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HIDROSTTICA

IMPULSES HIDROSTTICAS EM SUPERFCIES

Neste captulo vamos analisar como avaliar as aces a que fica submetido um trecho de superfcie limitado por um contorno fechado, em contacto com um lquido em repouso.

Esta superfcie pode estar em contacto com o lquido numa s face ou em ambas as faces. Neste ltimo caso bastar calcular numa das faces, pois na outra face as aces sero iguais e opostas.

Uma superfcie em contacto com um lquido fica submetida a uma distribuio contnua de foras de presso, equivalentes no caso geral a um torsor (vector principal e momento) ou a duas foras no complanares, podendo escolher-se arbitrariamente uma delas.

No caso das superfcies planas, cilndricas ou calotes esfricas, o sistema reduz-se a um vector nico, cujo ponto de aplicao na superfcie designado por centro de presses ou centro de impulso.

1 - Impulso Hidrosttica numa superfcie qualquer

Se o trecho de superfcie qualquer, podemos ter trs modos de determinao das impulses hidrostticas:

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a) Procurar o vector principal e o momento;

b) Procurar duas foras no complanares;

c) Procurar trs foras, no complanares, segundo trs direces arbitrrias no situadas no mesmo plano.

Em geral segue-se o procedimento indicado em c), trs foras no complanares.

Considere-se agora um sistema de eixos triortogonal Oxyz, sendo Oz o eixo vertical.

Figura 1 Caracterizao das aces hidrostticas sobre uma superfcie irregular

Vamos determinar a fora vertical, num trecho de superfcie qualquer S, limitado por uma curva fechada e mergulhado num lquido em repouso. Projecta-se verticalmente no plano da superfcie livre a superfcie S. Fica definida uma superfcie cilndrica vertical, limitada por S, Sz e pelas geratrizes

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verticais. Este volume est em equilbrio sob aco das foras a ele aplicadas.

0TG zz =+

zG a resultante das foras de massa segundo Oz e zT a resultante das foras de superfcie segundo Oz (direco vertical).

Como se trata de lquidos pesados, zG , ser o peso deste volume. zT a resultante das foras de presso que se exercem no volume considerado ao longo de S, de Sz e da superfcie lateral do cilindro.

Em Sz , as presses so nulas, pois estamos a considerar presses efectivas e na superfcie livre so nulas.

Na superfcie lateral, as foras actuantes so horizontais, logo a componente segundo Oz nula.

zzT pi=

Em que zpi representa a resultante das componentes verticais das foras de presso que se exercem na rea S.

zz G =pi

zpi a impulso vertical e igual ao peso do lquido situado no interior do volume limitado pelo trecho de superfcie, pela

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sua projeco na superfcie livre e pela superfcie projectante vertical.

Consideremos agora uma direco qualquer horizontal, que pode fazer-se coincidir com Ox. Projectamos segundo Ox a superfcie S, sobre um plano perpendicular a Ox. Definimos um volume com S, Sx e as geratrizes horizontais.

Este volume est em equilbrio sob aco das foras a ele aplicadas.

0TG xx =+

Mas 0Gx = , o que implica

0Tx =

xT a resultante das aces em S, Sx, e superfcie projectante horizontal. Designamos por xpi as aces em S e por x'T as aces sobre Sx .

0TT x'xx =+pi=

x'

x T=pi

A impulso horizontal (segundo Ox) igual em grandeza, impulso que o lquido exerceria numa figura plana que fosse a projeco ortogonal do trecho de superfcie S num plano vertical normal direco dada. Analogamente se definiria a impulso segundo Oy.

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Resumindo: O sistema de foras exercidas por um lquido em repouso num trecho de superfcie S, limitado por uma curva fechada, equivalente a trs foras, uma vertical igual ao peso do lquido verticalmente situado sobre a superfcie considerada e aplicada no centro de gravidade do volume e duas horizontais com direces diferentes, cada uma das quais igual impulso hidrosttica que se exerce sobre uma figura plana obtida por projeco do trecho de superfcie dado sobre um plano normal direco considerada e est aplicada no centro de presses dessa figura plana.

No entanto, o enunciado anterior s vlido para uma superfcie tal que a cada ponto das figuras projectadas, Sx , Sy, e Sz , corresponda um s ponto de S. Se no acontecer h que dividir a superfcie em trechos at que tal suceda.

Figura 2 Impulso vertical exercida num trecho de superfcie Em (a) o volume virtual e em (b) real.

A impulso vertical igual e do mesmo sentido de zG (peso) no caso de se considerar a aco na face superior; ser de sentido contrrio, mas de igual grandeza se for na face inferior.

O sentido da impulso horizontal ser o mesmo da impulso exercida na figura plana projectada.

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2 - Impulses Hidrostticas em figuras planas

O sistema actuante de foras normais figura plana, equivalente a um vector nico, igualmente perpendicular superfcie, e resultante da composio de xpi e ypi que so complanares neste caso. O ponto de aplicao de pi nico e o centro de presses ou centro de impulso.

Figura 3 Impulso hidrosttica numa superfcie plana

Consideremos um trecho de superfcie plana, S, em contacto com um lquido em repouso. Seja o plano a que o trecho S pertence. O plano faz um ngulo com o plano da superfcie livre em repouso e o peso volmico do lquido. Observando a figura poderemos concluir:

pi=pi cos z

= cos SSz

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A componente vertical vale

gzz y S =pi

Com gy a representar a profundidade do centro de gravidade da rea S.

Substituindo nas expresses anteriores, teremos

gy cos S cos =pi

gy S =pi

Esta a expresso geral de pi - Impulso hidrosttica numa superfcie plana.

Seja a distncia (medida segundo a linha de maior declive do plano da figura ) desde a superfcie livre at ao centro de gravidade da figura.

