INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA - AJES

ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO DA MATEMÁTICA

8,5

O ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

WELLINGTON VIEIRA DE LIMA

wellingtonlimamat@yahoo.com.br

ORIENTADOR: PROF. ILSO FERNANDES DO CARMO

JUÍNA/2014

INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA - AJES

ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO DA MATEMÁTICA

O ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

WELLINGTON VIEIRA DE LIMA

ORIENTADOR: PROF. ILSO FERNANDES DO CARMO

“Trabalho apresentado como exigência parcial para a obtenção do Título de Especialização em Educação Matemática.”

JUÍNA/2012

Dedico o êxito deste trabalho os meus pais, ao minha esposa Adriana

Aparecida Ribeiro de Lima, e em especial às minhas filhas Suzany e Evelyn.

Agradeço a Deus por ter me dado força de vontade, paciência, bom senso,

humildade e compreensão para conseguir elaborar este trabalho.A minha família, a

minha esposa Adriana, que me apoiou e que sempre esteve comigo, me ajudando e

dando forças para que eu nunca desistisse.Agradeço ao meu orientador, pela

paciência, dedicação e apoio na elaboração deste estudo monográfico.Meus amigos

que me incentivaram e ajudaram nos momentos difíceis. A todos que direta ou

indiretamente me apoiaram nesta conquista.

O meu muito obrigado.

RESUMO

A presente pesquisa visou investigar como os problemas de otimização

poderia contribuir para o aprendizado da função quadrática. A pesquisa de campo foi

realizada com alunos da 1ª série do ensino médio da Escola Estadual “Dr. Arthur

Antunes Maciel” em Juína–MT, no período do segundo semestre de 2012. Os dados

foram coletados a partir dos registros dos problemas realizados pelos alunos. As

considerações finais apontam que os alunos tem muita dificuldade em compreender

esses conceitos e aplicá-los porém, foi valido trabalhar com a otimização, pois eles

puderam entender que o tópico de máximos e mínimos que eles estudaram em sala

de aula, pode ser aplicado em fatos do cotidiano.

Palavras-Chave: Exercícios de Otimização, Função Quadrática, Máximo e Mínimo da função quadrática.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 06

1. HISTORIA DOS PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO. 08

1.1 ABORDAGENS HISTÓRICAS DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS 09

1.2 AS FUNÇÕES QUADRÁTICAS A PARTIR DO SÉCULO XV 11

2. A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA NO ENSINO 15

2.1 DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 18

2.2 CALCULO DA ABSCISSAS DO VÉRTICE XV 19

2.3 CALCULO DA ORDENADA DO VERTICE YV 20

2.4 IMAGEM: VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO 20

3 DEFINIÇÃO DE ALGUNS CONCEITOS GEOMÉTRICOS 22

3.1 AREA DE UM TRIÂNGULO 22

3.2 AREA DE UM RETÂNGULO 22

3.3 AREA DE UM QUADRADO 23

3.4 PERIMETRO DAS FIGURAS GEOMETRICAS. 23

4. PROPOSTA PEDAGOGICA 24

4.1 ANÁLISE DA PROPOSTA 26

4.2 OPINIÃO DOS ALUNOS QUANTO À PROPOSTA 29

CONSIDERAÇÕES FINAIS 31

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 32

ANEXOS 34

INTRODUÇÃO

A abordagem dos conteúdos de geometria plana e função quadrática em

sala de aula e em livros didáticos, geralmente, restringem-se a memorização de

definições e exercícios de aplicação de formulas sem estabelecer relações entre os

dois conteúdos. Alem disso, comumente, não tem havido no ensino de função

quadrática alguma relação com a realidade vivenciada pelo aluno.

Buscou-se a otimização como alternativa de ensino, porque os alunos

possuem dificuldade em relação ao conceito de função quadrática, devido ao fato de

a mesma não ter significado para eles. Para suprir estas necessidades decidimos

problematizar situações presentes na realidade do aluno. Observando os alunos de

hoje, percebemos que há uma falta de interesse muito grande por parte destes

quando se estuda função quadrática. Pensando nisso, muitos pesquisadores, tem

procurado caminhos que façam o aluno se interessar no estudo desse tópico de

matemática. Baseados nas atuais teorias educacionais que defendem a importância

do aluno na construção do seu conhecimento, respeitando o que ele já sabe, dessa

forma, vem tendo destaque a utilização da técnica de resolução de problemas que

será abordada neste trabalho.

No decorrer deste trabalho abordaremos a resolução de problemas

envolvendo a otimização com a geometria para estudarmos os pontos de máximos e

mínimos de uma função quadrática, auxiliando o aluno a lidar com alguns fatos da

realidade.

