INSTABILIDADE DINÂMICA DE TORRES EÓLICAS · 2020. 2. 21. · dinâmica quando submetido à ação...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

INSTABILIDADE DINÂMICA DE TORRES

EÓLICAS

MATHEUS MORENO FORTES

GOIÂNIA

JULHO/2019

M. M. FORTES

MATHEUS MORENO FORTES

Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas

Trabalho de Conclusão de Curso apresentada ao Curso de

Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás pra a

obtenção do título em bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Zenón José Guzmán Núñez del Prado

GOIÂNIA

JULHO/2019

M. M. FORTES

RESUMO

Na engenharia, o comportamento de torres eólicas é um assunto amplamente abordado,

devido ao aumento da importância de energias não renováveis. Nesse estudo, uma parte

importante é a estabilidade dinâmica da torre eólica, por isso este trabalho visa fazer uma

abordagem inicial da instabilidade dinâmica das torres eólicas. Para descrever a torre e as pás

considera-se a teoria linear de Euler-Bernoulli e o acoplamento do sistema é realizado através

das considerações das forças de interação, a partir das equações diferencias de equilíbrio.

Aplica-se o Método de Galerkin para obter um sistema de equações diferenciais ordinárias de

movimento. Inicialmente, são obtidas as frequências naturais do sistema, acoplado e

desacoplado, com e sem amortecimento visando observar os pontos de instabilidade dinâmica.

Uma análise paramétrica detalhada é realizada visando observar as regiões de instabilidade no

sistema devido ao acoplamento e rotação das pás. Finalmente, as equações de equilíbrio

dinâmico foram integradas usando o método de Runge-Kutta visando observar a resposta

dinâmica quando submetido à ação de vento harmônico. Pode comprovar que ocorre

instabilidade do sistema torre-pá quando ocorre o fenômeno de coalescência ou “veering”,

que são respectivamente a junção e aproximação das frequências naturais. Além disso,

observou-se ou efeitos do amortecimento na frequência natural e na resposta no tempo, e da

aplicação de uma força de vento harmônico na torre.

Palavras-chave: Torre eólica, instabilidade dinâmica, torre-pá, acoplamento, coalescência.

M. M. FORTES

LISTA DE FIGURAS

1.1 - Torres Eólicas: (a) Torre Vestas V164-8(Fonte: Portal Metálica); (b)Torre E126)...........4

2.1 - Modelagem da torre eólica.................................................................................................8

2.2 – Modelagem da força atuando na torre eólica...................................................................16

3.1 - Valores de frequência para pá desacoplados....................................................................18

3.2 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.22 e

2.23............................................................................................................................................19


2.21............................................................................................................................................19


2.18............................................................................................................................................20

3.5 – Zoom da Figura 3.2 entre 68rpm e 76rpm no encontro da segunda e terceira frequência

natural........................................................................................................................................21

3.6 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado considerando três pás, usando

as equações 2.20 e 2.21 ............................................................................................................23

3.7 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável,

usando as equações 2.20 e 2.21 ................................................................................................24

3.8 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável,

usando as equações 2.20 e 2.21.................................................................................................24

3.9 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de

velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23..................................................25

3.10 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 73,5rpm de



Lista de Figuras M. M. FORTES





3.13 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 181,5pm de




3.15 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 143,5rpm de





velocidade de rotação da pá, usando as funções de forma usando as equações 2.17 e 2.18.....29

3.18 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com amortecimento, usando

as equações 2.20 e 2.21.............................................................................................................30

3.19 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado com amortecimento,

considerando 181,5rpm de velocidade de rotação da pá, usando as funções de usando as

equações 2.20 e 2.21.................................................................................................................31

3.20 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P =0, usando

as equações 2.20 e 2.21.............................................................................................................32

3.21 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P =10000N e

Ωf=0,5ωT1, usando as equações 2.20 e 2.21............................................................................32

3.22 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=10000N e

Ωf=ωT1, usando as equações 2.20 e 2.21............................................................................33


M. M. FORTES Lista de Figuras

3.23 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=10000N e

Ωf=2ωT1, usando as equações 2.20 e 2.21................................................................................33


Lista de Figuras M. M. FORTES

M. M. FORTES

LISTA DE QUADROS

Quadro 2.1- Valores dos primeiros quatros modos de vibração para uma viga engastada

livre.........................................................................................................................................11

Quadro 3.1 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre com a massa da

nacele........................................................................................................................................18

Quadro 3.2 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre sem a massa da

nacele........................................................................................................................................18


Lista de Quadros M. M. FORTES


M. M. FORTES

LISTA DE ABREVIATURAS

HAWT - structural dynamic analysis of horizontal axis wind turbines

SHM - Stucture health monitoring


Lista de Abreviaturas M. M. FORTES

M. M. FORTES

LISTA DE SÍMBOLOS

a - Constante da função de forma da pá

b - Constante da função de forma da torre

c(t) – função dependente do tempo para análise do deslocamento da torre ao longo do tempo

d(t) - função dependente do tempo para análise do deslocamento da pá ao longo do tempo

e - Número de Euler

pc - porcentagem da primeira frequência natural da torre para valor de frequência da força a

torre

q – vetor de coordenadas que vem do equacionamento de dinâmica de vibração livre de um

