjunto entrada – saída.

Existem diversas formas e técnicas para se obter modelos matemáticos que

representem o comportamento dinâmico do sistema, uma delas é a modelagem caixa branca,

em que se tem conhecimento aprofundado do sistema e das leis físicas que regem tal sistema.

Em modelos obtidos sem nenhum conhecimento prévio do sistema e nenhuma equação

matemática é assumida, a modelagem é caixa preta. Quando o modelo obtido não atender

nenhuma técnica dos procedimentos anteriores, a modelagem é caixa cinza.

A seleção de tais modelos matemáticos e ajustes de parâmetros são influenciados por

diversos fatores: (i) conhecimento a priori do sistema (grau de não linearidade, atraso de

transporte etc.); (ii) propriedades do modelo a ser identificado (complexidade); (iii) seleção da

medida de erro a ser minimizado; (iv) presença de ruídos.

2.1.2 - Sistemas dinâmicos

Um sistema pode ser definido como, uma combinação de componentes que atuam em

conjunto, onde suas variáveis internas interagem realizando um objetivo em que suas

propriedades pretendem ser estudadas, produzindo sinas denominados saídas (AGUIRRE,

2007A). Colunas de destilação, vasos separadores, tanques de armazenamento, caldeiras, fornos

etc., são alguns exemplos de sistemas. A Figura 2.1 ilustra a representação gráfica de um

sistema sofrendo estímulos externos, denominados de entradas, produzindo uma saída em

relação à entrada.


7


Figura 2.1. Representação gráfica de um sistema sofrendo estímulos externos.

O sistema pode ser considerado como estático ou dinâmico. Quando o valor atual da

saída do sistema y(t) depender apenas do valor atual da entrada u(t) aplicada é classificado como

estático, e como sendo dinâmico quando o valor atual de sua saída y(t) depender do valor atual

da entrada u(t) e também dos valores de entrada e saídas passados.

O sistema pode ser classificado como linear se sua resposta, quando excitado pela

combinação linear de duas entradas, for igual à combinação linear das saídas que resultam da

aplicação isolada de cada entrada (AGUIRRE, 2007). Os sistemas lineares são geralmente

representados por equações algébricas. Já quando o sistema não apresenta nenhuma das

propriedades citadas anteriormente e o seu desempenho operacional é marcado por oscilações

em sua dinâmica o sistema é dito não linear.

Quando o sistema possui uma única entrada e uma única saída, o sistema é considerado

como sendo monovariável. Quando possui mais de uma entrada e/ou mais de uma saída, o

sistema é multivariável (AGUIRRE, 2007A).

Os sinais de entrada e saída evoluem em relação do tempo, logo o sistema é dito de

tempo contínuo quando suas entradas u(t) e saídas y(t) são definidas no tempo contínuo

(representadas por equações diferenciais). Quando as entradas u(t) e saídas y(t) só são definidas

no tempo discreto (representadas por equações à diferença), o sistema é dito de tempo discreto

(AGUIRRE, 2007).

Planta Entradas Saída do modelo


8


Quando as características de um sistema não mudam ao longo do tempo, ou seja, sob

as mesmas condições iniciais respondem da mesma maneira a um sinal de entrada,

independente de quando o sinal é aplicado, o sistema é dito como invariante no tempo. Já

quando suas características sofrem mudanças ao longo do tempo o sistema é variante no tempo.

O sistema pode ser determinístico quando para um dado estado inicial e uma dada

entrada houver apenas uma saída possível (AGUIRRE, 2007). Ou seja, o conhecimento das

condições iniciais e da entrada do sistema, determina unicamente sua saída. Se as entradas e as

saídas forem variáveis aleatórias o sistema pode ser considerado como sendo estocástico

(AGUIRRE, 2007).

2.1.3 - Modelagem

Um modelo pode ser entendido como um conjunto de regras que descrevem o

comportamento do sistema fornecendo informações de uma ou mais variáveis observadas

(COELHO, 2004). Modelos podem ser mentais, gráficos, algorítmicos e matemáticos.

A identificação de sistemas é a área do conhecimento que desenvolve modelos

matemáticos relacionando diferentes variáveis (entrada/saída) e a determinação dos parâmetros

associados ao modelo.

Em outras palavras, identificar um sistema significa construir um modelo matemático

que represente, o mais próximo possível, as características da dinâmica do sistema real. Através

do modelo matemático obtido que represente o sistema é possível desenvolver diversos estudos

como, por exemplo: análise de comportamento, e inferir propriedades dinâmicas e estatísticas

do sistema real (AGUIRRE, 2007).

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.2. Tempo continuo

Figura 2.3. Tempo discreto


9


A Figura 2.4 ilustra um problema de identificação de sistemas que consiste em ao se

aplicar um conjunto de dados de entrada à técnica de identificação, as variáveis interagem

internamente resultando em um modelo matemático como saída estimada.

Figura 2.4. Representação gráfica de um problema de identificação de sistemas

As etapas envolvidas para a obtenção de um modelo matemático através da

identificação de sistemas são:

1. Testes dinâmicos e coleta de dados: é necessária a obtenção de um conjunto de dados

entrada/saída, que representem o comportamento dinâmico do sistema.

2. Escolha da representação matemática a ser utilizada: se o modelo do sistema é linear

ou não linear, contínuo ou discreto, etc.

3. Determinação da estrutura do modelo: neste caso, será utilizada uma rede de funções

de base radial para estrutura do modelo.

4. Estimação de parâmetros: esta etapa começa com a escolha do algoritmo a ser

utilizado.


10


5. Validação do modelo: tendo sido obtido um conjunto de modelos, é necessário verificar

se eles incorporam ou não as características de interesse do sistema original.

Figura 2.5. Representação gráfica das etapas envolvidas na identificação de sistemas

O processo de construção do modelo que represente um determinado sistema é

definido como modelagem. Na identificação de sistemas, a modelagem consiste em determinar

ou construir as equações matemáticas ou regras que melhor regem as características do sistema

dinâmico (AGUIRRE, 2007B).

Tais modelos obtidos podem ser definidos como sendo modelos paramétricos, quando

utilizam estruturas matemáticas parametrizadas para descrever o comportamento dinâmico

original no domínio do tempo. Esses parâmetros são ajustados por algoritmos de estimação a

partir dos dados medidos. Os modelos não paramétricos geram modelos no domínio do tempo,

porém o comportamento dinâmico do sistema é determinado através de relações entre os dados

disponíveis (ex. correlação), (COELHO, 2004).

Muitas são as técnicas para se obter modelos matemáticos que representem o

comportamento dinâmico de um sistema; uma delas é a modelagem caixa branca, em que se

tem conhecimento aprofundado do sistema e das leis físicas que regem tal sistema. Em modelos

obtidos sem nenhum conhecimento prévio do sistema e onde nenhuma equação matemática é

assumida, a modelagem é caixa preta. Quando o processo de modelagem não atender às técnicas

anteriormente citadas, a modelagem é dita ser caixa cinza (COELHO, 2004).


11


O tipo de problema, uso pretendido, disponibilidade e qualidade dos dados utilizados,

restrições na manipulação do sistema entre outros, são alguns pré-requisitos para a escolha do

modelo. Geralmente são preferíveis os modelos complexos que permitam a ampliação e a

redução de forma simples. O conhecimento a priori do sistema também influencia na escolha

do modelo (AGUIRRE, 2007B).

Através da combinação entre conhecimento a priori, tentativa e erro e avaliação do

erro entre a saída real do sistema e a saída estimada é possível selecionar a ordem do modelo.

A escolha da estrutura e complexidade do modelo é normalmente feita por tentativa e erro,

manualmente.

2.1.4 - Estimação de parâmetros

A estimação de parâmetros é uma das principais etapas envolvidas no processo de

identificação de sistemas. Essa etapa ocorre logo após a modelagem, determinando as

constantes matemáticas presentes nas equações que descrevem o sistema (AGUIRRE, 2007 B).

A evolução da entrada e saída é levada em conta na estimação de parâmetros. Logo,

as informações usadas vêm na forma de sinais obtidos do sistema dinâmico. Esses sinais podem

passar por um pré-processamento como uma filtragem ou remoção de ruídos, antes de serem

utilizados para a determinação dos parâmetros desconhecidos do modelo (AGUIRRE, 2007).

Adicionar uma regra que traduz os critérios a serem observados na semelhança entre

o modelo e o sistema real, é necessária para encontrar os parâmetros da equação que descreve

o modelo. Basicamente consiste na sintetização de um critério de desempenho ou uma função

custo, geralmente minimizada. Um critério bastante utilizado nessa etapa é o erro médio

quadrático entre as amostras e o valor apresentado pelo modelo, como exemplo podemos citar

o método dos mínimos quadrados (AGUIRRE, 2007 B).

2.1.5 - Estimador dos mínimos quadrados

Em geral, no problema de mínimos quadrados a saída do modelo 𝑦 é dada por uma

expressão linearmente parametrizada (AGUIRRE, 2007).

𝑦 = 𝜃1𝑓1(𝒖) + 𝜃2𝑓2(𝒖) + ⋯+ 𝜃𝑛𝑓𝑛(𝒖)

(2.1)


12


em que 𝒖 = [𝑢1, ⋯ , 𝑢𝒎]𝑻 é o vetor de entradas, 𝑓1, ⋯ , 𝑓𝑛 são funções desconhecidas de 𝒖 , e

𝜃1, ⋯ , 𝜃𝑛 são os parâmetros desconhecidos a serem estimados (AGUIRRE, 2007). Em

estatística, este modelo é conhecido como modelo de regressão linear.