Este trabalho tem o objetivo de mostrar aos alunos as aplicações de

máximos e mínimos usando exercícios de otimização, buscando incentivar o estudo

destes tópicos. Para que se possa desenvolver este tipo de experiência se faz

necessário relembrar definições de algumas figuras geométricas planas, como área

e perímetro, que são de muita utilidade para o desenvolvimento da proposta.

Esse trabalho é composto por cinco capítulos, sendo que o primeiro trás

uma breve revisão da bibliografia mostrando as principais idéias da pesquisa. O

segundo capítulo aborda a parte histórica da função quadrática e da otimização. O

terceiro capitulo traz um breve relato sobre o quadro teórico, que fundamenta este

trabalho, e o desenvolvimento das definições de função quadrática e da geometria.

E o último capítulo apresenta a proposta pedagógica, bem como a análise da

mesma.

07

1 HISTÓRIA DOS PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO.

Tal como em muitos outros ramos da matemática, a otimização teve a sua

origem nas aplicações. Embora, no seu caso, não é preciso recuar muitos anos para

identificar as aplicações que impulsionaram o seu desenvolvimento. De fato, a

história dos principais problemas de otimização é surpreendentemente curta.

Segundo BENNATON (2001), uma fenícia chamada Dido, insistiu com um

chefe africano para dar-lhe tanta terra quanto ela pudesse cercar com a tripa de um

touro e sendo assim, ela cortou as tripas em tiras bem finas, e depois as uniu para

traçar um semicírculo no chão, a beira mar mediterrâneo. Era a máxima área

costeira que ela poderia envolver. Neste lugar foi construída a famosa cidade de

Cartazo.

Esta lenda pitoresca tem sido usada em livros de otimização. Antes de Dido

se tornar a rainha de Cartazo, ela teria resolvido o 1º problema de otimização da

história.

As civilizações da antiguidade conheciam verdades matemáticas, mas não

do mesmo modo que as conhecemos hoje.

Pois, no ano XVII, já existia um conceito do cálculo de máximos e mínimos,

segundo o que diz BENNATON (2001): “estes conceitos estavam presos ao traçado

de tangentes e a avaliação de áreas.” O cálculo criado por Leibniz e Newton

continha conceitos e formas geométricas.

Já Euler e Lagrange vieram “desgeotrizar” a matemática já existente. De

acordo com o autor acima “Euler é o responsável pelo conceito de função

matemática”, e “Lagrange, reconstruiu a mecânica Newtoniana em bases analíticas.”

Por isso, as funções foram se desvinculando da geometria, tornando-se cada vez

mais abstrata e de difícil compreensão. (SILVA, 2005).

Pierre de Fermat, segundo BENNATON (2001), não era matemático por

profissão, mas em seus estudos escreveu uma obra sobre lugares geométricos, e a

partir daí começou a fazer curvas por meio relações algébricas entre as

coordenadas, sendo assim criou a geometria cartesiana.

Depois Fermat, segundo BENNATON (2001), resolveu investigar a questão

de retas e curvas, criou um método para obter os pontos máximos e de mínimos de

uma função.

1.1 ABORDAGENS HISTÓRICAS DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Observando a história de acordo com STRUIK (1992, p 53), percebemos

que os conceitos de função vêm sendo construídos através dos séculos, diversas

nações deram a sua contribuição no decorrer do tempo, e essa idéia é reforçada no

texto “ A História das Funções” que descreve: “é possível detectar sinais de que os

babilônicos teriam já uma idéia, ainda que vaga, de função.” Um exemplo é a tábua

de quadrados, de cubos e de raízes quadradas, eram muito utilizadas por aqueles

povos,, principalmente na astronomia.

STRUIK (1992), conta que a geometria babilônica do período semita tinha

fórmulas para encontrar a área das figuras planas e para volumes de figuras

espaciais simples, pois, afirma que “o caráter aritmético-algébrico da matemática

babilônica transparece também na sua geometria” (STRUIK, 1992, p. 75), então, os

babilônicos usavam a geografia e a álgebra para resolver problemas da época.

Nota-se daí uma ligação entre as duas através de resolução de problemas

como cita STRUIK (1992,p.59):

.... no Egito a geometria veio da fundamentação de problemas práticos relacionados com a medição, mas a forma geométrica de um problema usualmente apenas uma maneira de apresentar uma questão algébrica.

Os Egípcios desenvolveram técnicas para o calculo de área de figuras

planas e volumes de sólidos, também desenvolveram técnicas para resolverem

equações polinomiais do primeiro grau. Com relação à equação polinomial do

segundo grau não foram encontrados registros nos papiros de ordem matemática.

Mas, “os pesquisadores e historiadores e pesquisadores matemáticos mantém viva

a suspeita de que essa civilização tenha desenvolvimento alguma técnicas de

resolução” (FRAGOSO, 2000, p.57), pois foi encontrado no papiro de Khaun, a

equação de segundo grau na forma X2 + Y2 = K, sendo K um numero positivo.

