INSTITUTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS,

TERRITÓRIO E CONSTRUÇÃO

Placa-Leg – Programa de Aplicação de um Modelo Híbrido-Misto

de Tensão à Análise Elástica de Placas

Luís Mendes; Luís M.S.S. Castro

– Junho de 2006 –

Relatório ICIST

DTC 07/06

I C I S T Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa Tel: 218 418 244

i

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1

2 FORMULAÇÃO DE PLACAS .................................................................................... 1 2.1 Introdução.............................................................................................................. 1 2.2 Definição do problema .......................................................................................... 1 2.3 Relações de equilíbrio ........................................................................................... 3 2.4 Relações de compatibilidade ................................................................................. 4 2.5 Relações de elasticidade ........................................................................................ 4

3 MODELO HÍBRIDO-MISTO DE TENSÃO ............................................................. 5 3.1 Introdução.............................................................................................................. 5 3.2 Definição da aproximação ..................................................................................... 6 3.3 Relações de equilíbrio ........................................................................................... 6 3.4 Relações de compatibilidade ................................................................................. 7 3.5 Relações constitutivas ........................................................................................... 7 3.6 Organização do sistema governativo..................................................................... 7

4 DEFINIÇÃO DA APROXIMAÇÃO ........................................................................... 9 4.1 Introdução.............................................................................................................. 9 4.2 Funções de aproximação ....................................................................................... 9 4.3 Comentários......................................................................................................... 11

5 CÁLCULO DOS OPERADORES ESTRUTURAIS................................................ 11 5.1 Introdução............................................................................................................ 11 5.2 Transformação de coordenadas ........................................................................... 12 5.3 Operador de flexibilidade .................................................................................... 14 5.4 Operador de compatibilidade no domínio ........................................................... 16 5.5 Operador de compatibilidade na fronteira ........................................................... 20 5.6 Vector das forças de massa.................................................................................. 23 5.7 Vector das forças na fronteira.............................................................................. 25 5.8 Cálculo dos campos de tensões e deslocamentos ................................................ 26

6 PROGRAMA DE CÁLCULO AUTOMÁTICO ...................................................... 27 6.1 Introdução............................................................................................................ 27 6.2 Estrutura do ficheiro de dados ............................................................................. 29 6.3 Funcionamento do programa............................................................................... 30

6.3.1 Configuração .................................................................................................. 31 6.3.2 Executar o programa....................................................................................... 32

7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO................................................................................. 37

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 45

ANEXOS

ANEXO A – POLINÓMIOS DE LEGENDRE

iii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1: Elemento de placa. ........................................................................................................... 2

Figura 3.1: Estrutura em consola exemplificativa. ............................................................................. 8

Figura 5.1: Transformação de coordenadas para um elemento genérico trapezoidal de 4 nós......... 12

Figura 5.2: Funções de aproximação da geometria do elemento...................................................... 12

Figura 5.3: Ordenamento dos termos de um bloco do operador de flexibilidade F. ........................ 15

Figura 5.4: Ordenamento dos termos de um bloco do operador vA ................................................. 19

Figura 5.5: Elemento mestre utilizado no programa. ....................................................................... 21

Figura 5.6: Ordenamento dos termos de um bloco do operador Aγ . ............................................... 23

Figura 5.7: Ordenamento dos termos do vector das forças de massa. .............................................. 24

Figura 5.8: Ordenamento dos termos do vector das forças das forças de fronteira. ......................... 26

Figura 6.1: Menu principal do programa.......................................................................................... 31

Figura 6.2: Interface do módulo de configuração............................................................................. 32

Figura 6.3: Interface do módulo de pré-processamento. .................................................................. 33

Figura 6.4: Interface do módulo de visualização do problema em análise....................................... 34

Figura 6.5: Interface do módulo de processamento.......................................................................... 35

Figura 6.6: Interface do módulo de pós-processamento................................................................... 36

Figura 7.1: Exemplo 1 – Definição das características da placa quadrada em consola.................... 37

Figura 7.2: Exemplo 2 – Definição das características da viga bi-encastrada.................................. 37

Figura 7.3: Exemplo 1 – Ficheiro de dados...................................................................................... 38

Figura 7.4: Exemplo 1 – Visualização global-elástico dos resultados. ............................................ 39

Figura 7.5: Exemplo 1 – Visualização dos campos de tensões, ao longo do corte GHI................... 40

Figura 7.6: Exemplo 1 – Visualização dos campos de deslocamentos uv, ao longo do corte GHI... 40

Figura 7.7: Exemplo 1 – Visualização dos campos de deslocamentos uγ, ao longo do corte GHI... 40

Figura 7.8: Exemplo 2 – Ficheiro de dados...................................................................................... 41

Figura 7.9: Exemplo 2 – Visualização dos campos de tensões no domínio. .................................... 42

Figura 7.10: Exemplo 2 – Visualização do campo de deslocamentos no domínio........................... 43

iv

Figura 7.11: Exemplo 2 – Visualização dos campos de deslocamentos nas fronteiras estáticas...... 43

Figura 7.12: Exemplo 2 – Visualização dos campos de tensões, ao longo do corte CD. ................. 43

Figura 7.13: Exemplo 2 – Visualização dos campos de deslocamentos uv, ao longo do corte CD. .43

Figura 7.14: Exemplo 2 – Visualização dos campos de deslocamentos uγ, ao longo do corte CD. .44

v

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 6.1: Listagem das rotinas de cálculo do programa................................................................ 28

Tabela 6.2: Listagem dos ficheiros adicionais..................................................................................29

Tabela 6.3: Listagem dos ficheiros de configuração das saídas gráficas.......................................... 29

Tabela 6.4: Formato do ficheiro de dados. ....................................................................................... 30

1

1 INTRODUÇÃO

O presente relatório tem por objectivo servir como documento de suporte ao programa de

cálculo denominado Placa-Leg. O programa foi desenvolvido no âmbito da dissertação de

Mestrado em Engenharia de Estruturas [Mendes 2002] e contou com o apoio do Núcleo de

Análise de Estruturas, do Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção

do Instituto Superior Técnico (ICIST).

O programa é caracterizado por recorrer ao modelo de elementos finitos híbrido misto de

tensão para efectuar a análise elástica de placas (estados planos de tensão e de deformação)

e por utilizar polinómios de Legendre para efectuar a aproximação das grandezas

estruturais.

Para além desta introdução, o relatório encontra-se organizado em 7 secções. Nas primeiras

secções apresentam-se os aspectos gerais da formulação de placas e uma descrição sucinta

do modelo híbrido misto de tensão (HMT). Posteriormente, apresentam-se as

características da aproximação e define-se o cálculo dos operadores estruturais. Por último,

apresentam-se alguns aspectos práticos relacionados com a utilização do programa e ainda

dois exemplos de aplicação. Este documento termina com a apresentação das referências

bibliográficas e dos anexos.

2 FORMULAÇÃO DE PLACAS

2.1 Introdução

Os elementos de placa são utilizados para modelar situações nas quais o comportamento

estrutural se pode considerar como um estado plano de tensão (EPT) ou como um estado

plano de deformação (EPD). Esta secção tem como objectivo definir de forma sucinta as

variáveis e as relações fundamentais para os elementos de placa. Textos mais aprofundados

sobre o assunto podem ser encontrados em diversas publicações [Reddy 1993; Timoshenko

et al. 1970; Zienkiewicz et al. 1991].

2.2 Definição do problema

Considere-se o elemento de placa representado na Figura 2.1, constituído por um material

homogéneo e isotrópico, com um domínio V, delimitado por uma fronteira Γ , e definido

num referencial cartesiano.

2

A fronteira pode ser dividida na fronteira estática, σΓ , onde são conhecidas as tensões

aplicadas, e na fronteira cinemática, uΓ , onde são impostos deslocamentos.

Figura 2.1: Elemento de placa.

O elemento de placa encontra-se sujeito a um conjunto de forças de massa e de tensões

aplicadas na fronteira. Definem-se os vectores das forças de massa b e das tensões na

fronteira t através das suas componentes cartesianas:

x

y

bb

b

=

, (2.1)

x

y

tt

t

=

. (2.2)

O campo de tensões em qualquer ponto fica definido pelo vector onde se reúnem as

componentes independentes do tensor das tensões:

xx

yy

xy

σσ σ

σ

=

. (2.3)

Analogamente, as componentes independentes do tensor das deformações podem ser

agrupadas no vector:

xx

yy

xy

εε ε

γ

=

. (2.4)

O campo de deslocamentos do elemento de placa fica definido em cada ponto através das

componentes do vector dos deslocamentos:

x

y

uu

u

=

. (2.5)

3

2.3 Relações de equilíbrio

A condição de equilíbrio no domínio pode ser obtida impondo o equilíbrio de um volume

infinitesimal, obtendo-se [Arantes e Oliveira 1969]:

, 0ij i jbσ + = . (2.6)

Tratando-se de um problema de elasticidade plana, as equações de equilíbrio reduzem-se a:

, ,

, ,

0

0xx x xy y x

xy x yy y y

b

b

σ σσ σ

+ + = + + =

. (2.7)

As relações anteriores podem ser escritas na forma matricial, através de:

D 0bσ + = , (2.8)

onde o operador diferencial de equilíbrio D fica definido por:

( ) ( )0

( ) ( )0

x yD

y x

∂ ∂ ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

. (2.9)

A condição de equilíbrio na fronteira estática impõe que o campo de tensões esteja em

equilíbrio com as tensões exteriores aplicadas. Recorrendo à fórmula de Cauchy, obtém-se

[Arantes e Oliveira 1969]:

ij i jn tγσ = , (2.10)

no caso das placas, as equações anteriores reduzem-se a:

x xx y xy x

y yy x xy y

n n t

n n t

σ σσ σ

+ = + =

, (2.11)

ou na forma matricial:

N tσ = , (2.12)

onde N representa a matriz que reúne as componentes da normal exterior unitária à

fronteira, vindo definida por:

0

0x y

y x

n nN

n n

=

. (2.13)

4

2.4 Relações de compatibilidade

Na hipótese dos pequenos deslocamentos e das pequenas deformações (linearidade

geométrica), as condições de compatibilidade no domínio podem ser expressas na forma

[Timoshenko et al. 1970]:

( ), ,

1

2ij i j j iu uε = + . (2.14)

Para problemas de elasticidade plana, as relações de compatibilidade definidas em (2.14)

podem ser expressas da seguinte forma:

,

,

, ,

xx x x

yy y y

xy x y y x

u

u

u u

εεγ

=

= = +

, (2.15)

ou na forma matricial:

D uε ∗= , (2.16)

onde o operador diferencial de compatibilidade D∗ vem definido por:

( )0

( )0

( ) ( )

x

Dy

y x

∗

∂

∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (2.17)

A condição de fronteira cinemática é definida por:

x

y

uu

uγ

=

, (2.18)

onde uγ representa o campo de deslocamentos imposto.

