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Trabalho de Conclusão de Curso Universidade Federal de Santa Catarina Graduação em Engenharia Sanitária e Ambiental Influência da estrutura de modelos hidrológicos conceituais na simulação do processo chuva-vazão em duas bacias florestais Paula Cunha David
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Trabalho de Conclusão de Curso
Universidade Federal de Santa Catarina Graduação em
Engenharia Sanitária e Ambiental
Influência da estrutura de modelos hidrológicos conceituais na simulação do processo chuva-vazão em duas bacias florestais
Paula Cunha David
Paula Cunha David
INFLUÊNCIA DA ESTRUTURA DE MODELOS
HIDROLÓGICOS CONCEITUAIS NA SIMULAÇÃO DO
PROCESSO CHUVA-VAZÃO EM DUAS BACIAS FLORESTAIS
Trabalho apresentado à Universidade
Federal de Santa Catarina para a
conclusão do Curso de Graduação em
Engenharia Sanitária e Ambiental.
Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz Borges
Chaffe
Coorientadora: Debora Yumi de
Oliveira
Florianópolis
2017
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.
David, Paula Cunha Influência da estrutura de modelos hidrológicosconceituais na simulação do processo chuva-vazão emduas bacias florestais. / Paula Cunha David ;orientador, Pedro Luiz Borges Chaffe,coorientadora, Debora Yumi de Oliveira, 2017. 135 p.
Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) -Universidade Federal de Santa Catarina, CentroTecnológico, Graduação em Engenharia Sanitária eAmbiental, Florianópolis, 2017.
Inclui referências.
1. Engenharia Sanitária e Ambiental. 2.Modelagem hidrológica. I. Chaffe, Pedro Luiz Borges.II. Oliveira, Debora Yumi de. III. UniversidadeFederal de Santa Catarina. Graduação em EngenhariaSanitária e Ambiental. IV. Título.
Paula Cunha David
INFLUÊNCIA DA ESTRUTURA DE MODELOS
HIDROLÓGICOS CONCEITUAIS NA SIMULAÇÃO DO
PROCESSO CHUVA-VAZÃO EM DUAS BACIAS FLORESTAIS
Trabalho submetido à Banca Examinadora como parte dos
requisitos para Conclusão do Curso de Graduação em Engenharia
Sanitária e Ambiental – TCC II.
Florianópolis, 4 de dezembro de 2017.
____________________________
Prof. Dr. Pedro Luiz Borges Chaffe
Orientador
____________________________
Debora Yumi de Oliveira
Coorientadora
Banca Examinadora:
____________________________
Prof. Dr. Davide Franco
Membro da banca
____________________________
Prof.ª Dr.ª Nadia Bernardi Bonumá
Membro da banca
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Pedro pela oportunidade de realizar este trabalho,
pela liberdade e confiança. À Debora, cuja ajuda no dia a dia foi
fundamental para este trabalho, pela disponibilidade e entusiasmo e por
sempre me incentivar e mostrar que era possível fazer mais e melhor.
Aos meus pais, Marcio e Marise, pelo amor e dedicação, e pelo
suporte para que eu não precisasse me preocupar com mais nada, além de
me dedicar aos estudos.
Ao Lui, que esteve comigo durante toda a graduação, que me
ajudou a cada passo que eu dei, e que me apoiou em todas as decisões.
Aos amigos da graduação, que tornaram os projetos e estudos
momentos muito mais divertidos. Sucesso e arraso!
Aos amigos do LabHidro, por tornarem os dias mais agradáveis,
principalmente à Camyla, por sempre ouvir minhas angústias.
Aos Professores da banca, Nadia Bernardi Bonumá e Davide
Franco, pelas importantes contribuições e tempo disponibilizado.
Obrigada!
RESUMO
Modelos hidrológicos de chuva-vazão são utilizados para representar e
entender os diversos processos que ocorrem com a água na natureza. Dentre
os tipos de modelos existentes, há os modelos conceituais. Estes modelos
normalmente possuem uma estrutura fixa. Entretanto, cada bacia hidrográfica
possui mecanismos e processos hidrológicos dominantes diferentes, e suas
singularidades neste caso não são levadas em conta. Além disso, a calibração
destes modelos é feita muitas vezes utilizando-se funções de verossimilhança
cujas premissas não são atendidas. Isto leva a resultados não confiáveis na
escolha dos parâmetros e sobre as incertezas das simulações. Os objetivos
deste trabalho foram: (i) avaliar o impacto do uso de diferentes funções de
verossimilhança na calibração dos modelos; e (ii) identificar as estruturas que
melhor representam o processo chuva-vazão em duas bacias florestais: a
Bacia do Rio Saci e a Bacia do Rio dos Bugres. Para este trabalho foram
utilizadas dez estruturas diferentes a partir do modelo SUPERFLEX,
variando o número e tipos de reservatórios, inclusão de funções de
propagação e não linearidade dos reservatórios. Os modelos foram calibrados
com o algoritmo de calibração automática DREAM(ZS) utilizando três funções
de verossimilhança com crescente complexidade: a primeira considera que os
erros são gaussianos e independentes; a segunda considera a
heteroscedasticidade dos resíduos; e a terceira considera uma distribuição não
normal para os resíduos, além da heteroscedasticidade. Para a Bacia do Rio
Saci, os resultados de confiabilidade e precisão da incerteza foram melhores
para a função de verossimilhança que melhor atende às premissas do modelo
de resíduos. Dentre as características dos modelos, o uso de um reservatório
da zona não saturada seguido de dois reservatórios independentes foi o que
melhor representou a bacia. Na Bacia do Rio dos Bugres a terceira função de
verossimilhança apresentou resultados piores, provavelmente devido à
correlação dos parâmetros no processo de calibração. Os modelos que
apresentaram melhor resultado foram os não lineares, indicando que a bacia
tem um comportamento não linear significativo
Palavras-chave: Modelagem hidrológica. SUPERFLEX. Função de
verossimilhança.
ABSTRACT
Rainfall-runoff models are used to represent and understand different
mechanisms that occur with water in nature. Among the types of existing
models, there are the conceptual models. Conceptual hydrological models
usually have a fixed structure. However, each basin has different dominant
hydrological mechanisms and processes, and its singularities, in this case, are
not considered. In addition, model calibration using likelihood functions
which assumptions are not satisfied or checked leads to unreliable results of
the parameters and uncertainties. The objectives of this work were: (i) to
evaluate the impact of the use of different likelihood functions in model; and
(ii) identify the model structures that better represent the rainfall-runoff
process in two forest basins: the Saci River Basin and the Rio dos Bugres
Basin. For this work, ten different structures from the SUPERFLEX
framework were used, varying the number of reservoirs, inclusion of lag
functions and non-linearity of the reservoirs. The models were calibrated with
the automatic calibration algorithm DREAM(ZS), using three likelihood
functions with increasing complexity: the first one considers that the errors
are Gaussian and independent; the second one considers the
heteroscedasticity of the residuals; and the third one considers a non-normal
distribution for residuals, in addition to heteroscedasticity. For the Saci River
Basin, the results of the reliability and precision were better for the likelihood
function that best meets the assumptions of the residual model. Among the
models, the use of an unsaturated reservoir followed by two independent
reservoirs represents the basin in a better way. In the Bugres River Basin, the
third likelihood function presented worst results, due to the correlation of the
parameters of the residual models and the hydrological models. The models
that presented the best result are nonlinear, which may indicate that the basin
has a significant nonlinear behavior.
Keywords: Hydrological modelling. SUPERFLEX. Likelihood function.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Ciclo hidrológico e seus principais processos ...................... 26 Figura 2 - Representação esquemática das estruturas de modelo
utilizadas. Os fluxos e estados estão em preto, os parâmetros em
vermelho. Os modelos são numerados de 03 a 12 conforme os modelos
utilizado em Fenicia et al., (2014). ........................................................ 30 Figura 3- Representação esquemática da calibração de um modelo. Os
parâmetros do modelo são ajustados iterativamente a fim de que os
resultados simulados (linha sólida) se aproximem ao máximo da
resposta observada (linha pontilhada) ................................................... 38 Figura 4 - Mapa de localização das duas bacias estudadas. .................. 45 Figura 5 - Interpretação do gráfico QQ. ................................................ 51 Figura 6 - Resultados da calibração para as três funções de
verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M05 na Bacia do Rio
Saci. ....................................................................................................... 57 Figura 7 - Resultados da calibração para as três funções de
verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M07 na Bacia do Rio
Saci. ....................................................................................................... 58 Figura 8 - Resultados da validação para as três funções de
verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M07 na Bacia do Rio
Saci. ....................................................................................................... 59 Figura 9 - Gráficos QQ para as três funções de verossimilhança (L1, L2
e L3) para os modelos M03 (linha de cima) e M07 (linha de baixo) na
Bacia do Rio Saci. Linha 1:1 em cinza para referência. ........................ 60 Figura 10 - Análise dos resíduos padronizados para as três funções de
verossimilhança para o modelo M07 na Bacia do Rio Saci. A linha
contínua representa a distribuição assumida. ........................................ 61 Figura 11 - Distribuição dos parâmetros para cada função de
verossimilhança para cada os modelos M03 ao M07 para a Bacia do Rio
Saci. ....................................................................................................... 62 Figura 12 - Distribuição dos parâmetros para cada função de
verossimilhança para cada os modelos M08 ao M12 para a Bacia do Rio
Saci. ....................................................................................................... 63 Figura 13 - Gráficos QQ para as três funções de verossimilhança para os
modelos M03 (linha de cima) e M11 (linha de baixo) na Bacia do Rio dos Bugres. Linha 1:1 em cinza para referência. ................................... 67 Figura 14 - Resultados da calibração para as três funções de
verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M03 na Bacia do Rio dos
Bugres. .................................................................................................. 68
Figura 15 - Resultados da calibração para as três funções de
verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M11 na Bacia do Rio dos
Bugres. .................................................................................................. 69 Figura 16 - Resultados da validação para as três funções de
verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M11 na Bacia do Rio dos
Bugres. .................................................................................................. 70 Figura 17 - Análise dos resíduos padronizados para as três funções de
verossimilhança para o modelo M11 na Bacia do Rio dos Bugres ....... 71 Figura 18 - Distribuição dos parâmetros para cada função de
verossimilhança para cada os modelos M03 ao M07 para a Bacia do Rio
dos Bugres. ............................................................................................ 73 Figura 19 - Distribuição dos parâmetros para cada função de
verossimilhança para cada os modelos M08 ao M12 para a Bacia do Rio
dos Bugres ............................................................................................. 74
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Componentes de cada modelo. ............................................. 33 Tabela 2 - Parâmetros de cada modelo. ................................................. 34 Tabela 3 - Funções constitutivas utilizadas (m foi mantido constante em
0,01 conforme Fenicia et al. (2014)) ..................................................... 34 Tabela 4 - Equações de balanço de água utilizadas para cada modelo. . 35 Tabela 5 - Equações constitutivas utilizadas para cada modelo. ........... 36 Tabela 6 - Descrição dos parâmetros e seus intervalos mínimo e máximo
utilizados como limites da distribuição uniforme (distribuição a priori)
utilizada na calibração. .......................................................................... 49 Tabela 7 - Funções de verossimilhança utilizadas e suas premissas sobre
o modelo de resíduos. ............................................................................ 50 Tabela 8 - Resultados do viés volumétrico na calibração e validação dos
modelos na Bacia do Rio Saci. As cores variam de vermelho para o pior
resultado a verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração e
validação são diferentes. ....................................................................... 55 Tabela 9 - Resultados da precisão na calibração e validação dos modelos
na Bacia do Rio Saci. As cores variam de vermelho para o pior resultado
a verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração e validação
são diferentes. ........................................................................................ 55 Tabela 10 - Resultados da confiabilidade na calibração e validação dos
modelos na Bacia do Rio Saci. As cores variam de vermelho para o pior
resultado a verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração e
validação são diferentes. ....................................................................... 56 Tabela 11 - Resultados do viés volumétrico na calibração e validação
dos modelos na Bacia do Rio dos Bugres. As cores variam de vermelho
para o pior resultado a verde para o melhor. As escalas de cores para a
calibração e validação são diferentes. ................................................... 66 Tabela 12 - Resultados da precisão na calibração e validação dos
modelos na Bacia do Rio dos Bugres. As cores variam de vermelho para
o pior resultado a verde para o melhor. As escalas de cores para a
calibração e validação são diferentes. ................................................... 66 Tabela 13 - Resultados da confiabilidade na calibração e validação dos
modelos na Bacia do Rio dos Bugres. As cores variam de vermelho para
o pior resultado a verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração e validação são diferentes. ................................................... 67
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolo Descrição Unidade
c Fator de ajuste -
Ce Fator de ajuste da evapotranspiração -
D Divisão do fluxo entre os reservatórios lento e
rápido -
ea Pressão de vapor da água no ar saturado mbar
ed Pressão de vapor do ar na condição real mbar
Ef Evapotranspiração no reservatório rápido mm
Ei Evapotranspiração no reservatório de
interceptação mm
ETP evapotranspiração potencial diária mm/dia
Eu Evapotranspiração na zona não saturada mm
FΩ Função de distribuição cumulativa da
distribuição preditiva -
FR Reservatório rápido -
Fu Função de distribuição cumulativa de uma
distribuição uniforme -
Imax Capacidade máxima de armazenamento de
interceptação -
IR Reservatório de interceptação -
Kf Coeficiente do reservatório rápido 1/h
Kr Coeficiente do reservatório da zona ripária 1/h
Ks Coeficiente do reservatório lento 1/h
LF Função de propagação -
M Porcentagem da precipitação total que vai
para o reservatório da zona ripária -
Nc Número de componentes -
Npar Número de parâmetros -
Nt Número de passos de tempo -
P Precipitação mm
Símbolo Descrição Unidade
Pf Precipitação que entre no reservatório rápido mm
Pfl Precipitação que entre no reservatório rápido
após função de propagação
mm
Pr Precipitação que entra no reservatório da
zona ripária
mm
Ps Precipitação que entre no reservatório lento mm
Pt Precipitação total mm
Pu Precipitação que entra no reservatório da
zona não saturada
mm
Q Vazão mm/h
Q Média das vazões simuladas em um tempo t
Q Vazão observada mm/h
Qf Fluxo de saída do reservatório rápido mm
Qq Fluxo de saída do reservatório da zona não
saturada
mm
Qr Fluxo de saída do reservatório da zona ripária mm
Qs Fluxo de saída do reservatório lento mm
Qt Fluxo de saída no fim do sistema mm
Qt Vazão simulada mm
Rn radiação líquida mm/dia
RR Reservatório da zona ripária -
S Armazenamento mm
sdevQ desvio padrão das previsões em certo tempo mm
Sf Armazenamento no reservatório rápido mm
Si Armazenamento no reservatório de
interceptação
mm
Si Armazenamento do reservatório de
interceptação
mm
SR Reservatório lento -
Ss Armazenamento no reservatório lento mm
Símbolo Descrição Unidade
Su Armazenamento no reservatório da zona não
saturada mm
Su,max Capacidade máxima de armazenamento na
zona não saturada mm
t passo de tempo 1 min
Tf Parâmetro da função de propagação h
UR Reservatório da zona não saturada -
W fator de ponderação relacionado com a
temperatura e altitude -
x conjunto de parâmetros -
ŷt valor simulado mm/h
𝞪 Expoente do reservatório rápido -
𝛽 Expoente do reservatório da zona não
saturada -
𝜗 ponto candidato -
θt-1 posição atual do ponto amostrado -
𝜋 Densidade de probabilidade -
𝞷 Skewness -
Φ Curtose -
σ0 Coeficiente linear do erro mm
σ1 Coeficiente angular do erro -
σt Desvio-padrão do erro mm
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................ 21
1.1 OBJETIVOS ........................................................................... 23
1.1.1. Objetivo Geral ................................................................. 23
1.1.2. Objetivos Específicos ...................................................... 23
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................... 25
2.1. PROCESSOS HIDROLÓGICOS ........................................... 25
2.2. MODELAGEM HIDROLÓGICA .......................................... 26
2.3. MODELO SUPERFLEX ........................................................ 29
2.4. CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS .............. 37
2.4.1. DREAM – Differential Evolution Adaptive Metropolis . 40
3. MATERIAIS E MÉTODOS........................................................ 43
3.1. ÁREA DE ESTUDO ............................................................... 43
3.1.1. Bacia Hidrográfica do Rio Saci ....................................... 43
3.1.2. Bacia Hidrográfica do Rio dos Bugres ............................ 43
3.2. EVAPOTRANSPIRAÇÃO .................................................... 46
3.3. IMPLEMENTAÇAO NUMÉRICA DO MODELO ............... 46
3.4. CALIBRAÇÃO ...................................................................... 47
3.5. ANÁLISE DA INCERTEZA .................................................. 50
3.6. ANÁLISE DOS RESÍDUOS .................................................. 52
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................. 53
4.1. BACIA HIDROGRÁFICA DO RIO SACI ............................. 53
4.1.1. Análise dos resíduos ........................................................ 60
4.1.2. Análise dos parâmetros .................................................... 61
4.2. BACIA DO RIO DOS BUGRES ............................................ 64
4.2.1. Análise dos resíduos ........................................................ 71
4.2.2. Análise dos parâmetros .................................................... 72
5. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .................................. 75
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................. 77
APÊNDICE A - IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DOS
MODELOS NO MATLAB ................................................................. 83
APÊNDICE B – RESULTADOS BACIA DO RIO SACI................ 97
APÊNDICE C – RESULTADOS BACIA DO RIO DO BUGRES 117
21
1. INTRODUÇÃO
Modelos hidrológicos de chuva-vazão são amplamente utilizados
para representar e entender os diversos processos que ocorrem com a água
na natureza, nas fases de escoamento superficial, subterrâneo,
interceptação, entre outros. Estes modelos são utilizados também para
extrapolar as medições no tempo e no espaço, especialmente para o futuro
e em bacias não monitoradas (BEVEN, 2012). Na ciência, um modelo
pode ser visto como uma hipótese de como a bacia hidrográfica funciona.