Os Pitagóricos, segundo OLIVEIRA (1997), também tiveram sua

contribuição, estabelecendo grandezas físicas como “alturas dos sons e

comprimentos das cordas vibrantes”, isso aconteceu quando descobriram algumas

leis da acústica.

Na época Alexandrina (125 e 150 d.C.), segundo OLIVEIRA (1997), os

astrônomos contribuíram com a geometria construindo tabelas para as medidas de

cordas de um circulo, para eles a palavra corda era usada definir o raio.

09

Por volta do ano 1700 a.C surgiu o primeiro registro da equação

polinomial do segundo grau, que foi escrita por um escriba, em uma tabua de argila,

através de palavras, como uma “receita matemática”, “que era infalível para

solucionar tal tipo de equação e que fornecia somente uma raiz positiva.”

(FRAGOSO, 2000, p. 58). Essa receita infalível era exposta através de palavras as

quais descreviam soluções de uma equação do 2º grau, para Eves, apud FRAGOSO

(2000, p.58),

os Mesopotâmicos apresentaram a primeira equação e sua respectiva solução (ou receita) da seguinte forma: Qual é o lado de um quadrado, se a área menos o lado da 870?Atualmente: x2 – x= 870 “receita”: tome a metade de um (coeficiente de x), que é 0,5, e multiplique 0,5 por ele mesmo, o que da 0,25. Some o resultado a 870 (termo independente), o que dá 870,25. Isto é, na verdade o quadrado de 29,5, que, somado a metade de um, vai dar o lado do quadrado, que é igual a 30.

Naquela época era um desafio estudar geometria e álgebra, pois muitos

conceitos e formulas que conhecemos hoje, ainda estavam sendo descobertos.

Outra nação antiga que gostava muito de geometria era os Gregos, por esse

motivo resolviam inúmeros problemas matemáticos através da mesma,

podemos observar a forma geométrica apresentada pelos pitágoricos para resolução da equação polinomial do segundo grau, fornecendo, da mesma maneira que os mesopotâmicos, uma única raiz positiva. (FRAGOSO, 2000 p. 58)

Os gregos calculavam a solução das equações polinomiais do segundo grau

através de construções geométricas, nesse caso, eles usavam distintas construções

geométricas para diferentes equações, sendo que para equação do tipo x2 – ax + b2

= 0, a resolução procedia assim:

Trançando o segmento = a, P, sendo o ponto médio de , levando o

segmento perpendicular = b (raiz quadrada de b2) e, com o centro em E e raio

traçando um arco de circunferência que intercepte no ponto. A raiz desejada será

dada pelo valor do segmento, veja a figura abaixo (EVES, apud FRAGOSO, 2000, p.

58).

10

Portanto, podemos dizer a raiz positiva encontrada pelos gregos seria x1= e

que a partir do conhecimento algébrico que nós possuímos podemos dizer que o

segmento fornece valor da outra raiz, ou seja, x2 = .

A resolução de uma equação do segundo grau nos parece hoje bem

simples. Ao ensiná-la, limitamo-nos em geral a mostrar que a conhecida formula

para as soluções de ax2 + bx + c = 0, chamada em muitos livros didáticos de

“formula de Bhaskara”, pode ser obtida pelo processo bem conhecido de ”completar

os quadrados”.

De acordo com PITOMBEIRA (2006, p.22) “as equações do 2°grau surgem

pela primeira vez na matemática hindu nos Sulvasutras, sob as formas ax2 = c e

ax2+ bx = c, sem que sejam apresentadas as soluções.”

Algum tempo mais tarde, foi encontrado no manuscrito de Bakshali, um

procedimento de solução parecido com o que nos hoje conhecemos:

Para a equação .

1.2 AS FUNÇÕES QUADRÁTICAS A PARTIR DO SÉCULO XV

Neste trabalho, de finalidade didática, interpretamos os procedimentos

usados no passado para trabalhar com equações do 2° grau utilizando nosso

simbolismo algébrico. A fim de tentar aprender a maneira de pensar que levou a

criação desses procedimentos.

O conceito de função, segundo BOYER (1974), aparece implícito em várias

situações na matemática do século XV ao XVII, nesta época, diversos matemáticos

11

12

desenvolveram diferentes formas para representar a equação polinominal do

segundo grau, entre eles destacamos:

O filósofo e matemático francês René Descartes (1650), desenvolveu um

método geométrico para obter a solução positiva da equação. Segundo BOYER

(1974, p. 248), “Descartes solucionou geométricamente a equação do tipo x2–bx–c2=

0, com b e c positivos”. Ao associar aquações a lugares geométricos planos,

Descartes conseguiu precisar mais nitidamente o conceito de função, pois ele juntou

o simbolismo da álgebra linear com a idéia de variação a fim de poder esboçar o

grafico correspondente.