2.5 Relações de elasticidade

Os campos de deformações relacionam-se com os campos de tensões através das relações

constitutivas, que para o caso de materiais elásticos lineares e isotrópicos, correspondem a

casos particulares da lei de Hooke.

Para estados planos de tensão (EPT), esta lei define-se no formato de flexibilidade, por

[Pereira 1996; Vicente et al. 1999]:

5

( )

1 01

1 0

0 0 2 1

xx xx

yy yy

xy xy

E

ε ν σε ν σγ ν σ

− = − +

, (2.19)

ou no formato de rigidez, por:

( )2

1 0

1 01

10 0

2

xx xx

yy yy

xy xy

Eσ ν εσ ν ε

νσ γν

= − −

, (2.20)

No caso de estados planos de deformação (EPD), esta lei define-se no formato de

flexibilidade, por [Parreira 1999; Pereira 1996]:

1 01

1 0

0 0 2

xx xx

yy yy

xy xy

E

ε ν ν σνε ν ν σ

γ σ

− − + = − −

, (2.21)

e no formato de rigidez, por:

( ) ( ) ( )

1 0

1 01 1 2

1 20 0

2

xx xx

yy yy

xy xy

Eσ ν ν εσ ν ν ε

ν νσ γν

− = − + − −

, (2.22)

onde E representa o módulo de elasticidade e ν o coeficiente de Poisson.

3 MODELO HÍBRIDO-MISTO DE TENSÃO

3.1 Introdução

Esta secção tem como objectivo introduzir de uma forma sucinta o modelo de elementos

finitos utilizado para a resolução do problema genérico formulado na secção anterior.

Informação mais detalhada sobre o modelo híbrido-misto de tensão pode ser encontrada

nas publicações [Castro 1996; Freitas et al. 1999].

6

3.2 Definição da aproximação

Neste modelo são aproximados simultaneamente e de forma independente os campos de

tensões (3.1) e de deslocamentos no domínio (3.2) de cada elemento. É também

aproximado o campo de deslocamentos na fronteira estática (3.3) [Castro 1996].

v pS X em Vσ σ= + , (3.1)

v v v pu U q u em V= + , (3.2)

u U q emγ γ σ= Γ . (3.3)

As grandezas duais associadas às variáveis discretas introduzidas, deformações

generalizadas e , forças de massa generalizadas vQ e forças na fronteira generalizadas Qγ ,

são definidas por [Castro 1996]:

tve S dVε= ∫ , (3.4)

tv vQ U b dV= ∫ , (3.5)

tQ U t dγ γ γ σ= Γ∫ . (3.6)

3.3 Relações de equilíbrio

A condição de equilíbrio no domínio é dada por [Castro 1996]:

tv v pA X Q Q= − − , (3.7)

onde:

(D )tv v vA S U dV= ∫ , (3.8)

tv vQ U b dV= ∫ , (3.9)

Dtp v pQ U dVσ= ∫ . (3.10)

A condição de equilíbrio na fronteira estática pode-se definir através de [Castro 1996]:

tpA X Q Qγ γ γ= + − , (3.11)

onde:

(N )tvA S U dγ γ σ= Γ∫ , (3.12)

tQ U t dγ γ γ σ= Γ∫ , (3.13)

Ntp pQ U dγ γ σσ= Γ∫ . (3.14)

7

A expressão (3.11) corresponde à imposição ponderada da condição de fronteira estática.

Pode ser encarada também como resultando da imposição ponderada do equilíbrio entre

elementos adjacentes, definindo-se neste contexto a fronteira estática como abrangendo

também as fronteiras inter-elementares.

3.4 Relações de compatibilidade

A condição de compatibilidade no domínio é definida por [Castro 1996]:

A Av v ppe q q e eγ γ γ= − + + − , (3.15)

onde:

(N )tv ue S u dγ γ= Γ∫ , (3.16)

(D )tpp v pe S u dV= ∫ . (3.17)

A condição de fronteira cinemática é imposta localmente. A continuidade dos

deslocamentos numa fronteira comum a dois elementos é igualmente imposta localmente

quando se garante que estes partilham a aproximação para o campo de deslocamentos

definida ao longo da fronteira comum.

3.5 Relações constitutivas

As relações constitutivas em regime elástico definem-se por [Castro 1996]:

pee F X e eθ= + + , (3.18)

onde:

tv vF S f S dV= ∫ , (3.19)

tpe v pe S f dVσ= ∫ , (3.20)

tve S dVθ θε= ∫ . (3.21)

3.6 Organização do sistema governativo

A condição de compatibilidade no domínio (3.15) e as relações constitutivas (3.18), estão

ambas escritas em termos das deformações generalizadas, podendo ser agrupadas numa

única equação [Castro 1996]:

F A Av v pe ppX q q e e e eγ γ γ θ+ − = + − − − . (3.22)

Juntando as condições de equilíbrio no domínio (3.7) e na fronteira (3.11), obtém-se o

sistema governativo elementar:

8

F A A

A 0 0

A 0 0

v pe pptv v v pt

p

X e e e e

q Q Q

q Q Q

γ γ θ

γ γ γ γ

− − − − = − − − − +

(3.23)

Salienta-se que devido à preservação da dualidade estática-cinemática e da reciprocidade

das relações constitutivas no modelo discreto, a matriz do sistema governativo elástico é

simétrica.

Para ilustrar a organização do sistema governativo global, apresenta-se a sua estrutura base

para o caso da placa em consola representada na Figura 3.1.

Figura 3.1: Estrutura em consola exemplificativa.

Os operadores e os vectores ( ) ( ) ( )i i i, jv γF , A , A que aparecem no sistema governativo global,

encontram-se associados aos (elementos, fronteiras) definidos respectivamente pelos

índices ( ),i j .

O sistema governativo apresentado em (3.24), representa a forma genérica do sistema de

equações a adoptar na resolução do problema em regime elástico (3.23):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

1 1 1,1 1,4 1,6v

2 2 2,2 2,4 2,5 2,7v

1v

2v

1,1

2,2

1,4 2,4

2,5

1,6

2,7

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

t

t

t

t

t t

t

t

t

F A -A -A -A

F A -A -A -A -A

A

A

-A

-A

-A -A

-A

-A

-A

γ γ γ

γ γ γ γ

γ

γ

γ γ

γ

γ

γ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

2

1

1

1

2

4

5

6

7

v

v

X

X

q

q

q

q

q

q

q

q

γ

γ

γ

γ

γ

γ

=

9

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11 1 1pp θ pe

22 2 2pp θ pe

1 1v p

2 2v p

1 1,1γ γp2 2,2γ γp

4 1,4 2,4γ γp γp

5 2,5γ γp6 1,6γ γp7 2,7γ γp

e - e - e - e

e - e - e - e

-Q - Q

-Q - Q

-Q + Q=

-Q + Q

-Q + Q + Q

-Q + Q

-Q + Q

-Q + Q

γ

γ

. (3.24)

Salienta-se a definição elementar dos operadores F e vA , enquanto que γA é definido para

cada deslocamento não impedido ao longo dos troços da fronteira estática. É neste

operador que se faz sentir a ligação entre os elementos, através da partilha da aproximação

para o campo de deslocamentos ao longo da fronteira comum. É o caso da fronteira 4 (7ª

coluna da matriz do sistema) onde se regista a participação dos dois elementos ( ) ( )1,4 2,4γ γA , A .

4 DEFINIÇÃO DA APROXIMAÇÃO

4.1 Introdução

Esta secção tem por objectivo introduzir as funções de aproximação, definir a forma como

foram implementadas e explicitar o seu ordenamento nos operadores associados às

aproximações. São ainda indicadas as principais vantagens e inconvenientes decorrentes da

utilização das funções adoptadas (polinómios ortogonais de Legendre).

4.2 Funções de aproximação

As funções de aproximação utilizadas são do tipo polinomial. A construção da

aproximação pode ser obtida, no caso de grandezas unidimensionais, agrupando os

polinómios por ordem crescente de grau, conforme se indica em (4.1). No caso de

aproximações em domínios bidimensionais, a construção da aproximação é resultante do

produto tensorial de polinómios unidimensionais (4.2), podendo ser agrupados com a

sequência indicada em (4.3):

( ) ( ) ( )0 1 nP x P x P x , (4.1)

10

( )

( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 1 0

0 1

P x P y P y P x P y P x P y P x P y

P x P x P y P x P y P x P y

α α

α α α α α

=

, (4.2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0P x P y P x P y P x P y P x P yα α α α . (4.3)

Quanto à organização das matrizes que reúnem as funções de aproximação , ,v vS U Uγ ,

optou-se por agrupar primeiro todas as funções associadas a cada grandeza aproximada.