Ele contém uma descrição dos processos hidrológicos dominantes e pode
prever como a combinação desses processos reproduz a resposta da bacia
(CLARK; KAVETSKI; FENICIA, 2011).
Dentre os tipos de modelos existentes, há os modelos conceituais
e os de base física. Os modelos conceituais utilizam a bacia como escala,
sem considerar seus aspectos físicos – é considerada apenas a relação dos
dados de entrada com os de saída. Os modelos hidrológicos conceituais
normalmente possuem uma estrutura fixa. Entretanto, cada bacia
hidrológica possui mecanismos e processos hidrológicos dominantes
diferentes, e suas singularidades neste caso não são levadas em conta.
Modelos como HBV (LINDSTRÖM et al., 1997), HYMOD (BOYLE,
2000), GR4J (PERRIN; MICHEL; ANDRÉASSIAN, 2003) são
exemplos de modelos conceituais fixos, cujas estruturas são utilizadas
para qualquer bacia estudada. Já os modelos de base física consideram as
características espaciais da bacia hidrográfica. Porém, estes modelos são
de difícil aplicação devido à demanda de dados de entrada e de recursos
computacionais.
Aumentar a complexidade de um modelo não necessariamente
melhora sua performance (FENICIA et al., 2008; VAN ESSE et al.,
2013). O melhor uso das informações disponíveis, sem precisar aumentar
o número de parâmetros, pode aumentar a performance do modelo. Desta
forma, não é o número de parâmetros que determina a capacidade do
modelo em reproduzir as respostas de uma bacia, mas sim o papel destes
parâmetros, os processos que eles representam, e seus impactos na
resposta da bacia (FENICIA; MCDONNELL; SAVENIJE, 2008).
Bacias com dinâmicas hidrológicas diferentes são melhores
representadas utilizando-se diferentes estruturas de modelos concentrados, indicando uma conexão entre as propriedades na escala da
bacia e o uso apropriado de estruturas dos modelos (FENICIA et al.,
2014). Uma estrutura fixa de modelo – igual para todas as bacias – tem
dificuldade em acomodar todas as possibilidades de comportamento de
bacias. Todavia, uma estrutura fixa pode ter vantagens, como a facilidade
em interpretar as diferenças dos parâmetros em diferentes aplicações
(KAVETSKI; FENICIA, 2011). Já modelos conceituais flexíveis podem
servir como uma ligação entre modelagem e monitoramento, facilitando
o entendimento, representação e interpretação do comportamento da
bacia (KAVETSKI; FENICIA, 2011). É possível testar diferentes
hipóteses, com a construção e teste de diferentes estruturas de modelo
utilizando-se diferentes combinações de componentes genéricos. Este
método é útil para a modelagem na escala da bacia, uma vez que se torna
possível encontrar correspondências entre as propriedades da bacia e a
estrutura do modelo, permitindo um maior conhecimento dos processos
hidrológicos dominantes nela (FENICIA et al., 2014).
Uma das dificuldades da modelagem hidrológica é a identificação
dos parâmetros do modelo. Geralmente, eles não podem ser coletados
diretamente em medições em campo, ou por estimativa prévia. Por isso,
é feita a calibração dos parâmetros a partir de dados históricos de chuva e
vazão, que consiste em encontrar o melhor conjunto de parâmetros para
aquela bacia hidrográfica; ou seja, o conjunto que melhor irá representar
o seu comportamento. Assim, com estes parâmetros, é possível fazer
previsões de eventos hidrológicos fora do período histórico utilizado para
a calibração.
Muitos modelos apresentam boa calibração; porém, sua validação
tanto no espaço – transferência dos parâmetros para outra bacia – e no
tempo – em outro período – muitas vezes não é satisfatória. Alguns dos
motivos para isso são as incertezas nos dados e a estrutura do modelo. O
sucesso da validação depende de métodos que liguem as características
da bacia hidrográfica com a estrutura do modelo (GUPTA; WAGENER;
LIU, 2008).
A estatística Bayesiana trata os parâmetros do modelo como
variáveis probabilísticas que possuem uma função de densidade de
probabilidade a posteriori (PDF, do inglês probability density function).
Segundo o teorema de Bayes, a PDF a posteriori é proporcional ao
produto da função de verossimilhança e a PDF a priori. Uma das questões
da estatística Bayesiana é que o modelo dos resíduos da função de
verossimilhança precisa ser prefixada a priori e, muitas vezes, suas
premissas não são atendidas. A violação destas premissas leva a
resultados não confiáveis dos parâmetros e da incerteza das simulações (KAVETSKI; FENICIA; CLARK, 2011; SCHOUPS; VRUGT, 2010;
SMITH et al., 2010; SMITH; MARSHALL; SHARMA, 2015; THYER
et al., 2009).
Amostradores do tipo Monte Carlo Markov Chain (MCMC) são
bastante adequados para lidar com as características das PDF posteriores
23
de parâmetros de modelos hidrológicos (VRUGT et al., 2003). Este é um
método de otimização eficiente, que concentra esforços nas áreas onde as
amostras indicaram valores elevados para a PDF a posteriori, porém com
uma amostra adicional aleatória para evitar perder áreas com valores
elevados para a PDF a posteriori que ainda não foram amostradas,
especialmente quando um grande número de parâmetros possa estar
envolvido (BEVEN, 2012). Os métodos MCMC fornecem ferramentas
para fazer este tipo de amostragem mais eficientemente (BEVEN, 2012).
Um exemplo de algoritmo com base MCMC é o Differential Evolution
Adaptive Metropolis – DREAM.
Neste estudo, foram utilizadas diferentes estruturas do modelo
SUPERFLEX em duas bacias experimentais florestais, com o objetivo de
encontrar uma correspondência entre as estruturas com as características
da bacia. Os parâmetros dos modelos foram inferidos com o DREAM
utilizando diferentes funções de verossimilhança, com o objetivo de
avaliar o impacto da sua escolha nos valores de parâmetros e da incerteza.
1.1 OBJETIVOS
1.1.1. Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é avaliar a influência da estrutura
de modelos hidrológicos conceituais na simulação do processo chuva-
vazão de duas pequenas bacias florestais.
1.1.2. Objetivos Específicos
Os objetivos específicos são:
i. Avaliar o impacto do uso de diferentes funções de verossimilhança
na calibração dos modelos;
ii. Identificar as estruturas que melhor representam o processo chuva-
vazão nas duas bacias.
25
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. PROCESSOS HIDROLÓGICOS
A água existe na terra e na atmosfera em diferentes formas, e seu
estudo diz respeito à sua distribuição e ao seu movimento sob e sobre a
superfície terrestre e na atmosfera. O ciclo hidrógico pode ser estudado
tanto em uma escala global, quanto em uma escala menor, como uma
bacia hidrográfica. Uma bacia hidrográfica pode ser entendida como a
área topográfica que contribui com toda a água que passa por uma
determinada seção de rio. A geologia, topografia e cobertura terrestre
determinam a qualidade e quantidade da água na superfície e subterrânea
assim como a magnitude e tempo do escoamento na superfície e
subterrâneo. A bacia hidrográfica é a unidade natural de terra, integrada
pela água que flui pela fase terrestre do ciclo hidrológico (DINGMAN,
2002).
O balanço hídrico de uma bacia hidrográfica é o balanço entre
entradas e saídas de água que por ela circula. A principal entrada de água
de uma bacia é a precipitação. A saída de água pode ocorrer como
evapotranspiração e como escoamento (COLLISCHONN, 2013). O
balanço hídrico possui interações complexas entre água, solo e a troca de
massa e energia entre os compartimentos de uma bacia – que muitas vezes
não podem ser medidos (SAVENIJE, 2009).
Os principais processos hidrológicos que fazem parte do ciclo
hidrológico (KOBIYAMA et al., 2011) são precipitação, interceptação,
infiltração, percolação no solo, escoamentos fluviais e evapotranspiração
(Figura 1). Para melhor entender estes processos, são utilizados modelos
matemáticos que tentam representá-los por meio de equações
matemáticas. Estes processos muitas vezes não são constantes no tempo,
tendo o ecossistema como o principal agente ativo. Os sistemas
hidrológicos possuem a capacidade de se ajustarem em razão de
mudanças das condições ambientais (SAVENIJE; HRACHOWITZ,
2017).
Figura 1 - Ciclo hidrológico e seus principais processos
Fonte: Adaptado de Kobiyama et al. (2011)
2.2. MODELAGEM HIDROLÓGICA
Modelagem hidrológica é a representação dos processos
hidrológicos em uma área determinada – normalmente uma bacia
hidrográfica. Os modelos hidrológicos simulam a vazão em um rio,
baseados em representações matemáticas dos processos hidrológicos
(DAVIE, 2002). Podem ser descritos como ferramentas desenvolvidas
pela ciência para melhor entender e representar o comportamento da bacia
hidrográfica e prever condições diferentes das observadas (TUCCI,
2005).
Existem dois modos de ver um modelo. No primeiro, o modelo é
uma ferramenta para a extrapolação dos dados disponíveis no tempo (para
diferentes períodos) e no espaço (para diferentes bacias hidrográficas).
Neste caso, um método no qual se obtém respostas satisfatórias de
previsão de vazão, nível da água subterrânea, ou qualidade da água é
suficiente para atender às necessidades. No segundo modo, modelos
devem o máximo possível refletir nosso conhecimento físico do processo
envolvido (BEVEN, 2012). Neste último caso, para avançar na ciência da
hidrologia, deve-se obter as respostas certas pelas razões certas (“getting
the right answers for the right reasons”) (KIRCHNER, 2006). O modelo
deve ter uma correspondência com a realidade para que possa ser usado
como uma ferramenta para entender os sistemas hidrológicos. Entretanto,
deve-se ter em mente que nenhum modelo hidrológico é uma
representação perfeita dos processos hidrológicos; os modelos são
27
hipóteses simplificadas de como o ambiente deve funcionar, e estas
hipóteses requerem uma rigorosa construção, implementação e teste
(CLARK; KAVETSKI; FENICIA, 2011). Bons modelos são aqueles que
possuem uma melhor performance, com menores incertezas (SAVENIJE,
2009).
Modelos mais complexos podem apresentar resultados um pouco
melhores para determinadas bacias (VAN ESSE et al., 2013). Entretanto,
esses melhores resultados podem vir às custas de motivos incorretos –
pelo simples aumento do número de parâmetros ou representando de
forma errônea a dinâmica da bacia – e apresentando uma grande
diminuição da confiabilidade na validação. Perrin, Michel, e Andréassian
(2001) compararam a performance de 19 modelos em 429 bacias
hidrográficas e concluíram que modelos mais complexos são melhores na
calibração, mas não na validação. A principal razão é que estes modelos
não possuem uma estrutura estável capaz de extrair as informações
disponíveis nas séries de chuva-vazão. Uma complexidade inadequada
leva à super-parametrização e incerteza dos parâmetros (PERRIN;
MICHEL; ANDRÉASSIAN, 2001). A busca pela caracterização da
complexidade dos processos deve ser feita com o objetivo de generalizar
e extrapolar as observações de um lugar para o outro ou em diferentes
escalas. Deve-se buscar os conjunto de princípios que são a base da
heterogeneidade e da complexidade dos sistemas ambientais
(MCDONNELL et al., 2007).