sistema

t - Tempo

u - Eixo horizontal da pá/ Deslocamento transversal da pá

v - Eixo horizontal da torre/ Deslocamento transversal da torre

x - Eixo vertical da pá

z - Eixo vertical da torre

AB - Área da seção transversal da pá

AT - Área da seção transversal da torre

B – Matriz para a resolução do sistema com amortecimento

E - Matriz para a resolução do sistam com amortecimento

EB - Módulo de Young da pá

ET - Módulo de Young da torre

Fc – Força centrífuga da rotação da pá

H – Altura da torre

IB - Momento de Inércia da seção transversal da pá

IB - Momento de Inércia da seção transversal da torre

K - Matriz de rigidez

L - Comprimento da pá

Lista de Símbolos M. M. FORTES

M - Matriz de massa

Mo - Massa da nacele

P - Força no topo da torre

Q - Força aplicada no sistema torre-pá na resolução do sistema com amortecimento

U - Deslocamento da pá

V - Deslocamento da torre

β - Valor constante para determinação da função de forma

η - vetor para a resolução do sistema com amortecimento

ξ - Amortecimento

π - Número de Pi

ρB - Peso específico da pá

ρT - Peso específico da torre

τ - vetor para a resolução do sistema com amortecimento

ω - Frequência Natural

ωB - Frequência Natural da pá

ωT - Frequência Natural da torre

ϕ - Função de forma da pá

Ψ - Função de forma da torre

Ω - Velocidade de rotação da pá

cos - Função Cosseno

cosh - Função Cosseno Hiperbólico

sen - Função Seno

senh - Função Seno Hiperbólico

M. M. FORTES

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 3

2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA .................................................................................... 8

2.1 EQUAÇÕES DE EQUILIBIRO E CONDIÇÕES DE CONTORNO ........................ 9

2.2 FORÇA CENTRIFUGA E FREQUÊNCIA NATURAL ......................................... 12

2.3 AMORTECIMENTO ............................................................................................... 14

2.4 FORÇA APLICADA NA TORRE ........................................................................... 15

3 RESULTADOS ................................................................................................................ 17

3.1 SISTEMA DESACOPLADO ................................................................................... 17

3.1.1 FREQUÊNCIAS NATURAIS ........................................................................... 17

3.2 SISTEMA ACOPLADO .......................................................................................... 19

3.2.1 SISTEMA ACOPLADO UMA PÁ .................................................................... 19

3.2.2 SISTEMA ACOPLADO TRÊS PÁS ................................................................. 22

3.2.3 SISTEMA ACOPLADO INÉRCIA VARIÁVEL .............................................. 23

3.2.4 SISTEMA ACOPLADO VARIANDO DENSIDADE DA TORRE ................. 23

3.3 RESPOSTA NO TEMPO EM VIBRAÇÃO LIVRE ............................................... 25

3.4 AMORTECIMENTO ............................................................................................... 30

3.5 RESPOSTA NO TEMPO FORÇADA ..................................................................... 31

4 CONCLUSÕES ................................................................................................................ 34

REFERÊNCIAS........................................................................................................................52

Sumário M. M. FORTES

M. M. FORTES

1 INTRODUÇÃO

A humanidade precisa de energia para o desenvolvimento e sustento da sociedade, e uma das

maneiras de obter essa energia é através do vento. Inicialmente através de moinhos de ventos

e atualmente com o desenvolvimento da sociedade criaram-se torres eólicas que convertem a

energia cinética do vento em energia elétrica.

As torres eólicas geram energia através dos movimentos das pás, de forma que produzem

mais energia em alturas maiores da torre, já que as velocidades do vento são superiores. Com

isso, cada vez mais, as torres eólicas estão mais altas e faz-se necessário mantê-las estáveis

para que funcionem corretamente. Na figura 1.1a é vista a torre Vestas V164-8 e na figura

1.1b observa-se a torre E126, estando elas entre as maiores torres eólicas do mundo. A V164-

8 tem um diâmetro do rotor de 164 metros e um gerador com capacidade de 8 MW de

eletricidade, utilizando o vento de uma área de 21.124 m², com uma torre de 140 metros de

altura e uma altura de ponta de 220 metros. A torre E126, com capacidade de 6MW, possui

uma torre com altura no hub de 135 metros, um diâmetro de rotor de 127 metros e um gerador

com diâmetro de 12 metros.

O estudo de torres eólicas também se torna importante visto o potencial brasileiro de energia

eólica, que foi calculado em 143GW por Amarante (2001), porém, como o autor utilizou

valores de torres eólicas baixos, em torno de 50 metros de altura, o potencial previsto é mais

baixo que o real pela atual tecnologia de torres eólicas que pode chegar a alturas bem maiores,

como visto na Torre Vestas e na E126. Estudos recentes da indústria e do governo mostram

que existe um potencial de energia de 300GW no Brasil, como indicado por Simas e Pacca

(2013). Em vista de todo esse potencial cada vez mais há estudos para o desenvolvimento de

torres eólicas em todos os aspectos, desde sua estabilidade dinâmica, estudo do

comportamento do vento na região de implementação da torre, geração de energia até o

design da turbina.

4 Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas

M. M. FORTES

Figura 1.1 – Exemplo de torres eólicas: (a) Torre Vestas V164-8(Fonte: Portal

Metálica:http://wwwo.metalica.com.br/v-164-8-o-maior-gerador-eolico-do-mundo-ja-esta-em-funcionamento

Data de acesso: 05/11/2018); (b)Torre E126 (Fonte: Portal Energia: https://www.portal-energia.com/os-10-

maiores-aerogeradores-do-mundo Data de acesso: 05/11/2018).

(a)

(b)

1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O estudo dinâmico de torres eólicas tem sido amplamente abordado, a seguir, serão descritos

somente alguns trabalhos mais significativos no tema.

Garrad e Quarton (1986) incentivaram a utilização de softwares, utilizando o programa

REDUCE para resoluções matemáticas de problemas de engenharia, como problemas

algébricos que manualmente podem ser demorados. Utilizando o software para facilitar o

estudo do problema de torres eólicas, mostrando a montagem computacional do problema no

programa, conseguindo resultados de momentos fletores da força de vento.