Para identificar os parâmetros desconhecidos 𝜃𝑖, usualmente fazemos experimentos

para obtermos o conjunto de dados de treinamento composto pelo par {(𝑢𝑖; 𝑦𝑖), 𝑖 = 1,⋯ ,𝑚}

que representam o conjunto entrada / saída do sistema a ser identificado. Substituindo cada par

de dados na equação (2.2) temos o seguinte sistema de equações lineares:

{

𝑓1(𝒖1)𝜃1 + 𝑓2(𝒖1)𝜃2 +⋯+ 𝑓1(𝒖1)𝜃𝑛 = 𝑦1𝑓1(𝒖2)𝜃1 + 𝑓2(𝒖2)𝜃2 +⋯+ 𝑓1(𝒖2)𝜃𝑛 = 𝑦2𝑓1(𝒖3)𝜃1 + 𝑓2(𝒖3)𝜃2 +⋯+ 𝑓1(𝒖3)𝜃1 = 𝑦3

⋮𝑓1(𝒖𝑚)𝜃1 + 𝑓2(𝒖𝑚)𝜃2 +⋯+ 𝑓1(𝒖𝑚)𝜃1 = 𝑦𝑚

(2.2)

Utilizando a relação matricial, temos:

𝑨𝜽 = 𝒚

(2.3)

em que 𝑨 é uma matriz 𝑚 𝑥 𝑛

𝑨 = [𝑓1(𝒖1) ⋯ 𝑓𝑛(𝒖1)⋮ ⋱ ⋮

𝑓1(𝒖𝑚) ⋯ 𝑓𝑛(𝒖𝑚)]

𝜽 é um vetor 𝑛 𝑥 1 de parâmetros desconhecidos:

𝜽 = [𝜃1⋮𝜃𝑛

]

e 𝒚 é um vetor 𝑚 𝑥 1,


13


𝒚 = [

𝑦1⋮𝑦𝑚]

Se 𝑨 for uma matriz quadrada e não singular (invertível), podemos obter 𝜽 através da

seguinte expressão:

𝑨𝜽 = 𝒚

𝑨−1𝑨𝜽 = 𝑨−1𝒚

𝜽 = 𝑨−1𝒚

(2.4)

No entanto, como geralmente 𝑨 é uma matriz não quadrada (𝑚 ≠ 𝑛) então encontrar

a solução da Equação (2.3), equivalente a aproximar 𝜽 ≅ �� através da minimização do erro

médio quadrático definido por:

𝐸(𝜽) =∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑖𝑇𝜃)2

𝑚

𝑖=1

= 𝒆𝑇𝒆 = (𝒚 − 𝑨𝜽)𝑇(𝒚 − 𝑨𝜽)

(2.5)

em que 𝒆 = 𝒚 − 𝑨𝜽 é o vetor erro produzido pela escolha do parâmetro 𝜽. O erro médio

quadrático da equação (2.5) é minimizado quando 𝜽 = ��, e o método é chamado de estimador

de mínimos quadrados – LSE, que satisfaz a equação normal:

𝑨𝑇𝑨�� = 𝑨𝑇𝒚

(2.6)

Se 𝑨𝑇𝑨 é não singular, então a solução da equação normal para �� é única, ou seja:

�� = (𝑨𝑇𝑨)−1𝑨𝑇𝒚

(2.7)


14


2.2 - Redes de funções de base radial

Redes de funções de base radial é um tipo de rede neural artificial bastante utilizada

na teoria de aproximação de funções. Esse tipo de rede possui apenas uma única camada oculta,

diferentemente das redes de múltiplas camadas, onde o processamento dos dados é realizado o

seu treinamento é baseado no método dos mínimos quadrados.

2.2.1 - Redes Neurais Artificiais

O cérebro humano é composto por bilhões de neurônios. Os neurônios são células

formadas por corpo, dendritos e axônios. Os dendritos são responsáveis por captar os estímulos

e os transmitir ao corpo dos neurônios onde são processados. A conexão entre um axônio de

um neurônio e um dendrito de outro é denominada sinapse. A sinapse é a unidade funcional

básica envolvendo as membranas plasmáticas de dois neurônios, de modo a formar uma junção

pontual (o tamanho de uma junção sináptica é menor do que 1 mm) e orientada do neurônio

pré-sináptico para o pós-sináptico (KHANNA, 1990).

Buscando um modelo computacional que representasse o funcionamento do cérebro,

em 1943 McCulloch e Pitts desenvolveram um modelo matemático que resultaria na concepção

de neurônio artificial (HAYKIN, 2009).

O modelo matemático de um neurônio artificial é ilustrado na Figura 2.6, onde são

observados os elementos básicos que compõe um neurônio:

Figura 2.6. Neurônio artificial

Pesos sinápticos – estrutura que une os neurônios, formando as RNAs e tem

capacidade de controlar os impulsos propagados na rede.


15


Somador – combinador linear responsável pela adição dos sinais de entrada

ponderados pelos pesos sinápticos.

Função de ativação – define o valor da saída do neurônio.

Existem alguns tipos de funções de ativação bastante utilizadas para definir as saídas

da RNA. São elas:

1. Função limiar, que segundo Haykin (2009) descreve a propriedade do modelo

neuronal de McCulloch e Pitts.

Figura 2.7. Função limiar

2. Função linear, onde a saída linear para os dados de entrada é definida por um

valor real.

Figura 2.8. Função linear

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6


16


3. Função sigmóide, em forma de ‘s’, essa função de ativação é a mais utilizada na

teoria de RNAs. Apresenta um balanceamento entre o comportamento linear e não

linear (HAYKIN, 2009). Ela é ilustrada na figura como uma tangente sigmóide.

Figura 2.9. Função sigmoide

4. Função gaussiana usada principalmente em RNAs de base radial. Função de

ativação bastante utilizada na aproximação de funções através do mapeamento dos

dados para um espaço de alta dimensionalidade.

Figura 2.10. Função gaussiana

O neurônio artificial é uma estrutura com capacidade de processar informações, o que

é de fundamental importância no funcionamento da rede neural (HAYKIN, 2001). As

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


17


combinações de diversos neurônios artificiais feita pela conexão entre os pesos sinápticos

formam uma rede neural artificial.

Segundo Haykin (2009), uma Rede Neural Artificial (RNA) é um processador

maciçamente paralelamente distribuído constituído de unidades de processamento simples, que

têm a propensão natural para armazenar conhecimento experimental e torna-lo disponível para

uso. A semelhança da rede neural com o cérebro humano se dá em dois aspectos: o

conhecimento é adquirido pela rede a partir de seu ambiente através de um processador de

aprendizagem. E, forças de conexão entre neurônios, conhecidas como pesos sinápticos, são

utilizadas para armazenar o conhecimento adquirido.

As RNAs apresentam potencialidades que podem ser aplicadas à identificação de

sistemas, modelagem, reconhecimento de padrões, processamento de sinais, entre outros.

Haykin (2001) aborda as características das RNAs como:

Processamento paralelo inspirado no comportamento do cérebro humano, logo

as informações não são buscadas sequencialmente.

Aprendizagem, capacidade que a rede tem de aprender determinado

conhecimento através de suas iterações sem necessariamente explicitar o

algoritmo para executar determinada tarefa.

Associação, característica que permite que a rede associe diferentes padrões

em seu treinamento.

Generalização, habilidade da RNA em lidar com dados não lineares e

responder satisfatoriamente a um sinal de entrada nunca visto anteriormente,

apenas pela similaridade dos dados já apresentados.

Abstração, capacidade de a rede abstrair informações a partir de um conjunto

de entradas.

Tolerância à falha, o que permite que a rede continue apresentando resultados

satisfatórios em caso de falha em algum neurônio.

Robustez, o que faz com que mesmo perdendo elementos de processamento a

rede não funcione inapropriadamente e sim continue seu processamento.

Segundo Sjoberg (1995), as características das RNAs as tornam potencialmente

aplicáveis a problemas como: classificação de padrões, identificação, diagnóstico,

processamento de sinais e de imagens, otimização e controle.


18


A arquitetura de uma RNA é basicamente organizada em camadas, que podem estrar

interligadas ou não ás camadas posteriores. Geralmente essas camadas são divididas da seguinte

maneira:

Camada de entrada – os padrões são apresentados à rede;

Camadas ocultas – onde é realizado a maior do processamento de dados

através das conexões ponderadas;

Camada de saída – onde o resultado é concluído e apresentado.

Uma RNA pode ser considerada como perceptron de camada única ou perceptron de

múltiplas camadas. Em 1958, Rosemblat desenvolveu seu modelo de perceptron, e definia o

perceptron como sendo um único neurônio com sinapses ajustáveis e bias. Segundo Haykin

(2001) o perceptron é a forma mais simples de uma rede neural. Basicamente a topologia de

um peceptron de única camada é composta por três níveis, porem são definidas como de uma

única camada pois o processamento de dados ocorre basicamente em uma única camada, na

saída da rede. Já o perceptron de múltiplas camadas é a forma mais complexa das RNAs, uma

vez que apresentam duas ou mais camadas que realizam o processamento dos dados, ou seja, o

sinal de entrada se propaga para frente camada por camada até que a camada de saída conclua

o processamento e mostre o resultado (BRAGA et al., 2000).

Uma etapa bastante importante no funcionamento de uma RNA é a fase de

aprendizado, onde a rede aprende a partir de iterações e ajusta seus pesos sinápticos para obter

o melhor resultado possível. Para que o processo de aprendizagem seja realizado é necessário

utilizar uma ferramenta denominada de algoritmo de aprendizagem, que tem a função de

modificar os pesos sinápticos da rede para alcançar um determinado objetivo (BRAGA et al.,

2000).

As RNAs também podem ser classificadas de acordo com o seu aprendizado como

redes supervisionadas, quando há participação auxiliar de um supervisor, e redes não

supervisionadas quando a rede trabalha sem nenhuma interferência humana apenas com os

dados apresentados à rede.

2.2.2 - Redes de funções de base radial

As redes de funções de base radial (RBF) são redes formadas por neurônios seletivos

ou neurônios com função de ativação de base radial local. Com um processo de treinamento


19


bastante simples e uma boa eficiência computacional essas redes têm ganhado uma significativa

posição no campo das redes neurais artificiais (HAYKIN, 2009).

As redes RBF são consideradas aproximadores universais de funções. A teoria de

aproximação de funções consiste em aproximar (identificar) uma função y(.) por uma função

aproximada 𝑓 (w,u), dado um número fixo de parâmetros w e de entradas u, em que u e w são

vetores. Sendo assim tem-se dois aspectos importantes a serem definidos: a função aproximada

𝑓 (.) e o vetor de parâmetros w. Escolhida uma função 𝑓 (.) específica, o problema se reduz a

determinação do vetor de parâmetros w que oferecem a melhor aproximação da função y(.) para

o conjunto de dados de entrada u.

Redes RBF realizam o aprendizado supervisionado e são constituídas de várias

camadas, que desempenham papeis diferentes. Em sua topologia mais básica a camada de

entrada conecta a RBF ao ambiente; sua camada oculta, aplica uma transformação não linear

dos dados de entrada mapeando-os para um espaço de alta dimensionalidade; E a sua camada

de saída é responsável por aplicar uma transformação linear nos dados, gerando a saída da rede

(HAYKIN, 2009).

A Figura 2.11 mostra a arquitetura de uma RBF:

Figura 2.11. Arquitetura de uma RBF com uma única camada oculta

As variáveis x1, x2, ..., xn são os dados de entrada, 𝜙1, 𝜙2, … , 𝜙𝑖 as funções de base e

w1, w2, ..,wi os parâmetros do modelo e na saída da rede uma função estimada 𝑓(𝒘, 𝐱).

Em rede de funções de base radial, aprender é encontrar uma superfície em um espaço

multidimensional, que forneça o melhor ajuste para os dados de treinamento.

Correspondentemente, generalizar os dados é fazer uso dessas superfícies multidimensionais


20


para interpolar os dados, onde a camada oculta fornece um conjunto de funções que constituem

uma base arbitrária para os padrões de entrada.

Uma função de base radial bastante utilizada na teoria de aproximação de funções é a

função gaussiana (Figura 2.12):

Figura 2.12. Função gaussiana

E expressa pela Equação (2.8):

∅(𝑟) = 𝑔(𝑟) = exp(−𝑟2

2𝜎2)

(2.8)

Na função o 𝑟2 define a norma euclidiana e o parâmetro 𝜎 define a largura da função

gaussiana, ou seja, define a distância euclidiana média que mede o espalhamento dos dados de

entrada em torno do seu centro c (HAYKIN, 2001).