A estrutura da bacia e sua forma podem ter um papel mais relevante
processos hidrológicos que ocorrem na escala da bacia - como o tempo
de residência - do que a área da bacia por exemplo (MCGUIRE et al.,
2005). A conectividade entre os compartimentos da bacia e suas
dependências nos limiares de armazenamento, propriedades do solo, e
topografia influenciam de forma significativa o comportamento
hidrológico dos sistemas naturais (MCGUIRE; MCDONNELL, 2010), e
estas interações devem ser consideradas na estrutura do modelo
(FENICIA; KAVETSKI; SAVENIJE, 2011). Uma parte significante da
incerteza nos modelos hidrológicos na escala da bacia hidrográfica, está
diretamente ligada ao nosso conhecimento insuficiente de aspectos
essenciais do sistema, como a organização interna e a capacidade do
ecossistema em manipular o sistema em resposta às dinâmicas temporais (SAVENIJE; HRACHOWITZ, 2017).
Bacias com dinâmicas hidrológicas diferentes são melhores
representadas utilizando-se diferentes estruturas de modelos, indicando
uma conexão entre as propriedades na escala da bacia e o uso apropriado
de estruturas dos modelos (FENICIA; KAVETSKI; SAVENIJE, 2011).
Uma estrutura fixa de modelo – igual para todas as bacias – tem
dificuldade em acomodar todas as possibilidades de comportamento de
bacias, ou seja, em representar a singularidade do lugar (“uniqueness of
place”) (BEVEN, 2000). Estudos em diferentes bacias mostram que a
performance de um modelo é específica para cada bacia, e que um modelo
fixo muitas vezes é incapaz de reproduzir diferentes comportamentos
hidrológicos, como sazonalidade e limiares (KAVETSKI; FENICIA,
2011).
Recentemente, Poncelet et al. (2017) utilizaram uma estrutura fixa
de modelo em um conjunto multinacional de bacias hidrográficas para
investigar a relação entre simulações diárias de vazão e as características
topográficas e climáticas das bacias. Eles encontraram que a
representação dos processos hidrológicos é limitada principalmente pela
própria estrutura do modelo. Por isso, sugerem testar diferentes estruturas
de modelo para melhorar as simulações e assim, os processos
hidrológicos poderiam ter uma melhor representação.
Estruturas de modelo flexíveis já foram propostas. Clark et al.
(2008) propuseram o Framework for Understanding Structural Errors
(FUSE), construindo diversas estruturas de modelo utilizando 4 modelos
hidrológicos já existentes. Naquele estudo, foram encontradas relações
entre a estrutura dos modelos e performance, sugerindo que a escolha da
estrutura é tão importante quanto a escolha dos parâmetros do modelo.
Entretanto, esse resultado foi mais evidenciado para uma bacia seca do
que uma úmida, sendo que esta última apresentou resultados semelhantes
para todas as estruturas de modelo utilizadas, mostrando que todas as
estruturas eram flexíveis o suficiente para simular a vazão.
Fenicia, Kavetski e Savenije (2011) propuseram uma estrutura de
modelagem flexível, o SUPERFLEX, que é baseada em blocos genéricos,
como reservatórios, junções e funções de propagação, que podem ser
montados de diferentes maneiras. Os reservatórios representam o
armazenamento e lançamento de água; a função de propagação representa
a transmissão e a propagação dos fluxos; e as junções representam a
divisão, fusão e/ou redimensionamento dos fluxos.
Em busca de uma relação entre as propriedades da bacia e a
representação de modelos conceituais, Fenicia et al. (2014) encontraram,
utilizando o modelo SUPERFLEX, que bacias experimentais com um comportamento ‘vertical’ (fluxo da água) são melhores representadas
com modelos com conexões em paralelo. Essas conexões em paralelo
consideram a repartição da precipitação em reservatórios rápido e lento,
representando o escoamento superficial e subterrâneo. Já bacias com um
29
comportamento ‘horizontal’ são melhores representadas com modelos
com conexões em série.
Van Esse et al. (2013) utilizaram diferentes estruturas com o
SUPERFLEX em 237 bacias hidrográficas francesas e verificaram que a
inclusão de uma função de transferência e de um reservatório de
interceptação e da zona ripária não melhorou a performance do modelo.
Ainda, o modelo tem performances melhores em bacias maiores do que
em pequenas bacias; e em bacias úmidas do que em bacias secas. A
inclusão de um reservatório lento representando o escoamento
subterrâneo melhora a performance do modelo em bacias com água
subterrânea dominante, uma vez que permite que os fluxos rápido e lento
sejam independentes.
2.3. MODELO SUPERFLEX
Para este trabalho foram utilizadas 10 diferentes estruturas do
modelo SUPERFLEX, sendo as mesmas estruturas de modelos utilizadas
por Fenicia et al. (2014), conforme Figura 2.Os reservatórios consistem
na conceptualização dos processos de armazenamento e liberação de
água. Eles podem representar elementos como interceptação, umidade do
solo, água subterrânea, entre outros; apresentando um fluxo de saída
linear ou não linear. Os modelos utilizados neste trabalho possuem
diferentes estruturas com reservatórios de interceptação, da zona não
saturado, rápido, lento e da zona ripária.
O reservatório de interceptação é caracterizado pela capacidade de
armazenamento máxima Imax (mm). A precipitação efetiva que segue
para o reservatório da zona não saturado e a evapotranspiração são em
função do mesmo parâmetro. O reservatório da zona não saturada é
caracterizado pelo parâmetro de capacidade de armazenamento máximo
Su,max (mm). O fluxo de saída do reservatório pode ser linear ou com uma
função exponencial, com o parâmetro 𝛽; pode possuir uma função de
propagação ou não. O fluxo ainda pode ser repartido entre os reservatórios
rápido e lento pelo parâmetro D. É considerada ainda a evapotranspiração
neste reservatório, com um parâmetro Ce. O reservatório lento
corresponde ao escoamento subterrâneo e é caracterizado pelo parâmetro
Ks relacionado ao tempo de permanência da água nele. O reservatório rápido representa o escoamento superficial e também é caracterizado por
um parâmetro relacionado ao tempo, Kf. Pode ser linear ou não linear,
com uma função exponencial com parâmetro 𝞪. O reservatório da zona
ripária é caracterizado pelo parâmetro Kr e a precipitação efetiva que nele
chega é determinada pelo parâmetro M, que a divide entre os reservatórios
da zona não saturada e zona ripária.
Figura 2 - Representação esquemática das estruturas de modelo utilizadas. Os
fluxos e estados estão em preto, os parâmetros em vermelho. Os modelos são
numerados de 03 a 12 conforme os modelos utilizado em Fenicia et al., (2014).
Estruturas em série
M03
M04
M05
M06
31
Estruturas em paralelo
M07
M08
M09
M10
M11
M12
Fonte: adaptado de Fenicia et al. (2014).
As funções de propagação são operadores de convolução,
utilizados para representar a propagação decorrente dos caminhos da
água. Estas funções podem ser aplicadas na saída de qualquer
reservatório, ao contrário de modelos como HBV e FUSE, que aplicam a
função de propagação no final do sistema de reservatórios, por exemplo.
O uso dessas funções paramétricas permite a representação do
comportamento de diferentes reservatórios, inclusive conexões em
paralelo e em série, que não têm necessariamente o mesmo tempo de
duração. As junções normalmente possuem parâmetros que dividem a
separação de um fluxo entre dois ou mais reservatórios; ou combinam
diferentes fluxos vindos de diferentes reservatórios. As funções
constitutivas representam as relações hipotéticas de armazenamento-
descarga de cada reservatório (FENICIA; KAVETSKI; SAVENIJE,
2011).
Os modelos utilizados podem ser classificados entre em série e em
paralelo, refletindo as diferentes hipóteses de conectividade dos caminhos
de fluxo:
Estruturas em série: o modelo M03 possui dois reservatórios em
série. A precipitação entra no reservatório da zona não saturada e o
armazenamento em excesso de um limiar transborda e entra no
reservatório rápido. O modelo M04 difere do M03 pela saída do
reservatório da zona não saturada ocorrer segundo uma função
exponencial, ao invés de um limiar. O M05 é semelhante ao M04, porém
possui uma função de propagação entre os reservatórios da zona não
saturada e rápido. O modelo M06 difere do M05 por conter um
reservatório de interceptação.
Estruturas em paralelo: o modelo M07 é como o modelo M05,
entretanto, possui um reservatório da zona ripária, que recebe uma fração
constante da precipitação total. No modelo M08 a precipitação é dividida
entre os reservatórios rápido e lento, ambos lineares. O modelo M09
difere do M08 pela inclusão de um reservatório da zona não saturada, cuja
saída é dividida entre os reservatórios rápido e lento por uma função
linear. O M10 é semelhante ao M09, possuindo de diferença uma função
de propagação entre os reservatórios da zona não saturada e rápido. O
M11 difere do M10 na saída do reservatório da zona não saturada,
apresentando uma função não linear. Por fim, o M12 difere do M11 pela
adição de um reservatório de interceptação. A construção dos modelos desta forma permite atribuir às
diferenças na estrutura as diferenças na performance, uma vez que eles se
distinguem de uma forma controlada. É possível testar a influência de conexões em série versus em paralelo; o efeito de funções de propagação;
a importância de reservatórios de interceptação; e a linearidade dos
processos. O detalhamento dos componentes e parâmetros de cada
modelo está nas Tabelas 1 e 2. As funções constitutivas utilizadas estão
33
na Tabela 3; as equações de balanço de água estão na Tabela 4 e as
equações constitutivas para cada modelo estão na Tabela 5.
Tabela 1 - Componentes de cada modelo.
Modelos Componentes
Nc Npar IR UR FR SR RR LF
M03 2 4 - X X - - -
M04 2 5 - X X - - -
M05 3 6 - X X - - X
M06 4 7 X X X - - X
M07 4 8 - X X - X X
M08 2 4 - - X X - -
M09 3 5 - X X X - -
M10 4 6 - X X X - X
M11 4 7 - X X X - X
M12 5 8 X X X X - X
Nc é o número de componentes, Npar é o número de parâmetros; IR, UR, FR, SR,
RR e LF correspondem aos reservatórios de interceptação, da zona não saturada,
rápido, lento e da zona ripária, e função de propagação. ‘X’ e ‘-‘ indicam a
presença ou ausência de cada componente, respectivamente.
Tabela 2 - Parâmetros de cada modelo.
Modelos Parâmetros
Ce Imax Smax 𝞫 M Kr Tf Kf 𝞪 D Ks
M03 X - X - - - - X X - -
M04 X - X X - - - X X - -
M05 X - X X - - X X X - -
M06 X X X X - - X X X - -
M07 X - X X X X X X X - -
M08 X - - - - - - X - X X
M09 X - X - - - - X - X X
M10 X - X - - - X X - X X
M11 X - X X - - X X - X X
M12 X X X X - - X X - X X
Tabela 3 - Funções constitutivas utilizadas (m foi mantido constante em 0,01
conforme Fenicia et al. (2014))
Função Constitutiva Nome
fp(x|m) = xm Função exponencial
fh(x|m) = 1 −(1 − x)(1 + m)
1 − x + m
Função hiperbólica refletida
fm(x|m) =(1 + m)x
x + m
Cinética do tipo Monod
fe(x|m) = 1 − ex/m Função Tessier
35
Tabela 4 - Equações de balanço de água utilizadas para cada modelo.
Equações de
balanço de água
Modelos
03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
dSf
dt= Pf − Qf − Ef
- - - - - X - - - -
dSf
dt= Pf − Qf
X X - - - - X - - -
dSf
dt= Pfl − Qf
- - X X X - - X X X
dSu
dt= Pu − Qq − Eu
X X X X X - X X X X
dSS
dt= PS − QS
- - - - - X X X X X
dSi
dt= Pt − Qu − Ei
- - - X - - - - - X
dSr
dt= Pr − Qr
- - - - X - - - - -
Pt = Pu + Pr
- - - - X - - - - -
Pt = Pf + Ps
- - - - - X - - - -
Pt = Pu
X X X - - - X X X -
Qq = Pf + Ps - - - - - - X X X X
Qt = Qf X X X X - - - - - -
Qt = Qf + Qr - - - - X - - - - -
Qt = Qf + Qs - - - - - X X X X X
Tabela 5 - Equações constitutivas utilizadas para cada modelo.
Equações Constitutivas
Modelos
0
3
04 05 06 07 08 09 10 11 12
Si = Si/Imax - - - X - - - - - X
Pu = Ptfh(Si|m1) - - - X - - - - - X
Ei = CeEpfm(Si|m2) - - - X - - - - - X
Su = Su/Smax
X X X X X - X X X X
Qq = Pufp(Su |β)
- X X X X - X X X X
Qq = Pufh(Su |m1)
X - - - - - - - - -
Eu = CeEpfm(Su |m2)
X X X - X - X X X -
Eu
= CeEp(1
− fm(Si|m2))
(fm(Su |m2)
- - - X - - - - - X
Ef = CeEpfe(Sf|m3) - - - - - X - - - -
Pr = MPt - - - - X - - - - -
Ps = DQq - - - - - - X X X X
Ps = DPt - - - - - X - - - -
Qr = KrSr - - - - X - - - - -
Qf = KfSf - - - - - X X X X X
Qf = KfSfα
X X X X X - - - - -
Qs = KsSs - - - - - X X X X X
37
2.4. CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS
Os modelos devem o máximo possível refletir o entendimento dos
processos físicos da bacia. Dessa forma, torna-se possível fazer previsões
fora do período histórico ou na área utilizadas para a calibração (BEVEN,
2012). Para um modelo ser útil em previsões, os valores dos parâmetros
devem corretamente refletir as propriedades invariantes dos componentes
do sistema que eles representam (VRUGT et al., 2008).
A transformação da precipitação em escoamento inclui diversos
processos, com várias dinâmicas e escalas de tempo características,
variando de minutos a centenas de anos (BLÖSCHL; SIVAPALAN,
1995). A correta identificação de parâmetros que descrevem diferentes
componentes de resposta de vazão depende da resolução temporal dos
dados de entrada para a calibração. Parâmetros que descrevem processos
lentos possuem menor sensibilidade à resolução temporal dos dados,
mantendo-se constantes entre as resoluções temporais, enquanto os
parâmetros que descrevem a resposta rápida possuem alta sensibilidade
(KAVETSKI; FENICIA; CLARK, 2011). Diferentes resoluções
temporais podem influenciar de maneira diferente cada parâmetro a ser
estimado, sendo que uma alta resolução dos dados de chuva e vazão
permite, geralmente, uma melhor performance do modelo (KAVETSKI;
FENICIA; CLARK, 2011; LITTLEWOOD; CROKE, 2008; WANG; HE;
TAKASE, 2009). Bacias pequenas tipicamente apresentam respostas
mais rápidas à precipitação e, portanto, requerem resoluções menores do
que bacias grandes. Um passo de tempo diário poderia resultar em uma
pior representação dos picos de vazão e do tempo de pico (FICCHÌ;
PERRIN; ANDRÉASSIAN, 2016).