Lee et al. (2002) estudaram sobre a estabilidade de dois modelos de pá pela análise horizontal

de eixo de turbina, que divide a turbina eólica em dois sistemas, sendo um rígido e outro

flexível. Os sistemas são acoplados pelas condições de contorno, onde juntos fazem um

sistemas de equações que são linearizadas em uma solução de curso estável. Utilizaram a

Teoria de Floquet para retirar-se expoentes completos do sistema e quatros elementos finitos

para a modelagem. A partir dos resultados obtêm-se a análise dinâmica do sistema

http://wwwo.metalica.com.br/v-164-8-o-maior-gerador-eolico-do-mundo-ja-esta-em-funcionamento

https://www.portal-energia.com/os-10-maiores-aerogeradores-do-mundo


Instabilidade Dinâmica de Torres Eólicas 5

M. M. FORTES

HAWT(structural dynamic analysis of horizontal axis wind turbines), incluindo autovalores e

modos de vibração.

Mutagh et al. (2005) estudaram uma torre eólica com três pás conectadas ao topo da torre

circular, sendo esse sistema discretizado por múltiplos graus de liberdade. As condições do

problema de vibração livre eram uma massa no topo, que representa a nacele da torre eólica, e

as pás incluindo os efeitos centrífugos da pá, bem como a massa. As pás são excitadas por

forças de arrasto que são derivadas da discretização da transformação de Fourier. O sistema

torre e pá são acoplados pelas equações de movimento e deslocamento do topo da torre.

Também é estudado um sistema sem a interação torre e pá onde compararam resultados com o

primeiro sistema. Observaram que aumentando o efeito rotacional das pás aumentam as

frequências naturais. Aumentando a frequência rotacional, diminui-se as respostas no tempo

da torre e as pás possuem maior rigidez, quando isso acontece.

Chen et al. (2009) estudaram pelo método dos elementos finitos dois sistemas torres-pás. Um

sistema é o de torre e pá acoplado, e outro considera massas da pá e da nacele no topo da torre

eólica. Os resultados mostram que no primeiro caso obteve-se um deslocamento de 300%

maior do topo da torre em relação ao caso que só considera massa da nacele e da pá no topo

da torre.

Liu et al. (2010) fizeram uma análise de como é feita a monitoração da saúde das

estruturas(SHM-Stucture health monitoring) de torres eólicas na China atualmente e fazem

sugestões de novas medidas. Primeiramente abordaram a energia eólica na China,

posteriormente abordando técnicas que são utilizadas já para o monitoramento como análise

do óleo, análise visual, medição de tensão e efeitos elétricos. Depois, propuseram novas

medidas de verificação da estrutura da torre eólica como analise térmica infravermelha,

monitoramento acústico e teste ultrassônico não destrutivo. As novas técnicas foram

propostas, pois artigos sobre torre eólica são focados na produção e em técnicas já utilizadas

de SHM. Liu (2013) analisou um sistema cabine-pá-torre acoplado, por equações de energia

cinética. A frequência natural da torre é calculada e a vibração devido ao vento é analisada.

Kang et al. (2014) fizeram uma análise dinâmica de uma torre acoplada com pá

experimentalmente e analiticamente. Encontraram os autovalores do sistema dinâmico e

mostram que o as frequências entram em coalescência quando o modo de vibração da torre e


M. M. FORTES

pá se aproxima. Com a análise experimental validaram os resultados numéricos e

experimentais, mostrando boa concordância entre eles.

1.2 JUSTIFICATIVA

Atualmente diversos países investem em varias formas de energia. Essa busca se dá devido às

fontes de energia não renováveis estarem se esgotando (como petróleo e carvão), logo há uma

necessidade de se investir em fontes renováveis. Uma das fontes de energia renovável é a

energia eólica. O Brasil possui elevado potencial de energia eólica, sendo uma fonte que irá

obter mais investimentos ao longo dos anos.

Para a implementação das energias renováveis é preciso possuir o conhecimento de várias

áreas dentre elas estão a atmosfera em análise, modelos aerodinâmicos das torres, conversão

de energia, tecnologia de distribuição e estruturas da torre eólica. Assim, o presente trabalho

se enquadra na análise da estrutura visando estudar a estabilidade dinâmica da torre eólica.

As torres eólicas podem apresentar em sua estrutura instabilidade dinâmica devido ao efeito

de coalescência do sistema torre e pá, fenômeno que se dá devido a torre e pá apresentarem

frequências que se aproximam.

1.3 OBJETIVOS

Através do estudo espera-se comprovar que a instabilidade ocorre quando as frequências

naturais do sistema se aproximam ou juntam, analisando o deslocamento de um ponto ao

longo do tempo, mostrando a instabilidade do deslocamento. Este trabalho tem por objetivos

os seguintes tópicos:

Estudar a instabilidade dinâmica da torre eólica;

Obter respostas no tempo do deslocamento;

Análises paramétricas do sistema torre-pá para a análise da instabilidade.


M. M. FORTES

1.4 METODOLOGIA

Este trabalho objetiva de maneira geral estudar a instabilidade e a resposta dinâmica do

sistema acoplado torre eólica-pás. Para isso, a torre e as pás serão modeladas como um

sistema acoplado considerando a teoria linear de Euler-Bernoulli. A partir das equações

diferenciais de equilíbrio dinâmico do sistema, é aplicado o Método de Galerkin para obter o

sistema de equações diferenciais ordinárias de movimento que são resolvidas usando o

Método de Runge-Kutta. Inicialmente, calculam-se as frequências naturais do sistema

acoplado e desacoplado para valores incrementais de velocidade de rotação das pás

considerando a rotação das pás das torres eólicas acopladas. Nesta análise é possível observar

o fenômeno de “veering” e da coalescência. A seguir, uma análise paramétrica variando a

velocidade de rotação da pá e densidade da torre foi desenvolvida visando observar a resposta

dinâmica do sistema.