Estas matrizes são definidas com um número de linhas igual ao número de grandezas

aproximadas. Desta forma, a matriz (4.4) representa, por exemplo, o caso onde são duas as

grandezas aproximadas:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0

0 0

P x P y P x P y

P x P y P x P yα α

α α

. (4.4)

Outras formas de organização são possíveis, influenciando no entanto a distribuição dos

termos no sistema governativo. Procurou-se garantir que a organização das matrizes

assegure uma distribuição eficiente dos coeficientes não-nulos, nomeadamente através da

optimização da proximidade à diagonal principal, conduzindo à minimização das

operações a efectuar quando se utilizam técnicas apropriadas para a resolução eficaz do

sistema de equações.

Utilizando aproximações com polinómios completos, a dimensão de qualquer uma das

matrizes anteriores é dada para o caso de uma aproximação unidimensional por (4.5), e por

(4.6) para o caso bidimensional:

( ), 1 maxn n g+ , (4.5)

( )2, 1 maxn n g + , (4.6)

onde n representa o número de grandezas aproximadas e maxg o grau máximo das funções

consideradas nessa aproximação.

Utilizam-se para definir todas as aproximações séries completas de polinómios de

Legendre, os quais correspondem a soluções da equação diferencial de Legendre [Spiegel

et al. 1990]:

( ) ( ) ( )2(1 ) 2 ( 1) 0P x P n n Pγ γ γ γ′′ ′− − + + = . (4.7)

Estas funções polinomiais podem ser geradas recursivamente pela fórmula de Bonnet:

1 1( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) 0n n nn P n x P n Pγ γ γ+ −+ − + + = . (4.8)

11

Salienta-se que neste tipo de formulação se perde o conceito de elementos isoparamétricos,

pois utilizam-se funções diferentes para aproximar a geometria dos elementos e as

grandezas estruturais.

No Anexo A abordam-se com maior detalhe os aspectos relacionados com os polinómios

de Legendre.

4.3 Comentários

A escolha deste tipo de funções deve-se a duas razões principais: em primeiro lugar são

funções onde é possível explorar a ortogonalidade, o que conduz à geração de sistemas

governativos altamente esparsos, e consequentemente, assegura um menor esforço

computacional quando se implementam rotinas apropriadas ao tratamento e resolução deste

tipo de sistemas. Em segundo lugar, esta série completa de funções ortogonais está

associada a uma maior estabilidade numérica na definição das aproximações, o que

permite efectuar refinamentos tipo-p nos quais se pode aumentar de forma significativa o

grau máximo dos polinómios utilizados. Esta é uma vantagem importante se se tiverem em

consideração os problemas numéricos que geralmente ocorrem quando nos elementos

finitos de deslocamento se incrementa o grau das funções de interpolação de Lagrange. Por

outro lado, a exploração das propriedades dos polinómios ortogonais de Legendre

possibilita, na maioria das situações, a definição de expressões analíticas para o cálculo dos

operadores estruturais. Torna-se assim dispensável o recurso a quaisquer esquemas de

integração numérica, o que permite não só optimizar a velocidade de cálculo como também

maximizar a precisão numérica dos cálculos envolvidos.

5 CÁLCULO DOS OPERADORES ESTRUTURAIS

5.1 Introdução

Neste capítulo definem-se as expressões associadas ao cálculo dos operadores estruturais.

Salientam-se, neste contexto, os trabalhos de Pereira et al. [Pereira et al. 2000] e de Castro

[Castro 1996], que serviram como ponto de partida à implementação que aqui se reporta.

A aproximação é definida pelas variáveis , ,s uv ugg g g , que representam respectivamente o

grau máximo da aproximação dos campos de tensões, de deslocamentos no domínio e de

deslocamentos na fronteira.

12

5.2 Transformação de coordenadas

Os elementos utilizados são do tipo trapezoidal, com a geometria definida por 4 nós. Para

permitir a sistematização do cálculo dos operadores estruturais, efectua-se uma

transformação de coordenadas do referencial global ( ),x y para um elemento mestre

definido no referencial local ( ),ξ η . Foi implementado um elemento mestre definido em

[ ]1,1− (ver Figura 5.1).

Figura 5.1: Transformação de coordenadas para um elemento genérico trapezoidal de 4 nós.

Para a definição da geometria do elemento, considera-se uma aproximação do tipo bilinear

(ver Figura 5.2), definida por:

1

2

3

4

1 4(1 )(1 )

1 4(1 )(1 )

1 4(1 )(1 )

1 4(1 )(1 )

ψ ξ ηψ ξ ηψ ξ ηψ ξ η

= − −

= + −

= + + = − +

. (5.1)

Figura 5.2: Funções de aproximação da geometria do elemento.

A geometria do elemento nos eixos globais ( )1 2,x x pode ser definida na forma [Pereira

1993]:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 41 2 3 4 , {1, 2}k k k k kx x x x x para kψ ψ ψ ψ= + + + = , (5.2)

1ψ 2ψ 3ψ 4ψ

13

onde [ ]ikx representa a coordenada k, definida no sistema de eixos global, do nó i do

elemento.

Salienta-se que, devido à forma como foi definida a aproximação da geometria do

elemento, a orientação dos lados locais é necessariamente definida no sentido anti-horário.

Introduzindo as aproximações definidas em (5.1) na expressão (5.2), obtém-se:

( )

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1, 4 4

1 1

4 4

k k k k k k k kk

k k k k k k k k

x x x x x x x xx

x x x x x x x x

ξξ η

η ξ η

+ + + + − + + − +=+ − − + + + − + −

. (5.3)

As equações anteriores podem ser escritas no formato [Pereira et al. 2000]:

( ) 0, , {1, 2}k k k k kx x para kξ η α η β ξ γ ξ η= + + + = , (5.4)

onde:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

1 2 3 40

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 4

1 4

1 4

1 4

k k k k k

k k k k k

k k k k k

k k k k

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x xκ

α

β

γ

= + + + = − − + +

= − + + − = − + −

. (5.5)

A relação entre as variações infinitesimais das grandezas definidas nos sistemas de

coordenadas global e local, pode ser definida através da seguinte igualdade:

{ }, 1,2i ii

x xdx d d iξ η

ξ η∂ ∂= + =∂ ∂

, (5.6)

ou na forma matricial:

1 1

1

2 2 2

x xdx d

dx x x d

ξξ ηη

ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

. (5.7)

A matriz presente na equação anterior é usualmente denominada por matriz Jacobiana da

transformação de coordenadas. Para os elementos trapezoidais utilizados é definida por:

( ) 1 1 1 1

2 2 2 2

,Jβ γ η α γ ξ

ξ ηβ γ η α γ ξ

+ + = + +

. (5.8)

Define-se o Jacobiano da transformação como sendo o determinante da matriz Jacobiana,

o qual pode ser obtido através de:

14

1 1 2 2 1 1 2 2( , ) det[ ( , )] ( ) ( ) ( )( )J Jξ η ξ η β γ η α γ ξ α γ ξ β γ η= = + + − + + . (5.9)

Efectuando o desenvolvimento dos produtos e agrupando os termos, obtém-se:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )J ξ η β α α β γ α α γ η β γ β γ ξ γ γ γ γ ξ η2= − + − + − + − . (5.10)

Observando que o último termo se anula, é possível escrever a expressão anterior na forma

condensada [Pereira et al. 2000]:

0( , )J J J Jξ ηξ η ξ η= + + , (5.11)

onde:

0 1 2 1 2J β α α β= − , (5.12)

1 2 1 2Jη γ α α γ= − , (5.13)

1 2 2 1Jξ β γ β γ= − . (5.14)

5.3 Operador de flexibilidade

De acordo com o modelo de elementos finitos, o operador de flexibilidade é calculado para

cada elemento finito, e, através da expressão:

( )tev vF S f S dV= ∫ .

Efectuando a transformação de coordenadas para o elemento mestre definido no referencial

local ( ),ξ η , a definição do operador irá englobar o Jacobiano da transformação:

( )( ) ( ) ( )1 1

1 1

, , ,te

v vF S f S J d dξ η ξ η ξ η η ξ− −

= ∫ ∫ . (5.15)

Desta forma, o cálculo de um termo genérico do operador de flexibilidade, associado às

funções de aproximação definidas pelos índices i, j, m, n e ao termo klf da matriz que

reúne os parâmetros elásticos, pode ser efectuado a partir de:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

-1 -1

, , , , , = ,ei j kl m nF i j k l m n P ξ P η f P ξ P η J ξ η d dη ξ∫ ∫ . (5.16)

Particularizando a expressão anterior para elementos trapezoidais, nos quais o Jacobiano da

transformação de coordenadas é definido em (5.11), um elemento genérico do operador de

flexibilidade pode ser calculado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

1 1

, , , , ,ei j kl m nF i j k l m n P P f P P J J J d dξ ηξ η ξ η ξ η η ξ

− −

= + +∫ ∫ . (5.17)

15

A expressão anterior pode ser subdividida em três parcelas, relacionadas com os termos

que definem o Jacobiano. Tendo em consideração as expressões apresentadas no Anexo A,

obtém-se:

Termo 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

0 0

1 1 1 1

,kl j n i m klf J P P d P P d f J se i m j nη η η ξ ξ ξ− − − −

= = =

∧ ∫ ∫ ∫ ∫ . (5.18)

Termo 2:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

, 12

, 12

kl j n i m

kl

i m

kl

i m

f J P P d P P d

iJ f se i m j n

mJ f se i m j n

ξ

ξ

ξ

η η η ξ ξ ξ ξ

λ λ

λ λ

− − − −

=

= + ∧ =

== − ∧ =

∫ ∫ ∫ ∫

. (5.19)

Termo 3:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

, 12

, 12

kl j n i m

kl

j n

kl

j n

f J P P d P P d

jJ f se j n i m

nJ f se j n i m

η

ξ

ξ

η η η η ξ ξ ξ

λ λ

λ λ

− − − −

=

= + ∧ =

== − ∧ =

∫ ∫ ∫ ∫

. (5.20)

Para cada termo não nulo de klf gera-se um bloco de termos quadrado, com dimensão

( )21 sg+ , no qual os termos anteriores se definem de acordo com o exemplo apresentado

na Figura 5.3, para 3sg = .

i 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3m n / j 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 30 00 10 20 31 01 1 - TERMO 11 2 - TERMO 21 3 - TERMO 32 02 12 22 33 03 13 23 3

Figura 5.3: Ordenamento dos termos de um bloco do operador de flexibilidade F.