Essas redes realizam um mapeamento não linear dos dados de entrada para um espaço

oculto (camada oculta) de alta dimensionalidade, posteriormente um mapeamento linear do

espaço oculto para a saída da rede (HAYKIN, 2001).

Uma RBF pode aproximar qualquer função através da combinação linear de funções

gaussianas com centros em diferentes pontos escolhidos aleatoriamente do espaço de entrada

conforme podemos observar na Figura 2.13, no exemplo apresentando três funções de base

radial (em azul) que são ponderadas em amplitude pelos pesos sinápticos e em seguidas

somadas para produzir na saída uma função aproximada (em vermelho).

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Função de Base Radial

Entrada p

Saíd

a a


21


Figura 2.13. Soma ponderada de funções de base radial do tipo gaussiana.

As redes de funções de base radial surgiram de um problema de interpolação exata.

A partir de um conjunto de dados para treinamento, necessita-se estimar uma função 𝑓

o mais próxima possível da função objetivo utilizando uma rede RBF.

Considerando um modelo de regressão linear para aproximar uma função f através de:

𝑓(. ) ≅ 𝑓(𝐱,𝐰) = 𝑤0 + 𝑤1𝑥1 +⋯+𝑤𝑛𝑥𝑛

(2.9)

Em que 𝑓 representa a função aproximada, 𝒙 = [𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛]𝑇 o vetor de entrada e 𝒘 =

[𝑤1, ⋯ ,𝑤𝑛]𝑇 o vetor de parâmetros do modelo. Podemos observar a partir desse que o fato do

mesmo ser linear para as variáveis de entrada impõe certa restrição ao modelo (o sistema de

multitanques é não linear).

Com a obtenção do vetor de treinamento a rede está apta para realizar testes onde sua

saída será comparada com a saída real do sistema para ser analisada o quanto essa saída

estimada se aproxima das características do sistema real. A Figura 2.14, ilustra como esse

processo de identificação utilizando uma RBF será realizado.


22


Figura 2.14. Estrutura implementada para identificação utilizando rede RBF

Na figura acima pode-se observar que a planta ao ser excitada por um sinal u(t) produz

uma saída y(t) em função da entrada. Esse mesmo sinal utilizado para excitar a planta será

aplicado na técnica de identificação que também irá produzir uma saída y em função do sinal

de entrada aplicado. Essa saída estimada pela RBF será comparada com a saída real do sistema.

A diferença das saídas gera um erro o qual deve ser o menor possível. O erro obtido é utilizado

para reajustar os parâmetros da rede e dessa forma com os parâmetros ajustados, o que significa

que, quanto menor o erro da rede RBF, um modelo mais próximo possível do sistema real é

obtido.

Capítulo 3

Estado da Arte

Capítulo 3 – Estado da Arte

24


3. Estado da Arte

Existem diversos estudos relacionados à identificação de sistemas não lineares em

engenharia, principalmente na área petrolífera. A literatura aponta várias pesquisas quanto à

utilização de redes neurais artificias e outros sistemas inteligentes em aplicações vinculadas a

identificação de sistemas.

Uma das principais citações sobre a identificação de sistemas não lineares, no caso

específico dos modelos de Hammerstein, foi atribuída a Narendra e Gallman em 1966. Uma

boa abordagem dos modelos de Volterra, Wiener e Hammerstein aplicados à identificação de

sistemas podem ser encontradas em Billings, 1980.

Recentemente o uso de modelos de Hammerstein e Wiener têm atraído a atenção de

vários pesquisadores (Greblicki, 1992, 1996; Wigren, 1993; Pawlwk, 1994). Em 1993, Wigren

desenvolveu um algoritmo para a estimação recursiva de modelos Wiener.

Tan et al., (1995) utilizaram uma estrutura de RBF (Radial Basis Function) com

algoritmos k-médias e LMS, para identificação de um sistema não linear, multivariável (MIMO

(Multi Inputs Multi Outputs) e BIBO (Bounded Input Bounded Output) com um modelo ARMA

(Autoregressive Moving Average Model Structure).

Yu et al., (2000) realizaram a identificação de um sistema MIMO (Multiple Inputs,

Multiple Outputs) e MISO (Multi Inputs and Single Outputs) utilizando a RBF com algoritmos

k-médias e OLS (Orthogonal Least Square) com modelos NARX (Non-linear Autoregressive

model structure with exogenous inputs), NARMAX (Non-linear Autoregressive Moving

Average model structure with exogenous inputs) e ARX (Autoregressive model structure with

exogenous inputs).

Em 2001, Ljung, propôs estruturas de redes de Walvelets, RBF, B-spline e Fuzzy para a

identificação de um modelo MIMO do tipo caixa preta, sendo estes modelos um linear ARMAX

(Autoregressive Moving Average model structure with exogenous inputs), e de espaço de

estados ARX, OE (Output Error model), e BJ (Box-Jenkins model structure).

Uma rede neural RBF, com algoritmo de treinamento o método dos mínimos quadrados

ortogonais, foi utilizada na identificação de falhas em uma linha de transmissão elétrica. Nesse

estudo Lin et al. (2001) aborda o uso da RBF em simulações que demonstraram resultados

satisfatórios com a rede de convergência rápida e capaz de detectar falhas em um curto espaço

de tempo podendo ser usada, em alguns casos, em tempo real.


25


Em 2002, uma comparação do desempenho entre as redes neurais MLP (Multi Layer

Perceptron) e RBF foi realizada por Park et al. As redes foram utilizadas na identificação de

um sistema dinâmico não linear e os experimentos demonstraram que a RBF converge mais

rápido e necessita de menos memória que a MLP.

Peng et al. (2003), utilizaram a estrutura da RBF com os algoritmos LM (Levenberg-

Marquardt), LMS (Least Mean Square), BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno),

McLoone e GN (Gauss-Newton) para a identificação de um sistema não linear utilizando

modelos AR (Auto Regressive) e ARX para um sistema de decomposição de óxido de nitrogênio

de uma planta química.

Dudul (2004) utilizou uma estrutura da MLP e RBF na identificação do sistema caótico

de Lorenz, com os algoritmos LM, método de quase-Newton, BP (Back Propagation) e

Lyapunov, utilizando modelos AR, ARMA, FIR (Finite Impulse Response), ARX, NNARX

(Neural Network Autoregressive) e NNARMA (Neural Network Autoregressive moving

Average).

Também em 2004 Mashor, utilizou estruturas HMLP (Hybrid Multilayered

Perceptron), MLP e RBF com os algoritmos BP, k-médias adaptativo para a identificação não

linear de um modelo NARMAX na aplicação de dois sistemas não lineares.

Em 2007 Linhares et al; apresentaram a aplicação de redes neurais artificiais de

múltiplas camadas na indústria de processos químicos. O sistema identificado foi uma coluna

debutanizadora de GLP (gás liquefeito), que tem a função de separar o GLP da gasolina natural.

A estrutura de identificação utilizada no processo foi uma NNARX. Os resultados obtidos

comprovaram a funcionalidade da técnica aplicada.

Rêgo (2010) descreveu a utilização de uma ferramenta matemática na solução de

problemas decorrentes na teoria de controle, incluindo a identificação, a análise do retrato de

fase e a estabilidade, bem como a evolução temporal da planta de corrente do motor de indução.

A ferramenta computacional utilizada na identificação e análise do sistema dinâmico não linear,

foi uma rede neural artificial do tipo funções de base radial (RBF).

Rebouças (2011) utilizou redes neurais artificiais treinadas em modo offline pelo

software matemático Matlab®, para detecção e diagnóstico de falhas de um sistema de tanques

acoplados em que o conjunto de dados das falhas foi gerado computacionalmente, bem como

os resultados coletados a partir de simulações numéricas do modelo do processo, não havendo

risco de dano aos equipamentos.


26


Diversos tipos de redes neurais artificiais são utilizadas em identificação de sistemas,

uma rede que tem se destacado bastante nesse processo é a rede neural Wavelet (Wavelet Neural

Network - WNN). Em 2013 Araújo Júnior realizou a identificação de um sistema não linear

simulado que representa o mecanismo dinâmico de um joelho humano utilizando redes neurais

Wavelet. Tal sistema possui não linearidades bastante acentuadas. Os resultados obtidos com a

WNN foram comparados com resultados obtidos através de uma rede neural clássica, redes

MLP e tais resultados mostraram que a WNN apresentou um desempenho satisfatório e um erro

médio quadrático menor que o obtido pela MLP.

Em 2014, Araújo Júnior, utilizou uma rede neural Wavelet modificada para a

identificação de dois sistemas simulados encontrados na literatura e um sistema real não linear,

que consiste de um tanque de multisseções.

É possível encontrar na literatura diversos trabalhos que aplicam as redes RBF na

identificação de sistemas, como em Folland (2004), que na identificação de sons da respiração

humana realizou uma comparação entre as redes CPNN (Constructive Probabilistic Neural

Network) e RBF. Em Yates (2005) que utilizou a RBF na identificação de sistemas de uma

colônia de bactérias. Rocha (2006), abordando a identificação de sistemas não lineares usando

redes neurais MLP e RBF. Panigrahi (2006) utilizou uma rede RBF integrada com um sistema

de ruído para identificação spoiled beef.

As pesquisas utilizando RNA’S são de grande interesse e têm sido bastante utilizadas

para identificação de sistemas de qualquer complexidade e tipo. Dentre os inúmeros tipos de

RNA’s, as redes de funções de base radial têm se destacado na identificação de sistemas. Muitas

são as aplicações utilizando as redes neurais bem como inúmeros algoritmos são desenvolvidos

ou melhorados de acordo com cada aplicação.

Neste trabalho a rede neural do tipo RBF será utilizada na identificação de um sistema

dinâmico multivariável, o processo de cinco tanques acoplados, tendo como algoritmo de

treinamento o método dos mínimos quadrados.

Capítulo 4

Metodologia

Capítulo 4 – Metodologia

28


4. Metodologia

Identificando uma relação entre entrada / saída de um sistema ou descobrindo uma lei

evolucionária de um sinal baseado em observações, e aplicando-a na construção de modelos

matemáticos para predição, controle ou extração de informações constitui um problema que

vem chamando a atenção na Engenharia e ganhando importância em diversas áreas, tais como:

Economia, Biologia, Medicina e muitas outras áreas do conhecimento. Nos últimos anos,

pesquisas relacionadas aparecem com diferentes termos, tal como análise de séries temporais,

processamento de sinais e identificação de sistemas.

