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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
POLIEDROSPOLIEDROS
Professor Joel
2
DefiniçãoDefinição
Professor Joel
POLIEDROSPOLIEDROS: Denomina-se poliedro o sólido limitado
por polígonos planos, de modo que:
Dois desses polígonos não estão num mesmo plano;
Cada lado de um polígono é comum a dois e somente
dois polígonos.
VÉRTICE
ARESTAFACE
3
Poliedros...Poliedros...
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10 vértices
15 arestas
7 faces
6 vértices
12 arestas
8 faces
4
Poliedro convexoPoliedro convexo
Um poliedro se diz convexo se, em relação a
qualquer de suas faces, está todo situado num
mesmo semi-espaço determinado pelo plano
que contém esta face. Caso contrário, o
poliedro é dito não-convexo.
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Poliedro convexo...Poliedro convexo...
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a
convexo
convexo
Não-convexo
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NomenclaturaNomenclatura dos poliedros dos poliedros
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De acordo com o número de faces, os poliedros convexos ou não, possuem nomes especiais.
Nº de faces Nome do poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
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Nomenclatura dos Nomenclatura dos poliedros...poliedros...
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Nº de faces Nome do poliedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
11 Undecaedro
12 Dodecaedro
13 Tridecaedro
14 Tetradecaedro
15 Pentadecaedro
20 Icosaedro
8
PoliedrosPoliedros regularesregulares
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Um poliedro convexo se diz regular quando:
Suas faces são polígonos regulares congruentes entre si;
Seus ângulos poliédricos são congruentes entre si. Os poliedros regulares são chamados de sólidos platônicos, em homenagem ao filósofo grego Platão(427 – 347 a.C.) que os utilizava para explicar cientificamente os fenômenos naturais.
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Poliedros regulares...Poliedros regulares...
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Existem somente cinco poliedros regulares.
TETRAEDRO
4 faces triangulares equiláteras
4 vértices
6 arestas
10
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
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HEXAEDRO(cubo)
6 faces quadradas
8 vértices
12 arestas
11
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
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OCTAEDRO
8 faces triangulares equiláteras
6 vértices
12 arestas
12
Poliedros regulares...Poliedros regulares...
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ICOSAEDRO
20 faces triangulares equiláteras
12 vértices
30 arestas
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Poliedros regulares...Poliedros regulares...
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DODECAEDRO
12 faces pentagonais
20 vértices
30 arestas
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Relação de EulerRelação de Euler
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Em todo poliedro convexo vale a relação:
HEXAEDRO OU PARALELEPÍPEDO F = 6
V = 8
A = 12
V + F = A + 2
8 + 6 = 12 + 2
V + F = A + 2
ONDE V: Nº de vérticesA: Nº de arestasF: Nº de faces
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Propriedades...Propriedades...
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Consideremos um poliedro convexo em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas que concorrem em cada vértice.
2A = nF = pV
2A = nF 2A = pV nF = pV
Ex: CUBO
A= 12, V= 8, F= 6
2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8
Assim, temos:
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Propriedades...Propriedades...
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SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO
A soma S dos ângulos das faces de um poliedro convexo que possui V vértices é:
S = (V – 2) . 360º
Ex: Uma pirâmide de base quadrada.
V = 5, S = (5 – 2) . 360º , S = 3 . 360º , S = 1080º
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Exercícios...Exercícios...
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1) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha:a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro.b) A soma dos ângulos internos de todas as faces.Resolução:
a)
F = 3 + 1 + 1 + 2
F = 7
V + F = A + 2V + 7 = 15 + 2V = 17 – 7V = 10
2.A=n.F
2.A = 3.3 + 1.4 + 1.5 + 2.6
2.A = 9 + 4 + 5 + 12
2.A = 30
A = 15
b)S = (10 – 2).360º
S = 8.360º
S = 2880º
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Exercícios...Exercícios...
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2) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, duas faces quadrangulares, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.
Resolução:
F = 3 + 2 + 1 + 2
F = 8
V + F = A + 2
V + 8 = 17 + 2
V = 19 – 8
V = 11
2.A = n.F
2.A = 3.3 + 2.4 + 1.5 + 2.6
2.A = 9 + 8 +5 +12
2.A = 34
A = 17
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Exercícios...Exercícios...
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3) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a do número de arestas e o número de faces é 3 unidades a menos do que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro.
Resolução:
3
2 V = . A
F = V – 3
V = F + 3 3
2 . A = F + 3
V + F = A + 2
3
2
3
2V = . 15
3
2F = . 15 – 3
F = . A – 3
3
2
3
2 .A + .A – 3 = A + 2
2A + 2A -9 = 3A + 6
A = 15
V = 10
F = 10 – 3 F = 7
FIMFIM
Prof. Joel Ferreira
“O temor a Deus é o princípio de toda sabedoria”.
Professor Joel