Assim, pela primeira vez é mantido que uma equaçao em x e y é meio para introduzir uma dependencia entre variaveis quantitativas, como um modo de calcular valores para uma variavel que correspondam a determinados valores da outra. (YOUSHKEVITCH, 1976, p. 4).

Com isso em 1963, estabeleceu-se a correspondencia entre pontos do plano

e pares de numeros. Por fim, Descartes utiliza pela primeira vez, eixos cartesianos

para a representaçao de função.

Mais tarde no século XVIII, conforme BOYER (1974) o matematico alemão

Leibniz, muito rigoroso inventou muitos termos e simbolos. Foi ele que utilizou em

1973 pela primeira vez o termo função.

Entretanto, o conceito de função foi definido (1707 – 1783), segundo BOYER

(1974), por Leonard Euler, matemático suíço que escreveu “se x é uma quantidade

variável, então toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que

seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável”.

A notação f(x) para indicar apenas uma função foi introduzida em 1734 por

Leonard Euler (1707-1783), pois para ele só existiam funções contínuas. E de

acordo com YOUSCHKEVICH (1976,p.6): "Euler define funções contínuas, em

termos de imagens geometricas, e passa a expressar de outra maneira sua

concepçãp de continuidade, [...]"

Dando mais ênfase a simplicidade da lei analítica e menos importância ao

traçado da curva, então, ele passa a estudar outros tipos de funções matemáticas.

O primeiro trabalho audaciosamente com equações algébricas foi o físico

inglês Isaac Newton, no seu estudo sobre curvas cúbicas. Depois ele aprofundou-se

mais em seus estudos de fluentes e “fluxões”, tal descoberta “ajudou-o

13

estabelecendo a sua teoria das fluxões para todas as funções, algébricas ou

transcendentes.” (STRUIK, 1992, p. 178).

Em seus estudos Newton aproximou-se bastante do sentido da função atual,

pois fazia uso “dos termos relatia quantias para designar variável dependentes, e

genita para designar uma quantidade obtida.” (SILVA, 2005). Com isso Newton

conseguiu chegar às noções de calculo diferencial e integral, expressando sempre

as funções em termos mecânicos.

Nascido em 1601, Pierre de Fermat estudava direito em Toulouse, onde

passou sua vida exercendo o direito. Ele estudava matemática como “hobbie”, sua

principal ocupação era direito. Apesar disso, ele sempre foi honrado e considerado

um grande matemático, de fato, Laplace, ao conhecer sua obra o chamou do

inventor do calculo diferencial e Pascal confessou que Fermat era “aquele a quem

tenho por maior geômetra de toda Europa.” (COLLETTE, 2005, apud SILVA, 2005)

Em 1637, Pierre de Fermat escreveu um trabalho em que apresentava seu

método para determinar os máximos e mínimos de curvas. Em notação atual esse

método consistia encontrar os pontos onde a função derivada de primeira ordem se

anula. Segundo WUSSING, apud SILVA (2005), FERMAT desenvolveu esse

procedimento em cerca de 1629.

O texto abaixo retrata fielmente a linguagem de FERMAT em seu tratado.

Dividir o segmento AC em E, de tal modo que

o retângulo AE. EC possa ser Maximo.

Seja a reta AC dividida em E, de tal modo que o retângulo AE. EC possa ser

o máximo.

Seja AC = B e um dos segmentos igual A: o outro será B-A, e o retângulo,

cujo máximo procuramos, será BA – AQ.

FERMAT, segundo BENNATON (2001), possuía em seu tratado um pouco

confusa em relação aos dias atuais, pois considerava letras maiúsculas tanto como

segmento de retas como constantes e variáveis, ele não usa o símbolo “¯” para

14

representar os segmentos de retas, utiliza q como notação da potencia quadrada, ou

seja, Aq = A2. Além disso, ele se refere se a AC tanto como segmento ou como reta.

Outra consideração importante na obra de FERMAT, segundo BENNATON

(2001) é que ela não mostra como determina se o ponto encontrado é de máximo

ou de mínimo, pois como não possuía a teoria de limites e não conhecia a

derivação, jamais notara que seu método é apenas uma condição necessária e não

suficiente para determinar os extremos das curvas. O método de Fermat tem como

universo as funções polinomiais, sendo de difícil aplicação para outros tipos de

curvas.

A história da matemática, em especial, o desenvolvimento da função

quadrática e das suas aplicações em máximos e mínimos, é usada para mostrar aos

alunos que os conceitos vistos em sala de aula tem tudo a ver com a realidade, pois

foram e são desenvolvidos a partir da mesma.