A identificação de sistemas é uma técnica que pode ser utilizada para inferir e construir

modelos para um sistema a partir de dados experimentais. Os sistemas podem ser lineares ou

não lineares, variantes ou invariantes, contínuos ou discretos no tempo, etc. E podem ser

classificados baseados nestas categorias. Dentre tais modelos temos alguns que são utilizados

para descrever os sistemas lineares, tais como: AR – Autoregressivo, ARMA – Autoregressivo

com Média Móvel, ARX – Autoregressivo com Entradas Externas e, ARMAX – Modelo

Autoregressivo com Média Móvel e Entradas Externas, esses modelos são comumente

utilizados na identificação de sistemas lineares (Aguirre,2007). Para modelos não lineares

adota-se o NARMAX – Modelo Não linear Autoregressivo com Média Móvel e Entradas

Externas, onde os modelos NAR e NARX não lineares são um caso particular, tais modelos são

os mais populares em identificação de sistemas no domínio de tempo discreto.

4.1 – Representações lineares

Existem inúmeras técnicas de identificação de tais sistemas conforme pode ser visto

em Box e Jenkins, 1970; Norton, 1986; Södeströn e Stoica, 1989; Johansson,1993. Seguindo a

notação tradicional adotada por (Södeströn e Stoica, 1989), temos o modelo geral para sistemas

lineares de ordem finita dado por:

𝐴(𝑧−1)𝑦(𝑘) =𝐵(𝑧−1)

𝐹(𝑧−1)𝑢(𝑘) +

𝐶(𝑧−1)

𝐷(𝑧−1)𝜀(𝑘)

(4.1)


29


em que

𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑎1𝑧−1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑎𝑧

−𝑛𝑎

𝐵(𝑧−1) = 𝑏1𝑧−1 +⋯+ 𝑏𝑛𝑏𝑧

−𝑛𝑏

𝐶(𝑧−1) = 1 + 𝑐1𝑧−1 +⋯+ 𝑐𝑛𝑐𝑧

−𝑛𝑐

𝐷(𝑧−1) = 1 + 𝑑1𝑧−1 +⋯+ 𝑑𝑛𝑑𝑧

−𝑛𝑑

𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1 +⋯+ 𝑓𝑛𝑓𝑧

−𝑛𝑓

(4.2)

{𝑦(𝑘)} e {𝑢(𝑘)}, (𝑘 = 1,2, … ) são a saída e entrada, respectivamente; 𝑛𝑎, 𝑛𝑏 , 𝑛𝑐, 𝑛𝑑 , 𝑛𝑒 𝑒 𝑛𝑓

indicam a ordem polinomial, geralmente referidas como a ordem do modelo; {𝜀(𝑘)} é o ruído

e geralmente assumido como sendo independente com média nula e variância finita. O símbolo

𝑧−1 denota o operador atraso unitário. Ex: 𝑧−1𝑥(𝑘) = 𝑥(𝑘 − 1). Na Equação (4.1), se

𝐴(𝑧−1) = 1, 𝐹(𝑧−1) = 1 𝑒 𝐶(𝑧−1) = 0, considerando 𝑛𝑎 = 𝑛𝑦, 𝑒 𝑛𝑏 = 𝑛𝑢 podemos escrever

alguns modelos dinâmicos, entre eles o denominado de modelo FIR – Resposta Finita ao

Impulso. Ou seja,

𝑦(𝑘) = 𝑏1𝑢(𝑘 − 1) + 𝑏2𝑢(𝑘 − 2) + ⋯+ 𝑏𝑛𝑢𝑢(𝑘 − 𝑛𝑢) (4.3)

sendo a saída uma combinação linear das entradas defasadas em 𝑛𝑢 amostras no tempo discreto.

4.1.1- Modelo AR

Se 𝐵(𝑧−1) = 0, 𝐶(𝑧−1) = 𝐷(𝑧−1) = 1, o modelo da Equação (4.1) é denominado de

modelo Autoregressivo.

𝑦(𝑘) + 𝑎1𝑦(𝑘 − 1) + 𝑎2𝑦(𝑘 − 2) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑦𝑦(𝑘 − 𝑛𝑦) = 𝜀(𝑘) (4.4)

O modelo autoregressivo especifica que a variável de saída depende linearmente de seus

próprios valores anteriores.


30


4.1.2 - Autoregressivo com média móvel

Fazendo 𝐵(𝑧−1) = 0, 𝐷(𝑧−1) = 1, na Equação (4.1) teremos o modelo ARMA,

𝑦(𝑘) + 𝑎1𝑦(𝑘 − 1) +⋯+ 𝑎𝑛𝑦𝑦(𝑘 − 𝑛𝑦)

= 𝜀(𝑘) + 𝑐1𝜀(𝑘 − 1) + ⋯+ 𝑐𝑛𝑐𝜀(𝑘 − 𝑛𝑐)

(4.5)

O modelo ARMA é formado de duas partes, uma parte autoregressiva (AR) e outra de média

móvel (MA).

4.1.3 – Autoregressivo com Entradas Externas

Admitindo 𝐶(𝑧−1) = 𝐷(𝑧−1) = 𝐹(𝑧−1) = 1, na Equação (4.1) teremos o modelo

ARX,

𝑦(𝑘) + 𝑎1𝑦(𝑘 − 1) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑦𝑦(𝑘 − 𝑛𝑦)

= 𝑏1𝑢(𝑘 − 1) + ⋯+ 𝑏𝑛𝑢𝑢(𝑘 − 𝑛𝑢) + 𝜀(𝑘)

(4.5)

Onde 𝑛𝑢 𝑒 𝑛𝑦 são os valores inteiros que descrevem o número de exemplos anteriores dos sinais

𝑢 e 𝑦 que são necessários para predizer a próxima saída.

4.1.4 – Modelo Autoregressivo com Média Móvel e Entradas Externas

Admitindo-se que na Equação (5.1) 𝐷(𝑧−1) = 𝐹(𝑧−1) = 1, temos então o modelo

ARMAX, dado por,

𝑦(𝑘) + 𝑎1𝑦(𝑘 − 1) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑦𝑦(𝑘 − 𝑛𝑦)

= 𝑏1𝑢(𝑘 − 1) + ⋯+ 𝑏𝑛𝑢𝑢(𝑘 − 𝑛𝑢)

+𝜀(𝑘) + 𝑐1𝜀(𝑘 − 1) + ⋯+ 𝑐𝑛𝑐𝜀(𝑘 − 𝑛𝑐)

(4.6)

Geralmente os modelos mais utilizados para estimação de parâmetros em modelos lineares são

os modelos ARX e ARMAX, utilizando o método dos mínimos quadrados.


31


Sejam {𝑦(𝑘), 𝑢(𝑘), 𝑘 = 1,2, … , 𝑁} as amostras observadas do sistema, ou seja, o par saída /

entrada. Supondo que o modelo em questão seja do tipo ARX, então podemos estimar os

parâmetros utilizando o algoritmo baseado nos mínimos quadrados. Seja 𝑚 = 1 +

max(𝑛𝑢, 𝑛𝑦), e

𝒀 = [𝑦(𝑚), 𝑦(𝑚 + 1),… , 𝑦(𝑁) ]𝑇

𝜺 = [𝜀(𝑚), 𝜀(𝑚 + 1),… , 𝜀(𝑁) ]𝑇

𝜽 = [𝑎1 , 𝑎2, … , 𝑎𝑛𝑦, 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛𝑢 ]𝑇

𝑿

=

[ −𝑦(𝑚 − 1) −𝑦(𝑚 − 2) ⋯−𝑦(𝑚) −𝑦(𝑚 − 1) ⋯

−𝑦(𝑚 + 1) −𝑦(𝑚) ⋯

−𝑦(𝑚 − 𝑛𝑦) 𝑢(𝑚 − 1) ⋯ 𝑢(𝑚 − 𝑛𝑢)

−𝑦(𝑚 + 1 − 𝑛𝑦) 𝑢(𝑚) ⋯ 𝑢(𝑚 + 1 − 𝑛𝑢)

−𝑦(𝑚 + 2 − 𝑛𝑦) 𝑢(𝑚 + 1) ⋯ 𝑢(𝑚 + 2 − 𝑛𝑢)⋯ ⋯ ⋯

−𝑦(𝑁 − 2) −𝑦(𝑁 − 3) ⋯−𝑦(𝑁 − 1) −𝑦(𝑁 − 2) ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

−𝑦(𝑁 − 1 − 𝑛𝑦) 𝑢(𝑁 − 2) ⋯ 𝑢(𝑁 − 1 − 𝑛𝑢)

−𝑦(𝑁 − 𝑛𝑦) 𝑢(𝑁 − 1) ⋯ 𝑢(𝑁 − 𝑛𝑢) ]

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

De modo que o modelo ARX da Equação (4.5) pode ser escrito em sua forma matricial,

𝒀 = 𝑿𝜽 + 𝜺 (4.11)

Cuja solução para o vetor de parâmetros desconhecidos 𝜽 é dada por:

�� = (𝑿𝑇𝑿)−1𝑿𝑇𝒀 (4.12)

No contexto de sistemas dinâmicos, as variáveis presente na matriz de regressores 𝑿

serão escolhidas de forma que haja uma relação dinâmica e iterativa entre tais variáveis e a

saída do sistema. Nos sistemas de tempo discreto a dinâmica se dá devido à diferença temporal

existente entre os regressores e a variável de saída. Desta forma, podemos reescrever a Equação

(4.12) como (Aguirre, 2007),

�� = [1

𝑁∑𝑋(𝑘 − 1)𝑋𝑇(𝑘 − 1)

𝑁

𝑘=1

]

−1

[1

𝑁∑𝑋(𝑘 − 1)𝑦(𝑘)

𝑁

𝑘=1

]

(4.13)

A estimação de um modelo ARMAX requer um procedimento iterativo tal como o algoritmo

dos mínimos quadrados generalizado e pode ser visto em detalhes em Södeströn & Stoica, 1989.


32


4.2 – Representações não lineares

Sistemas não lineares são sistemas cuja saída é uma função não linear de sua entrada,

para a classe de sistemas multivariáveis dinâmicos não lineares, descrito na seguinte figura,

Figura 4.1. Diagrama em blocos de um sistema dinâmico não linear

A relação entrada / saída pode ser escrita como

𝑦(𝑘) = 𝑓𝑠[𝑦(𝑘 − 1),⋯ , 𝑦(𝑘 − 𝑛𝑦), 𝑢(𝑘 − 𝑑), 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 1),… , 𝑢(𝑘 − 𝑑

− 𝑛𝑢), 𝑒(𝑘 − 1),… , 𝑒(𝑘 − 𝑛𝑒)] + 𝑒(𝑘)

(4.14)

Onde

𝒚(𝒌) = [𝑦1(𝑘)⋮

𝑦𝑚(𝑘)] , 𝒖(𝒌) = [

𝑢1(𝑘)⋮

𝑢𝑟(𝑘)] , 𝒆(𝒌) = [

𝑒1(𝑘)⋮

𝑒𝑚(𝑘)]

(4.15)

São a saída m-dimensional do sistema, a entrada r-dimensional e o vetor ruído m-

dimensional, respectivamente; 𝑛𝑦, 𝑛𝑢 e 𝑛𝑒 são os atrasos máximo na saída, entrada e ruído,

respectivamente; 𝑓𝑠 é algum vetor m-dimensional de funções não lineares, e 𝑑 é o atraso de

tempo, geralmente definido como sendo unitário. Essa representação é descrita na literatura

como sendo modelo NARMAX (Leontaritis e Billings,1985; Chen e Billings; 1989).