= cos yg

=pi cos S

Para posicionar o centro de presses ou centro de impulso, consideremos um sistema de eixos triortogonal Ox1 x2 x3 ,

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coincidindo Ox2 com o trao do plano na superfcie livre e Ox1, uma linha de maior declive.

As coordenadas xi relativamente ao sistema de eixos, do centro de presses

=

S

Si

i dS p

dS x px , com i =1,2,3

S x1 e x2 so diferentes de zero no sistema escolhido.

=

=

S

S1

S

S1

1 dS y

dS x y

dS y

dS x y x

Mas = sen xy 1

AI

dS x

dS x

dS sen x

dS sen x x

S1

S2

1

S1

S2

11 ==

=

I momento de inrcia de S relativamente a Ox2

A momento esttico de S relativamente a Ox2

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Analogamente ser

AI

dS x

dS xx

dS y

dS x y x 2x1x

S1

S 21

S

S2

2 ==

=

2x1xI - produto de inrcia de S relativamente a Ox1 e Ox2. Se a figura for simtrica em relao a uma linha de maior declive, faz-se coincidir essa linha de simetria com o eixo Ox1 e

2x1xI = 0

Sabemos que

)k ( SSII 222G +=+=

K o raio de girao de S e a coordenada do seu centro de gravidade de S, segundo Ox1.

>

+=

+==

2221

k S

)k ( SAI

x

O centro de impulso ou centro de presses situa-se inferiormente ao centro de gravidade da figura.

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3 - Impulses Hidrostticas em calotes esfricas e trechos de cilindros de revoluo

O sistema de foras actuantes admite resultante nica, j que as aces elementares se intersectam num ponto (centro da esfera) ou na mesma recta (eixo do cilindro).

Basta determinar uma das componentes da impulso pi (componente horizontal Hpir ou componente vertical zpir ) e a linha de aco da outra, partindo do conhecimento de que a linha de aco da resultante passa pelo centro da esfera ou pelo eixo do cilindro.

Figura 4 Impulso hidrosttica sobre uma comporta cilndrica

Comea-se por calcular Hpir

e a sua profundidade. A vertical (linha de aco de zpir ) passa por G, centro de gravidade do volume representado no plano da figura pela rea DECD. O ponto de interseco da linha de aco de Hpi

r com a linha de

aco de zpir

- ponto M, e o ponto O (eixo da superfcie cilndrica) define o suporte da resultante pi .

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4 - Impulses Hidrostticas em superfcies fechadas

A resultante das foras de presso no interior de uma superfcie fechada vertical e igual ao peso do lquido contido no seu interior.

Figura 5 Impulso numa superfcie fechada

Consideremos um cilindro elementar de seco recta dS que intersecta a superfcie segundo os elementos dS e dS.

'dS 'y 'dF =

'dS ''y ''dF =

Em projeco vertical

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'dS 'y 'dF z =

'dS ''y ''dF z =

Subtraindo ordenadamente

'dS )''y'y ( ''dF 'dF zz =

Onde o 2 membro representa o peso do lquido contido no interior do cilindro elementar. A componente vertical da resultante zF , das foras de presso ser,

== S

zzz )''dF'dF(F Peso total do lquido

Se repetirmos o raciocnio para um cilindro horizontal, verificamos que a componente horizontal nula.

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5 Presses uniformes em toda a massa lquida

A resultante das projeces, segundo uma direco qualquer, das foras de presso uniforme que se exercem num trecho de superfcie igual fora de presso uniforme que actua sobre a projeco do referido trecho num plano perpendicular direco considerada.

Uma aplicao prtica importante a do dimensionamento das chapas do corpo cilndrico de caldeiras ou de condutas sob presso. Nestes casos as foras de presso so muito superiores ao peso prprio.

Vejamos um corte longitudinal e diametral numa caldeira e consideremos o equilbrio sob aco das foras de presso do lquido e das aces exercidas pela parte suprimida.

Figura 6 Dimensionamento do corpo cilndrico de uma caldeira ou de uma conduta sob presso

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A resultante das foras de presso vale

p l DFp =

Dl rea da projeco da superfcie lateral no plano diametral

p presso

s l e 2p l D =

s 2D p

e

=

s - tenso de servio

Nas caldeiras importante considerar a fora que se exerce no sentido longitudinal devido fora que se exerce no sentido longitudinal devido existncia de topos.

A aco em cada um dos topos vale

4D

pF2

ppi

=

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sendo 4D

2pi a rea da projeco dos topos num plano

transversal. A esta aco resistem as paredes com uma rea de = e D pi .

Teremos

pi=pi

e D 4D

p2

- tenso longitudinal

e 4D p

=

e 2D p

s =

2

s=

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6 Princpio de Pascal

Se considerarmos dois pontos M e M numa massa lquida em equilbrio, s cotas z e z respectivamente, aplicando o principio fundamental da Hidrosttica,

)'z'- z' ( p' '-p' =

Admita-se que, por qualquer processo, mas sem perturbar o equilbrio, se conseguia variar a presso em M do valor p para (p + p) e o valor da presso em M para (p + p). Poderamos continuar a aplicar o principio fundamental da Hidrosttica,

)'z'- z' ( )p'p' (-)'p''(p' =++

Comparando com a relao anterior, conclui-se

p''p' =

Assim podemos enunciar o Princpio de PASCAL: Numa massa lquida em equilbrio, as variaes de presso transmitem-se integralmente a todos os pontos.

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Figura 7 Esquema do princpio de funcionamento de uma prensa hidrulica

Olhando para a figura 7, poderemos concluir

=

=

S pFs pf

Como o fluido incompressvel,

L Sl s =

lL

Ss

Ff

==

L Fl f =

Esta relao traduz a conservao do trabalho.