Muitas vezes, não é possível estimar parâmetros dos modelos
através de medições ou de estimativas a priori. A maioria dos estudos de
calibração envolve formas de otimização dos valores dos parâmetros,
comparando os resultados de repetidas simulações quando existe alguma
observação da resposta da bacia. Os valores dos parâmetros são ajustados
entre as rodadas do modelo, ou manualmente, ou por um algoritmo de
otimização automática computadorizado, até que o conjunto de
parâmetros que “melhor se ajusta” seja encontrado (BEVEN, 2012).
A abordagem tradicional de calibração de modelos hidrológicos
assume que a diferença entre os dados simulados e os observados se deve
unicamente à incerteza dos valores dos parâmetros. Esta abordagem
desconsidera os erros nos dados de entrada e na formulação do modelo
(Figura 3) (VRUGT et al., 2008). Deve-se ter em mente que nem sempre
existe apenas um conjunto de parâmetros ótimo, e que o conjunto que
melhor se ajusta a um período de observação pode não ser o melhor para
outro período. Isto se deve, principalmente, às diversas fontes de erro que
existem; como erros na medição dos dados e na estrutura do modelo
(BEVEN, 2012). Portanto, a utilização de um único conjunto de
parâmetros é questionável. Assim, para avaliar de forma correta a
confiabilidade dos resultados, as incertezas relacionadas ao processo de
calibração devem ser quantificadas (LALOY; FASBENDER;
BIELDERS, 2010).
Figura 3- Representação esquemática da calibração de um modelo. Os parâmetros
do modelo são ajustados iterativamente a fim de que os resultados simulados
(linha sólida) se aproximem ao máximo da resposta observada (linha pontilhada)
Fonte: adaptado de Vrugt et al. (2008).
Uma forma de encontrar o conjunto de parâmetros ideal é pela
estatística Bayesiana, que considera os parâmetros do modelo como
variáveis probabilísticas que possuem uma função de densidade de
probabilidade a posteriori. A inferência dos parâmetros na estatística
Bayesiana é baseada em uma função de verossimilhança, que quantifica
a probabilidade de que os dados observados foram gerados por um
conjunto particular de parâmetros (BOX; TIAO, 1992). A inferência
Bayesiana é baseada no teorema de Bayes, no qual a probabilidade a
posteriori de uma hipótese é proporcional ao produto da probabilidade a
priori da hipótese e da função de verossimilhança da mesma hipótese:
p(x|Y) ∝ p(x)p(Y|x)
(1)
onde x é o conjunto de parâmetros, Ŷ é o valor observado, p(x) é a
distribuição a priori dos parâmetros, p(x|Ŷ) é a distribuição a posteriori e
39
p(Ŷ|x) é a função de verossimilhança. A função de verossimilhança
resume de maneira probabilística a distância entre as simulações do
modelo e as observações correspondentes. Por isso, é importante
considerar a forma dos erros assumidos pela função de verossimilhança
quando se implementa o método Bayesiano. A efetividade da inferência
Bayesiana reside em caracterizar corretamente a forma dos erros por uma
função de verossimilhança e possui potencial para melhorar a estimativa
das incertezas (SMITH et al., 2010). O modelo dos erros residuais
determina a forma da função de verossimilhança e, portanto, a
distribuição a posteriori, que serve como função objetivo a ser otimizada
e amostrada durante a calibração do modelo (MCINERNEY et al., 2017).
Existem dois tipos de abordagens para especificar a função de
verossimilhança e estimar a incerteza: a abordagem formal e informal. Na
abordagem formal, é assumido a priori um modelo estatístico para os
erros residuais, ou seja, a forma da função de densidade de probabilidade
dos erros residuais é especificada a priori. Este modelo estatístico é usado
então para derivar a forma apropriada da função de verossimilhança
(SCHOUPS; VRUGT, 2010). A escolha da forma da função de
verossimilhança tem grande impacto na distribuição a posteriori dos
parâmetros calibrados, o que tem efeito significativo na estimativa da
incerteza. O uso de uma função de verossimilhança que não atende às
premissas pode levar ainda à inabilidade do modelo de encontrar os
valores reais dos parâmetros (SMITH et al., 2010).
Uma vantagem da abordagem formal está na possibilidade de
tentar separar os efeitos dos dados de entrada, dos parâmetros e da
estrutura do modelo na estimativa da incerteza total. Isto é essencial para
melhorar a teoria hidrológica e melhor entender e simular as vazões em
bacias hidrográficas (VRUGT et al., 2009). Outra vantagem é que a
hipótese do modelo dos erros é explícita, e sua validade pode ser
verificada a posteriori (SCHOUPS; VRUGT, 2010).
Críticas são feitas à aplicação do método formal devido a estas
premissas explícitas, que devem ser feitas sobre a distribuição dos erros
através da função de verossimilhança, uma vez que estas premissas não
são respeitadas na maioria dos casos em estudos de modelagem
hidrológica e pouca atenção é dada a este fato (SMITH et al., 2010). O
uso de uma função de verossimilhança que não descreve adequadamente os erros pode levar a interpretações errôneas dos parâmetros e da estrutura
do modelo. Além disso, junto com dados insuficientes, pode afetar os
tipos de processos que são capturados na inferência. O uso de uma função
de verossimilhança mais adequada estabiliza, e muitas vezes reduz, as
dependências da resolução temporal (KAVETSKI; FENICIA; CLARK,
2011).
Um modelo estatístico de erro comumente utilizado na hidrologia
é o standard least squares (SLS). O SLS assume que os erros são
independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma
distribuição gaussiana com média zero e variância constante N(0,σ²).
Entretanto, os erros encontrados em estudos de modelagem hidrológica
normalmente são correlacionados, não estacionários e não gaussianos
(SCHOUPS; VRUGT, 2010), e a violação das premissas da SLS introduz
viés na estimativa dos parâmetros e da incerteza (THYER et al., 2009).
A generalized likelihood function (GL), proposta por Schoups e
Vrugt (2010), relaxa as premissas comumente utilizadas sobre os erros
residuais, tornando-se mais aplicável a estudos hidrológicos, permitindo
considerar diferentes hipóteses para o modelo de resíduos. Os erros
residuais são melhor representados por um modelo que explicitamente
considera heteroscedasticidade, correlação e não normalidade, quando
comparados com as premissas da SLS (SCHOUPS; VRUGT, 2010). A
utilização de uma função de verossimilhança, que considera a variância
não constante dos erros, resulta em um melhor ajuste entre a vazão
observada e simulada, tanto no tempo quanto no volume, e em uma
estimativa superior da incerteza avaliada pelas métricas de confiabilidade
e precisão (SMITH et al., 2010). Quando comparada com a SLS, uma
representação correta da distribuição dos resíduos leva a diferentes
estimativas de parâmetros, que são menos sensíveis ao período utilizado
para a inferência (SCHOUPS; VRUGT, 2010). Além disso, a incerteza
associada aos parâmetros pode ser subestimada com a SLS (KAVETSKI;
FENICIA; CLARK, 2011).
Quanto à abordagem informal, um exemplo é o generalized
likelihood uncertainty estimation (GLUE) proposto por Beven e Binley
(1992). A função de verossimilhança é especificada a priori sem estar
explicitamente ligada ao erro do modelo. Este método é utilizado com
uma função de verossimilhança estatisticamente informal, e não
considera explicitamente os erros do modelo (VRUGT et al., 2009). Suas
premissas são portanto implícitas e não podem ser checadas a posteriori
(SCHOUPS; VRUGT, 2010).
2.4.1. DREAM – Differential Evolution Adaptive Metropolis
Para implementar o teorema de Bayes, são necessários métodos de
amostragem para calcular eficientemente a função de densidade de
probabilidade a posteriori dos parâmetros. Esta distribuição é
41
proporcional ao produto da função de verossimilhança com a distribuição
a priori e representa a incerteza sobre os parâmetros (VRUGT et al.,
2008).
Na maioria dos problemas na modelagem hidrológica a
distribuição a posteriori não pode ser obtida de forma analítica. Por isso,
amostradores como Monte Carlo Markov Chain são utilizados para
estimar a distribuição de probabilidade a posteriori dos parâmetros
(VRUGT et al., 2008). Estes métodos requerem uma definição a priori da
distribuição a ser amostrada (distribuição proposta), a qual determina a
capacidade de explorar e a eficiência do amostrador e, portanto, a taxa de
convergência da cadeia de Markov. Como há pouco conhecimento a priori
sobre a região de alta densidade do espaço de parâmetros no uso de
modelos hidrológicos, a distribuição proposta deve expressar uma alta
incerteza inicial, o que pode resultar em uma lenta convergência para a
distribuição a posteriori (VRUGT et al., 2003).
A base do método MCMC são as cadeias de Markov, que geram
um passo aleatório no espaço de amostragem com frequência estável
decorrente de uma distribuição de probabilidade fixa. O MCMC gera
tentativas de passos da posição atual da cadeia para uma nova. Uma forma
de aceitar este novo passo é o algoritmo random walk Metropolis (RWM).
Primeiro, um ponto candidato 𝜗 é amostrado da distribuição proposta q
que depende da posição atual, θt-1. Em seguida, o ponto candidato é ou
aceito ou rejeitado utilizando a probabilidade de aceite de Metropolis:
α(θt−1, ϑ) = {
min (π(ϑ)
π(θt−1), 1) se π(θt−1) > 0
1 se π(θt−1) = 0
(2)
onde π é a densidade a posteriori. Se o ponto é aceito, a cadeia passa para
o
próximo ponto. Caso contrário, ela permanece na posição θt-1. A
eficiência do RWM é determinada pela escolha da distribuição proposta,
utilizada para criar passos de tentativa na cadeia de Markov. Quando a
distribuição proposta é muito vasta, muitos pontos candidatos são
rejeitados, e, portanto, a cadeia irá convergir muito lentamente para a
distribuição a posteriori. Por outro lado, quando a distribuição proposta é
muito limitada, quase todos os pontos são aceitos, porém a distância
andada é tão pequena que levará muitas interações para a amostra
convergir para a distribuição a posteriori.
O Differential Evolution Adaptive Metropolis é um amostrador
MCMC proposto por Vrugt et al. (2008; 2009) que foi desenvolvido para
estimar a função de densidade de probabilidade a posteriori dos
parâmetros de modelos. O DREAM utiliza evolução diferencial de
algoritmos genéticos para a evolução da população, com o critério de
Metropolis para decidir quais pontos candidatos devem ser aceitos. O
DREAM executa em paralelo várias cadeias simultaneamente para a
exploração global, e ajusta automaticamente a escala e a orientação da
distribuição da proposta. Este algoritmo tem como base o Differential
Evolution Markov Chain (DE-MC) proposto por Ter Braak (2006), que
utiliza N cadeias que rodam em paralelo simultaneamente. Porém, contém
extensões que melhoram a eficiência de busca e taxa de aceite dos pontos
amostrados.
O DREAM difere do DE-MC em três maneiras (VRUGT et al.,
2008). Primeiro, o DREAM implementa uma estratégia aleatorizada de
amostragem subespacial, e somente modifica as dimensões a serem
atualizadas com probabilidade de crossover CR. Segundo, o algoritmo
incorpora um maior número de pares de cadeia utilizados nos saltos,
aumentando a diversidade das distribuições propostas e assim a
variabilidade da população. Terceiro, o DREAM remove cadeias outliers,
ou seja, que estão presas em áreas não produtivas do espaço de
parâmetros, e que poderiam piorar o desempenho do algoritmo
O DREAM requer pelo menos N = d/2 cadeias rodando em
paralelo, sendo d o número de parâmetros a serem inferidos. Quando o
número de parâmetros é alto, isso pode levar à ineficiência do algoritmo,
uma vez que cada cadeia necessita de um burn-in até convergir para a
distribuição a posteriori. Quanto menor o número de cadeias, maior a
aplicabilidade prática computacional do DREAM (LALOY; VRUGT,
2012). Visando diminuir o número de cadeias necessárias, Laloy e Vrugt
(2012) propuseram o DREAM(ZS), uma adaptação do DREAM que gera
pontos candidatos de um arquivo de estados passados, ao invés da posição
atual das demais cadeias. Isto permite que o número de cadeias utilizadas
seja menor, sendo sugerido que 3 são o suficiente para diversas
aplicações.
43
3. MATERIAIS E MÉTODOS
3.1. ÁREA DE ESTUDO
Para este trabalho foram utilizadas duas bacias experimentais: a
bacia do Rio Saci e a bacia do Rio dos Bugres (Figura 4), que já possuem
trabalhos feitos pelo Laboratório de Hidrologia da UFSC. A escolha foi
feita pela disponibilidade de dados com alta resolução temporal.
3.1.1. Bacia hidrográfica do rio Saci
A bacia hidrográfica do rio Saci é uma bacia experimental
localizada na região norte do estado de Santa Catarina, no município de
Rio Negrinho. Ela está inserida na bacia do Alto Rio Negro e é
caracterizada pelo reflorestamento de pinus e vegetação nativa, tendo uma
área de 10,2 ha – sendo 8,7 ha de reflorestamento de pinus – e um sistema
fluvial de segunda ordem (CHAFFE, 2009). A altitude média da bacia é
de 960 metros, e ela está inserida na unidade litoestratigráfica Formação
Mafra, do grupo Itaraé. Essa unidade litoestratigráfica resulta da
deposição, na Bacia do Paraná, de extensas sequências de sedimentos
predominantemente finos, desde o período Carbonífero, há
aproximadamente 340 milhões de anos, até o início do Mesozóico, há
cerca de 230 milhões de anos. Os sedimentos formam camadas ou estratos
de siltitos, folhelhos, argilitos, arenitos, arcóseos e conglomerados, com
intercalações de lentes e camadas de calcário e carvão (SANTA
CATARINA, 1986).
Os solos predominantes são os Cambissolos, derivados de rochas
sedimentares, seguidos pelo Podzólicos e os pertencentes à classe dos
Litólicos, Latossolos e Hidromórficos Gleyzados (DALAGNOL, 2001
apud SANTOS, 2009). A cobertura vegetal nativa varia entre Floresta
Ombrófila Mista e Floresta Ombrófila Densa, que fazem parte do bioma
da Mata Atlântica (SANTOS, 2009).