Os modelos NARMAX provêm uma base geral para o desenvolvimento de técnicas

não lineares de identificação de sistemas. Um caso especial do modelo NARMAX é o NARX


33


que não inclui os termos do ruído dependente do modelo. Em outras palavras, o modelo NARX

pode ser explicitado através da seguinte formulação,

𝑦(𝑘) = 𝑓𝑠[𝑦(𝑘 − 1),⋯ , 𝑦(𝑘 − 𝑛𝑦), 𝑢(𝑘 − 𝑑), 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 1),… , 𝑢(𝑘 − 𝑑

− 𝑛𝑢)] + 𝑒(𝑘)

(4.16)

sendo o ruído 𝑒(𝑘) uma variável independente.

Nos modelos apresentados, a forma funcional de 𝑓𝑠(. ) para um sistema real é

geralmente muito complexa e desconhecida. Algumas modelagens práticas são baseadas na

escolha de um conjunto de funções conhecidas. Obviamente, tais modelos devem ser capazes

de aproximar o processo dentro de uma acuracidade aceitável. Na prática muitos tipos de

modelos são avaliados para aproximar o mapeamento desconhecido 𝑓𝑠(. ) nas Equações (4.14)

e (4.16), dentre tais modelos podemos citar as redes neurais do tipo funções de base radial.

4.3 - Redes Neurais do tipo RBF em modelagem não linear

A teoria de aproximação de funções consiste em aproximar uma função multivariável

𝑦(. ) por uma função estimada 𝑓(𝒘, 𝒙), dado um número fixo de parâmetros w , onde wx e

são vetores. Dois importantes aspectos devem ser considerados na definição do modelo: a

função (.)f e o vetor de parâmetros w . Havendo a escolha de uma função estimada específica

f , o problema é reduzido à determinação do vetor de parâmetros w que oferecem a melhor

aproximação da função a ser modelada (.)y a partir dos parâmetros de entrada. A identificação

de sistemas utilizando RBF consiste em aproximar uma função desconhecida através da

combinação linear de função não lineares, conhecidas como função de base, a partir de um

conjunto de entradas / saída desejada. (Bishop, 2006).

Em modelagem e identificação de sistemas dinâmicos não lineares, o foco é na busca

e aquisição de modelos a partir de dados experimentais que represente a dinâmica do sistema

ou, o comportamento em torno de uma região de interesse (local ou global). Ou seja, o objetivo

é a implementação de redes neurais que simulem dinamicamente o comportamento do sistema.

A estrutura básica de uma rede neural é ilustrada na Figura 4.2, onde 𝑦(𝑘), 𝑢(𝑘), 𝑒(𝑘), 𝑛𝑦 e 𝑛𝑢

são definidas na Equação 4.14, 𝜑𝑖(∙), 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 na camada oculta são funções não lineares

pré-definidas, denominadas de funções de ativação. O modelo algumas vezes é denominado de


34


rede neural recorrente NARX, e pode ser vista como uma representação alternativa do modelo

NARX da equação 4.16.

Figura 4.2. Rede neural NARX para um sistema SISO.

Matematicamente, a rede neural recorrente NARX vista na figura 4.2 é representada

por,

𝑦(𝑘) = 𝑓𝑠[𝑿(𝑘)] = 𝑤0 +∑𝑤𝑖𝜑𝑖(𝑿(𝑘)) + 𝑒(𝑘)

𝑚

𝑖=1

(4.17)

em que 𝑿(𝑘) = [𝑥1(𝑘), 𝑥2(𝑘),… , 𝑥𝑛(𝑘)]𝑇 , com 𝑥𝑗(𝑘), 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 como em 4.10, 𝑒(𝑘)

representa o erro de modelagem, e a função de ativação 𝜑𝑖(∙), 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 é usualmente pré-

definida. Observa-se que a rede é uma estrutura simples e composta por um conjunto de funções

de ativação não lineares.

Redes neurais de funções de base radial foram apresentadas por Broomhead e Lowe

em 1988 e se tornaram muito popular na identificação de sistemas não lineares (Billings et al.,

1992; Haykin, 1998).

O problema basicamente consiste em que dada uma sequência de entradas 𝒖(𝑘) e a

saída correspondente 𝒚(𝑘) de um sistema discreto não linear desconhecido, a seguinte estrutura

consiga identificar / modelar o sistema desconhecido (Powell, 1987).


35


𝒚(𝑘) = 𝑓𝑠[𝑿(𝑘)] =∑𝑤𝑖𝜙(‖𝒙(𝑘) − 𝒄(𝑖)‖)

𝑚

𝑖=1

(4.18)

em que 𝑿(𝑘) = [𝑥1(𝑘), 𝑥2(𝑘),… , 𝑥𝑛(𝑘)]𝑇 , 𝑘 = 1,2, … ,𝑁, representa a matriz regressora,

𝜙(‖𝒙(𝑘) − 𝒄(𝑖)‖) uma função conhecida por função de base radial, o símbolo ‖∙‖ denota a

norma euclidiana e 𝑤𝑖 os pesos sinápticos (geralmente desconhecidos).

Analisando a equação (4.18), podemos montar o seguinte sistema de n equações:

𝑓1 = 𝑤1𝑒𝑥𝑝 [−𝒙1 − 𝒄12𝜎2

] + ⋯+ 𝑤𝑛𝑒𝑥𝑝 [−𝒙1 − 𝒄𝑛2𝜎2

]

𝑓2 = 𝑤1𝑒𝑥𝑝 [−𝒙2 − 𝒄12𝜎2

] + ⋯+ 𝑤𝑛𝑒𝑥𝑝 [−𝒙2 − 𝒄𝑛2𝜎2

]

⋮

𝑓𝑛 = 𝑤1𝑒𝑥𝑝 [−𝒙𝑛 − 𝒄12𝜎2

] + ⋯+ 𝑤𝑛𝑒𝑥𝑝 [−𝒙𝑛 − 𝒄𝑛2𝜎2

]

(4.19)

em que 𝒄 = [𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛]𝑇 representa o vetor de centros escolhidos a partir do conjunto de

treinamento, a equações podem ser escritas de forma simplificada como:

{

𝜙11𝑤1 + 𝜙12𝑤2 +⋯+ 𝜙1𝑛𝑤𝑛 = 𝑓1𝜙21𝑤1 + 𝜙22𝑤2 +⋯+ 𝜙2𝑛𝑤𝑛 = 𝑓2

⋮𝜙𝑛1𝑤1 + 𝜙𝑛2𝑤2 +⋯+ 𝜙𝑛𝑛𝑤𝑛 = 𝑓𝑛

(4.20)

sendo 𝜙 i,j = 1, ..., n as funções de base radial do tipo gaussianas, 𝑤𝑖 os parâmetros do modelo,

as equações podem ser escritas na forma matricial como:

[ 𝑓1𝑓2⋮𝑓𝑛]

=

[ 𝜙11 = 𝑒𝑥𝑝 [−

𝒙1 − 𝒄12𝜎2

] ⋯ 𝜙1𝑛 = 𝑒𝑥𝑝 [−𝒙1 − 𝒄𝑛2𝜎2

]

⋮ ⋮ ⋮

𝜙𝑛1 = 𝑒𝑥𝑝 [−𝒙𝑛 − 𝒄12𝜎2

] ⋯ 𝜙𝑛𝑛 = 𝑒𝑥𝑝 [−𝒙𝑛 − 𝒄𝑛2𝜎2

]]

[

𝑤1𝑤2⋮𝑤𝑛

]


36


ou seja:

[ 𝑓1𝑓2⋮𝑓𝑛]

= [

𝜙11 𝜙12 ⋯ 𝜙1𝑛𝜙21 𝜙22 ⋯ 𝜙2𝑛⋮𝜙𝑛1

⋮𝜙𝑛2

⋱⋯

⋮𝜙𝑛𝑛

] [

𝑤1𝑤2⋮𝑤𝑛

]

(4.21)

Na forma compacta, teremos:

�� = 𝝓.𝒘 (4.22)

em que a matriz do sistema 𝝓 possui entradas 𝜙𝑖𝑗 e 𝒘 representa o vetor de parâmetros

(coeficientes) desconhecidos definido por,

𝒘 =1

𝜆(𝒚 − ��) (4.23)

Substituindo a Equação (4.22) na (4.23),com 𝒚 o vetor dos valores desejados, temos:

𝒘 =1

𝜆(𝒚 − 𝝓.𝒘)

𝒘+1

𝜆 𝝓.𝒘 =

1

𝜆𝒚

( 𝝓 + 𝜆𝑰)𝒘 = 𝒚

(4.24)

Em muitos casos de identificação de sistemas a matriz do sistema é não quadrada, ou

seja, o número de vetores linhas é diferente do número de vetores colunas, inviabilizando a

simples solução através da inversão da matriz. Nesse caso, se faz necessário o uso da pseudo

inversa. Ou seja:

𝝓+𝒇 = 𝒘 (4.25)

onde 𝝓+ = ( 𝝓𝑇 𝝓)−1 𝝓𝑇 representa a pseudo inversa da matriz 𝝓.

Se necessário utilizaremos o parâmetro para evitar que a matriz 𝝓 seja mal

condicionada, ou seja, apresenta algum determinante seja igual a zero, dessa forma podemos

reescrever a pseudo inversa como:

𝝓+ = ( 𝝓𝑇 𝝓 + 𝜆𝑰)−1 𝝓𝑇 (4.26)


37


ou:

𝒘 = 𝝓+𝒇 para 𝜆 = 0 (4.27)

Dessa forma, conseguimos encontrar o vetor de parâmetros desconhecidos necessários ao ajuste

do modelo. Ou seja, A grande vantagem da RBF é que possui apenas uma camada oculta, o que

facilita o treinamento.

Assumindo um conjunto de dados para treinamento, necessitamos estimar a função 𝑓

como a mais próxima possível da função objetivo (desejada) y utilizando uma rede RBF.

Existem diferentes estratégias para treinamento de uma rede RBF, utilizaremos a técnica de

escolha fixa dos centros e treinamento através do método de mínimos quadrados (pseudo

inversa). Assumimos as funções radial de base como sendo gaussianas, bem como a localização

dos centros é feita de forma aleatória a partir do conjunto de treinamento. A largura das

gaussianas é dada através da seguinte relação:

𝜎 =𝑑

√2𝑛𝑐 (4.28)

em que: d é a máxima distância entre os centros escolhidos e nc o número de centros (Haykin,

2009).

4.4 - Sistema de tanques acoplados

O trabalho desenvolvido nessa dissertação foi realizado através de simulações

computacionais no sistema sOPC_110913 composto por um software de simulação de um

sistema de cinco tanques acoplados (desenvolvido no LAUT – Laboratório de Automação em

Petróleo). Na planta o nível é controlado através da vazão de entrada de outro tanque. O módulo

de simulação dos cinco tanques acoplados é mostrado na figura 4.1. O módulo é composto de

uma interface gráfica (GUI) desenvolvida no ambiente de simulação Simulink / Matlab cuja

planta consiste de cinco bombas alimentadas através de um controlador e cinco tanques de

seções transversais uniformes, perturbações são acrescentadas ao modelo durante a simulação.