2. A IMPORTANCIA DO ENSINO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA NO ENSINO

Em termos de educação, é antiga a preocupação com a aprendizagem dos

alunos. Discutir como eles aprendem e como se processa a relação entre o

conhecimento cotidiano e o conhecimento científico é a preocupação salientada nos

Parâmetros Curriculares Nacionais, que têm como finalidade, o desenvolvimento de

um conjunto de idéias e materiais de formação que pudessem ser usados por

formadores, em diferentes partes do Brasil, a fim de ajudar as escolas regulares a

responder positivamente à diversidade dos alunos. De acordo com os PCNs +

Ensino Médio (BRASIL, 2002, p. 9):

Num mundo como o atual, de tão rápidas transformações e de tão difíceis contradições, estar formado para a vida significa mais do que reproduzir dados ,denominar classificações ou identificar símbolos. Significa: • Saber se informar, comunicar-se, argumentar, compreender e agir; • Enfrentar problemas de diferentes naturezas; • Participar socialmente, de forma prática e solidaria; • Ser capaz de elaborar criticas e propostas; e, • Especialmente adquirir uma atitude de permanente aprendizagem.

Mediante a situação vivenciada pelos alunos, que em outros momentos

procuravam o ensino médio apenas como um curso preparatório para o vestibular ou

que lhe habilitasse a prestar concursos, tornou a escola meramente um local como

apenas um degrau para a faculdade, deixando o seu real sentido que é o de

preparar o cidadão para vida. Pensando em oferecer instrumento de apoio à escola,

para que as mudanças necessárias para atender esse novo perfil ocorram, os PCN

(BRASIL, 2002, p.08), vêm corroborar, como nos mostro seguinte trecho:

O Novo Ensino Médio nos termos da Lei de sua regulamentação e de seu encaminhamento deixa de ser, portanto, simplesmente preparatório para o Ensino Superior ou estritamente profissionalizante, para assumir necessariamente, a responsabilidade de complementar a educação básica. Em qualquer de suas modalidades, isso significa preparar para a vida, qualificar para a cidadania e capacitar para o aprendizado permanente, em eventual prosseguimento dos estudos ou diretamente no mundo do trabalho.

Do ponto de vista de AUSUBEL, apud MOREIRA (1982, p. 80), a

compreensão substancial de um conceito implica a posse de significados claros,

precisos diferenciados e transferíveis. Para isso ele sugere que ao procurar

evidência da aprendizagem significativa, a melhor maneira é utilizar questões e

problemas que sejam novos e não familiares e exijam máxima transformação do

conhecimento existente.

E para que essa aprendizagem ocorra e ao mesmo tempo seja significativa

precisamos aproveitar os conhecimentos prévios dos alunos para que possamos

estabelecer uma relação entre os conteúdos de função quadrática e sua importância

16

na realidade dos discentes, pois assim, estaremos tenteando preparar nossos

alunos para vida.

O conceito de otimização é muito usado em nosso cotidiano. Quando

pensamos em pintar o muro de nossa casa ou cercar um terreno estamos fazendo

um tipo de otimização. De acordo com BENNATOM (2009), “Otimização liga-se à

matemática através da investigação dos máximos e mínimos locais de funções.”

Otimização pode ser definida como o processo de encontrar o mínimo ou o máximo

de alguma função, que poderá ser realizado através de problemas, que de acordo

com AUSUBEL, apud MOREIRA (1982, p. 100), “facilita a passagem da estrutura

conceitual da disciplina para a estrutura cognitiva do aluno, tornando o material

significativo.” De acordo com MELCHIOR (2003, p. 60),

uma situação-problema obriga o aprendiz a transpor um obstáculo graças a uma aprendizagem inédita, tanto para uma transferência de aprendizagem como para a generalização ou para a construção do conhecimento.

Deparando-se com uma dificuldade, é a partir de uma estimulação que a

mente do educando põe-se em movimentos e constrói hipóteses, explora e propõe

alternativa de solução. Como afirma MELCHIOR (2003, p.101):

Na resolução do problema, a tarefa do educador é ajudar a cada um, identificado, progressivamente, as estratégias eficazes para si e a estabilizá-las em função dos resultados obtidos.

Ensinar matemática através do recurso de exercícios de otimização

possibilita ao aluno, criar estratégias de resolução através dos problemas que são

primordialmente importantes desde que o professor seja responsável pela criação e

manutenção de um ambiente matemático que motive e estimule as aulas. Para que

as aulas sejam atraentes, ONUCHIC (1999, p. 221), afirma:

É importante compreender três partes importantes; antes, durante e depois. Para a primeira parte, o professor deve garantir que os alunos estejam mentalmente prontos para receber a tarefa e assegurar-se de que todas as expectativas estejam claras. Na fase durante os alunos trabalham e o professor observa e avalia esse trabalho. Na fase “depois”, o professor aceita a solução dos alunos sem avaliá-los e conduz a discussão enquanto os alunos justificam e avaliam seus resultados e método. Então, o professor formaliza os novos conceitos e novos conteúdos construídos.