A vazão foi monitorada por Chaffe (2009) com um sistema de
monitoramento do nível de água no rio e posterior transformação através
da curva-chave. Os dados foram armazenados com uma resolução
temporal de 10 minutos, do dia 23/08/2008 até o dia 17/11/2008. A precipitação foi medida com uma estação meteorológica situada a 1 km
de distância da exutória da bacia, com resolução temporal de 10 minutos.
3.1.2. Bacia hidrográfica do Rio dos Bugres
A bacia hidrográfica do rio dos Bugres está inserida no município
de Rio Negrinho, no norte do estado de Santa Catarina. Sua área é de
66,41 km² e tem um sistema fluvial de quinta ordem. A altimetria da bacia
varia entre 767 e 985 metros, sendo ela bastante variada nas proximidades
da cabeceira (GRISON, 2013). Neste trabalho será utilizada uma sub
bacia da bacia do rio dos Bugres, com área de 6,95 km². A bacia está
inserida na unidade litoestratigráfica Formação Mafra, do grupo Itaraé,
assim como a bacia do rio Saci.
Quanto à geomorfologia, o relevo da região da bacia hidrográfica
do rio dos Bugres corresponde a uma superfície regular, quase plana, de
baixa energia de relevo (SANTA CATARINA, 1986). Os solos
predominantes são os Cambissolos, caracterizados como solos minerais,
com média a alta relação silte/argila e pela presença de minerais primários
de fácil decomposição (SANTA CATARINA, 1986). A maior parte da
bacia é composta por Floresta Ombrófila Mista, seguido por
reflorestamento de pinus. A área de agricultura representa 5,96%;
enquanto a área urbana apenas 1,01% (GRISON, 2013).
Para este trabalho foi utilizada uma sub bacia da bacia do rio dos
Bugres, a RB11. Os dados de precipitação e vazão foram coletados por
Grison (2013) entre o período de 11 de maio de 2011 e 01 de julho de
2014, com discretização temporal de 10 minutos. As medições de vazão
para elaboração da curva-chave foram feitas com o aparelho
FlowTracker, que tem como princípio de funcionamento o efeito Doppler,
ou seja, utiliza a mudança da frequência de uma onda sonora devido ao
movimento relativo entre o dispositivo e o material em suspensão na água
(GRISON, 2013). Com os dados de vazão e a cota d’água do trecho foram
feitas curvas-chave. Entretanto, as curvas-chave possuem um limite
superior de cota, que corresponde à cota de margem plena das seções de
monitoramento. Cotas maiores que estas possuem pouca confiabilidade e
seu uso aumenta a incerteza dos dados (CARDOSO, 2013). Por isso,
foram excluídos os pontos que apresentavam níveis acima destes limites
e então não foi possível utilizar a série inteira de dados. Para obtenção de
dados de precipitação se utilizou um pluviógrafo de báscula, com
resolução temporal de 10 minutos.
45
Figura 4 - Localização das duas bacias estudadas.
3.2. EVAPOTRANSPIRAÇÃO
A evapotranspiração potencial é um dos dados de entrada do
modelo, junto com a precipitação. Ela foi calculada pelo método de
Penman modificado (DOORENBOS; PRUITT, 1977). Os dados
necessários são temperatura; radiação incidente; umidade relativa do ar
média; e velocidade média do vento a 2 metros acima da superfície do
solo:
ETP = c [W ∙ Rn + (1 − W) ∙ f(u) ∙ (ea−ed)] (3)
onde ETP é a evapotranspiração potencial diária (mm/dia); c é um fator
de ajuste (adimensional); W é o fator de ponderação relacionado com a
temperatura e a altitude (adimensional); Rn é a radiação líquida (mm/dia);
f(u) é uma função relacionada ao vento; ea é a pressão de vapor da água
no ar saturado (mbar); e ed é a pressão do vapor do ar na condição real
(mbar) (ver Kobiyama (2011) para maior detalhamento).
Os dados foram monitorados na estação meteorológica Feio. Para
transformar os dados de evapotranspiração potencial diária para 10
minutos – resolução temporal dos dados de entrada do modelo –
considerou-se que a evapotranspiração se comporta como uma função
senoidal das 6h00 às 18h00 correspondente a 90% da evapotranspiração
potencial total do dia e possui valores constante no restante do tempo –
entre 00h00 às 6h00 e 18h00 às 24h00; de acordo com Chaffe (2009).
3.3. IMPLEMENTAÇAO NUMÉRICA DO MODELO
Neste trabalho escolheu-se manter os dados com uma resolução
temporal de 10 minutos, a fim de melhor representar os processos
hidrológicos que acontecem nas bacias hidrográficas.
Os processos nos modelos hidrológicos são geralmente
representados por equações de balanço de massa para cada reservatório
considerado, utilizando-se equações diferenciais ordinárias (ODE):
dS(t)
dt= I(t) − O(S(t))
(4)
onde S(t) é o armazenamento, I(t) é a entrada e O(S(t)) é a saída. Este é
um exemplo genérico.. Na maioria das vezes não é possível resolver estas
equações analiticamente, uma vez que as ODE que descrevem a taxa de
47
variação do armazenamento do reservatório são não lineares. Por isso,
utiliza-se métodos numéricos para resolvê-las. Neste trabalho foi
utilizado o método de aproximação Euler explícito, que é baseado no
fluxo no começo do passo de tempo Δt:
Sn+1(EE)
= Sn + ∆tIn − ∆tO(Sn)
(5)
onde superscrito (EE) significa Euler explícito. Este método de
aproximação é muito utilizado em modelos hidrológicos por causa da sua
simplicidade de implementação e rapidez computacional (KAVETSKI;
CLARK, 2011). O erro no caso de Euler explícito é linearmente
proporcional ao tamanho do passo dado Δt, portanto, a redução do
tamanho do passo reduz o erro e aumenta a precisão.
É preciso ter em mente que os métodos explícitos sofrem com
artefatos numéricos, que podem ocasionar bimodalidade da distribuição a
posteriori dos parâmetros (SCHOUPS et al., 2010) que deformam a
função objetivo do modelo, e que a análise de sensibilidade do modelo
pode ser contaminada por estes erros numéricos. A utilização destes
métodos, ainda que apresentem uma boa calibração, normalmente têm
validações ruins, obtendo “o resultado certo pelos motivos errados”, ou
seja, é possível que os erros numéricos compensem os erros estruturais do
modelo (CLARK; KAVETSKI, 2010; KAVETSKI; CLARK, 2010).
Ainda, estes métodos explícitos levam à performance ruim e
convergência lenta dos métodos MCMC (SCHOUPS et al., 2010).
Entretanto, passos de tempo menores (sub-horários) reduzem os erros
numéricos que existem em comparação a simulações com passo de tempo
diário (CLARK; KAVETSKI, 2010). Por este motivo, foi utilizado um
passo de integração de 1 minuto.
A implementação dos modelos no Matlab está no Apêndice A.
3.4. CALIBRAÇÃO
A calibração dos modelos foi feita a partir dos dados de
precipitação, evapotranspiração potencial e vazão para uma série histórica
para cada bacia. Para a bacia do rio Saci foi utilizado o período de
03/10/2008 às 20:10h até 17/11/2008 às 06:20h. Para a bacia do rio dos Bugres foi utilizado o período de 06/04/2012 às 12:10h até 09/07/2012 às
6:10h. Como entrada para o algoritmo DREAM(ZS) o usuário deve
escolher o número de parâmetros a serem inferidos (dimensão do
problema), número de interações e número de cadeias de Markov, que no
caso do DREAM(SZ) 3 são o suficiente. Como distribuição a priori para os
parâmetros, foi utilizada uma distribuição uniforme com limites
estabelecidos conforme a Tabela 6. Foram geradas 10.000 simulações
para cada uma das 3 cadeias para cada modelo com o algoritmo de
calibração automática DREAM(ZS). Foram usadas as últimas 25%
simulações para a análise da distribuição a posteriori dos parâmetros e
para a análise da incerteza. Estes últimos 25% de conjuntos de parâmetros
foram utilizados para a validação dos modelos. O período de dados para
a validação na bacia do rio Saci foi de 23/08/2008 às 04:20h até
03/10/2008 às 20:10h e na bacia do rio dos Bugres de 20/09/2012 às
04:10h até 06/02/2013 às 01:30h.
A Generalized Likelihood function (SCHOUPS; VRUGT, 2010)
foi utilizada como função de verossimilhança. Para avaliar as premissas
consideradas no modelo dos erros residuais, foram testadas diferentes
funções de verossimilhança, com crescente complexidade do modelo de
resíduos (SMITH; MARSHALL; SHARMA, 2015). O uso da generalized
likelihood function permite o aumento da complexidade do modelo com
a inclusão de parâmetros de forma sistemática, conforme Tabela 7. É
utilizado o logaritmo natural da função de verossimilhança por
simplicidade algébrica e por ter maior estabilidade numérica:
L(η|L) = nlog2σξ ωΦ
ξ + ξ−1− ∑ logσt
n
t=1
− cΦ ∑ |aξ,t|2
1+Φ
n
t=1
(6)
onde 𝑎𝜉,𝑡, 𝜔𝛷, 𝜎𝜉 e 𝑐𝛷 derivam dos valores de skewness 𝜉 e curtose Φ e
n é o número de dados. Neste trabalho a inferência dos parâmetros foi
feita a partir da função de verossimilhança, que mede em termos
probabilísticos a diferença entre os valores observados e simulados.
Porém, na comparação entre diferentes modelos deve-se considerar um
balanço entre o ajuste do modelo e a sua complexidade. Uma forma de
penalizar a complexidade com a inferência bayesiana é considerar a
evidência, que é denominador do teorema de Bayes.
49
Tabela 6 - Descrição dos parâmetros e seus intervalos mínimo e máximo
utilizados como limites da distribuição uniforme (distribuição a priori) utilizada
na calibração.
Parâmetro Descrição Intervalo Unidade
Mínimo Máximo
Ce Fator de correção da
evapotranspiração
0 2 -
Imax Capacidade máxima
armazenamento de
interceptação
0 500 mm
Su,max Capacidade máxima
armazenamento da zona
não saturada
0.1 700 mm
𝛽 Expoente do reservatório
da zona não saturada
0 50 -
M Porcentagem que vai para
reservatório da zona ripária
0.01 0.99 -
Kr Coeficiente do reservatório
da zona ripária
0.1 20 1/h
Tf Parâmetro da função de
propagação
0 200 h
Kf Coeficiente do reservatório
rápido
0 0.8
𝞪 Expoente do reservatório
rápido
1 20 -
D Divisão do fluxo entre os
reservatórios lento e rápido
0 0.99 -
Ks Coeficiente do reservatório
lento
0 10 1/h
σ0 Coeficiente linear do erro 0 1 mm
σ1 Coeficiente angular do erro 0 1 -
Φ Curtose -1 1 -
𝞷 Skewness (assimetria) 0.1 10 -
A primeira função utilizada (L1) foi a mais simples e é comumente
utilizada, que considera que os resíduos possuem uma distribuição
gaussiana, com média zero e variância constante, e são independentes. A
segunda função de verossimilhança (L2) considera que os erros são
heteroscedásticos. A heteroscedasticidade dos resíduos foi considerada
assumindo que o desvio-padrão do erro aumenta linearmente com a vazão
simulada:
σt = σ0 + σ1 Qt (x), (7)
em que σt é o desvio-padrão, Qt é o valor simulado com o conjunto de
parâmetros x e σ0 e σ1 são os coeficientes linear e angular,
respectivamente. Estes coeficientes são parâmetros inferidos
simultaneamente com os parâmetros do modelo hidrológico. A terceira
função (L3) considera uma distribuição não gaussiana dos erros. Neste
caso foram inferidos os parâmetros de curtose (𝛽) e de skewness (𝞷) da
distribuição dos resíduos, além dos parâmetros do modelo
heteroscedástico. Um resumo dos modelos dos resíduos das funções de
verossimilhança utilizados é apresentado na Tabela 7 (para mais detalhes
sobre a implementação da GL ver Schoups e Vrugt (2010)).
Tabela 7 - Funções de verossimilhança utilizadas e suas premissas sobre o
modelo de resíduos.
# Correlação Heteroscedasticidade Distribuição Implementação
L1 Não
correlacionado
Homoscedástico Gaussiana 𝛽 = 0; 𝞷 = 1; σ1
= 0
L2 Não
correlacionado
Heteroscedástico Gaussiana 𝛽 = 0; 𝞷 = 1
L3 Não
correlacionado
Heteroscedástico SEP
𝛽 corresponde ao parâmetro de curtose; 𝞷 de skewness; σ1 do desvio padrão; e
SEP = skew exponential power.
3.5. ANÁLISE DA INCERTEZA
A análise da incerteza da calibração foi feita utilizando três
métricas:
51
i. Confiabilidade. Uma previsão probabilística é considerada
confiável se as observações sobre uma série de tempo forem consistentes
com amostras da distribuição simulada.
A confiabilidade será avaliada de duas formas: com o gráfico
quantil-quantil (QQ) e com a métrica confiabilidade. O gráfico QQ exibe
a frequência empírica das observações dentro da distribuição
probabilística da vazão simulada. Se todos os pontos caírem sobre a linha
1:1, as observações são amostras da distribuição simulada. O gráfico QQ
pode ser interpretado conforme a Figura 5.
Figura 5 - Interpretação do gráfico QQ.
Fonte: adaptado de Thyer et al. (2009)
A métrica confiabilidade quantifica a discrepância entre a
distribuição observada a posteriori e a distribuição definida a priori:
Conf[Q, Q] = 2/Nt ∑ |FU[FQ(t)(Qt)] − FΩ[
Nt
t=1
FQ(t)(Qt)] |
(8)
onde FU é a função de distribuição cumulativa (cdf) de uma distribuição
uniforme U(0,1), FΩ é a cdf da distribuição empírica e FQ(t) é a cdf da
distribuição amostrada.
ii. Precisão. É a espessura média do intervalo de incerteza (P), é a
razão entre a média do desvio-padrão e a média da vazão observada.
Precisão[Q, Q] =1/Nt ∑ sdevQtNt
t=1
1Nt ∑ QtNt
t=1
(9)
onde Qt é a vazão simulada, Q é a vazão observada, e sdevQt é o desvio
padrão das previsões no tempo t. A precisão pode ser interpretada como
o coeficiente de variação das previsões, formulada em respeito à média
da vazão observada.
iii. Viés volumétrico. É o erro do balanço hídrico para todo o período
simulado (MCINERNEY et al., 2017).
VolBias[Q, Q] = |∑ Qt
Nt
t=1
− ∑ Qt
Nt
t=1
| / ∑ Qt
Nt
t=1
(10)
onde Qt é a média das vazões simuladas no tempo t. Foi escolhido utilizar
o valor absoluto do viés volumétrico.
As três métricas, confiabilidade, precisão e viés volumétrico,
possuem como valor ideal o zero.
