Estudo dos Poliedros - IntroduçãoEstudo dos Poliedros - Introdução

Professor Luiz Amorim – Colégio Naval 2009Professor Luiz Amorim – Colégio Naval 2009

Euler 1707-1783

Ângulos Poliédricos ConvexosÂngulos Poliédricos Convexos

É a região limitada pela interseção dos semi-espaços obtidos pelos planos de n semi-retas de origem num mesmo vértice, 3 a 3 não-coplanares.

A maneira do triedro, os elemento de um ângulo poliédrico ou ângulo sólido são:

Faces (fn): Porção plana de uma aresta a outra consecutiva.

Arestas (an): Semi-retas de origem em V.

Vértice (V): Ponto de partida de todas as semi-retas que compõem o ângulo poliédrico.

Relações Importantes:Relações Importantes:

» A medida de qualquer face é menor que a soma das demais;

» A soma das medidas das faces é sempre menor que 360º.

OBS.: Um ângulo poliédrico é chamado de regular quando todas as faces são congruentes entre elas.

Solução:

360º70º 360º 5,14...

70ºn n n⋅ < ⇒ < ⇒ <

Então o número máximo de arestas é 5.

Poliedros ConvexosPoliedros ConvexosDado um número finito de polígonos planos e convexos, é chamado

de poliedro convexo a região do espaço tal que:

b) Dois desses polígonos não estão no mesmo plano;

c) Cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos;

d) Qualquer secante intersecta o poliedro em exatamente dois pontos.

Elementos do Poliedro ConvexoElementos do Poliedro Convexo

» Faces: Cada um dos seus polígonos é uma face;

Obs.: Fn é a quantidade de faces com n lados.

» Aresta: São os lados dos polígonos;

» Vértices: São os vértices dos polígonos.

Obs.: Vn é a quantidade de vértices nos quais incidem n arestas.

OBS.: A reunião das faces é classificada como a superfície ou casca do poliedro.

Soma dos Ângulos das FacesSoma dos Ângulos das Faces

( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 2

1 2

180º 2 ... ,

180º ... 180º 2 2 ... 2

180º 2 180º 2

360º

F F n

F

F vezes

S n e S S S S logo:

S n n n

S A F

S A F

= ⋅ − = + + +

= ⋅ + + + − ⋅ + + + ⇔

= ⋅ − ⋅ ⇔

= ⋅ −

1442443

Seja S a soma dos ângulos de cada face do poliedro. Para cada face n, temos que:

De outra forma, podemos pensar assim:

Vamos fazer a seguinte experiência vamos pegar alguns poliedros “simples”, fixá-lo no chão numa posição de terminada e considerarmos duas projeções diferentes.

Considerando o sol a pino esse poliedro terá vértices iluminados e vértices obscuros. Vamos considerar a projeção de cada uma dessas partes:

» Tetraedro Regular:Parte iluminada:

Parte Obscura:

Soma dos ângulos das faces:

( )180º 3 2 360º 540ºiS = − + =

( )180º 3 2 180ºoS = − =180º 540º 720ºi oS S+ = + =

( )360º 6 4 720ºS = − =

» Octaedro Regular

Parte Iluminada:

( )180º 4 2 360º 720ºiS = ⋅ − + =

Parte Obscura:

( )180º 4 2 360º 720ºoS = ⋅ − + =

Total:

720º 720º 1440ºi oS S+ = + =

Soma dos ângulos das faces: ( )360º 12 8 1440ºS = ⋅ − =

De modo geral, imaginemos o Sol a pino, iluminando um poliedro e a projeção deste no chão em duas partes, a saber, no sentido Sol-Plano e Plano-Sol. Temos 3 regiões a considerar: Iluminada, Contorno e Obscura.

Seja v1 a quantidade de vértices iluminados, v2 a quantidade de vértices obscuros e v0 a quantidade de vértices no contorno. Temos:

( )( )

( ) ( )

( )

1 0

2 0

1 2 0

1 2 0

360º 180º 2

360º 180º 2

360º 360º 2

360º 2

360º 2

iluminado

obscuro

V total de vértices

S v v

S v v

S v v v

S v v v

S V

= ⋅ + ⋅ −+ = ⋅ + ⋅ −

= ⋅ + + ⋅ − ⇒

= ⋅ + + − ⇒

= ⋅ −

14243

Comparando com o primeiro modo de obter esta soma com este último temos:

Relação de EulerRelação de Euler

( ) ( )360º 360º 2

2 2

A F V

VV FA AF

− = ⋅ − ⇔⇔ +− == +−

Onde V, F e A são, nesta ordem, as quantidades de Vértices, Faces e Arestas.

66 2 8.

2

A VV F V F

V F A

= +⇒ + = + + ⇒ = + = +

3 4

3 4

3 4 2

10 20 2 12

2

F F A

F F F F F

V F A

⋅ + ⋅ = + = ⇒ + = + ⇒ = + = +

( )3 44 4

3 4

3 4 403 12 4 40

12

F FF F

F F

⋅ + ⋅ =⇒ ⋅ − + ⋅ = ⇒ + =

4 34 8.F e F⇒ = =

5 triedros, 7 tetraedros, 9 pentaedros e 8 hexaedros.

1365 3 7 4 9 5 8 6 136 2 68

2A A⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ⋅ ⇒ = =

5 7 9 8 29 V+ + + = =

29 68 2 41F F+ = + ⇒ =

6 faces quadradas e 8 faces triangulares.

6 8 14F = + =48

6 4 8 3 2 242

A A⋅ + ⋅ = ⇒ = =

14 24 2 12V V+ = + ⇒ =