A planta constitui um sistema autônomo e fechado de recirculação. Os tanques estão

configurados de tal modo que o fluxo a partir do primeiro tanque (superior) pode fluir para

dentro do segundo tanque (inferior) e assim sucessivamente. Em cada um dos tanques, o líquido

é retirado do fundo através de uma saída (orifício). A pressão de saída é atmosférica. Ambas as

inserções de saída são configuráveis e pode ser ajustado alterando as inserções na parte inferior


38


de cada reservatório. A fim de introduzir um fluxo de perturbação, o primeiro tanque é

igualmente equipado com uma válvula de drenagem de modo que, quando aberto, o fluxo pode

ser liberado diretamente para o reservatório. Para fins de configurações didáticas os orifícios

ou enseadas, podem possuir diferentes diâmetros.

A seleção das saídas da bomba controla a relação de fluxo. O nível em cada tanque é

medido e apresentado na área de trabalho, sendo, a escala vertical do nível dada em centímetros

e, é colocado ao lado de cada tanque um “feedback” visual sobre o nível em cada tanque. Tal

como ilustrado na Figura 4.4.1, o objetivo inicial da simulação é projetar um sistema de controle

que regula o nível no sistema de multitanques acoplados. O controlador pode, em seguida,

monitorar o nível do líquido para uma trajetória desejada. Neste trabalho, utilizamos como base

o sistema apenas para obtermos o conjunto de dados necessário ao treinamento e teste da RBF.

Na simulação, fornecemos uma tensão suficiente às bombas para que possamos manter a

dinâmica em cada tanque de modo a não comprometer a dinâmica do sistema, cuja

identificação é o principal objetivo.

Figura 4.3. Sistema de tanques acoplados implementado no simulink®.


39


Por meio do modelo não linear da planta apresentado na Figura 4.3, podemos realizar

simulações, que serão mostradas, para justificar a metodologia proposta, objetivando a

identificação do sistema. Diversos parâmetros de simulação do sistema são carregados no

momento em que o modelo é aberto, eles envolvem tempo de simulação, parâmetros físicos da

planta, características do ruído presente no meio, dentre outros, conforme pode ser visto na

seguinte figura.

Figura 4.4. Modelo do sistema de tanques acoplados implementado no simulink®.

Na simulação adotaremos o modelo apresentado, no entanto, utilizaremos apenas a

planta, cuja identificação é o principal objetivo desse trabalho. Os parâmetros completos de

modelagem e sistema matemático serão apresentados.

4.5 - Modelagem Matemática

Considerando apenas o primeiro tanque do sistema conforme mostrado na Figura 4.1,

podemos considerar o fluxo de entrada do tanque (em 𝑐𝑚3/𝑠) como:

𝐹𝑖𝑛1 = 𝑘𝑚1𝑉𝑏1 (4.29)

em que 𝑘𝑚1 representa a constante da bomba 01 e 𝑉𝑏1 a voltagem aplicada à mesma. A

velocidade do fluxo de saída (em 𝑐𝑚/𝑠) é dada pela equação de Bernoulli para pequenos

orifícios:


40


𝑉0 = √2𝑔𝐿1 (4.30)

Sendo 𝑔 a aceleração da gravidade em 𝑐𝑚/𝑠2 e 𝐿1 é a altura do nível presente no tanque (em

𝑐𝑚). O escoamento na saída (em 𝑐𝑚3/𝑠) é dado por:

𝐹𝑜𝑢𝑡1 = 𝑎1√2𝑔𝐿1 (4.31)

em que 𝑎1 representa o diâmetro do orifício de saída. De modo que a variação no fluxo através

do tanque (em 𝑐𝑚3/𝑠) é:

𝐹𝑖𝑛1 − 𝐹𝑜𝑢𝑡1 = 𝑘𝑚1𝑉𝑏1 − 𝑎1√2𝑔𝐿1 (4.32)

e a mudança no nível (em 𝑐𝑚/𝑠),

𝑑𝐿1𝑑𝑡

= −𝑎1𝐴1√2𝑔𝐿1 +

𝑘𝑚1𝐴1

𝑉𝑏1 (4.33)

De modo que 𝑑𝐿1

𝑑𝑡 significa a variação de volume no tempo, 𝐴1 representa o diâmetro

do tanque, desse modo podemos concluir que o sistema é não linear, pois a variação na saída

do tanque depende da raiz quadrada das alturas do líquido. No entanto, para um dado nível 𝐿01

(set point), precisamos manter a voltagem aplicada à bomba constante de modo a manter o nível

estacionário. Um integrador é acrescentado ao modelo e ao circuito de regulação para

compensar a constante (relativa) à perturbação devido ao orifício de saída. Dessa forma,

linearizando o modelo em torno de um ponto de operação 𝐿01, temos a seguinte equação de

estado para o primeiro tanque:

��1 = −𝑎1𝐴1√

𝑔

2𝐿01𝐿1 +

𝑘𝑚1𝐴1

𝑉𝑏1

(4.34)

Para o segundo tanque acoplado, o fluxo de entrada é dado a partir do primeiro tanque e da

bomba 02, de modo que,

𝐹𝑖𝑛1 = 𝑘𝑚2𝑉𝑏2 + 𝑎1√2𝑔𝐿1 (4.35)

e o fluxo de saída é,

𝐹𝑜𝑢𝑡2 = 𝑎2√2𝑔𝐿2 (4.36)

em que 𝑎2 representa o diâmetro do orifício de saída do segundo tanque. Então, a variação do

nível no segundo tanque pode ser escrita como:


41


𝑑𝐿2𝑑𝑡⁄ = −

𝑎2𝐴2√2𝑔𝐿2 +

𝑘𝑚2𝐴2

𝑉𝑏2 +𝑎1𝐴2√2𝑔𝐿1

(4.37)

em que 𝐴2 representa o diâmetro do tanque 02, linearizando o modelo em torno de

𝐿01 𝑒 𝐿02, temos as seguintes equações de estado:

��2 = −𝑎2𝐴2√𝑔2𝐿02⁄ 𝐿2 +

𝑎1𝐴2√𝑔2𝐿01⁄ 𝐿1 +

𝑘𝑚2𝐴2

𝑉𝑏2

(4.38)

que na forma matricial pode ser escrita como:

[��1��2] =

[ −𝑎1𝐴1

√𝑔2𝐿01⁄ 0

𝑎1𝐴2

√𝑔2𝐿01⁄ −

𝑎2𝐴2

√𝑔2𝐿02⁄

]

[𝐿1𝐿2] +

[ 𝑘𝑚1𝐴1

0

0𝑘𝑚2𝐴2 ]

[𝑉𝑏1𝑉𝑏2

]

(4.39)

Para o terceiro tanque acoplado, o fluxo de entrada é dado a partir do segundo tanque e da

bomba 03, de modo que,

𝐹𝑖𝑛3 = 𝑘𝑚3𝑉𝑏3 + 𝑎2√2𝑔𝐿2 (4.40)

e o fluxo de saída é,

𝐹𝑜𝑢𝑡3 = 𝑎3√2𝑔𝐿3 (4.41)

em que 𝑎3 representa o diâmetro do orifício de saída do terceiro tanque. Então, a variação do

nível no terceiro tanque linearizada em torno de 𝐿02 𝑒 𝐿03 pode ser escrita como:

��3 = −𝑎3𝐴3√𝑔2𝐿03⁄ 𝐿3 +

𝑎2𝐴3√𝑔2𝐿02⁄ 𝐿2 +

𝑘𝑚3𝐴3

𝑉𝑏3

(4.42)


42


em que 𝐴3 representa o diâmetro do tanque 03, escrevendo as equações na forma matricial,

obtemos:

[

��1��2��3

] =

[ −𝑎1𝐴1

√𝑔2𝐿01⁄ 0 0

𝑎1𝐴2

√𝑔2𝐿01⁄ −

𝑎2𝐴2

√𝑔2𝐿02⁄ 0

0𝑎2𝐴3√𝑔2𝐿02⁄ −

𝑎3𝐴3

√𝑔2𝐿03⁄

]

[

𝐿1𝐿2𝐿3

]

+

[ 𝑘𝑚1𝐴1

0 0

0𝑘𝑚2𝐴2

0

0 0𝑘𝑚3𝐴3 ]

[

𝑉𝑏1𝑉𝑏2𝑉𝑏3

]

(4.43)

Seguindo a mesma analogia para o tanque quatro teremos as seguintes equações de estado:

��4 = −𝑎4𝐴4√𝑔2𝐿04⁄ 𝐿4 +

𝑎3𝐴4√𝑔2𝐿03⁄ 𝐿3 +

𝑘𝑚4𝐴4

𝑉𝑏4

(4.44)

Finalmente temos o modelo geral linearizado representando as equações de estado e de saída

do sistema completo na sua forma matricial:

[ ��1��2��3��4��5]

=

[ −𝑎1𝐴1

√𝑔2𝐿01⁄ 0 0 0 0

𝑎1𝐴2

√𝑔2𝐿01⁄ −

𝑎2𝐴2

√𝑔2𝐿02⁄ 0 0 0

0𝑎2𝐴3

√𝑔2𝐿02⁄ −

𝑎3𝐴3

√𝑔2𝐿03⁄ 0 0

0 0𝑎3𝐴4

√𝑔2𝐿03⁄ −

𝑎4𝐴4

√𝑔2𝐿04⁄ 0

0 0 0𝑎4𝐴4

√𝑔2𝐿04⁄ −

𝑎4𝐴5

√𝑔2𝐿05⁄

]

[ 𝐿1𝐿2𝐿3𝐿4𝐿5]

+

[ 𝑘𝑚1𝐴1

0 0 0 0

0𝑘𝑚2𝐴2

0 0 0

0 0𝑘𝑚3𝐴3

0 0

0 0 0𝑘𝑚4𝐴4

0

0 0 0 0𝑘𝑚5𝐴5 ]

[ 𝑉𝑏1𝑉𝑏2𝑉𝑏3𝑉𝑏4𝑉𝑏5]


43


e as equações de saída são dadas por:

[ 𝑦1𝑦2𝑦3𝑦4𝑦5]

=

[ 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1]

[ 𝐿1𝐿2𝐿3𝐿4𝐿5]

O diagrama em blocos do modelo final do sistema de cinco tanques acoplados

implementado no simulink® é mostrado na Figura 4.5.

Figura 4.5. Sistema utilizado na simulação para obtenção do conjunto entrada / saída utilizado no processo de

identificação.

A Figura 4.6 é uma ampliação de parte da Figura 4.5 para uma melhor visualização do exposto.


44


Figura 4.6. Visualização do primeiro e do segundo tanque com suas respectivas entradas e as saídas acrescidas

de ruído.