16

O operador de flexibilidade eF da estrutura é traduzido por uma matriz quadrada com a

dimensão:

º

2

1

3 (1 )n elem

is

i

g=

+ ∑ . (5.21)

5.4 Operador de compatibilidade no domínio

Conforme definido anteriormente, o operador de compatibilidade no domínio para o

elemento finito e, é definido pela expressão:

( )e tv v vA D S U dV= ∫ .

Para efectuar a transformação de coordenadas para o elemento mestre, adopta-se um

procedimento semelhante ao anterior. No entanto, é necessário calcular a relação entre o

operador de equilíbrio definido no sistema de coordenadas globais ( ),x y e o mesmo

operador definido nas coordenadas locais ( ),ξ η .

Recorrendo à regra da derivação da função composta (5.22), podemos relacionar para cada

elemento finito as derivadas parciais associadas às coordenadas globais, com as derivadas

associadas às coordenadas locais:

( ) ( ) ( )ξ ηγ ξ γ η γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, (5.22)

definindo-se o novo operador de equilíbrio ( ),D ξ η , da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )0

( , )( ) ( ) ( ) ( )

0

x x y yD

y y x x

ξ η ξ ηξ η ξ η

ξ ηξ η ξ η

ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (5.23)

Tendo em atenção que os termos , , ,x y x y

ξ ξ η η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

da expressão anterior podem ser

calculados com base nas expressões associadas à inversa da transformação de coordenadas

utilizada na definição da geometria do elemento, é possível relacionar as derivadas nos

dois sistemas de coordenadas, através de:

1

( )( )

( ) ( )x

J

y

ξ

η

−

∂ ∂ ∂∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

, (5.24)

17

onde:

( )

, ,1

, ,

1

,

y yJ

x xJη ξ

η ξξ η− −

= − . (5.25)

Desta forma, de acordo com as expressões apresentadas em (5.4) para os elementos

trapezoidais, o operador diferencial de equilíbrio pode ser definido através de:

( ) ( ) ( )1, ,

,eD x y D

Jξ η

ξ η= , (5.26)

onde:

( ) 2 2 1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

0 0( ) ( ),

0 0D

α γ ξ α γ ξ β γ η β γ ηξ η

α γ ξ α γ ξ β γ η β γ ηξ η+ − − + − −

− − + − − +

∂ ∂= − ∂ ∂ . (5.27)

Num formato mais compacto, podemos definir:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

2 1

D , 0 D ,,

0 D , D ,D

ξ η ξ ηξ η

ξ η ξ η

=

, (5.28)

onde:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 2 2 2

2 1 1 1 1

( ) ( ),

( ) ( ),

D

D

ξ η α γ ξ β γ ηξ η

ξ η α γ ξ β γ ηξ η

+ +

− − − −

∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂

. (5.29)

O operador de compatibilidade no domínio pode ser então definido no referencial local

( ),ξ η , através de:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

1, , , ,

,

t

ev v vA D S U J d d

Jξ η ξ η ξ η ξ η η ξ

ξ η− −

=

∫ ∫ . (5.30)

Eliminando os termos referentes ao Jacobiano, o cálculo de um termo genérico do

operador de compatibilidade, associado às funções de aproximação definidas pelos índices i ,j, m, n, e ao termo do operador de equilíbrio kD definido em (5.29), pode ser efectuado

através de:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1

1 1

, , , , ,te

v k i j m nA i j k m n D P P P P d dξ η ξ η ξ η η ξ− −

= ∫ ∫ . (5.31)

18

Os termos associados a 1D , resultam do cálculo de:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

i i

j n m j n m

j j

n i m n i m

P PP P d P d P P d P d

P PP d P P d P d P P d

ξ ξα η η η ξ ξ γ η η η ξ ξ ξ

ξ ξ

η ηβ η η ξ ξ ξ γ η η η ξ ξ ξ

η η

− − − −

− − − −

∂ ∂+ −

∂ ∂

∂ ∂−

∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫. (5.32)

Tendo em consideração as expressões apresentadas no Anexo A, obtém-se:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

1 1

22 , 1

0, . .

ij n m

i m se j n m i m i for par

PP P d P d

Termo

c c

ξα η η η ξ ξ

ξα λ λ− −

= ∧ < ∧ +

∂=

∂

→

∫ ∫, (5.33)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

1 1

2

2

, 2

2 , 3

0, . .

ij n m

i m

se j n i m

se j n m i m i for par

PP P d P d

m Termo

Termo

c c

ξγ η η η ξ ξ ξ

ξγ

γ λ λ

− −

= ∧ =

= ∧ < ∧ +

∂=

∂

→

→

∫ ∫, (5.34)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

1 1

2 í2 , 4

0, . .

j

n i m

j n se i m n j n j for mpar

PP d P P d

Termo

c c

ηβ η η ξ ξ ξ

ηβ λ λ− −

= ∧ < ∧ +

∂− =

∂

− →

∫ ∫, (5.35)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

1 1

2

2

, 5

2 , 6

0, . .

j n

i m

j n

se i m n j

se i m n j n j for par

P Pd P P d

n Termo

Termo

c c

η η ηγ η ξ ξ ξ

ηγ

γ λ λ

− −

= ∧ =

= ∧ < ∧ +

∂− =

∂

− →

− →

∫ ∫. (5.36)

De forma idêntica para os termos associados a 2D :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

i i

j n m j n m

j j

n i m n i m

P PP P d P d P P d P d

P PP d P P d P d P P d

ξ ξα η η η ξ ξ γ η η η ξ ξ ξ

ξ ξ

η ηβ η η ξ ξ ξ γ η η η ξ ξ ξ

η η

− − − −

− − − −

∂ ∂−

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

− +

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫, (5.37)

obtendo-se:

19

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

12 , 1

0, . .

ij n m

i m se j n m i m i for par

PP P d P d

Termo

c c

ξα η η η ξ ξ

ξα λ λ− −

= ∧ < ∧ +

∂− =

∂

− →

∫ ∫, (5.38)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

1

1

, 2

2 , 3

0, . .

ij n m

i m

se j n i m

se j n m i m i for par

PP P d P d

m Termo

Termo

c c

ξγ η η η ξ ξ ξ

ξγ

γ λ λ

− −

= ∧ =

= ∧ < ∧ +

∂− =

∂

− →

− →

∫ ∫, (5.39)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

1 í2 , 4

0, . .

j

n i m

j n se i m n j n j for mpar

PP d P P d

Termo

c c

ηβ η η ξ ξ ξ

ηβ λ λ

− −

= ∧ < ∧ +

∂=

∂

→

∫ ∫, (5.40)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

1

1

, 5

2 , 6

0, . .

j

n i m

j n

se i m n j

se i m n j n j for par

PP d P P d

n Termo

Termo

c c

ηγ η η η ξ ξ ξ

ηγ

γ λ λ

− −

= ∧ =

= ∧ < ∧ +

∂=

∂

→

→

∫ ∫. (5.41)

Para cada termo kD , gera-se um bloco de termos com dimensão ( ) ( )2 21 1s uvg x g+ + , com

a posição definida de acordo com o exemplo apresentado na Figura 5.4, para

3, 2s uvg g= = .

m 0 0 0 1 1 1 2 2 2i j / n 0 1 2 0 1 2 0 1 20 00 10 20 31 0 - TERMO 2 + TERMO 51 1 - TERMO 41 2 - TERMO 31 3 - TERMO 12 0 - TERMO 62 12 22 33 03 13 23 3

Figura 5.4: Ordenamento dos termos de um bloco do operador vA .

20

O operador de compatibilidade vA é traduzido por uma matriz com a dimensão:

º2

1

º2

1

º : 3 (1 )

º : 2 (1 )

n elemis

i

n elemiuv

i

N de linhas g

N de colunas g

=

=

+

+

∑

∑. (5.42)

5.5 Operador de compatibilidade na fronteira

De acordo com a secção relativa ao modelo de elementos finitos, o operador de

compatibilidade na fronteira associado ao elemento finito e, e à fronteira estática f, é

calculado através de:

( ), (N )e f tvA S U dγ γ σ= Γ∫ .

Para o cálculo deste operador, necessitamos da relação entre as componentes das normais

exteriores definidas no sistema de coordenadas globais ( ),x y e definidas em coordenadas

locais ( ),ξ η .

Prova-se que [Pereira 1993]:

( )( ) ( ) ( ) ( )1,

, ,,

x

y

nnJ J

nnξ

η

ξ ηξ η ξ η

ξ η−

=

. (5.43)

Atendendo a que:

( ) ( ) ( )1 , ,

, ,

1,

,

y yJ

x xJη ξ

η ξξ η

ξ η− −

= − , (5.44)

a expressão (5.43) pode ser rescrita na forma:

( )( )

, ,

, ,

,

,x

y

y y nn

x x nnη ξ ξ

η ξ η

ξ ηξ η

− = −

. (5.45)

De acordo com as expressões apresentadas para os elementos trapezoidais (5.4), obtém-se:

( )( )

2 2 2 2

1 1 1 1

,

,x

y

nn

nnξ

η

ξ η α γ ξ β γ ηξ η α γ ξ β γ η

+ − − = − − +

. (5.46)

Como as normais exteriores obtidas pela expressão (5.46) não são unitárias, é necessário

dividi-las pela sua norma, obtida através de:

( ) ( )2 2( , ) , ,x yn n nξ η ξ η ξ η= + , (5.47)

ficando o operador de compatibilidade na fronteira definido por:

21

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

t1

γ v γ2 2-1 x y

N ξ,ηA = S ξ,η U γ J γ dγ

n ξ,η +n ξ,η

∫ , (5.48)

onde:

( ) ( )

( ) ( ), 0 ,

0 , ,x y

y x

n nN

n n

ξ η ξ ηξ η ξ η

=

. (5.49)

Tendo em conta que o Jacobiano da transformação de coordenadas, pode ser obtido de:

( ) ( ) ( )2 2, ,x yJ n nγ ξ η ξ η= + , (5.50)

o operador de compatibilidade pode ser definido por:

( ) ( ) ( )( ) ( )1

,

1

, ,te f

vA N S U dγ γξ η ξ η γ γ−

= ∫ . (5.51)

Desta forma, um termo genérico do operador, associado às funções de aproximação

definidas pelos índices i, j, m, e à normal exterior ( ),kn ξ η , pode ser calculado através de:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

,

1

, , , ,te f

k i j mA k i j m n P P P dγ ξ η ξ η γ γ−

= ∫ . (5.52)

De acordo com a expressão anterior, um termo genérico do operador de compatibilidade na

fronteira de Aγ , pode ser calculado através de:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

,k

1

,te f

i j iA n P P P dγ ξ η ξ η γ γ−

= ∫ . (5.53)

Particularizando para cada um dos lados do elemento mestre definido Figura 5.5, obtêm-se:

Figura 5.5: Elemento mestre utilizado no programa.