3.6. ANÁLISE DOS RESÍDUOS
O uso de uma função de verossimilhança exige que as premissas
consideradas sobre o modelo dos resíduos sejam avaliadas utilizando
diagnósticos posteriores. As premissas dos modelos de resíduos serão
avaliadas graficamente, observando o ajuste dos resíduos à distribuição
assumida e a heteroscedasticidade (variância não constante dos resíduos).
53
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1. BACIA HIDROGRÁFICA DO RIO SACI
Para a bacia do Rio Saci, a precisão e a confiabilidade
apresentaram resultados melhores para a função de verossimilhança L3,
mostrando que o uso de um modelo de resíduos mais adequado melhora
a caracterização da incerteza dos resultados. A confiabilidade apresentou
resultados até 75% menores com a L3 quando comparadas com a L1. Já
a precisão melhorou em até 60% (Tabelas 8, 9 e 10). Desta forma, a
análise entre as estruturas dos modelos será feita com os resutados desta
função.
O modelo que teve melhor resultado de viés volumétrico e precisão
na calibração foi o M07. Já para a confiabilidade, o melhor resultado foi
com o modelo M09. Entretanto, os modelos M07, M08 e M10 tiveram
resultados bem próximos ao M09, variando de 0,0589 a 0,0525. Os
modelos M03, M04 e M05 apresentaram resultados piores para a
confiabilidade; para a precisão os modelos M05, M06 e M08 foram os
piores; e para o viés volumétrico os modelos M03, M04, M05, M06, M08
e M12. Os modelos com melhor resultado para a confiabilidade foram os
M07, M08, M09 e M10; para precisão o M07, M09, M10, M11 e M12; e
para o viés volumétrico o M07, M09, M10 e M11.
Na bacia os modelos com estrutura em série (M03-M06)
subestimaram os picos de vazão de forma considerável, quando
comparados com os com estruturas em paralelo (M07-M12) - todos os
resultados da calibração estão no Apêndice B.
Os modelos M07, e M09 ao M12 apresentaram os melhores
resultados e bastante semelhantes nas três métricas: viés volumétrico,
precisão e confiabilidade. Com estes resultados, pode-se dizer que na
calibração os melhores modelos são aqueles que possuem um reservatório
da zona não saturada e possuem uma divisão do fluxo entre dois
reservatórios. A inclusão de um reservatório lento e um rápido,
independentes, melhor representa os processos que ocorrem na bacia do
rio Saci. A bacia possui uma camada hidrologicamente ativa (com
material intemperizado) de mais de 5 metros na maior parte da sua área,
variando de 6 metros próximo do divisor a inferior a 1 metro próximo da
nascente (SANTOS, 2009). Ainda, com um ensaio de infiltração, Santos
(2009) verificou que o solo na bacia possui uma grande capacidade de
infiltração, e que, mesmo com precipitações elevadas essa capacidade não
foi excedida. Isto justifica a importância da divisão do fluxo entre
escoamento rápido e subterrâneo.
A inclusão de um reservatório de interceptação não melhorou os
resultados (M06 versus M05), tendo uma piora na confiabilidade e no viés
volumétrico; porém, apresentou uma melhora na precisão. Já entre o M11
e o M12, os resultados obtidos foram bastante parecidos, com uma
melhora na confiabilidade e precisão e aumento do viés volumétrico.
Como a Bacia do Rio Saci é florestal, era esperado que este reservatório
fosse melhorar os resultados. Uma possibilidade para este resultado é o
fato do modelo ser concentrado e considera que toda a bacia se comporta
da mesma forma, sem considerar a espacialidade da chuva e da vegetação.
A inclusão de um reservatório da zona não saturada (M08 versus
M09) melhorou todas as métricas com todas as funções de
verossimilhança. A inclusão de um reservatório da zona ripária (M05
versus M07) melhorou os resultados das três métricas na calibração, além
de melhorar a simulação dos picos de vazão (Figuras 6 e 7).
A inclusão de uma função de propagação (M09 versus M10) não
teve impacto significativo nos resultados, nem a inclusão da não
linearidade do reservatório da zona não saturada (M11 versus M10),
apresentando uma piora na confiabilidade. Dentre os modelos em paralelo
o que apresentou pior resultado de precisão e viés volumétrico foi o M08,
que é o mais simples e não possui um reservatório da zona não saturada.
A validação dos conjuntos de parâmetros em outro período
apresentou resultados piores para todas as métricas. O período utilizado
para a validação possui vazões menores e é considerado período seco
(CHAFFE, 2009). Os modelos em série (M03 ao M06) apresentaram
resultados melhores para a confiabilidade, porém com uma piora
significativa quando comparados com os valores da calibração. Um
motivo para a piora considerável é que os dois períodos são bastante
diferentes e por isso podem não ser representativos do comportamento
geral da bacia. O modelo com melhor resultado de viés volumétrico foi o
M05, de precisão o M07 e de confiabilidade o M04, considerando a
função L3. Melhores valores para confiabilidade foram obtidos com a L1,
e a precisão melhorou com o aumento da complexidade da função de
verossimilhança. O M07, que foi o melhor na calibração, apresentou o
pior resultado de confiabilidade na validação, porém continuou o melhor
na precisão. Entretanto, apenas uma boa precisão não pode ser considerada um bom resultado. Na validação do M07 as observações
estão na maior parte do tempo fora da faixa de incerteza, que é
relativamente fina por apresentar uma boa precisão (Figura 7).
55
Tabela 8 - Resultados do viés volumétrico em porcentagem na calibração e
validação dos modelos na bacia do rio Saci. As cores variam de vermelho para o
pior resultado a verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração e
validação são diferentes.
Viés Volumétrico
Modelo
Calibração Validação
L1 L2 L3 L1 L2 L3
M03 6,5 3,7 1,0 134,6 102,8 106,1
M04 0,3 0,6 0,9 165,7 195,7 122,5
M05 0,3 0,6 0,7 168,7 196,0 43,7
M06 1,6 0,1 0,8 90,4 171,3 106,1
M07 0,5 1,0 0,2 86,3 101,1 107,3
M08 2,4 3,3 1,7 185,2 168,2 174,1
M09 0,1 1,0 0,4 125,3 118,0 114,2
M10 0,0 1,1 0,4 125,6 118,0 113,4
M11 0,4 1,1 0,4 110,1 116,2 96,2
M12 0,6 1,1 0,8 106,4 111,4 100,9
Tabela 9 - Resultados da precisão na calibração e validação dos modelos na bacia
do rio Saci. As cores variam de vermelho para o pior resultado a verde para o
melhor. As escalas de cores para a calibração e validação são diferentes.
Precisão
Modelo
Calibração Validação
L1 L2 L3 L1 L2 L3
M03 0,42 0,28 0,19 3,39 2,34 1,21
M04 0,40 0,27 0,16 3,24 1,34 1,05
M05 0,40 0,26 0,26 3,24 1,33 2,10
M06 0,41 0,26 0,23 3,34 1,30 1,01
M07 0,25 0,14 0,12 2,05 0,28 0,26
M08 0,30 0,17 0,22 2,43 0,48 1,12
M09 0,24 0,14 0,13 1,96 0,67 0,62
M10 0,24 0,14 0,13 1,95 0,66 0,61
M11 0,24 0,14 0,12 1,92 0,68 0,67
M12 0,23 0,14 0,12 1,89 0,67 0,64
Tabela 10 - Resultados da confiabilidade na calibração e validação dos modelos
na bacia do rio Saci. As cores variam de vermelho para o pior resultado a verde
para o melhor. As escalas de cores para a calibração e validação são diferentes.
Confiabilidade
Modelo
Calibração Validação
L1 L2 L3 L1 L2 L3
M03 0,30 0,24 0,15 0,27 0,22 0,36
M04 0,26 0,10 0,13 0,32 0,40 0,34
M05 0,26 0,10 0,06 0,33 0,40 0,37
M06 0,24 0,11 0,17 0,23 0,36 0,35
M07 0,23 0,12 0,06 0,22 0,50 0,50
M08 0,20 0,07 0,05 0,39 0,53 0,40
M09 0,20 0,10 0,05 0,32 0,40 0,43
M10 0,20 0,10 0,06 0,32 0,40 0,43
M11 0,21 0,10 0,08 0,28 0,40 0,41
M12 0,21 0,12 0,08 0,27 0,39 0,42
Os gráficos quantil-quantil (QQ) apresentaram uma melhora
conforme o aumento da complexidade da função de verossimilhança, o
que também aconteceu com a confiabilidade calculada. A Figura 9
apresenta os gráficos QQ para as três funções de verossimilhança para os
modelos M05 e M07. Os gráficos de todos os modelos com a L1
apresentaram uma superestimativa da incerteza (conforme análise da
Figura 4). Os modelos M07 ao M12 apresentaram resultados satisfatórios
para a L3, com uma boa aproximação da linha 1:1. Já os modelos com
estruturas em série (M03 ao M06) apresentaram resultados piores para a
L3 em relação aos modelos em série. Os gráficos QQ para todos os
modelos estão no Apêndice B.
57
Figura 6 - Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança (L1,
L2 e L3) para o modelo M05 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura 7 - Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança (L1,
L2 e L3) para o modelo M07 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L1
L2
L3
59
Figura 8 - Resultados da validação para as três funções de verossimilhança (L1,
L2 e L3) para o modelo M07 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura 9 - Gráficos QQ para as três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3)
para os modelos M03 (linha de cima) e M07 (linha de baixo) na bacia do rio
Saci. Linha 1:1 em cinza para referência.
Qu
anti
s O
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
4.1.1. Análise dos resíduos
A verificação das premissas dos modelos de resíduos foi feita
graficamente (Figura 10) para cada função de verossimilhança, em
relação à variância em função do valor de vazão observado, e ao ajuste à
distribuição assumida. Os resíduos foram padronizados dividindo-os pelo
desvio-padrão. Os resultados encontrados para todos os modelos são
bastante semelhantes, e as premissas não são atendidas em nenhum dos
casos para a função L1; ou seja, os resíduos são heteroscedásticos, e não
possuem uma distribuição normal. Já com a função L2, que considera a
heteroscedasticidade dos erros, a variância dos resíduos ainda não foi
constante conforme os valores observados de vazão, porém obteve um
melhor ajuste da distribuição. A função L3 apresentou resultados
semelhantes da variância e a distribuição ficou próxima àquela que foi
inferida na calibração. Os parâmetros inferidos com a função L3 podem
ser considerados mais confiáveis que os inferidos com as L1 e L2, uma
vez que as premissas do modelo de resíduos foram melhor atendidas.
L1 L2 L3
L1 L2 L3
61
Figura 10 - Análise dos resíduos padronizados para as três funções de
verossimilhança para o modelo M07 na bacia do rio Saci. A linha contínua
representa a distribuição assumida. R
esíd
uos
Valores observados
Den
sidad
e
Resíduos
4.1.2. Análise dos parâmetros
A distribuição dos parâmetros variou tanto entre os modelos
quanto entre as funções de verossimilhança. As Figura 11 e Figura 12
apresentam a distribuição dos parâmetros para cada função de
verossimilhança. Muitas vezes as distribuições não possuem nenhum
valor em comum, quando comparadas entre as funções de
verossimilhança. As distribuições mantiveram-se mais constantes entre
os modelos em paralelo – M07 ao M12 – do que entre os modelos em
série – M03 ao M06. Por exemplo, a capacidade da zona não saturada
(Su,max) variou de aproximadamente 15 a 55 milímetros nestes modelos.
Nos modelos M03 a M06 a variação foi entre 5 e 500 milímetros. Isto
mostra que erros na estrutura dos modelos podem ser compensados nos
valores dos parâmetros.
O parâmetro D, que reparte o fluxo entre o escoamento superficial
(reservatório rápido) e subterrâneo (reservatório lento) apresentou valores
máximos próximos a 0,20; ou seja, apenas 20% do fluxo que sai do
reservatório da zona não saturada segue para o reservatório lento. O 𝞪
ficou próximo de 1 para os modelos que o utilizam, então o reservatório
rápido apresenta um comportamento mais linear. Por isso os modelos que
consideram este reservatório como linear (M08 ao M12) não tiveram uma
piora nos resultados.
L1
L1
L2
L2
L3
L3
Figura 11 - Distribuição dos parâmetros para cada função de verossimilhança
para cada os modelos M03 ao M07 para a bacia do rio Saci.
M03 M04 M05 M06 M07
63
Figura 12 - Distribuição dos parâmetros para cada função de verossimilhança
para cada os modelos M08 ao M12 para a bacia do rio Saci.
M08 M09 M10 M11 M12
4.2. BACIA DO RIO DOS BUGRES
A calibração dos modelos hidrológicos na bacia do rio dos Bugres
não apresentou uma diferença visível entre as estruturas em série e em
paralelo como na bacia do rio Saci.
A função de verossimilhança L3 apresentou resultados piores, de
forma geral, do que da L2, para as três métricas (Tabelas 11, 12 e 13).
Uma explicação pode ser a correlação que se obteve entre os parâmetros
do modelo de erros da L3 e alguns parâmetros dos modelos hidrológicos.
Resultados semelhantes foram em Evin et al. (2014), em que foram
utilizadas duas abordagens para inferir os parâmetros: uma em que os
parâmetros de heteroscedasticidade e autocorrelação são inferidos juntos
com os parâmetros do modelos hidrológico (da mesma forma que foi feito
neste trabalho); e outra em que primeiro os parâmetros do modelo são
inferidos utilizando-se um modelo de resíduos simples e depois os
parâmetros de um modelo de resíduos mais complexo – com
heteroscedasticidade e autocorrelação – são inferidos mantendo-se os
parâmetros do modelo hidrológico fixos. Os resultados da segunda
abordagem foram mais robustos, uma vez que se evita a interação entre
os parâmetros do modelo hidrológico e de erros. A alta interação entre os
parâmetros pode levar a dificuldades com a identificação dos parâmetros
e incerteza exagerada (EVIN et al., 2013). Entretanto, o uso de um modelo
de resíduos mais simples para a inferência dos parâmetros do modelo
hidrológico pode levar a resultados não confiáveis, com viés e com
estimativas da incerteza ruins (EVIN et al., 2014). O modelo M06 não
convergiu para a L3 e por isso não será avaliado nesta função.
A função L1 claramente apresentou resultados piores para a
precisão e confiabilidade na calibração, e para a validação a precisão é
pior para todos os modelos. Estes resultados são semelhantes com os da
bacia do rio Saci, e ressaltam a importância da escolha de uma função de
verossimilhança adequada.