1.5 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO

O presente trabalho tem a seguinte estruturação:

Capítulo 1: Nesse capítulo é feita a introdução sobre o assunto de torre eólica, bem

como uma revisão bibliográfica do tema. É apresentado a justificativa e o objetivo do

trabalho.

Capítulo 2: Nesse capitulo é apresentada a formulação matemática desenvolvida no

código computacional para o desenvolvimento da análise paramétrica.

Capítulo 3: Nesse capítulo são apresentadas as frequências naturais obtidas para um

sistema desacoplado e sistema acoplado de uma torre eólica, considerando diferentes

casos para o sistema desacoplado. Além disso, mostram-se as respostas no tempo do

deslocamento de um ponto da torre para mostrar a instabilidades, analisa-se também o

amortecimento no sistema e o efeito de uma força aplicada na torre.

Capítulo 4: Nesse capítulo é apresentada a conclusão do trabalho.

M. M. FORTES

2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

Considera uma torre eólica de seção circular de altura H, módulo de Young ET, momento de

inércia IT, seção transversal AT e densidade ρT, enquanto a pá possui comprimento L, modulo

de Young EB, momento de inércia IB e seção transversal AB e densidade ρB. A torre possui eixo

vertical z e campo de deslocamento transversal v, enquanto a pá possui eixo vertical x e

campo de deslocamento transversal u como visto na Figura 2.1. A velocidade de rotação da pá

é Ω, a força centrifuga na pá é Fc, enquanto a massa da nacele é dada por Mo.

Figura 2.1 – Modelagem da torre eólica.( Fonte: Portal Energia: https://www.portal-energia.com/os-10-maiores-

aerogeradores-do-mundo Data de acesso: 05/11/2018).




M. M. FORTES

2.1 EQUAÇÕES DE EQUILIBIRO E CONDIÇÕES DE CONTORNO

A torre e as pás são descritas usando a teoria linear de vigas de Eulher-Bernoulli seguindo a

formulação apresentada por Kang (2014) e posteriormente adaptada. As equações de

equilíbrio linear dinâmico da torre e pá para o sistema desacoplado são apresentadas,

respectivamente, pela equação 2.1 e equação 2.2. Na equação 2.1, δ corresponde ao delta de

Dirac.

0)(

,,,2

2

2

2

4

4

Hz

t

tHvM

t

tzvA

v

tzvIE oTTTT

(2.1)

0

,,,2

2

4

4

x

txuxFc

xt

txuA

x

txuIE BBBB

(2.2)

As equações de equilíbrio linear dinâmica da torre e pá para o sistema acoplado são

apresentadas, respectivamente, pela equação 2.3 e equação 2.4.

0)(2

),(2

2

),(2)(

2

,2

4

,4

0

Hzdxt

txu

BA

BHzt

tzvL

BA

BMo

z

tzv

TA

Tz

tzv

TI

TE

L

(2.3)

0

,,,,2

2

2

2

4

4

x

txuxFc

xt

tzvA

t

txuA

x

txuIE

Hz

BBBBBB

(2.4)

As condições de contorno da torre, no sistema acoplado, são dadas pelas equações 2.5 até a

2.8, em que a 2.5 é condição de contorno de deslocamento, 2.6 a condição de contorno de

angulação, a 2.7 a condição de contorno de momento e a 2.8 a condição de contorno de força

cortante.

0),(0

ztzv

(2.5)


M. M. FORTES

0),(

0

zz

tzv

(2.6)

0),(

2

2

Hz

TTz

tzvIE

(2.7)

L

BB

Hz

BB

Hz

TT dxt

txuA

t

tzvLAMo

z

tzvIE

z0

2

2

2

2

2

2 ),(),()(

),(

(2.8)

As condições de contorno da pá, no sistema acoplado, são dadas pelas equações 2.9 até a 2.12,

na qual a equação 2.9 é a condição de contorno de deslocamento, 2,10 a condição de contorno

de angulação, a 2.11 a condição de contorno de momento e a 2.12 a condição de contorno de

força cortante.

0),(0

xtxu

(2.9)

0),(

0

xx

txu

(2.10)

0),(

2

2

Lx

BBx

txuIE

(2.11)

0),(

3

3

Lx

BBx

txuIE

(2.12)

Os deslocamentos da torre e da são dados respectivamente pelas equações 2.13 e 2.14.

tiezVtzv ,

(2.13)

tiexUtxu , (2.14)

O deslocamento V(z) é dado pela equação 2.15, enquanto U(x) é dado pela equação 2.16.


M. M. FORTES

zbzV j

n

j

j

1 (2.15)

xaxU j

n

j

j

1 (2.16)

Em que Ψ(z) é a função de forma da torre dada pela equação 2.17 e bj é uma constante, e ϕ(x)

é a função de forma dada pela equação 2.18 e aj é uma constante. As formulações das funções

de forma das equações 2.17 e 2.18 são retiradas do Rao (2007).

zzHH

HHzzz jj

jj

jj

jjj

senhsen

senhsen

coscoscoshcos)(

(2.17)

xxLL

LLxxx jj

jj

jj

jjj

senhsen

senhsen

coscoscoshcos)(

(2.18)

Os valores de βjH e βjL são iguais, pois se tratam de valores específicos para a vibração de

vigas engastadas livres, podendo ser descritos aproximadamente pela equação 2.19. Para os

primeiros quatros modos de vibração são dados no quadro 2.1, (Rao, 2007).