Lado I - ( )γ ξ= , ( )1η = − e ( ) ( ); 0 ; 1n nξ η = − :

( )

( )

I

I

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

0

1x

y

n

n

α γ ξ β γ β γα γ ξ β γ β γ

+ − + − = = − − − − +−

, (5.54)

22

( )I 2 2 1 1

1 1 2 2

0

0N

β γ β γβ γ β γ

− − + = − + −

, (5.55)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), I I

1

1

1 1 ,e It

i j m jA N P P P d P N se i mγ ξ ξ ξ−

= − = − =∫ . (5.56)

Lado II - ( )γ η= , ( )1ξ = e ( ) ( ); 1 ; 0n nξ η = :

( )

( )

II

II

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1

0x

y

n

n

α γ β γ η α γα γ β γ η α γ

+ − − + = = − − + − −

, (5.57)

( )II 2 2 1 1

1 1 2 2

0

0N

α γ α γα γ α γ

+ − − = − − +

, (5.58)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), II II

1

1

1 1 ,e IIt

i j m iA N P P P d P N se j mγ η η η−

= = =∫ . (5.59)

Lado III - ( )γ ξ= , ( )1η = e ( ) ( ); 0 ; 1n nξ η = :

( )

( )

III

III

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

0

1x

y

n

n

α γ ξ β γ β γα γ ξ β γ β γ

+ − − − − = = − − + +

, (5.60)

( )III 2 2 1 1

1 1 2 2

0N

0

β γ β γβ γ β γ

− − + = + − −

, (5.61)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), III III

1

1

N 1 1 N ,e IIIt

i j m jA P P P d P se i mγ ξ ξ ξ−

= = =∫ . (5.62)

Lado IV - ( )γ η= , ( )1ξ = − e ( ) ( ); 1 ; 0n nξ η = − :

( )

( )

IV

IV

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1

0x

y

n

n

α γ β γ η α γα γ β γ η α γ

− − − − +− = = − + + −

, (5.63)

( )IV 2 2 1 1

1 1 2 2

0

0N

α γ α γα γ α γ

− + − = − − +

, (5.64)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), IV IV

1

1

1 1 ,e IVt

i j m iA N P P P d P N se j mγ η η η−

= − = =∫ . (5.65)

Para cada termo não nulo de N, gera-se um bloco de termos com dimensão

( ) ( )21 1s ug x g γ+ + , com a posição definida de acordo com o exemplo apresentado no

Figura 5.6, para ( )3, 2s ug g γ= = .

23

O operador de compatibilidade Aγ é traduzido por uma matriz com a dimensão:

º2

1

º . .

1

º : 3 (1 )

º : (1 )

n elemis

i

n g liu

i

N de linhas g

N de colunas g γ

=

=

+

+

∑

∑. (5.66)

i j / m 0 1 2 i j / m 0 1 20 0 0 00 1 0 10 2 0 20 3 0 31 0 1 01 1 1 11 2 1 2 - LADOS I e III1 3 1 32 0 2 0 - LADOS II e IV2 1 2 12 2 2 22 3 2 33 0 3 03 1 3 13 2 3 23 3 3 3

Figura 5.6: Ordenamento dos termos de um bloco do operador Aγ .

5.6 Vector das forças de massa

O vector das forças de massa associado ao elemento e é definido por:

( )tev vQ U b dV= ∫ ,

e pode ser calculado recorrendo à transformação de coordenadas para o referencial local

definida pela expressão (5.67):

( ) ( )1 1

1 1

,te

v vQ U b J d dξ η η ξ− −

= ∫ ∫ . (5.67)

O termo genérico associado às funções de aproximação definidas pelos índices i, j e à

componente kb do vector das forças de massa, pode ser calculado através de:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1

, , ,ev i j kQ i j k P P b J d dξ η ξ η η ξ

− −

= ∫ ∫ . (5.68)

Particularizando para os elementos trapezoidais, um elemento genérico do vector das

forças de massa pode ser calculado por:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

1 1

, ,v i j kQ i j k P P b J J J d dξ ηξ η ξ η η ξ− −

= + +∫ ∫ . (5.69)

24

A expressão anterior pode ser dividida em três parcelas, relacionadas com os termos que

definem o Jacobiano, obtendo-se:

Termo 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 10 0

0 00 01 1 1 1

0

0

, 0

0, . .

k i j k i j

k

P PJ b P P d d J b P d P d

J bse i j

c c

ξ ηξ η η ξ ξ ξ η η

λ λ

λ

− − − −

=

= ==

∫ ∫ ∫ ∫, (5.70)

Termo 2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1 1 10 0

0 01 1 1 1

2

0

, 1 02

0, . .

k i j k i j

k

i

P PJ b P P d d J b P d P d

J b mse i j

c c

ξ ξ

ξ

ξ ηξ η ξ η ξ ξ ξ ξ η η

λ λ

λ λ

− − − −

=

= ∧ ==

∫ ∫ ∫ ∫, (5.71)

Termo 3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1 1 10 0

0 01 1 1 1

2

0

, 0 12

0, . .

k i j k i j

k

j

P PJ b P P d d J b P d P d

J b nse i j

c c

η η

η

ξ ηξ η η η ξ ξ ξ η η η

λ λ

λ λ

− − − −

=

= ∧ ==

∫ ∫ ∫ ∫. (5.72)

A posição dos termos anteriores no vector das forças massa associado a um elemento,

encontra-se definido no Figura 5.7, para 3sg = .

i j

0 0

0 1

0 2

0 3

1 0

1 1

1 2 - TERMO 1

1 3 - TERMO 2

2 0 - TERMO 3

2 1

2 2

2 3

3 0

3 1

3 2

3 3

Figura 5.7: Ordenamento dos termos do vector das forças de massa.

25

O vector terá um tamanho total de:

º

2

1

2 (1 )n elem

iuv

i

g=

+ ∑ . (5.73)

5.7 Vector das forças na fronteira

O vector das forças na fronteira associado à fronteira estática f é definido através de:

( )tfQ U t dγ γ γ σ= Γ∫ ,

e pode ser calculado recorrendo à transformação de coordenadas para o referencial local,

obtendo-se a expressão:

( ) ( )1

1

tfQ U t J dγ γ γ γ γ−

= ∫ . (5.74)

Atendendo à definição (5.50), o termo genérico associado à função de aproximação

definida pelo índice i e à componente ,ktγ do vector das forças na fronteira, pode ser

calculado através de:

( ) ( ) ( ) ( )1

2 2,

1

, , ,fi k x yQ m k P t n n dγ γξ ξ η ξ η γ

−

= +∫ . (5.75)

A consideração de cargas uniformes definidas nas fronteiras dos elementos, pode ser

implementada através da particularização da expressão (5.75) para cada um dos lados do

elemento mestre, obtendo-se:

Lado I - ( )γ ξ= e ( ) ( )2 2 1 1; ;x yn n β γ β γ= − − + :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 2 0

, 2 2 1 101

2 2

, 2 2 1 1

0

, 0

0, . .

k i

k

Pt P d

tse i

c c

γ

γ

ξβ γ β γ ξ ξ

λ

β γ β γλ

−

− + − + =

− + − + ==

∫, (5.76)

26

Lado II - ( )γ η= , ( ) ( )2 2 1 1; ;x yn n α γ α γ= + − − :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 2 0

, 2 2 1 101

2 2

, 2 2 1 1

0

, 0

0, . .

k i

k

Pt P d

tse i

c c

γ

γ

ηα γ α γ η η

λ

α γ α γλ

−

+ + − − =

+ + − − ==

∫, (5.77)

Lado III - ( )γ ξ= , ( ) ( )2 2 1 1; ;x yn n β γ β γ= − − + :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 2 0

, 2 2 1 101

2 2

, 2 2 1 1

0

, 0

0, . .

k i

k

Pt P d

tse i

c c

γ

γ

ξβ γ β γ ξ ξ

λ

β γ β γλ

−

− + − + =

− + − + ==

∫, (5.78)

Lado IV - ( )γ η= , ( ) ( )2 2 1 1; ;x yn n α γ α γ= − + − :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 2 0

, 2 2 1 101

2 2

, 2 2 1 1

0

, 0

0, . .

k i

k

Pt P d

tse i

c c

γ

γ

ξα γ α γ ξ ξ

λ

α γ α γλ

−

− + + − =

− + + − ==

∫. (5.79)

Para cada fronteira estática, o termo genérico calculado pelas expressões anteriores, insere-

se na posição do vector das forças na fronteira apresentada na Figura 5.8.

m

0 - LADOS I,II,III e IV

1

2

Figura 5.8: Ordenamento dos termos do vector das forças das forças de fronteira.

O vector terá um tamanho total de:

º . .