Os alunos por sua vez compreendendo essas partes deverão fazer uma

resolução de problemas sem ter em mãos instruções, pois para a resolução de

problemas não se segue manuais, precisa de estratégia e autocriatividade

matemática. Um dos principais objetivos do ensino da matemática é que o conteúdo

ensinado tenha significado para o aluno. Para CHARNAY (1983), apud BROSSEAU,

(1996, p.37), o sentido de um conhecimento matemático se define:

- não só pela coleção de situação em que este conhecimento é realizado como teoria matemática, não só pela coleção de situações em que o sujeito p encontrou como meio de solução,

- mas também pelo conjunto de concepções que rejeita, de erros que evita, de economias que procura de formulações que retorna etc.

Sendo assim, o aluno deve ser capaz não só de repetir ou refazer, mas

também de resignificar novas situações de adaptar e transferir seus conhecimentos

para resolver novos problemas, pois para PIAGET, apud BROSSEAU (1996, p. 43),

“uma nova fase de equilíbrio corresponde então a uma fase de reorganização dos

conhecimentos, em que os novos saberes são integrados ao saber antigo, às vezes

modificado” desse modo, quando os alunos estiverem resolvendo problemas

matemáticos eles estarão reorganizados seus conhecimentos passando para a fase

equilíbrio, onde ocorre a aprendizagem significativa.

O PCN-Ensino Médio (BRASIL,1998, p. 45), propõe objetivos os quais diz

que os alunos devem ser capazes de investigar e compreender os problemas

propostos considerando a criatividade e o desempenho de cada um, como é citado

abaixo:

� Identificar o problema (compreender enunciado, formular questões etc.). � Procurar selecionar e interpretar informação relativa ao problema. � Formular hipóteses e prever resultados. � Selecionar estratégias de resolução de problemas. � Interpretar e criticar resultados numa situação concreta. � Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos. � Fazer validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecimentos, relações e propriedades. � Discutir idéias e produzir argumentos convincentes.

Sendo assim, a aprendizagem se torna significativa, pois o aluno passa a

compreender o conteúdo exposto e ao mesmo tempo aprende a pensar interpretar e

criticar resultados, contribuindo para sua formação como cidadão.

Por isso AZEVEDO, apud FIORENTINI e MIORIM (2009, p.03) diz que,

“nada deve ser dado ao aluno, no campo da matemática, sem primeiro apresenta-se

a ela uma situação concreta que a leve a agir, a pensar, a experimentar, a descobrir,

e daí mergulhar na abstração”. È por esse motivo que o uso da otimização é

importante para o ensino, pois estaremos usando fatos da realidade para a

compreensão dos conceitos de máximos e mínimos de uma função quadrática,

“desse modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a

17

atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações.”

(BRASIL, 2001, p. 43).

Sendo assim, é importante que o aluno explore nas atividades os resultados

definições, técnicas e demonstrações, pois ao fazer isso ele estará apreendendo

mais e ao mesmo tempo estará desenvolvendo habilidades que poderá ajudá-lo no

seu preparo para a vida.

2.1 DEFINIÇÕES DE FUNÇÃO QUADRÁTICA

De acordo com MACHADO (1988), uma função f: IR é denominado de

função quadrática, quando existem números reais a, b e c, com a ≠ 0, tais que y =

f(x) = ax² + bx + c para todo o x real.

O gráfico de função quadrática, no plano cartesiano, é representado por uma

curva (figura 1) formada por todos os pontos do plano a, que distam igualmente de

ponto F (foco da parábola) e se uma reta d (reta diretriz da parábola).

A parábola é uma curva simétrica em relação a uma reta que passa pelo F e

pelo ponto V (xv, yv) denominado vértice da parábola.

Existem duas possibilidades

quanto à cavidade da parábola, que

depende do valor de a.

Se a >0 a concavidade da parábola é voltada para cima, como podemos

perceber na Figura 3.

18

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo (Figura 4).

2.2 O CÁLCULO DA ABSCISSA DO VÉRTICE XV

O fato da curva ser simétrica em relação a reta s (figura 4), segundo

MACHADO (1988), significa que se tomamos dois pontos da parábola de abscissas,

xv + k e xv – k para qualquer k pertence aos reais, esses pontos tem a mesma

ordenada y escolhendo k = 1,temos:

19

2.3 CÁLCULO DA ORDENADA DO VÉRTICE yv

O cálculo de yv pode ser substituído x por xv na função.

2.4 IMAGEM: VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO.

Vamos determinar a imagem da função quadrática f(x)= ax² + bx + c:

Devemos descobrir os valores de y para os quais existe x real satisfazendo

f(x) = y, temos:

Esta equação em x possui solução real se e somente se:

Então, se a>0, obtemos y≥ logo y≥yv; se a < 0, obtemos y ≤ logo y ≤ yv.

Caso a > 0 a função +bx+c , tem imagem } em x = xv=

, a função tem o seu valor mínimo, que é:

20

Também se diz que x = xv é o ponto de mínimo da f, neste caso.