2

12

nHL jj

(2.19)

Quadro 2.1 – Valores dos primeiros quatros modos de vibração para uma viga engastada livre

β1H= β1L 1,8751

β2H= β2L 4,6941

β3H β3L 7,8547

β4H= β4L 10,9956

Β5H= β5L 14,13718

Além das equações de forma apresentadas, também existem as descritas por Paidoussis (2014)

nas equações 2.20 e 2.21.


M. M. FORTES

zzHH

HHzzz jj

jj

jj

jjj

sensenh

coscosh

sensenhcoscosh)(

(2.20)

xxLL

LLxxx jj

jj

jj

jjj

sensenh

coscosh

sensenhcoscosh)(

(2.21)

Por fim, as ultimas equações de forma para torre eólica abordadas nesse trabalho são as

mostradas por Kang(2014) nas equações 2.22 e 2.23.

H

zjzj

2

12cos1)(

(2.22)

L

xjxj

2

12cos1)(

(2.23)

2.2 FORÇA CENTRIFUGA E FREQUÊNCIA NATURAL

A força centrifuga na pá devido a rotação é descrita pela equação 2.24, dada por Kang et

al.(2014).

L

x

BB dssAxFc 2)(

(2.24)

No estudo da frequência natural, considera-se o sistema torre e pá em vibração livre, em que o

sistema é considerado desacoplado ou acoplado, resultando em equações de equilíbrio linear

dinâmico e nas condições de contorno do problema. Aplica-se o método de Galerkin nas

condições de contorno e nas equações equilíbrio linear dinâmico, logo se integra o produto da

multiplicação destas por Ψ(z) para as equações da torre e por ϕ(x) para as equações da pá. O

resultado do Método de Galerkin, para o sistema acoplado, é o sistema matricial mostrado na

equação 2.25.


M. M. FORTES

00

0

2221

12112

22

11

i

i

ijij

ijij

i

i

ij

ij

b

a

b

a

MM

MM

K

K

(2.25)

Na equação 2.25 K é uma matriz de rigidez e M uma matriz de massa. Cada termo da

equação pode ser obtido separando os termos dependentes das constantes a e b da aplicação

do método de Galerkin, sendo apresentados a seguir.

dxxxxLAdxxxIE j

I

i

L

BB

L

j

IV

iBBij

0

222

0

112

1K

(2.26)

H

j

III

iTT

H

j

IV

iTTijdzzzIEdzzzIE

00

22 K

(2.27)

dxxxA

L

jiBBij 0

11 M

(2.28)

dxxHA

L

jiBBij 0

12 M

(2.29)

dzdxxzA

H L

ijBBij

0 0

21 M

(2.30)

dzzzAdzHHLAM

H

jiTT

H

jiBBOij

00

22 M

(2.31)

O sistema matricial é um problema de autovalor e autovetor, em que as constantes ai e bi são

os autovetores e ω é o autovalor. Resolvendo esse problema algébrico encontra-se os valores

das frequências naturais. Para a obtenção da resposta no tempo aplica-se também o Método de

Galerkin nas equações 2.32 e 2.33, que são as definições de deslocamento de pá e torre

respectivamente para a solução de resposta no tempo, encontra-se um sistema de equações


M. M. FORTES

diferenciais ordinárias que são resolvidas aplicando o método de Runge-Kutta de quarta

ordem. Com isso, pode-se encontrar os valores de cj(t) e dj(t), que são funções que dependem

do tempo, para desta forma encontrar a resposta no tempo para cada ponto da torre ou pá, de

acordo com o valor de z ou x substituídos nas funções de formas respectivas.

ztctzv j

n

j

j

1

,

(2.32)

xtdtxu j

n

j

j

1

,

(2.33)

2.3 AMORTECIMENTO

Considerando o amortecimento, as equações 2.3 e 2.4 tornam-se as equações 2.34 e 2.35. O

amortecimento adiciona na equação da torre e da pá respectivamente, cT e cB, sendo cT= ξT ωT

AT ρT e cB= ξB ωB AB ρB . O termo ξT é o amortecimento para a torre e ξB para a pá, enquanto

ωT é a frequência natural da torre e ωB é frequência natural da pá.

0

,)(

2

),(2

2

),(2)(

2

,2

4

,4

0

v

tzvcHzdx

t

txu

BA

BHzt

tzvL

BA

BMo

z

tzv

TA

Tz

tzv

TI

TE

T

L

(2.34)

0,,

,,,2

2

2

2

4

4

t

txuc

x

txuxFc

x

t

tzvA

t

txuA

x

txuIE

B

Hz

BBBBBB

(2.35)

Esse equacionamento de foram matricial é mostrados nas equações 2.36 e 2.37, que foram

retiradas de Paidoussis (2014).


M. M. FORTES

E B

(2.36)

q

q

Q

,

0,,

0

K0

0ME

CM

MB

(2.37)

As matrizes B e E advêm das matrizes M, K e da matriz de amortecimento que é retirada

posteriormente ao Método de Galerkin em 2.34 e 2.35. O Q na equação 2.37 corresponde

força na aplicada no sistema torre-pá, enquanto q é o vetor de coordenadas que surge do

equacionamento de dinâmica de vibração livre de um sistema que é representado em 2.38.

0 qq K M

(2.38)

A equação 2.34 também torna-se um problema de autovalor e autovetor, conforme Paidoussis

(2014), quando se assume que τ= A exp(λt), reduzindo a equação 2.36 na equação 2.39.