1

(1 )n g l

iu

i

g γ=

+ ∑ . (5.80)

5.8 Cálculo dos campos de tensões e deslocamentos

Os campos de tensões σ , no elemento finito e, são calculados através da aproximação

(3.1). Assim sendo, para um ponto ( ),ξ η do domínio do elemento mestre, obtém-se:

27

( ) ( ) ( )0 0

( , ) , ( , )s sg g

ei j p

i j

P P X i jσ ξ η ξ η σ ξ η= =

= + ∑∑ , (5.81)

onde ( ),X i j representa o peso associado às funções de aproximação do campo de

tensões no domínio do elemento e, de índices i e j, e sg representa o grau máximo das

funções utilizadas na definição da aproximação.

Os campos de deslocamentos vu no domínio do elemento finito e, são calculados através

da aproximação (3.2). Desta forma, para um ponto ( ),ξ η do elemento mestre, obtém-se:

( ) ( ) ( )0 0

( , ) , ( , )uv uvg g

ev i j v p

i j

u P P q i j uξ η ξ η ξ η= =

= + ∑∑ , (5.82)

onde ( ),vq i j representa o peso associado às funções de aproximação do campo de

deslocamentos no domínio do elemento e, de índices i, j, e uvg representa o grau máximo

das funções.

Os campos de deslocamentos nas fronteiras estáticas uγ , são calculados através da

aproximação (3.3). Desta forma, para um ponto γ da fronteira f do elemento mestre,

obtém-se:

( ) ( )0

( )ug

fv i

i

u P q iγ

γγ γ=

= ∑ , (5.83)

onde ( )q iγ representa o peso associado à função de aproximação do campo de

deslocamentos na fronteira f, de índice i, e ug γ representa o grau máximo das funções.

6 PROGRAMA DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

6.1 Introdução

Nesta secção descreve-se o funcionamento do programa de cálculo Placa-Leg. O programa

foi desenvolvido na plataforma Matlab [MathWorks Inc. 1999] e é constituído pelas

rotinas listadas na Tabela 6.1 e pelos ficheiros auxiliares indicados na Tabela 6.2.

Para visualizar os resultados recorre-se a um conjunto de rotinas de visualização

denominadas por ToolVis, igualmente escritas na plataforma Matlab. Estas rotinas

28

recorrem a ficheiros de configuração (extensão TDF) para efectuar as visualizações (ver

Tabela 6.3).

O programa foi desenvolvido na versão 6 (R12) do Matlab [MathWorks Inc. 1999] tendo

sido testado com êxito nas versões 7.0 (R13) e 7.1 (R14). A utilização de versões

anteriores ou posteriores poderá implicar a necessidade de se efectuarem ajustes no código

que se inclui no CD em anexo (versão de Maio de 2006). Contactando os autores através

de correio electrónico (luismm@lnec.pt ou luis@civil.ist.utl.pt) é possível obter o URL

onde se encontra a última versão do programa disponível para descarregar.

Salienta-se que embora o programa esteja preparado para efectuar análises elastoplásticas

de problemas de placas, neste relatório apenas se discutem os procedimentos associados à

realização de análises elásticas lineares. Desta forma, nas Tabelas 6.1, 6.2 e 6.3 encontram-

se referidas algumas rotinas e ficheiros auxiliares que não são explorados neste relatório,

uma vez que a sua utilização se torna necessária apenas quando se pretendem efectuar

análises não-lineares.

Todas as rotinas e ficheiros auxiliares podem ser encontrados no CD em anexo.

Rotina Objectivo Tipo \PLACA.m Arranque do programa Executável \VARIAVEIS.m Criação de variáveis globais Executável \CFG\PLACA_CFG.m Rotina de configuração Executável \EST\PLACA_EST.m Visualização do problema Executável \PRE\PLACA_PRE.m Rotina de pré-processamento Executável \PRE\Calc_GLOB_LOC.m Mapeamento do elemento mestre Função \PRO\PLACA_PRO.m Rotina de processamento Executável \PRO\Calc_F.m Cálculo do operador F Função \PRO\Calc_Av.m Cálculo do operador Av Função \PRO\Calc_Ag.m Cálculo do operador Ag Função \PRO\Calc_Qv.m Cálculo do vector Qv Função \PRO\Calc_Qg.m Cálculo do vector Qg Função \PRO\Monta_sist_e.m Montagem da matriz do sistema governativo Função \PRO\Monta_TI_e.m Montagem dos termos independentes do s.g. Função \PRO\Res_SIST.m Resolução do sistema governativo Executável \PRO\Gere_ANL.m Gere algoritmo não linear Função \PRO\Calc_Iteracoes.m Cálculo das iterações Função \PRO\Efectua_REGISTO.m Efectua registo de variáveis Função \POS\PLACA_POS.m Rotina de pós-processamento Executável \POS\Calc_DESLOCAMENTOS_uv.m Cálculo de uv Função \POS\Calc_DESLOCAMENTOS_ug.m Cálculo de ug Função \POS\Calc_ENERGIA_DEFORMACAO.m Cálculo da energia deform. Executável \TOOLVIS.V2.0\TOOLVIS.m Rotina toolvis Função \TOOLVIS.V2.0\CORES.m Def. gradiente de cores Executável

Tabela 6.1: Listagem das rotinas de cálculo do programa.

29

Ficheiro Objectivo \PLACA.fig Interface gráfica (menu principal) \CONFIG.OPT Configuração do programa (ficheiros e directórios) \CFG\PLACA_CFG.fig Interface gráfica (configuração) \EST\PLACA_EST.fig Interface gráfica (estrutura) \EST\PLACA_EST.OPT Configuração do programa (estrutura) \PRE\PLACA_PRE.fig Interface gráfica (pré-processamento) \PRO\PLACA_PRO.fig Interface gráfica (processamento) \PRO\PLACA_PRO.OPT Configuração do programa (processamento) \PRO\Final.wav Ficheiro wav para assinalar o fim dos cálculos \POS\PLACA_POS.fig Interface gráfica (pós-processamento) \POS\PLACA_POS.OPT Configuração do programa (pós-processamento) \TOOLVIS.V2.0\CORES.fig Interface gráfica (gradiente de cores) \TOOLVIS.V2.0\CM\*.CM Definição dos mapas de cores

Tabela 6.2: Listagem dos ficheiros adicionais.

Ficheiro Objectivo ESTRUTURA.TDF Visualização do problema em análise(Interface gráf.) PLACA_VIS.TDF Visualização do problema em análise (executável) CELULAS_CEL.TDF Visualização das células plásticas CELULAS_PC.TDF Visualização dos pontos de colocação CELULAS_PC_CEL.TDF - CELULAS_PC_PI.TDF - CELULAS_PC_PI_CEL.TDF - CELULAS_PI.TDF Visualização dos pontos de integração CELULAS_PI_CEL.TDF - CORTE_s.TDF Visualização das tensões segundo um corte CORTE_uv.TDF Visualização dos deslocamentos uv segundo um corte CORTE_ug.TDF Visualização dos deslocamentos ug segundo um corte DEMO.TDF Ficheiro de exemplo DESLOCAMENTOS.TDF Visualização dos deslocamentos (standard) DESLOCAMENTOS_uv.TDF Visualização dos deslocamentos uv DESLOCAMENTOS_uv_2fig.TDF Visualização dos deslocamentos uv (2 figuras) DESLOCAMENTOS_ug.TDF Visualização dos deslocamentos ug GLOBAL-ELÁSTICO.TDF Visualização standard - problema elástico GLOBAL-ELASTOPLASTICO.TDF Visualização standard - problema elastoplástico GLOBAL-ELASTOPLASTICO_SEM_TENSOES.TDF

Visualização standard - problema elastoplástico (sem tensões)

REGISTOS_COM_MARKERS.TDF Visualização dos registos com markers REGISTOS_SEM_MARKERS.TDF Visualização dos registos sem markers TENSOES.TDF Visualização das tensões TENSOES_CELULAS.TDF Visualização das tensões nas células plásticas TENSOES_IN_CORES.TDF Visualização das tensões – entrada dos mapas de cores TENSOES_OUT_CORES.TDF Visualização das tensões – saída dos mapas de cores TENSOES_sxx.TDF Visualização das tensões, σxx TENSOES_syy.TDF Visualização das tensões, σyy TENSOES_sxy.TDF Visualização das tensões, σxy

Tabela 6.3: Listagem dos ficheiros de configuração das saídas gráficas.

6.2 Estrutura do ficheiro de dados

O ficheiro de dados é um ficheiro ASCII e recorre a blocos identificadores para estruturar

os dados, permitindo uma maior flexibilidade na ordenação da informação. Na Tabela 6.4

encontra-se exemplificada a estrutura do ficheiro de dados.

30

6.3 Funcionamento do programa

O programa Placa-Leg pode funcionar através da utilização da interface gráfica

apresentada Figura 6.1. No entanto, alguns comandos podem ser executados directamente

na command window do Matlab.

[Titulo] CONSOLA QUADRADA [Nos] 4 0 0 1 0 1 1 0 1 [Lados] 4 1 2 0 0 2 2 20 2 3 0 0 2 2 20 3 4 0 0 2 2 20 4 1 -1 -1 2 2 20 [Elementos] 1 1 2 3 4 1 0.3 1 2 20 20 [Aproximacoes] 2 [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [Fmassa] 1 1 1 1 [Ffront] 1 3 2 -1 [tipo] 1

Marca identificadora do bloco de dados “Titulo” Título do problema Marca identificadora do bloco de dados “Nos” Número de nós Coordenada x; Coordenada y do nó 1 Marca identificadora do bloco de dados “Lados” Número de lados Nó inicial; nó final; cond. apoio x, cond. apoio y, aprox. ug(x); aprox. ug(y), número de intervalos para pós-processamento Nota: Condição de apoio: 0–livre; -1–fixo. Não é possível

considerar apoios elásticos. Marca identificadora do bloco de dados “Elementos” Número de elementos Lado 1, lado 2, lado 3, lado 4, E, Poisson, aprox. σ, aprox. uv, número de intervalos σ; número de intervalos uv Marca identificadora do bloco de dados “Aproximacoes” Número de aproximações Graus da aproximação n Marca identificadora do bloco de dados “Fmassa” Número de forças de massa Elemento, direcção, valor Marca identificadora do bloco de dados “Ffront” Número de forças na fronteira Fronteira, tipo, valor Marca identificadora do bloco de dados “tipo” Tipo Nota: 1-estado plano de tensão; 2-estado plano de deformação

Tabela 6.4: Formato do ficheiro de dados.