No sistema, a soma do valor absoluto de um sinal senoidal e o mesmo limitado em uma faixa

de valores que vai de 0,1 a 1 é utilizado para simular a entrada em cada tanque, na saída temos

um nível medido e em seguida sendo acrescido de um ruído para simular o ruído presente no

ambiente, sendo então realimentado e servindo também de entrada para o tanque seguinte. Isso

pode ser visualizado melhor na Figura 4.7.

Figura 4.7. Visualização da soma do valor absoluto de um sinal senoidal.

Em algumas situações, a escolha de entrada é imposta pelo tipo de método de identificação

empregado. Por exemplo, se desejamos analisar apenas o estado transitório do sistema um

simples impulso na entrada é suficiente, enquanto que a análise de correlação geralmente utiliza

uma sequência binária pseudo-aleatório (PRBS) como sinal de entrada. Em outras situações, no

entanto, a entrada pode ser escolhida em muitas formas diferentes e o problema da escolha


45


torna-se um aspecto importante da concepção de experiências de identificação do sistema

(Söderström et al., 1989).

O espectro do sinal de entrada deve satisfazer determinadas propriedades, a fim de

garantir que o sistema possa ser identificada. Isto levará ao conceito de sinal persistentemente

excitante. O conteúdo de frequência de um sinal de entrada e sua distribuição durante o intervalo

[0, π] pode ser de grande importância na identificação. Na maioria dos casos, a entrada deve

realçar as propriedades do sistema em baixa frequência e, portanto, deve ter um teor rico de

baixas frequências. Deste modo, o sinal de entrada deve enfatizar as propriedades do sistema

de baixa frequência durante o experimento de identificação. A frequência do sinal de entrada

pode influenciar a precisão do modelo identificadas em diferentes faixas de freqüência. A Soma

de senóides é um sinal persistentemente excitante de ordem finita (na maioria dos casos, igual

a duas vezes o número de senóides). Portanto, recomendado à determinados sistemas. Uma

considerável vantagem na utilização da soma de sinóides é que ela proporciona um meio

eficiente de manifestar as características não lineares dos sistemas, através de sua resposta às

frequências e harmônicos do sinal aplicado (Victor et al., 1980).

Neste trabalho especificamente, a soma de senóides apresentou o resultado esperado e

satisfatório na simulação e na identificação do sistema através da RBF. A resposta de um

sistema a um sinal senoidal será um sinal senoidal com mesma frequência porém com fase e

amplitude diferentes, conforme pode ser observado na Figura 4.5.

Mostraremos a seguir a simulação da dinâmica em cada tanque a partir do sinal de

entrada proposto.

Cada tanque possui a opção de ajuste na largura e no dreno durante a simulação optou-

se por deixar o diâmetro de cada tanque em 10 cm e o diâmetro do dreno em 0,1781 cm. Ao

final de cada simulação, serão executados arquivos que utilizam variáveis para mostrar

automaticamente os gráficos resultantes.

Primeiramente é apresentado o sinal de entrada utilizado para o primeiro tanque,

devido à figura ter ficado com muita informação dificultando a visualização, optou-se por

mostrar a mesma figura numa escala intercalada facilitando a compreensão através de uma

melhor visualização, em seguida é apresentada a figura referente à medição do nível no primeiro

tanque, a mesma metodologia foi adotada aos demais tanques conforme pode ser visualizado

nas Figuras 4.8 a 4.12.


46


Figura 4.8. Visualização do sinal de entrada no primeiro tanque, o sinal de entrada composto das 10000

primeiras amostras e o nível de saída no primeiro tanque.

Na Figura 4.9 é apresentada a mesma metodologia para o segundo tanque, sendo

destacada uma alteração no tempo de resposta e no tempo de estabilização do nível em relação

ao primeiro tanque e uma estabilização no nível em torno de aproximadamente 500 cm,

enquanto que no primeiro tanque a estabilização se deu em torno de 125 cm.


47


Figura 4.9. Visualização do sinal de entrada no segundo tanque, o sinal de entrada composto das 10000 primeiras

amostras e o nível de saída no segundo tanque.


48


Na Figura 4.10 é apresentada a mesma metodologia para o terceiro tanque, sendo


aos tanques anteriores e uma estabilização no nível em torno de aproximadamente 1000 cm,

enquanto que no primeiro tanque a estabilização se deu em torno de 125 cm e no segundo tanque

em torno de 500 cm.

Figura 4.10. Visualização do sinal de entrada no terceiro tanque, o sinal de entrada composto das 10000

primeiras amostras e o nível de saída no terceiro tanque.


49


Na Figura 4.11 é apresentada a mesma metodologia para o quarto tanque, sendo



enquanto que no primeiro tanque a estabilização se deu em torno de 125 cm, no segundo tanque

em torno de 500 cm e no terceiro tanque em torno de 1000 cm.

Figura 4.11. Visualização do sinal de entrada no quarto tanque, o sinal de entrada composto das 10000 primeiras

amostras e o nível de saída no quarto tanque.


50


Na Figura 4.12 é apresentada a mesma metodologia para o quinto tanque, sendo



enquanto que no primeiro tanque a estabilização se deu em torno de 125 cm, no segundo tanque

em torno de 500 cm, no terceiro tanque em torno de 1000 cm e em torno de 2000 cm para o

quarto tanque.

Figura 4.12. Visualização do sinal de entrada no quinto tanque, o sinal de entrada composto das 10000 primeiras

amostras e o nível de saída no quinto tanque.


51


As Figuras 4.13 a 4.17 representam os sinais de entrada e saída da planta a ser

identificada pela rede neural do tipo RBF. Uma vez obtido tal conjunto de dados, através da

simulação apresentada na figura 4.5, o mesmo será utilizado para treinamento e teste na rede

RBF. Para exemplificar apresentamos os gráficos de um conjunto entrada e saída dos dados

simulados a partir do sistema e utilizados na fase de treinamento da RBF. Durante a fase de

treinamento foram escolhidas 20000 amostras dos dados simulados, sendo 10000 dados de

entrada e 10000 dados de saída para cada tanque.

Figura 4.13. Gráfico dos dados de entrada / saída do primeiro tanque utilizados durante a fase de treinamento.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1tensão na primeira bomba

tempo (s)

tensão (

V)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-50

0

50

100

150

200Nível no primeiro tanque

tempo (s)

nív

el (c

m)


52


Figura 4.14. Gráfico dos dados de entrada / saída do segundo tanque utilizados durante a fase de treinamento.

Figura 4.15. Gráfico dos dados de entrada / saída do terceiro tanque utilizados durante a fase de treinamento.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1tensão na segunda bomba

tempo (s)

tensão (

V)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-200

0

200

400

600

800

1000Nível no segundo tanque

tempo (s)

nív

el (c

m)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1tensão na terceira bomba

tempo (s)

tensão (

V)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-500

0

500

1000

1500

2000Nível no terceiro tanque

tempo (s)

nív

el (c

m)


53


Figura 4.16. Gráfico dos dados de entrada / saída do quarto tanque utilizados durante a fase de treinamento.

Figura 4.17. Gráfico dos dados de entrada / saída do quinto tanque utilizados durante a fase de treinamento.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1tensão na quarta bomba

tempo (s)

tensão (

V)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-500

0

500

1000

1500

2000

2500Nível no quarto tanque

tempo (s)

nív

el (c

m)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1tensão na quinta bomba

tempo (s)

tensão (

V)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-500

0

500

1000

1500

2000

2500Nível no quinto tanque

tempo (s)

nív

el (c

m)

Capítulo 5

Resultados Obtidos

Capítulo 5 – Resultados obtidos

55


5. Resultados Obtidos

5.1 - Análises dos resultados da identificação

O procedimento de análise dos resultados obtidos na identificação do sistema de

tanques utilizando a rede RBF é dividido nas seguintes etapas: Escolha da estrutura da RBF

para representar o sistema a ser identificado, otimização da RBF usando agrupamento de dados

e estimação dos parâmetros do modelo matemático através da pseudo inversa (fase de

treinamento), teste do modelo obtido e a validação do mesmo.

No processo de treinamento da RBF primeiramente, escolhemos o número de centros

que corresponde ao número de neurônios na única camada oculta, de modo que esse número

seja o menor possível para termos ganho computacional e evitarmos um sobre treinamento da

rede. Faz-se necessário também nessa etapa a escolha da largura das gaussianas através da

Equação (4.28). Em seguida realizamos diferentes testes com os parâmetros escolhidos e

analisamos o erro de treinamento para diferentes cenários, sendo escolhido o de menor erro e

dentro de uma tolerância estabelecida (menor ou igual a 10-2). Sendo, portanto os parâmetros

escolhidos apresentados na seguinte tabela:

Tabela 1. Parâmetros escolhidos durante a fase de treinamento

Após a obtenção de um modelo durante a fase de treinamento e que forneceu os

melhores desempenhos baseados no erro médio quadrático, podemos utilizar tal modelo numa

nova fase denominada de teste. No caso foram escolhidos 1000 centros com uma largura das


56


gaussianas fixa em 0,02. Embora 2000 centros apresente o menor erro, não escolhemos esse

valor pois há o risco de sobre treinamento o que dificulta uma boa generalização da RBF.

As seguintes figuras representam os resultados obtidos na fase de teste, onde foram

utilizados os mesmos dados simulados com a presença de ruído (reais) e foram comparados aos

obtidos pela RBF e os dados desejados (sem a presença de ruído).

Figura 5.1a. Gráfico comparativo do nível no primeiro tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,

pontilhado), o estimado pela RBF (em vermelho, tracejado) e os dados sem a presença de ruído, tido como o

desejado (preto, tracejado).

Ao analisarmos o gráfico, podemos ver claramente que a estimativa da RBF

acompanha a dinâmica do sistema, onde além de identificar tal comportamento ainda atenua o

ruído presente nos dados.

Para uma melhor visualização optamos por ampliar uma determinada área da Figura

5.1a. Ou seja, as 1000 primeiras amostras. Na figura 5.1b fica bem visível o comportamento da

RBF acompanhando a dinâmica do nível no primeiro tanque. A analogia é válida aos demais

tanques.


57


Figura 5.1b. As mil primeiras amostras referentes a Figura 5.1a.

O mesmo teste é feito nos demais tanques conforme pode ser observado nas Figuras a seguir.

Figura 5.2a. Gráfico comparativo do nível no segundo tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,




58



Figura 5.3a. Gráfico comparativo do nível no terceiro tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,




59



Figura 5.4a. Gráfico comparativo do nível no quarto tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,




60



Figura 5.5a. Gráfico comparativo do nível no quinto tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,




61


Figura 5.5b. As mil primeiras amostras referentes a figura 5.5a.

Após o treinamento a RBF apresentou resultados bem próximos ao desejado. No

entanto, para a obtenção do modelo tido como ideal é imprescindível verificar se o modelo é

confiável para o propósito desejado. Existem diversas maneiras de se realizar a validação de

um modelo. Neste trabalho, o índice de desempenho utilizado foi o erro médio quadrático

(“Mean Squared Error “– MSE).