Resolvendo o autovalor de Y em 2.40 encontram-se as frequências naturais com

amortecimento.

0AY-I

(2.39)

EBY 1-

(2.40)

A matriz I na equação 2.36 é a matriz identidade.

2.4 FORÇA APLICADA NA TORRE

O trabalho considerou também uma força, Fv, aplicada na torre para avaliação na resposta no

tempo, para isso a força foi representada conforme a equação 2.41 e apresenta sua atuação na

Figura 2.2. Na equação 2.38, P representa a força no topo da torre, conforme mostra a Figura

2.2, Ωf representa a frequência da força atuante na torre, correspondendo uma porcentagem da

primeira frequência natural da torre e t representa tempo.


M. M. FORTES

2

2 )cos(

H

tPzF

f

v

(2.41)

Figura 2.2 – Modelagem da força atuando na torre eólica.

M. M. FORTES

3 RESULTADOS

Considera-se uma torre com altura H=46m, densidade ρt=7850kg/m³, diâmetro interno de

1,49m e externo de 1,50m, e modulo de Young Et=210MPa, enquanto a pá com comprimento

L=22m, densidade ρB=2770kg/m³, espessura de 0,1m e largura de 0,5m e módulo de Young

Eb=69MPa. Para essas condições se fará todos os resultados a seguir, somente mudando

algumas características físicas em alguns casos específicos que serão relatados.

3.1 SISTEMA DESACOPLADO

Neste item são apresentados resultados considerando o sistema desacoplado, ou seja, a torre

separada da pá.

3.1.1 FREQUÊNCIAS NATURAIS

As quatro primeiras frequências naturais da torre e da pá no sistema desacoplado, em que os

valores de frequência natural da pá são demonstrados na Figura 3.1, dependendo do valor da

velocidade de rotação da pá. Os valores das primeiras quatro frequências da torre com e sem

massa da nacele independem dos valores da velocidade de rotação da pá, logo são mostradas

nos quadros 3.1 e 3.2 respectivamente. Pelos quadros 3.1 e 3.2 percebe-se que o valor da

massa da nacele não alterou a frequência natural da torre, modificando-se os valores a partir

da quarta frequência natural. Pode se concluir que devido a massa da nacele ser muito inferior

a massa da torre, ela não teve grande impacto nas frequências naturais. Pela análise da Figura

3.1 podemos comprovar o que a revisão bibliográfica já havia demonstrado que à medida que

aumentamos a rotação da pá, a frequência natural desta aumenta devido ao aumento de

rigidez.


M. M. FORTES

Quadro 3.1 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre com a massa da nacele

Frequência Natural Valor (rad/s)

Primeira (ωT1) 4,543

Segunda (ωT2) 28,468

Terceira (ωT3) 70,700

Quarta (ωT4) 151,688

Quadro 3.2 – Valores das primeiras quatro frequências naturais da torre sem a massa da nacele

Frequência Natural Valor (rad/s)

Primeira (ωT1) 4,543

Segunda (ωT2) 28,468

Terceira (ωT3) 70,700

Quarta (ωT4) 150,791

Figura 3.1 – Valores de frequência para a pá no sistema desacoplado


M. M. FORTES

3.2 SISTEMA ACOPLADO

Neste item são apresentados resultados considerando o sistema acoplado, ou seja, a torre

juntamente com a pá. Consideram-se ao longo do tópico um sistema com uma pá e outro três

pás.

3.2.1 SISTEMA ACOPLADO UMA PÁ

Encontram-se os valores das frequências naturais do sistema acoplado considerando as

equações 2.22 e 2.23 na Figura 3.2, considerando as equações 2.20 e 2.21 na Figura 3.3 e as

equações 2.17 e 2.18 na Figura 3.4.

Cada gráfico mostra diferentes curvas das diferentes frequências naturais variando de acordo

com a velocidade rotação da pá. Foram analisados nos gráficos até cinco modos, e devido ao

fato de existir um sistema acoplado o resultado fornece dois autovalores. Para deixar claro,

para cada valor de rotação de pá consegue dois resultados, dois autovalores, sendo que esses

resultados são pontos dos valores de frequência natural para os respectivos valores de

velocidade de rotação de pá, logo para cinco modos teremos dez valores de frequência natural

para uma velocidade de rotação da pá. Esses pontos não foram ligados, não formam funções

ou linhas, mas sim são mostrados no gráfico sem ligarem uns aos outro. Nas Figuras 3.2 até

3.4 parecem que são linhas, porém isso deve a visualização afastada do gráfico, se dermos um

zoom como apresentado na Figura 3.5 pode-se ver que são pontos. As frequências naturais

desse tópico foram apresentadas coloridas para melhor entendimento dos gráficos, em que

azul é da primeira frequência natural, verde da segunda frequência natural, amarelo da terceira

frequência natural, vermelho da quarta frequência natural e preto da quinta frequência natural.

Observa-se que as Figuras 3.2, 3.3 e 3.4 apresentam gráficos diferentes, apesar de possuir as

mesmas condições de torre e isso se deve a diferentes funções de forma. Nos pontos em que

as frequências naturais se aproximam ou se unem, correspondem respectivamente aos

fenômenos de “veering” e coalescência, em que ocorre a instabilidade do sistema, ou seja,

neles provocarão deslocamentos maiores ou com uma frequência de vibração maior. São

nestes pontos que devem ser analisadas as resposta no tempo para comprovar a instabilidade.


M. M. FORTES

Figura 3.2 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado, usando as equações 2.22 e 2.23.