31

Figura 6.1: Menu principal do programa.

6.3.1 Configuração

Para funcionar, o programa necessita das rotinas indicadas na Tabela 6.1, dos ficheiros

adicionais indicados na Tabela 6.2, da configuração das visualizações indicada na Tabela

6.3, e ainda das rotinas de visualização Toolvis (versão 2.0 de Janeiro de 2006). Estas

últimas rotinas podem armazenar-se num directório à parte (recomendado), assim como os

ficheiros de dados.

Na primeira execução do programa deverá ser efectuada a configuração, através do

seguinte procedimento:

1. Direccionar a current directory do Matlab para o directório principal onde o

programa se encontra instalado;

2. Digitar na command window o comando “PLACA”, o que fará aparecer o menu

principal (Figura 6.1);

3. Clicar no botão “Configuração”, que fará aparecer a janela de configuração (Figura

6.2);

32

4. Clicar em “Procurar o directório principal” que deverá fazer aparecer na caixa de

texto o directório principal onde o programa se encontra instalado;

5. Clicar em “Guardar configuração” para gravar as novas definições no ficheiro

“CONFIG.OPT”;

6. Clicar em “Actualizar o Matlab Path”, para adicionar os directórios ao caminho de

busca do programa.

Os directórios adicionados por defeito ao caminho de busca, são os seguintes: “.\”;

“.\CFG”; “.\EST”; “.\PRE”; “.\POS”; “.\PRO”; “.\EXEMPLOS”; “.\TOOLVIS.v2.0”;

“.\TOOLVIS.v2.0\CM'” e “.\TOOLVIS.v2.0\TDF”, onde “.\” se refere ao directório

principal onde o programa se encontra instalado. Alterações podem ser efectuadas na sub-

rotina “BT_ACTUALIZA_MATLAB_PATH_Callback” do ficheiro “PLACA_CFG.m”.

Figura 6.2: Interface do módulo de configuração.

6.3.2 Executar o programa

Para efectuar os cálculos e visualizar os resultados da análise, deve-se seguir o seguinte

procedimento:

1. Pré-processamento;

2. Visualização do problema em análise (opcional);

3. Processamento;

4. Pós-processamento.

6.3.2.1 Pré-processamento

O pré-processamento pode ser efectuado acedendo ao respectivo módulo (Figura 6.3),

clicando em “Pré-Processamento” no menu principal ou digitando “PLACA_PRE”.

Posteriormente deve-se seguir o seguinte procedimento:

1. Clicar em “Clear all” e em “Variáveis”, para limpar o Workspace e para visualizar

as variáveis globais, respectivamente;

33

2. No grupo de opções “Ficheiros e directórios”, definir o “Directório de trabalho” e o

“Ficheiro de dados” (Nota: Clicando na lista de ficheiros à direita é possível buscar

o directório e o ficheiro pretendido);

3. Clicar em “Ler” para carregar o ficheiro de dados;

4. Escolher o tipo de cálculo como “Elástico” e clicar “Executar”, o que iniciará os

cálculos de pré-processamento;

5. Clicar em “Menu Principal”.

Figura 6.3: Interface do módulo de pré-processamento.

Eventuais alterações aos dados podem ser feitas utilizando os restantes grupos de opções

(“Gerais”; “Nós”; “Lado”, etc). Para que as alterações sejam gravadas no ficheiro de dados

basta clicar em “Gravar”. Estes menus podem igualmente ser utilizados para criar um novo

ficheiro de dados.

6.3.2.2 Visualizar o problema em análise

Depois de ter sido efectuado o pré-processamento, clicando em “Visualizar a estrutura” no

menu principal ou digitando “PLACA_EST”, é possível visualizar uma representação

34

gráfica do problema carregado em memória (Figura 6.4). Através dos menus, é possível

activar ou desactivar várias opções de visualização.

Figura 6.4: Interface do módulo de visualização do problema em análise.

6.3.2.3 Processamento

Depois de ter sido efectuado o pré-processamento, o processamento é efectuado acedendo

ao respectivo módulo (Figura 6.5) através do menu principal, ou digitando

“PLACA_PRO”. Posteriormente, deve-se seguir o seguinte procedimento:

1. Activar a opção “Calcular operadores elásticos” e “Calcular a energia de

deformação” (opcional) no grupo de opções “Gerais”;

2. Activar a opção “Elástico” em “Tipo de cálculo”, que desactivará todas as opções

associadas ao cálculo elastoplástico;

3. Clicar em “Executar”, que iniciará os cálculos de processamento.

4. Clicar em “Menu Principal”.

35

Desactivando a opção “Calcular operadores elásticos”, é possível evitar recalcular os

operadores elásticos ( , ,vF A Aγ ), especialmente útil em situações onde foi alterado apenas

o carregamento.

Figura 6.5: Interface do módulo de processamento.

6.3.2.4 Pós-processamento

Depois do processamento, o pós-processamento é efectuado acedendo ao respectivo

módulo (Figura 6.6) através do menu principal ou digitando “PLACA_POS”.

Posteriormente deve-se seguir o seguinte procedimento:

1. Escolher o tipo de visualização que se pretende efectuar (“Global”; “Tensões”;

“Deslocamentos”, etc.).

2. Definir as opções de visualização do grupo escolhido. A cada opção encontra-se

associado um ficheiro TDF.

3. Activar a opção “Calcular”

36

4. Activar a opção “Visualizar”

5. Clicar em “Executar”, que fará aparecer uma janela com a visualização.

É possível limitar os elementos e lados representados nas visualizações através dos grupos

de opções no topo da janela.

O cálculo das variáveis de pós-processamento é necessário efectuar apenas uma vez, razão

pela qual se deve desactivar a opção “Calcular” nas visualizações posteriores.

Digitar o comando “TOOLVIS GLOBAL-ELÁSTICO.TDF” na command window, é o

mesmo que executar a visualização “Global”, “Global elástico” com a opção calcular

desactivada.

No grupo de opções “Opções” é possível definir, entre outros parâmetros, o factor de

escala das deformadas.

Figura 6.6: Interface do módulo de pós-processamento.

37

7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

Nesta secção apresentam-se dois exemplos de aplicação. No primeiro caso analisa-se uma

placa quadrada em consola, recorrendo a uma malha de 1 elemento (ver Figura 7.1). O

ficheiro de dados encontra-se representado na Figura 7.3 e os resultados obtidos nas

Figuras 7.4 a 7.7. O segundo exemplo diz respeito à análise de uma viga bi-encastrada,

discretizada em 5 elementos finitos (ver Figura 7.2). O ficheiro de dados encontra-se

representado na Figura 7.8 e os resultados obtidos nas Figuras 7.9 a 7.14.

A análise destes e outros exemplos pode ser consultada em [Mendes 2002].

sv

uv

uγ

EPT

a = 1.00

E = 1.00

ν= 0.30

g =16

g =15

g =15

Figura 7.1: Exemplo 1 – Definição das características da placa quadrada em consola.

sv uv uγEPT; E = 1.00; ν= 0.30; g =16; g =15; g = 15

Figura 7.2: Exemplo 2 – Definição das características da viga bi-encastrada.

38

[Titulo] CONSOLA QUADRADA [Nos] 4 0 0 1 0 1 1 0 1 [Lados] 4 1 2 0 0 2 2 20 2 3 0 0 2 2 20 3 4 0 0 2 2 20 4 1 -1 -1 2 2 20 [Elementos] 1 1 2 3 4 1 0.3 1 2 20 20 [Aproximacoes] 2 [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16] [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15] [Fmassa] 0 [Ffront] 1 3 2 -1 [tipo] 1

Figura 7.3: Exemplo 1 – Ficheiro de dados.

39

Figura 7.4: Exemplo 1 – Visualização global-elástico dos resultados.

40

Figura 7.5: Exemplo 1 – Visualização dos campos de tensões, ao longo do corte GHI.

Figura 7.6: Exemplo 1 – Visualização dos campos de deslocamentos uv, ao longo do corte GHI.

Figura 7.7: Exemplo 1 – Visualização dos campos de deslocamentos uγ, ao longo do corte GHI.

Salienta-se que as abcissas dos gráficos da Figura 7.7 encontram-se definidas segundo a

orientação dada na definição da fronteira, que neste caso corresponde a (-x).

41

[Titulo] VIGA ENCASTRADA [Nos] 12 0 0 3 0 6 0 7 0 10 0 13 0 0 1 3 1 6 1 7 1 10 1 13 1 [Lados] 16 1 2 0 0 2 2 20 2 3 0 0 2 2 20 3 4 0 0 2 2 20 4 5 0 0 2 2 20 5 6 0 0 2 2 20 7 8 0 0 2 2 20 8 9 0 0 2 2 20 9 10 0 0 2 2 20 10 11 0 0 2 2 20 11 12 0 0 2 2 20 1 7 -1 -1 2 2 20 2 8 0 0 2 2 20 3 9 0 0 2 2 20 4 10 0 0 2 2 20 5 11 0 0 2 2 20 6 12 -1 -1 2 2 20 [Elementos] 5 1 12 6 11 1 0.3 1 2 20 20 2 13 7 12 1 0.3 1 2 20 20 3 14 8 13 1 0.3 1 2 20 20 4 15 9 14 1 0.3 1 2 20 20 5 16 10 15 1 0.3 1 2 20 20 [Aproximacoes] 2 [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14] [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13] [Fmassa] 0 [Ffront] 1 8 2 -1 [tipo] 1

Figura 7.8: Exemplo 2 – Ficheiro de dados.