Caso a< 0 a função

, tem imagem

.

Neste caso a função é crescente

no intervalo e

decrescente

Em , ela tem o seu valor máximo, que é também se

diz, neste caso, que x= xv é ponto de máximo de f.

21

3. DEFINIÇÃO DE ALGUNS CONCEITOS GEOMÉTRICOS

Dado uma circunferência conforme figura 8 abaixo, a expressão que calcula

o perímetro é:

. Onde o (pi) é um número constante igual a 3, 1415....

A área do circulo é representado pela expressão:

3.1 ÁREA DE UM TRIANGULO

A área de um triangulo é calculada pela expressão:

3.2 ÁREA DE UM RETANGULO

A área de um retângulo é dada pelo produto das medidas de dois lados

consecutivos, ou seja, medida da base multiplicada pela medida da altura.

3.3 ÁREA DE UM QUADRADO

23

Sendo l a medida do lado de um quadrado, temos:

3.4 PERÍMETRO DAS FIGURAS

O perímetro de qualquer figura é a soma de todos os seus lados.

Para o quadrado

Para o retângulo

Para o triangulo

4.0 PROPOSTA PEDAGOGICA.

Esta proposta foi desenvolvida com a turma do segundo ano do Ensino

Médio no período vespertino com duração de doze aulas, na Escola Estadual

“Dr.Arthur Antunes Maciel” na cidade de Juína no estado de Mato Grosso.

Este trabalho trata do ensino de função quadrática, usando a otimização

como uma estratégia de ensino. E tem como objetivo, mostrar aos alunos a

aplicação de máximos e mínimos usando exercícios de otimização buscando

incentivar o estudo deste conteúdo.

Decidimos trabalhar com a otimização, devido ao fato de que os alunos

possuem muitas dificuldades no estudo das funções quadráticas, pois normalmente

este conteúdo não é contextualizado com fatos da realidade.

Para que aconteça uma aprendizagem significativa é importante que o aluno

perceba uma ligação do conteúdo com a realidade. A otimização pode ser definida

como o estudo dos pontos de máximos e mínimos de uma função. Para isso,

necessário rever com os alunos definições de perímetro a área de algumas figuras

geométricas planas (quadrado, retângulo, triângulos e círculos), pois alguns dos

exercícios relatam fatos do cotidiano, onde os alunos puderam estudar a área

máxima e a área mínima das figuras.

Para que pudéssemos obter uma melhor aprendizagem, decidimos trabalhar

as definições de função quadrática, enfatizando os pontos de máximos e mínimos

desta função.

Depois, seguiremos com as atividades, que são problemas contendo fatos

do cotidiano, foi problematizada a área máxima ou a área mínima das figuras. Neste

caso o perímetro é muito importante, pois foi através desta equação que

encontramos a área máxima ou a área mínima das figuras apresentadas.

As atividades a serem desenvolvidas em sala está em anexos, foram

propostas, com o objetivo, de compreender os conceitos de máximos e mínimos,

bem como mostrar ao aluno que o tópico de máximos e mínimos pode ser usado

para resolver problemas do dia-a-dia.

Atividade 1 e 2:

Estas atividades foram propostas com o objetivo de ajudar na fixação do

conteúdo exposto.

Estes exercícios são de fácil compreensão, usa-se para solucionar-los, os

conceitos de perímetro e área, neste caso, já é dado o valor do perímetro e pedi-se

para encontrar a equação da área do retângulo em função da variável x.

Atividade 3:

O objetivo deste exercício foi ajudar na fixação do conteúdo exposto.

A diferença deste exercício para os dois primeiros é que a figura utilizada é

um círculo neste caso o grau de dificuldade é o mesmo se compararmos a atividade

3 com as atividades 1 e 2.

Atividade 4:

Esta atividade foi escolhida com o objetivo de que os alunos desenvolvam a

capacidade de trabalhar com as letras também utilizar os conceitos de perímetro e

área, bem como compreender que fatos como este retratado no exercício fazem

parte do seu cotidiano.

Atividade 5:

Esta atividade foi escolhida com o objetivo de que os alunos compreendam

que algumas situações como descrita no exercícios 5 pode ser solucionada através

dos conceitos de máximos e mínimos.

Atividade 6:

O problema descrito nesta atividade possui um grau de dificuldade maior e

exige mais atenção. O mesmo foi escolhido com o intuito de que os alunos saibam

trabalhar com variáveis e ao mesmo tempo compreendam os conceitos de máximos

e mínimos.

Atividade 7:

25

O problema descrito nesta atividade possui um grau de dificuldade maior e

exige mais atenção. O mesmo foi escolhido com o intuito de que os alunos saibam

trabalhar com variáveis e ao mesmo tempo compreendam os conceitos de máximos

e mínimos.