M. M. FORTES


Na Figura 3.5 tem-se um zoom da Figura 3.2 entre as velocidades de rotação de pá 68rpm até

76rpm e entre frequências naturais de 2,5Hz até 3,5 Hz. Observa-se que na Figura 3.2 parece

que as frequências naturais são linhas que se cruzam, porém com a Figura 3.5 percebe-se que

são pontos que se aproximam e depois se distanciam. Então todos os pontos nas Figuras 3.2

até 3.4 que parecem linhas que se cruzam na verdade são frequências naturais se

aproximando. Além disso, na Figura 3.4 as frequências naturais se juntam em dois momentos

na figura, que são resultados da união da terceira e da quarta frequência natural, e não só se

aproximam. São nesses pontos de aproximação e junção das frequências naturais que analisa a

instabilidade dinâmica.


M. M. FORTES

Figura 3.4 – Zoom da Figura 3.2 entre 68rpm e 76rpm no encontro da segunda e terceira frequência natural.

3.2.2 SISTEMA ACOPLADO TRÊS PÁS

Ainda com as mesmas condições de torre, utilizando as equações 2.20 e 2.21, encontram-se as

frequências naturais do sistema acoplado considerando três pás, e três modos de vibração para

o sistema, com a mesma geometria e características físicas já apresentadas anteriormente. Na

Figura 3.6 apresentam-se pontos onde as frequências naturais se aproximam, mas que

novamente devido ao afastamento do gráfico parece um cruzamento de linhas.


M. M. FORTES

Figura 3.6 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado considerando três pás, usando as equações

2.20 e 2.21.

3.2.3 SISTEMA ACOPLADO INÉRCIA VARIÁVEL

Ainda com as mesmas condições de torre e pá, e com as equações 2.20 e 2.21, decide-se

variar a seção da torre para análise das frequências naturais do sistema acoplado, mostrando o

resultado na Figura 3.7. Para a variação da torre considerou-se teria um diâmetro interno no

topo de 1,49m e externo de 1,5m, enquanto para a base um diâmetro interno de 2,99m e

externo de 3m. Observa-se que houve um aumento dos valores das frequências naturais com

diâmetro máximo maior em relação ao modelo padrão, mostrado na Figura 3.2, até o

momento, já que com inércia variável têm se maior rigidez do sistema.

3.2.4 SISTEMA ACOPLADO VARIANDO DENSIDADE DA TORRE

Com as equações 2.20 e 2.21, decide-se encontrar as frequências naturais variando a

densidade da torre e mantendo constante a velocidade de rotação da pá com 50rpm,

mostrando esse resultado na Figura 3.8. Pode-se observar que da mesma forma que os

gráficos obtidos anteriormente as frequências naturais se aproximam perto de 7000kg/m³,

onde deve ocorrer a instabilidade. Vale ressaltar novamente que parecem linhas que se

cruzam mas são pontos que se aproximam da mesma forma como mostrada na Figura 3.5.


M. M. FORTES

Figura 3.7 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável, usando as

equações 2.20 e 2.21.

Figura 3.8 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com seção da torre variável, usando as

equações 2.20 e 2.21


M. M. FORTES

3.3 RESPOSTA NO TEMPO EM VIBRAÇÃO LIVRE

Todas as respostas no tempo foram feitas considerando a análise no ponto mais alto da pá,

logo, sendo x=L, e pelo fato de a pá estar acoplada a torre soma-se este deslocamento com o

da torre de forma que z=H. Primeiramente, obteve-se as respostas no tempo usando as

equações 2.22 e 2.23, utilizando os valores velocidade de rotação da pá iguais a 50rpm,

73,5rpm e 100rpm, correspondentes respectivamente as Figuras 3.9, 3.10 e 3.11.

Figura 3.9 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 50rpm de velocidade de

rotação da pá, usando as equações 2.22 e 2.23.

Figura 3.10 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 73,5rpm de velocidade de



M. M. FORTES



Foram escolhidos tais valores de velocidade de rotação da pá para exemplificar como se dá o

deslocamento antes, durante e depois das aproximações das frequências naturais mostradas na

Figura 3.2. Para o processamento da resposta no tempo nesses casos utilizou-se de dois modos

de vibração e devido a isso se escolheu o valor de 73,5rpm, que se dá quando se aproximam

os dois primeiros modos de vibração. Percebe-se que o deslocamento permanece de forma

periódica em frequências de 50rpm e 100rpm, mas com 73,5rpm ele cresce indefinidamente,

ficando instável quando ocorre o acoplamento. Logo o que torna instável não é aumentar a

velocidade de rotação da pá, mas sim quando aproximam as frequências naturais.

Posteriormente considerou-se três modos de vibração e as equações 2.20 e 2.21 para analisar

instabilidades quando ocorre a aproximação das frequências naturais na Figura 3.3. Para isto,

analisou-se a velocidade de rotação da pá em 50rpm e 181,5rpm. Na Figura 3.12, mostra o

resultado para a frequência 50rpm, enquanto que na Figura 3.13 mostra-se a resposta no

tempo para a frequência de 181,5rpm. Observa-se que quando ocorre a aproximação das

frequências naturais, apesar não haver um deslocamento que cresce muito semelhante ao

mostrado na Figura 3.9, ele ainda cresce comparado a quando não ocorre a aproximação.


M. M. FORTES



Figura 3.13 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 181,5pm de velocidade de


Para última análise de averiguação da instabilidade fez-se as respostas no tempo utilizando as

equações 2.22 e 2.23 e considerando três modos de vibração. Para isto, analisou a velocidade

de rotação da pá em que em 50rpm, 143,5rpm, 160rpm e 245rpm, onde em 50rpm e 160rpm

não ocorre a aproximação das frequências naturais, e 143,5rpm e 245rpm ocorre, como

apresentado na Figura 3.4. As Figuras 3.14, 3.15, 3.16 e 3.17 mostram respectivamente as

frequências para 50rpm, 143,5rpm, 160rpm e 245rpm. Observa-se que o deslocamento é


M. M. FORTES

maior quando ocorre a aproximação das frequências naturais, logo em 143,5 rpm e 245rpm.