42

Figura 7.9: Exemplo 2 – Visualização dos campos de tensões no domínio.

43

Figura 7.10: Exemplo 2 – Visualização do campo de deslocamentos no domínio.

Figura 7.11: Exemplo 2 – Visualização dos campos de deslocamentos nas fronteiras estáticas.

Figura 7.12: Exemplo 2 – Visualização dos campos de tensões, ao longo do corte CD.

Figura 7.13: Exemplo 2 – Visualização dos campos de deslocamentos uv, ao longo do corte CD.

44

Figura 7.14: Exemplo 2 – Visualização dos campos de deslocamentos uγ, ao longo do corte CD.

45

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Arantes e Oliveira, E. R. (1969) - "Resistência dos Materiais - Livro 2: Elementos da Teoria da Elasticidade", AEIST, Lisboa.

Castro, L. M. S. S. (1996) - "Wavelets e Séries de Walsh em Elementos Finitos", Doutoramento em Engenharia Civil, Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Lisboa.

Freitas, J. A. T., J. P. B. M. Almeida, et al. (1999) - "Non-conventional Formulations for the Finite Element Method", Computational Mechanics - Springer, Volume 23(Number 5-6), pp. 488-501.

MathWorks Inc., T. (1999) - "MATLAB - The Language Of Technical Computing.

Mendes, L. M. (2002) - "Modelos de Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão na Análise Elastoplástica de Estruturas Laminares Planas", Mestrado em Engenharia de Estruturas, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa.

Parreira, P. (1999) - "Introdução aos Elementos Finitos", Elementos de apoio à disciplina de Análise de Estruturas da Licenciatura de Engenharia Civil, IST-UTL, Lisboa.

Pereira, E. M. B. R. (1993) - "Elementos Finitos de Tensão, Aplicação à Análise Elástica de Estruturas", Doutoramento em Engenharia Civil, Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Lisboa.

Pereira, E. M. B. R. e J. A. T. Freitas (2000) - "Numerical Implementation of a Hybrid-Mixed Finite Element Model for Reissner-Mindlin Plates", Computers & Structures – Elsevier Science Ltd(Number 74), pp. 323-334.

Pereira, O. J. B. A. (1996) - "Utilização de Elemento Finitos de Equilíbrio Em Refinamento Adaptativo", Doutoramento em Engenharia Civil, Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Lisboa.

Reddy, J. N. (1993) - "An Introduction to The Finite Element Method", McGraw-Hill Inc., New York.

Spiegel , R. M. e L. Abellanas (1990) - "Fórmulas e Tabelas de Matemática Aplicada", McGraw-Hill,

Timoshenko, S. P. e J. N. Goodier (1970) - "Theory of elasticity ", McGraw-Hill, Singapore.

Vicente, M. e E. M. B. R. Pereira (1999) - "Programa para Aplicação de um Modelo Híbrido-Misto de Tensão à Análise de Placas", DTC nº12/99, ICIST, Lisboa.

Zienkiewicz, O. C. e R. L. Taylor (1991) - "The Finite Element Method - Volume 1 - Basic Formulation and Linear Problems", McGraw-Hill Inc., Londres.

47

ANEXO A – POLINÓMIOS DE LEGENDRE

A.1 Introdução

As funções de Legendre de ordem (n), correspondem às soluções da equação diferencial de

Legendre:

2(1 ) 2 ( 1) 0x y x y n n y′′ ′− − + + = . (A.1)

Somos desta forma conduzidos à definição de funções do tipo polinomial, que podem ser

geradas pela fórmula de Rodriguez [Spiegel et al. 1990]:

( )21( ) 1

2 !

nn

n n n

dP x x

n dx= − , (A.2)

onde Pn(x) representa o polinómio de Legendre de ordem n.

A.2 Propriedades dos polinómios de Legendre

Verifica-se que polinómios de grau consecutivo são alternadamente funções pares e

ímpares.

( ) ( 1) ( )nn nP x P x− = − . (A.3)

Os integrais definidos no intervalo [-1,1] do produto de dois polinómios de Legendre,

podem ser calculados a partir das igualdades:

1

1

1

1

( ) ( ) 0 ,

2( ) ( ) ,

2 1

m n

m n

P x P x dx para m n

P x P x dx para m nn

−

−

= ≠

= = +

∫

∫. (A.4)

Assim sendo, conclui-se que os polinómios de Legendre são ortogonais no intervalo [-1,1] .

A.3 Fórmulas geradoras de polinómios de Legendre

Várias fórmulas podem ser utilizadas para gerar os polinómios de Legendre,

correspondendo a maioria a fórmulas de recorrência [Spiegel et al. 1990]:

( ) ( ) ( ) ( )1 1n n nP x x P x n P x+′ ′− = + , (A.5)

( ) ( ) ( )1n n nx P x P x n P x−′ ′− = , (A.6)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1n n nP x P x n P x+ −′ ′− = + , (A.7)

48

( ) ( ) ( ) ( )211 n n nx P x n x P x n P x−′− = − . (A.8)

Utilizou-se neste trabalho a fórmula recursiva de Bonnet:

1 1( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) 0n n nn P x n x P x n P x+ −+ − + + = , (A.9)

com ( )0 1P x = e ( )1P x x= .

Por forma a que se verifique a condição (A.10), a fórmula de Bonnet é escalada por nλ

(A.11), obtendo-se o formato alternativo apresentado em (A.12):

[ ]1

2

1

( ) 1nP x dx−

=∫ , (A.10)

2 1

2n

nλ += , (A.11)

1 11 1

1 2 1( ) ( ) ( )n n n

n n n

n n nP x x P x P x

λ λ λ+ −+ −

+ += − , (A.12)

com ( )0 0P x λ= e ( )1 1P x xλ= :

Na Figura A-1 apresenta-se a representação gráfica dos polinómios de Legendre

unidimensionais de grau igual ou inferior a 14, e nas Figuras A-2 e A-3, os polinómios de

Legendre bidimensionais até ao terceiro grau.

49

Figura A.1: Representação gráfica dos polinómios de Legendre unidimensionais.

50

Figura A.2: Representação gráfica dos polinómios de Legendre bidimensionais.

51

Figura A.3: Representação gráfica dos polinómios de Legendre bidimensionais (cont.).

52

A.4 Expressões para as integrações analíticas

Uma das principais vantagens associadas à utilização destes polinómios consiste em ser

possível dispensar os processos numéricos no cálculo das integrações, pois é sempre

possível determinar expressões analíticas para os operadores estruturais (em problemas

onde se assumem as hipóteses de linearidade física e geométrica), mesmo para os casos em

que não se consegue tirar directamente partido da ortogonalidade.

Apresentam-se de seguida as expressões indicadas por Pereira et al. [Pereira et al. 2000]:

1

10ij 1

1

( ) ( ) 1 ,

( ) ( ) 0 , . .

i j

i j

P x P x dx se i j

P x P x dx c c

−

−

= =

= =

∫

∫A ; (A.13)

1

1

11ij

1

1

1

( ) ( ) , 12

( ) ( ) , 12

( ) ( ) 0 , . .

i ji j

i ji j

i j

iP x P x x dx se i j

jP x P x x dx se i j

P x P x x dx c c

λ λ

λ λ

−

−

−

= = +

= = = − =

∫

∫

∫

A ; (A.14)

( )( )( )

( )( )

( )

1 3 22

21

12

12ij 1

2

1

12

1

4 6 1( ) ( ) ,

2 2 1 2 3

1( ) ( ) , 2

2 2 1

1( ) ( ) , 2

2 2 1

( ) ( ) 0 , . .

i ji

i ji j

i ji j

i j

i iP x P x x dx se i j

i i

j jP x P x x dx se i j

j

i iP x P x x dx se i j

i

P x P x x dx c c

λ

λ λ

λ λ

−

−

−

−

+ −= = − + − = = −

−= − = = + −

=

∫

∫

∫

∫

A ; (A.15)

53

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

13

1

213

21

213 3ij 2

1

13

1

1

1

1 2( ) ( ) , 3

2 2 1 2 3

3 2( ) ( ) , 1

2 4 9

3 2( ) ( ) , 1

2 4 9

1 2( ) ( ) , 3

2 2 1 2 3

( ) ( )

i ji i

i j

i j

i j

i j

i ji j

i j

j j jP x P x x dx se i j

j j

j jP x P x x dx se i j

j

i iP x P x x dx se i j

i

i i iP x P x x dx se i j

i i

P x P x x

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

−

−

−

−

−

− −= = −

− −

−= = −

−

−= = = +

−

− −= = +

− −

∫

∫

∫

∫

∫

A

3 0 , . .dx c c

=

; (A.16)

1

10ij 1

1

( )( ) 2 ,

( )( ) 0 , . .

ji i j

ji

P xP x dx se i j i j é ímpar

x

P xP x dx c c

x

λ λ−

−

∂= < ∧ + ∂=

∂ = ∂

∫

∫B ; (A.17)

1

1

11ij

1

1

1

( )( ) ,

( )( ) 2 ,

( )( ) 0 , . .

ji

ji i j

ji

P xP x x dx i se i j

x

P xP x x dx se i j i j é par

x

P xP x x dx c c

x

λ λ

−

−

−

∂= = ∂

∂= = < ∧ + ∂ ∂ =

∂

∫

∫

∫

B ; (A.18)

( )12

1

1 22

12ij 1

2

1

12

1

( ) 1( ) , 1

2

( ) 3 1( ) , 1

2

( )( ) 2 , 1

( )( ) 0 , . .

ji

i j

ji

i j

ji i j

ji

P x i iP x x dx se i j

x

P x j jP x x dx se i j

x

P xP x x dx se i j i j é ímpar

x

P xP x x dx c c

x

λ λ

λ λ

λ λ

−

−

−

−

∂ −= = + ∂

∂ − − = = −∂

= ∂ = < − ∧ + ∂

∂= ∂

∫

∫

∫

∫

B . (A.19)