Na etapa de validação o principal objetivo é apresentar a RBF um sinal de entrada que

seja diferente do sinal utilizado durante a fase de treinamento e teste a fim de observar se a rede

responde de forma satisfatória à dinâmica do sistema identificado. Uma vez constatado que a

rede responde como o esperado, podemos dizer que a mesma está generalizando, ou seja, que

para qualquer sinal apresentado podemos inferir como será a dinâmica real do processo.

Nessa fase, primeiramente criamos um sinal de entrada oscilando entre 1 e 10 para

aplicarmos na RBF e observar se o resultado obtido corresponde ao que se espera, ou seja, se

acompanha a dinâmica do sistema, simulações com o mesmo sinal de entrada foi apresentado

ao sistema para comparação.

Ao realizarmos as simulações obtemos os resultados apresentados nas seguintes

figuras, onde a RBF apresentou um resultado satisfatório na identificação da dinâmica do

sistema conforme pode ser visualizado através da linha em vermelho, que representa a saída da

RBF, enquanto que a linha azul representa a saída de cada tanque no sistema. Para uma melhor


62


visualização do sinal de entrada foi necessário fazer um gráfico com amostras intercaladas em

50 amostras.

Figura 5.6. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no primeiro tanque para o sinal de entrada

apresentado.


63


Figura 5.7. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no segundo tanque para o sinal de entrada

apresentado.


64


Figura 5.8. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no terceiro tanque para o sinal de entrada

apresentado.


65


Figura 5.9. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no quarto tanque para o sinal de entrada

apresentado.


66


Figura 5.10. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no quinto tanque para o sinal de entrada

apresentado.

Ao observarmos as figuras podemos concluir que a RBF foi devidamente

treinada e obteve um bom conjunto de parâmetros que representa satisfatoriamente a dinâmica

do sistema de tanques acoplados. A seguinte tabela apresenta o erro médio quadrático obtido

na etapa de validação.

Tabela 2. Erro médio quadrático na etapa de validação

Tanque Erro de

treinamento

Erro de

validação

01 0,0006 0,0205

02 0,0007 0,0164

03 0,0004 0,0169

04 0,0010 0,0110

05 0,0005 0,0013


67


Ao analisarmos as figuras e a tabela podemos concluir que a RBF identificou de

maneira satisfatória a dinâmica do sistema de tanques.

Capítulo 6

Conclusão

Capítulo 6 – Conclusão

69


6. Conclusão

Nesta dissertação foi apresentado um estudo sobre o uso de redes neurais artificiais do

tipo funções de base radial, na identificação de um sistema não linear de cinco tanques

acoplados, utilizando uma estrutura RBF ARMAX para um sistema de múltiplas entradas e

múltiplas saídas, realizada no software Matlab® em um computador comercial de uso geral.

A utilização de redes neurais artificiais na identificação de sistemas dinâmicos não-

lineares vem se consolidando como uma alternativa de entender e otimizar tais processos, com

o objetivo de garantir que o modelo obtido reproduza, o mais próximo possível, as

características reais do sistema. Neste sentido as redes de função de base radial atendem muito

bem aos requisitos propostos, devido ao fato de serem aproximadores universais de funções e

possuírem um algoritmo de treinamento simples e rápido se comparado a outros tipos de RNAs.

A grande vantagem em utilizar uma rede neural do tipo RBF na identificação de sistemas está

associada à capacidade de aproximação de funções não-lineares, rapidez e eficiência do

aprendizado, gerando um baixo custo operacional.

Os resultados mostraram-se bastante satisfatórios desde a fase de treinamento, uma

vez que a rede neural do tipo RBF identificou a planta apresentando uma diferença mínima na

comparação da saída real do sistema com a saída da rede neural RBF, e também durante a

generalização do modelo obtido pela rede neural RBF, quando o modelo respondeu

satisfatoriamente a padrões que não haviam sido apresentados a rede.

Com isso conclui-se que as redes neurais RBF são eficientes e totalmente aplicáveis

na identificação de sistemas não lineares com várias entradas e várias saídas. Vale ressaltar que,

os resultados são dependentes da arquitetura adotada para a rede neural, isto é, número de

entradas da RBF, número de neurônios na camada oculta, método de treinamento e também do

conjunto de dados utilizados nas fases de treinamento e validação do modelo obtido com a rede

neural.

Como trabalhos futuros indicam-se:

Testar novos métodos de treinamento para a RBF com algoritmos evolutivos

e de inteligência coletiva, por exemplo, para problemas de identificação de

sistemas não lineares e multivariáveis.

Projetar um controlador juntamente com o identificador do sistema utilizando

redes de função de base radial.

Capítulo 6 – Conclusão

70


Um estudo aprofundado envolvendo diferentes tipos de RNAs para explorar

melhor os possíveis parâmetros de configuração dessas técnicas.

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Apêndice

Apêndice

78


APÊNDICE A

Apêndice A - Resultados complementares

Nesta dissertação foi apresentado um estudo sobre o uso de redes neurais artificiais do

tipo funções de base radial, na identificação de um sistema não linear de cinco tanques

acoplados, que durante a fase de treinamento utilizou um conjunto de 20000 amostras dos dados

simulados, sendo 10000 dados de entrada e 10000 dados de saída para cada tanque. A nível de

comparação para comprovar a eficiência da rede neural na identificação do sistema de tanques,

foram obtidos resultados através de um conjunto de 40000 amostras, sendo 20000 dos dados de

entrada e 20000 dos dados de saída para cada tanque.

Tais resultados podem ser vistos nas Figuras a seguir.

Primeiramente é apresentado o sinal de entrada utilizado para o primeiro tanque,

devido à figura ter ficado com muita informação dificultando a visualização, optou-se por

mostrar a mesma figura numa escala intercalada facilitando a compreensão através de uma

melhor visualização, em seguida é apresentada a figura referente à medição do nível no primeiro

tanque, a mesma metodologia foi adotada aos demais tanques conforme pode ser visualizado

nas Figuras 1 a 5.

Apêndice

79


Figura 1. Visualização do sinal de entrada no primeiro tanque, o sinal de entrada composto das 20000 primeiras

amostras e o nível de saída no primeiro tanque.

Figura 2. Visualização do sinal de entrada no segundo tanque, o sinal de entrada composto das 20000 primeiras

amostras e o nível de saída no segundo tanque.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na primeira bomba

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na primeira bomba (0 - 20000 amostras)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

100

200

amostras

nív

el (

cm

)

Nível no primeiro tanque

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na segunda bomba

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na segunda bomba (0 - 20000 amostras)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

500

amostras

nív

el (

cm

)

Nível no segundo tanque

Apêndice

80


Figura 3. Visualização do sinal de entrada no terceiro tanque, o sinal de entrada composto das 20000 primeiras

amostras e o nível de saída no terceiro tanque.

Figura 4. Visualização do sinal de entrada no quarto tanque, o sinal de entrada composto das 20000 primeiras

amostras e o nível de saída no quarto tanque.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na terceira bomba

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na terceira bomba (0 - 20000 amostras)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

1000

2000

amostras

nív

el (

cm

)

Nível no terceiro tanque

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na quarta bomba

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na quarta bomba (0 - 20000 amostras)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

1000

2000

amostras

nív

el (

cm

)

Nível no quarto tanque

Apêndice

81


Figura 5. Visualização do sinal de entrada no quinto tanque, o sinal de entrada composto das 20000 primeiras

amostras e o nível de saída no quinto tanque.

As seguintes figuras representam os resultados obtidos na fase de teste, onde foram

utilizados os mesmos dados simulados com a presença de ruído (reais) e foram comparados aos

obtidos pela RBF.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na quinta bomba

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

0

0.5

1

amostras

tensão (

V)

tensão na quinta bomba (0 - 20000 amostras)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 105

0

2000

4000

amostras

nív

el (

cm

)

Nível no quinto tanque

Apêndice

82


Figura 6. Gráfico comparativo do nível no primeiro tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,

pontilhado), o estimado pela RBF (em vermelho, tracejado)

Figura 7. Gráfico comparativo do nível no segundo tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-50

0

50

100

150

200

250

amostras

Nív

el (

cm

)

Identificação do nível no primeiro tanque utilizando a RBF

real

estimado

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-200

0

200

400

600

800

1000

amostras

Nív

el (

cm

)

Identificação do nível no segundo tanque utilizando a RBF

real

estimado

Apêndice

83


Figura 8. Gráfico comparativo do nível no terceiro tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,


Figura 9. Gráfico comparativo do nível no quarto tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

amostras

Nív

el (

cm

)

Identificação do nível no terceiro tanque utilizando a RBF

real

estimado

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

amostras

Nív

el (

cm

)

Identificação do nível no quarto tanque utilizando a RBF

real

estimado

Apêndice

84


Figura 10. Gráfico comparativo do nível no quinto tanque onde temos os dados acrescidos de ruído (em azul,

pontilhado), o estimado pela RBF (em vermelho, tracejado).

Durante a etapa de validação em que realizarmos as simulações obtemos os resultados

apresentados nas seguintes Figuras, onde a RBF apresentou um resultado satisfatório na

identificação da dinâmica do sistema conforme pode ser visualizado através da linha em

vermelho, que representa a saída da RBF, enquanto que a linha azul representa a saída de cada

tanque no sistema. Para uma melhor visualização do sinal de entrada foi necessário fazer um

gráfico com amostras intercaladas em 50 amostras.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

amostras

Nív

el (

cm

)

Identificação do nível no quinto tanque utilizando a RBF

real

estimado

Apêndice

85


Figura 11. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no primeiro tanque para o sinal de entrada

apresentado.

Figura 12. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no segundo tanque para o sinal de entrada

apresentado.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

amostras x 50

tensão (

V)

tensão na primeira bomba

0 50 100 150 200 250 300 350 400-10

0

10

20

30

40

amostras x 50

Nív

el (

cm

)

Nível no primeiro tanque

real

validado

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

amostras x 50

tensão (

V)

tensão na segunda bomba

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

20

40

60

80

100

120

amostras x 50

Nív

el (

cm

)

Nível no segundo tanque

real

validado

Apêndice

86


Figura 13. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no terceiro tanque para o sinal de entrada

apresentado.

Figura 14. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no quarto tanque para o sinal de entrada

apresentado.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

amostras x 50

tensão (

V)

tensão na terceira bomba

0 50 100 150 200 250 300 350 400-1000

0

1000

2000

3000

4000

amostras x 50

Nív

el (

cm

)

Nível no terceiro tanque

real

validado

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

amostras x 50

tensão (

V)

tensão na quarta bomba

0 50 100 150 200 250 300 350 400-1000

0

1000

2000

3000

4000

amostras x 50

Nív

el (

cm

)

Nível no quarto tanque

real

validado

Apêndice

87


Figura 15. Gráfico do resultado obtido na validação do nível no quinto tanque para o sinal de entrada

apresentado.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

amostras x 50

tensão (

V)

tensão na quinta bomba

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

200

400

600

800

1000

amostras x 50

Nív

el (

cm

)

Nível no quinto tanque

real

validado

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