Quando se aumenta o valor da velocidade de rotação da pá de 143,5rpm para 160rpm, o

deslocamento diminuiu já que saiu da zona de instabilidade que possuía, logo, o que torna

instável não é aumentar a velocidade de rotação da pá e sim quando aproximar as frequências

naturais. Além disso, pode-se notar que ao aumentar a velocidade de rotação da pá, aumenta-

se a frequência em que se dá o deslocamento, sendo observado isto também comparando as

Figuras 3.12 e 3.13.



Figura 3.15 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando 143,5rpm de velocidade de



M. M. FORTES





Pode-se então concluir que se faz necessária a analise do sistema acoplado, já que no sistema

não acoplado não é possível analisar essa aproximação de frequências que causaria a

instabilidade dinâmica.


M. M. FORTES

3.4 AMORTECIMENTO

Para o amortecimento utilizou-se três modos de vibração, amortecimento de 1% e as equações

2.20 e 2.21 para obter as frequências naturais. Na Figura 3.18 mostram-se os resultados da

frequência pela velocidade de rotação da pá. Pode-se observar que as frequências naturais

apesar de ainda se aproximarem, não se juntam e ficam mais distantes, desse modo o

amortecimento impede a instabilidade ou a diminui.

Figura 3.18 – Valores de frequência para a o sistema torre-pá acoplado com amortecimento, usando as equações

2.20 e 2.21.

Fazendo a resposta no tempo para a velocidade de rotação da pá em 181,5rpm conforme feito

na Figura 3.13, só que agora com amortecimento de 1%, obtém-se a Figura 3.19, mostrando o

já esperado: a diminuição do deslocamento máximo, bem como a diminuição do

deslocamento ao longo do tempo até zerar.


M. M. FORTES

Figura 3.19 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado com amortecimento, considerando

181,5rpm de velocidade de rotação da pá, usando as equações 2.20 e 2.21.

3.5 RESPOSTA NO TEMPO FORÇADA

Para a resposta no tempo com força, considerou-se amortecimento de 1%, três modos de

vibração e as equações 2.20 e 2.21. Analisou-se a resposta no tempo para quatro casos: P =0

(Figura 3.20); P=10000N e Ωf=0,5ωT1 (Figura 3.21); P=1000N e Ωf=ωT1 (Figura 3.22);

P=1000N e Ωf=2ωT1 (Figura 3.23). Lembrando que ωT1 é a primeira frequência natural da

torre, mostrada no quadro 3.1. Comparando 3.19 e 3.20, observa-se que a aplicação da força

demonstra deslocamento maior, como já esperado, e, além disso, apesar de possuir

amortecimento, a torre continua com deslocamentos pequenos, já que a força é aplicada

periodicamente. Constatou-se também que a medida que se aumenta o valor de Ωf, ou seja, o

valor da frequência de aplicação da força na torre, o deslocamento diminui, podendo analisar

este ponto observando as Figuras de 3.21 até 3.23.


M. M. FORTES

Figura 3.20 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P =0, usando as equações

2.20 e 2.21.

Figura 3.21 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=10000N e Ωf=0,5ωT1,

usando as equações 2.20 e 2.21.


M. M. FORTES

Figura 3.22 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=1000N e Ωf=ωT1, usando

as equações 2.20 e 2.21.

Figura 3.23 – Resposta no tempo da torre no sistema torre-pá acoplado, considerando P=1000N e Ωf=2ωT1,

usando as equações 2.20 e 2.21.

M. M. FORTES

4 CONCLUSÕES

Neste trabalho foi estudada a instabilidade dinâmica e a resposta dinâmica do sistema torre

eólica-pás quando submetidas à ação da rotação das pás, a resposta dinâmica do sistema

quando submetido a cargas dinâmicas de vento harmônico.

A teoria linear de vigas de Euler-Bernoulli foi usada para encontrar as equações diferencias de

equilíbrio dinâmico do sistema. A partir das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico do

sistema, foi aplicado o Método de Galerkin para obter o sistema de equações diferenciais

ordinárias de movimento que são resolvidas usando o Método de Runge-Kutta. Inicialmente,

foram calculadas as frequências naturais do sistema acoplado e desacoplado, para valores

incrementais de velocidade de rotação das pás considerando a rotação das pás torres eólicas

acopladas visando observar os fenômenos de “veering” e de coalescência. A seguir, uma

análise paramétrica é desenvolvida visando observar a resposta dinâmica do sistema quando

submetido a cargas de vento.

Foram obtidas as frequências naturais do sistema acoplado para valores incrementais da

velocidade de rotação das pás, dependendo da geometria do sistema, é possível observar que o

fenômeno de “veering” bem como a coalescência, onde o sistema se torna instável.

Por fim observou-se o efeito do amortecimento na frequência natural e na resposta no tempo,

onde foi possível verificar que este parâmetro tem grande influência no comportamento do

sistema. Pode-se observar também que, quando é aplicada uma força de vento harmônico, os

deslocamentos transversais da torre aumentam e diminuem dependendo da razão da

frequência do vento em função da frequência natural do sistema

Como estudos posteriores recomenda-se o estudo de uma análise não linear do problema, de

uma relação entre a força aplicada e a velocidade rotação da pá de forma complexa,

considerando a modelagem da força baseada na velocidade do vento de acordo com a altura.

M. M. FORTES

REFERÊNCIAS

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