Assim, a análise entre as estruturas dos modelos será feita
utilizando a função de verossimilhança L2, uma vez que ela obteve os
melhores resultados. Quando calibrados com a L2, os modelos com
melhor resultado para a confiabilidade foram os M08 e M03, todavia, a
precisão e o viés volumétrico foram muito piores com o M03, em relação
a todos os modelos. Os modelos M04, M05, M07, M09, M10, M11 e M12
obtiverem resultados semelhantes para a confiabilidade. A precisão se
manteve parecida entre os modelos M04 ao M12, sendo que o melhor
resultado foi com o M12. Já o viés volumétrico teve os melhores
resultados com os modelos M04, M05, M06, M09, M10 e M11.
65
O resultado pior do M03 (Figura 14) pode indicar que a bacia não
se comporta com um limiar na geração do escoamento rápido, uma vez
que o M04 difere do M03 por apresentar uma função exponencial ao invés
do limiar e apresentou resultados melhores, bem como os outros modelos.
A inclusão de uma função de propagação na saída do reservatório
da zona não saturada não teve efeito nos resultados com a L2 (M04 versus
M05, M09 versus M10). Entre os modelos M11 e M12 a inclusão de um
reservatório de interceptação melhorou a precisão, mas piorou a
confiabilidade e o viés volumétrico. Já entre o M05 e M06 a inclusão
deste reservatório de interceptação piorou todas as métricas. A
consideração da não linearidade do reservatório da zona não saturada
(M10 versus M11) melhorou a precisão e a confiabilidade, mas piorou o
viés volumétrico. A inclusão de um reservatório da zona ripária (M05
versus M07) melhorou a precisão, mas piorou a confiabilidade e o viés
volumétrico. Os modelos M04, M05 e M11 (Figura 15) foram os que, no
geral, tiveram os melhores resultados, tanto na calibração quanto na
validação. A diferença entre eles é a inclusão de uma função de
propagação (M04 versus M05), inclusão de um reservatório lento (M05
versus M11) e a não linearidade do reservatório rápido (M04 e M05
possui, o M11 não).
A validação dos conjuntos de parâmetros em outro período de
dados teve resultados mais consistentes quando comparados com a bacia
do rio Saci. A confiabilidade foi melhor com o modelo M03 e M06, sendo
que os modelos M04, M05, M07, M11 e M12 apresentaram bons
resultados. Com os modelos M03, M06, e M12 a confiabilidade foi
melhor do que na calibração, provavelmente porque o período de dados
da validação é mais simples de ser representado. Assim como na
calibração, mesmo com uma boa confiabilidade, o M03 obteve os piores
resultados para a precisão e viés volumétrico. Os modelos M09 e M10
tiveram resultados piores de confiabilidade e viés volumétrico que os
demais. Junto com os resultados do M03, isso pode indicar que o
reservatório da zona insaturada possui um comportamento não linear. A
precisão teve os melhores resultados com o M07, M09, M10, M11 e M12
e o viés volumétrico foi melhor com os modelos M04, M05 e M11 (Figura
16).
Os gráficos QQ (Figura 13) apresentaram uma melhora conforme o aumento da complexidade da função de verossimilhança, da L1 para a
L2. A L1 apresentou superestimativa da incerteza. Com a função de
verossimilhança L3 os modelos M03, M04, M09, M10, M11 e M12
apresentaram uma previsão subestimada, assim como na L2 os modelos
M05, M06, M07, M09, M10, M11 e M12.
Tabela 11 - Resultados do viés volumétrico em porcentagem na calibração e
validação dos modelos na bacia do rio dos Bugres. As cores variam de vermelho
para o pior resultado a verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração
e validação são diferentes.
Viés Volumétrico
Modelo
Calibração Validação
L1 L2 L3 L1 L2 L3
M03 34,0 74,2 56,1 99,1 84,2 26,0
M04 4,8 3,8 31,9 19,9 7,2 10,0
M05 8,5 3,9 5,0 26,5 8,1 4,8
M06 13,7 4,8 11,2 17,4
M07 3,4 9,0 18,6 16,4 23,9 26,4
M08 9,5 5,6 13,3 0,4 40,0 34,5
M09 1,9 2,8 18,4 26,2 54,5 61,7
M10 1,0 2,9 17,9 54,5 54,6 61,5
M11 1,1 3,5 39,1 39,7 3,8 52,7
M12 11,8 6,0 12,1 57,8 33,3 31,8
Tabela 12 - Resultados da precisão na calibração e validação dos modelos na
bacia do rio dos Bugres. As cores variam de vermelho para o pior resultado a
verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração e validação são
diferentes.
Precisão
Modelo
Calibração Validação
L1 L2 L3 L1 L2 L3
M03 1,95 0,82 0,85 2,37 0,95 1,00
M04 1,19 0,48 0,88 1,44 0,58 1,03
M05 1,15 0,48 0,66 1,39 0,58 0,88
M06 1,17 0,50 1,42 0,68
M07 1,17 0,39 0,65 1,42 0,47 0,83
M08 1,71 0,45 0,40 2,07 0,69 0,63
M09 1,47 0,42 0,71 1,78 0,41 0,71
M10 1,43 0,42 0,71 1,73 0,41 0,71
M11 1,51 0,40 0,71 1,82 0,50 0,67
M12 1,27 0,36 0,58 1,54 0,40 0,93
67
Tabela 13 - Resultados da confiabilidade na calibração e validação dos modelos
na bacia do rio dos Bugres. As cores variam de vermelho para o pior resultado a
verde para o melhor. As escalas de cores para a calibração e validação são
diferentes.
Confiabilidade
Calibração Validação
L1 L2 L3 L1 L2 L3
M03 0,39 0,09 0,23 0,43 0,07 0,11
M04 0,31 0,18 0,15 0,36 0,20 0,14
M05 0,32 0,18 0,08 0,37 0,21 0,19
M06 0,34 0,23 0,32 0,10
M07 0,31 0,19 0,28 0,35 0,45 0,46
M08 0,32 0,08 0,04 0,31 0,22 0,32
M09 0,32 0,19 0,31 0,37 0,71 0,66
M10 0,32 0,20 0,31 0,43 0,71 0,67
M11 0,33 0,15 0,21 0,40 0,19 0,79
M12 0,34 0,18 0,37 0,44 0,14 0,08
Figura 13 - Gráficos QQ para as três funções de verossimilhança para os
modelos M03 (linha de cima) e M11 (linha de baixo) na bacia do rio dos
Bugres. Linha 1:1 em cinza para referência.
Qu
anti
s O
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
L1 L2 L3
L1 L2 L3
Figura 14 - Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M03 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
69
Figura 15 - Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M11 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L2
L3
L1
Figura 16 - Resultados da validação para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M11 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L2
L3
L1
71
4.2.1. Análise dos resíduos
A verificação das premissas dos modelos de resíduos foi feita da
mesma forma que na bacia do rio Saci, para cada função de
verossimilhança, em relação à variância em função do valor de vazão
observado, e ao ajuste à distribuição assumida. A Figura 17 apresenta a
distribuição dos resíduos e sua distribuição para as três funções de
verossimilhança para o modelo M11. Como na outra bacia, os resultados
para todos os modelos foram bastante semelhantes, e as premissas não são
atendidas em nenhum dos casos para a função L1. Com a função L2, que
considera a heteroscedasticidade dos erros, a variância dos resíduos ainda
não foi constante conforme os valores observados de vazão, porém os
resíduos se ajustaram melhor à distribuição assumida. A função L3
apresentou resultados semelhantes da variância e a distribuição ficou
próxima àquela que foi inferida na calibração.
Os resultados semelhantes para as duas bacias estudadas, juntos
com os de confiabilidade e precisão, reforçam a importância de se utilizar
um modelo de resíduos correto na função de verossimilhança, uma vez
que o uso de um modelo cujas premissas não são atendidas piora os
resultados e não pode ser considerado confiável.
Figura 17 - Análise dos resíduos padronizados para as três funções de
verossimilhança para o modelo M11 na bacia do rio dos Bugres
Res
ídu
os
Valores observados
Den
sidad
e
Resíduos
L1
L1
L2
L2
L3
L3
4.2.2. Análise dos parâmetros
Assim como na bacia do rio Saci, os parâmetros inferidos na bacia
do rio dos Bugres tiveram distribuições diferentes com cada função de
verossimilhança e com cada modelo. A Figura 18 apresenta as
distribuições dos parâmetros inferidos com as três funções de
verossimilhança (L1, L2 e L3) para os modelos M03 ao M07 e a Figura
19 para o M08 ao M12. O parâmetro Ce, que é um fator de ajuste da
evapotranspiração, convergiu para o seu limite superior, igual a 2. O
motivo pode ser uma tentativa de compensar outras perdas, como a da
interceptação. O parâmetro 𝞪 teve valores maiores que 2 na maioria dos
modelos, acusando uma não linearidade do escoamento superficial. O
parâmetro 𝛽 também apresentou valores diferentes e, na maioria dos
modelos, menores que 1, indicando uma não linearidade do reservatório
lento. Estes resultados justificam a pior simulação da vazão em modelos
lineares, como o M09 e M10, nos quais estes dois parâmetros eram fixos
em 1.
Quando o modelo não apresenta reservatório lento (M04, M05,
M06 e M07) o parâmetro Smax apresentou valores maiores, convergindo
algumas vezes para o seu limite superior, igual a 700 milímetros. Este
resultado também pode ser uma forma de compensar pela falta do
escoamento subterrâneo nos modelos. O mesmo aconteceu com a bacia
do Rio Saci. O parâmetro D obteve valores de 0,4 a 0,6 para o M11 – que
teve bons resultados na calibração e validação. Ou seja, de 40 a 60% do
fluxo foi para o reservatório lento.
Estes resultados novamente mostram a importância da escolha da
função de verossimilhança na inferência dos parâmetros, já que isto leva
a conjuntos de parâmetros diferentes.
73
Figura 18 - Distribuição dos parâmetros para cada função de verossimilhança
para cada os modelos M03 ao M07 para a bacia do rio dos Bugres.
M03 M04 M05 M06 M07
Figura 19 - Distribuição dos parâmetros para cada função de verossimilhança
para cada os modelos M08 ao M12 para a bacia do rio dos Bugres
M08 M09 M10 M11 M12
.
75
5. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Este trabalho teve como objetivo analisar a influência da escolha
da função de verossimilhança na calibração dos modelos. Quando se
utiliza a abordagem formal do método de Bayes é assumido a priori um
modelo estatístico para os resíduos, e suas premissas muitas vezes não são
verificadas posteriormente. Por isso, uma escolha incorreta pode levar a
resultados não confiáveis dos parâmetros e da incerteza das simulações.
Foram utilizadas três funções de verossimilhança com modelos de
resíduos com crescente complexidade. A primeira, L1, considera que os
resíduos possuem uma distribuição gaussiana, com variância constante, e
são independentes. A segunda função, L2, considera que os erros são
heteroscedásticos. A terceira função (L3) considera a
heteroscedasticidade e uma distribuição não gaussiana dos erros. A
terceira apresentou melhores resultados para a confiabilidade e precisão
para a bacia do rio Saci. Quando analisados os resíduos, as premissas do
modelo foram melhor atendidas. Já na bacia do rio dos Bugres a L3 teve
resultados piores do que a L2 porque os parâmetros do modelo de resíduos
tiveram correlação com os dos modelos hidrológicos. A L1 foi a que teve
resultados piores nas duas bacias. Esta função é a mais comumente
utilizada para a calibração de modelos hidrológicos e o seu uso pode levar
a conclusões erradas: a escolha da função de verossimilhança influenciou
na escolha do melhor modelo e no conjunto de parâmetros inferido.
Todavia, as funções de verossimilhança utilizadas não
consideraram a autocorrelação dos resíduos, uma característica comum
nos resíduos de modelos hidrológicos. Por isso, recomenda-se para
futuros trabalhos utilizar uma função de verossimilhança que considera
esta autocorrelação e levar em conta a evidência, para poder comparar
modelos com diferentes números de parâmetros. Ainda, os erros devidos
ao método numérico utilizado – Euler explícito – podem ter interferido na
incerteza e inferência dos parâmetros. Por isso, deve-se implementar os
modelos utilizando métodos mais robustos, como Euler implícito e
Runge-Kutta.
Outro objetivo do trabalho era analisar a influência da estrutura de
dez modelos hidrológicos conceituais na simulação do processo chuva-
vazão em duas bacias florestais. Os modelos diferiam entre si de forma
sistemática, o que permitiu verificar o impacto de diferentes componentes
nos resultados, como a inclusão de reservatórios, funções de propagação
e não linearidade dos fluxos. Para as duas bacias estudadas, os modelos
apresentaram resultados diferentes. Para a bacia do rio Saci, modelos com
estrutura em paralelo apresentaram um melhor resultado quando
consideradas as três métricas: confiabilidade, viés volumétrico e precisão.
O uso de um reservatório da zona não saturada seguido de dois
reservatórios independentes foi o que melhor representou a bacia. Já a
bacia do rio dos Bugres, os modelos M04, M05 e M11 apresentaram os
melhores resultados, considerando as três métricas. A diferença entre eles
é apenas uma função de propagação (M04 versus M05) e a inclusão de
um reservatório da zona não saturada (M05 versus M11), mostrando que
estes componentes não influenciam tanto nesta bacia. Já os modelos com
as piores simulações foram os lineares, provavelmente porque a bacia tem
um comportamento não linear significativo.
Para melhor identificar a influência da estrutura dos modelos,
sugere-se o uso de mais bacias para o estudo e calcular características
físicas e hidrológicas, a fim de buscar relações entre o comportamento das
bacias com diferentes componentes do modelo. Algumas características
podem ser: área, flashiness (razão das flutuações diárias da variável em
questão pelo total do período de tempo) da evapotranspiração potencial,
da precipitação e da vazão, profundidade do solo, índice de aridez,
elevação, e water yield (razão entre vazão média e precipitação média).
Séries históricas maiores podem também ajudar para definir as
principais características da bacia e assim obter um melhor resultado na
validação. A série utilizada para a bacia do rio Saci não foi o suficiente
para generalizar o comportamento da bacia. O período utilizado é
caracterizado como úmido, e sua validação em um período seco
apresentou resultados ruins. Já os parâmetros inferidos na calibração na
bacia do rio dos Bugres quando validados apresentaram valores para as
métricas semelhantes aos da calibração; às vezes melhores, possivelmente
porque a série utilizada na validação era mais simples. Uma forma de
avaliar a sensibilidade dos parâmetros ao período de dados utilizado é
calibrar os modelos para mais de um período. Dessa forma pode-se avaliar
a distribuição dos parâmetros para os dois períodos.
77
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83
APÊNDICE A - IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DOS
MODELOS NO MATLAB
1. CONFIGURAÇÃO GERAL
% Carregar dados
load entrada.mat
dt_in = 10; % resolução temporal dos dados (10min)
dt_out = 60; % resolução temporal da saída (horas)
F = (dt_out/dt_in);
Pt = F*entrada(:,1); % precipitação
Ep = F*entrada(:,2); % evapotranspiração potencial
% Especificar passo de tempo da integração
dt = 1; % passo de tempo de integração (min)
Dt = dt/dt_out; % passo de tempo de integração (hora)
tmax = length(Pt);
m = 0.01;
S0 = 0.2; %estado inicial
% Inicialização das variáveis
Su_EE=zeros(tmax,1);
Qq_EE=zeros(tmax,1);
Sf_EE=zeros(tmax,1);
Qf_EE=zeros(tmax,1);
Ss_EE=zeros(tmax,1);
Qs_EE=zeros(tmax,1);
Sr_EE=zeros(tmax,1);
Qr_EE=zeros(tmax,1);
Pi_EE=zeros(tmax,1);
Si_EE=zeros(tmax,1);
Ei_EE=zeros(tmax,1);
% Inicialização dos reservatorios
Su_Dt=S0; Sf_Dt = S0; Ss_Dt=S0; Sr_Dt=S0;
2. MODELO M03
function [Qt] = M03(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Sumax = x(2); Kf = x(3); alpha = x(4);
for t=1:tmax
% Reservatório da zona não saturada
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pt(t),Ep(t),Sumax,Ce,m,Dt)
;
End
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE (t) = mean(Qq);
Su_EE (t) = Su_Dt;
end
Pf = Qq_EE;
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR(Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EEs(t) = mean(Qf);
Sf_EEs(t) = Sf_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE;
Qt = Qt_EE;
end
3. MODELO M04
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Sumax = x(2); beta = x(3); Kf = x(4); alpha =
x(5);
for t=1:tmax
% Reservatório insaturado
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pt(t),Ep(t),Sumax,beta,Ce,
m,Dt);
85
End
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Su_EE (t) = Su_Dt;
end
Pf = Qq_EE;
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR (Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE (t) = Sf_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE;
Qt = Qt_EE;
end
4. MODELO M05
function [Qt] = M05(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Sumax = x(2); beta = x(3); Tlag = x(4); Kf =
x(5); alpha = x(6);
for t=1:tmax
% Reservatório insaturado
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pt(t),Ep(t),Sumax,beta,Ce,
m,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE(t) = mean(Qq);
Su_EE(t) = Su_Dt;
end
Pf = Qq_EE;
%aplica a função de atraso
Weigths=Weigfun(Tlag);
Pf = conv(Pf,Weigths);
Pf=Pf(1:tmax);
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR(Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE;
Qt = Qt_EE;
end
5. MODELO M06
function [Qt] = M06(x)
% Definição dos parâmetros Ce = x(1); Imax = x(2); Sumax = x(3); beta=x(4); Tlag
= x(5); Kf = x(6); alpha = x(7);
for t=1:tmax
% Reservatório de interceptação
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Pi(kk),Si_Dt,Ei(kk)]=IR(Si_Dt,Pt(t),Ep(t),Imax,Ce
,m,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Pi_EE (t) = mean(Pi);
Si_EE (t) = Su_Dt;
87
Ei_EE (t) = mean(Ei);
end
Pi = Pi_EE;
Eu = Ei_EE;
for t=1:tmax
% Reservatório insaturado
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pi(t),Sumax,beta,m,Dt,Eu(t
));
End
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE (t) = mean(Qq);
Su_EE (t) = Su_Dt;
end
Pf = Qq_EE;
% aplica a função de atraso
Weigths=Weigfun(Tlag);
Pf = conv(Pf,Weigths);
Pf=Pf(1:tmax);
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR(Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
End
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE;
Qt = Qt_EE;
end
6. MODELO M07
function [Qt] = M07(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Sumax = x(2); beta = x(3); M = x(4); Kr =
x(5); Tlag = x(6); Kf = x(7); alpha = x(8);
% Divide a precipitação total entre a zona ripária e não
saturada
Pr = M*Pt;
Pu = (1-M)*Pt;
% Reservatório da zona ripária
for t=1:tmax
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Sr_Dt(kk),Qr]=FR(Sr_Dt,Pr(t),Ep(t),Kr,1,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qr_EE(t) = mean(Qr);
Sr_EE(t) = Sr_Dt;
for t=1:tmax
% Reservatório insaturado
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pu(t),Ep(t),Sumax,beta,Ce,
m,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE (t) = mean(Qq);
Su_EE (t) = Su_Dt;
end
Pf = Qq_EE;
%aplica a função de atraso
Weigths=Weigfun(Tlag);
Pf = conv(Pf,Weigths);
Pf=Pf(1:tmax);
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR(Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
89
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE + Qr_EE;
Qt = Qt_EE;
end
7. MODELO M08
function [Qt] = M08(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Kf = x(2); D = x(3); Ks = x(4);
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR_8(Sf_Dt,Pt(t),Ep(t),D,Kf,Ce,m,Dt
);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
% Reservatório lento
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qs(kk),Ss_Dt]=SR(Ss_Dt,Pt(t),D,Ks,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qs_EE(t) = mean(Qs);
Ss_EE(t) = Ss_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE + Qs_EE;
Qt = Qt_EE;
end
8. MODELO M09
function [Qt] = M09(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Sumax = x(2); Kf = x(3); D = x(4); Ks =
x(5);
alpha=1; beta=1;
for t=1:tmax
% Unsaturated reservoir
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pt(t),Ep(t),Sumax,beta,Ce,
m,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE(t) = mean(Qq);
Su_EE(t) = Su_Dt;
end
Pf = (1-D)*Qq_EE;
Ps = D*Qq_EE;
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR(Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
% Reservatório lento
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qs(kk),Ss_Dt]=SR(Ss_Dt,Ps(t),Ks,Dt);
end
% Compute total flow for timestep
Qs_EE(t) = mean(Qs);
Ss_EE(t) = Ss_Dt;
91
end
Qt_EE = Qf_EE + Qs_EE;
Qt = Qt_EE
end
9. MODELO M10
function [Qt] = M10(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Sumax = x(2); Tlag = x(3); Kf = x(4); D =
x(5); Ks = x(6);
alpha = 1; beta = 1;
for t=1:tmax
% Reservatório insaturado
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pt(t),Ep(t),Sumax,beta,Ce,
m,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE(t) = mean(Qq);
Su_EE(t) = Su_Dt;
end
Pf = (1-D)*Qq_EE;
Ps = D*Qq_EE;
% aplica a função de atraso
Weigths=Weigfun(Tlag);
Pf = conv(Pf,Weigths);
Pf=Pf(1:tmax);
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR(Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
% Reservatório lento
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qs(kk),Ss_Dt]=SR(Ss_Dt,Ps(t),Ks,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qs_EE(t) = mean(Qs);
Ss_EE(t) = Ss_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE + Qs_EE;
Qt = Qt_EE;
end
10. MODELO M11
function [Qt] = M11(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Sumax = x(2); beta=x(3); Tlag = x(4);
Kf = x(5); D = x(6); Ks = x(7);
alpha = 1;
for t=1:tmax
% Reservatório insaturado
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pt(t),Ep(t),Sumax,beta,Ce,
m,Dt);
End
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE(t) = mean(Qq);
Su_EE(t) = Su_Dt;
end
Pf = (1-D)*Qq_EE;
Ps = D*Qq_EE;
% aplica a função de atraso
93
Weigths=Weigfun(Tlag);
Pf = conv(Pf,Weigths);
Pf=Pf(1:tmax);
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR(Sf_Dt,Pf(t),Kf,alpha,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
% Reservatório lento
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qs(kk),Ss_Dt]=SR(Ss_Dt,Ps(t),Ks,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qs_EE(t) = mean(Qs);
Ss_EE(t) = Ss_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE + Qs_EE;
Qt = Qt_EE;
end
11. MODELO M12
function [Qt] = M12(x)
% Definição dos parâmetros
Ce = x(1); Imax=x(2); Sumax = x(3); beta=x(4); Tlag =
x(5); Kf = x(6); D = x(7); Ks = x(8);
for t=1:tmax
% Reservatório de interceptação
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Pi(kk),Si_Dt,Ei(kk)]=IR(Si_Dt,Pt(t),Ep(t),Imax,Ce
,m,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Pi_EE(t) = mean(Pi);
Si_EE(t) = Si_Dt;
Ei_EE(t) = mean(Ei);
end
Pi = Pi_EE;
Eu = Ei_EE;
for t=1:tmax
% Reservatório insaturado
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qq(kk),Su_Dt]=UR(Su_Dt,Pi(t),Sumax,beta,m,Dt,Eu(t
),Ce,Ep(t));
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qq_EE(t) = mean(Qq);
Su_EE(t) = Su_Dt;
end
Pf = (1-D)*Qq_EE;
Ps = D*Qq_EE;
% aplica a função de atraso
Weigths=Weigfun(Tlag);
Pf = conv(Pf,Weigths);
Pf=Pf(1:tmax);
for t=1:tmax
% Reservatório rápido
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qf(kk),Sf_Dt]=FR_EEs(Sf_Dt,Pf(t),Kf,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
Qf_EE(t) = mean(Qf);
Sf_EE(t) = Sf_Dt;
% Reservatório lento
for kk = 1:(dt_in/dt)
[Qs(kk),Ss_Dt]=SR(Ss_Dt,Ps(t),Ks,Dt);
end
% Calcula a vazão total do passo de tempo
95
Qs_EE(t) = mean(Qs);
Ss_EE(t) = Ss_Dt;
end
Qt_EE = Qf_EE + Qs_EE;
Qt = Qt_EE;
end
12. FUNÇÕES AUXILIARES
% Reservatório da zona não saturada
function [Qq,S_Dt]= UR(S0,P,Ep,Sumax,beta,Ce,m,Dt)
Sux = S0/Sumax;
S_Dt = S0 + Dt*P - Dt*P*Sux^beta - Dt*Ce*Ep*(1 +
m)*Sux/(Sux + m);
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*P - Dt*Ce*Ep*(1 + m)*Sux/(Sux +
m);
end
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*P;
end
Qq = P*Sux^beta;
end
% Reservatório rápido
function [Qf,S_Dt] = FR(S0,Pf,Kf,alpha,Dt)
S_Dt = S0 + Dt*Pf - Dt*Kf*S0^alpha;
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*Pf;
end
Qf = Kf*S0^alpha;
% Reservatório rápido para modelo 08
function [Q,S_Dt] = FR_8(S0,P,Ep,D,K,Ce,m,Dt)
S_Dt = S0 + Dt*(1-D)*P - Dt*K*S0 - Dt*Ce*Ep*(1 -
exp(-S0/m));
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*(1-D)*P - Dt*Ce*Ep*(1 - exp(-
S0/m));
end
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*(1-D)*P;
end
Q = K*S0;
end
% Reservatório lento
function [Q,S_Dt] = SR(S0,P,K,Dt)
S_Dt = S0 + Dt*P - Dt*K*S0;
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*P;
end
Q = K*S0;
end
% Reservatório de interceptação
function [Pu,S_Dt,E] = IR (S0,P,Ep,Imax,Ce,m,Dt)
Six = S0/Imax;
S_Dt = S0 + Dt*P - Dt*P*((1-(1-Six)*(1+m))/(1-
Six+m)) - Dt*Ce*Ep*(1 + m)*Six/(Six + m);
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*P - Dt*Ce*Ep*(1 + m)*Six/(Six +
m);
end
if S_Dt < 0
S_Dt = S0 + Dt*P;
end
Pu = P*((1-(1-Six)*(1+m))/(1-Six+m));
E = Ce*Ep*(1 + m)*Six/(Six + m);
end
97
APÊNDICE B – RESULTADOS BACIA DO RIO SACI
Figura B1. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M03 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura B2. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M03 na bacia do rio
Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L2 L1
L3 L2 L1
L3 L2
L3
99
Figura B3. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M04 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura B4. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M04 na bacia do rio
Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
L1
101
Figura B5. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M05 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura B6. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M05 na bacia do rio
Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
103
Figura B7. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M06 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura B8. Resultados dos gráficos QQ, dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M06 na bacia do rio
Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
105
Figura B9. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M07 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L1
L2
L3
Figura B10. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M07 na bacia do
rio Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L3
L3
L2 L3
107
Figura B11. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M08 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L1
L2
L3
Figura B12. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M08 na bacia do
rio Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
109
Figura B13. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M09 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura B14. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M09 na bacia do
rio Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
111
Figura B15. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M10 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura B16. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M10 na bacia do
rio Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L2
L2
L2
L3
L3
L3
L1
L1
L1
113
Figura B17. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M11 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L2
L3
L1
Figura B18. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M11 na bacia do
rio Saci.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
115
Figura B19. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M12 na bacia do rio Saci.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L1
L2
Figura B20. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M12 na bacia do
rio Saci.
L1
L1
L1
L2
L2
L3
L3
L2 L3
117
APÊNDICE C – RESULTADOS BACIA DO RIO DO BUGRES
Figura C1. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M03 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura C2. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M03 na bacia do rio
dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L2 L1
L3 L2 L1
L3 L2
L3
119
Figura C3. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M04 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura C4. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M04 na bacia do rio
dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
L1
121
Figura C5. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M05 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura C6. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M05 na bacia do rio
dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
123
Figura C7. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2) para o modelo M06 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L2
L1
Figura C8. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as três
funções de verossimilhança (L1, L2) para o modelo M06 na bacia do rio dos
Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados (mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
125
Figura C9. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M07 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L1
L2
L3
Figura C10. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M07 na bacia do
rio dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L3
L3
L2 L3
127
Figura C11. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M08 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L1
L2
L3
Figura C12. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M08 na bacia do
rio dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
129
Figura C13. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M09 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura C14. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M09 na bacia do
rio dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
131
Figura C15. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M10 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L2
L1
Figura C16. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M10 na bacia do
rio dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L2
L2
L2
L3
L3
L3
L1
L1
L1
133
Figura C17. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M11 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L2
L3
L1
Figura C18. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M11 na bacia do
rio dos Bugres.
Qu
anti
s o
bse
rvad
os
Quantis teóricos U[0,1]
Res
ídu
os
Valores observados
(mm/h)
Den
sid
ade
Resíduos
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L3
135
Figura C19. Resultados da calibração para as três funções de verossimilhança
(L1, L2 e L3) para o modelo M12 na bacia do rio dos Bugres.
Vaz
ão (
mm
/h)
Tempo (10min)
L3
L1
L2
Figura C20. Resultados dos gráficos QQ, e dos resíduos padronizados para as
três funções de verossimilhança (L1, L2 e L3) para o modelo M12 na bacia do
rio dos Bugres.
L1
L1
L1
L2
L2
L3
L3
L2 L3
137