Atividade 8:

O problema descrito nesta atividade possui um grau de dificuldade maior e

exige mais atenção. O mesmo foi escolhido com o intuito de que os alunos saibam

trabalhar com variáveis e ao mesmo tempo compreendam os conceitos de máximos

e mínimos.

Atividade 9:

Esta atividade foi proposta com o objetivo de que o aluno compreenda o uso

de máximos e mínimos em seu cotidiano com isso facilitar também a aprendizagem

do assunto estudado.

Atividade 10:

O objetivo deste exercício é que o aluno possa relacionar os conceitos de

máximos e mínimos com os fatos vivenciados por eles em seu dia-a-dia.

4.1 ANÁLISE DA PROPOSTA

A referida proposta foi aplicada com uma turma do segundo ano do período

vespertino, com duração de doze aulas, na Escola Estadual “Dr.Arthur Antunes

Maciel” na cidade de Juína no Estado de Mato Grosso.

Para desenvolver o pensamento geométrico e algébrico da turma, usou-se

exercício de otimização, como foi descrito na proposta pedagógica.

Num primeiro momento foram discutidas as definições de área e perímetro

das figuras escolhidas (quadrados, retângulo, triangulo, e circulo), devido à falta de

tempo para a aplicação da proposta, não foi possível confeccionar as figuras em

sala de aula, por esse motivo foram entregues as figuras prontas, onde os discentes

26

puderam identificar e classificar cada figura. Para que os discentes pudessem ter

uma noção de perímetro e de área, trabalharmos primeiro de forma pratica, para

depois generalizar, sendo assim usamos o barbante para que fosse possível medir o

contorno de cada figura, pois o perímetro é a soma de todos os lados, em seguida

medimos com a régua o pedaço de barbante usado para medir o contorno de cada

figura, levamos o aluno a deduzir a formula do perímetro, calculamos o perímetro

das figuras e comparamos o resultado obtidos, os quais, comparando a medida

pratica com o calculo algébrico, houve pouca diferença.

Num segundo momento preenchemos as superfícies de cada figura com

cubos, os quais tinham a mesma medida, depois desenvolvemos o calculo da área

das figuras algebricamente e posteriormente fizemos uso da formula encontrada,

depois, comparamos os resultados obtidos e percebemos que o circulo é a figura

que possui maior área.

Num terceiro momento estudamos as definições de função quadrática, pois

os discentes não lembravam mais algumas relações necessárias para a resolução

das atividades. Portanto, foi explicado o conceito de função quadrático, enfatizando

os conceitos de máximos e mínimos.

Depois, em um quarto momento, partimos para a resolução das atividades

propostas. Os alunos sentiram um pouco de dificuldade, pois em sua maioria não

são acostumados a resolver situações problemas, sendo assim, tivemos que ler as

atividades juntos questionando cada parágrafo lido, interpretando os dados dos

problemas para depois resolvermos.

As atividades foram solucionadas pelos alunos de acordo com os anexos:

As atividades (1, 2, e 3) foram desenvolvidas com todos os alunos, sendo

que a turma foi dividida em dois grupos para a resolução dos demais exercícios. A

atividade 1, os alunos desenvolveram com o auxilio da professora, as formulas para

calcular a área e o perímetro, depois relacionaram ambas para encontrar o valor de

x para o qual a área do retângulo seja máxima, concluindo o exercício

satisfatoriamente.

O exercício nº 2 eles resolveram sozinhos, por ser parecido com o primeiro.

De modo análogo o exercício nº 3, que muda um pouco por ser usado a

circunferência em vez do retângulo, mas a interpretação do exercício foi a mesma,

27

logo, em primeiro eles conseguiram montar a formula de área e do perímetro e

relacioná-las.

A atividade nº 4 foi bem compreendida pelos alunos tendo dificuldades

apenas em colocar as variáveis na figura, mas com o auxilio da professora eles

conseguiram completar a atividade satisfatoriamente.

Já na atividade nº 5 eles tiveram mais dificuldades na interpretação, pois o

mesmo exercício retratando um fato real o mesmo se tornou abstrato, pois eles

deveriam trabalhar apenas usando variáveis, por esse motivo não conseguiram

completar o exercício satisfatoriamente.

As atividades a seguir 6 e 7 possuem um grande grau de dificuldade, o

objetivo delas era que o aluno fosse capaz de trabalhar usando variáveis, mas

infelizmente nossos alunos não estão preparados para este tipo de exercícios.

Na atividade nº 6 os alunos do grupo 1 tiveram dificuldade de interpretação,

entenderam o exercício de forma errada, pois calcularam a área e o perímetro dos

quadrados, como se eles fossem iguais, sendo que na verdade teriam que partir de

dois quadrados diferentes. O grupo 1 a formula de área à qual não estava correta, e

resolveram o exercício a partir daí, resolveram a equação do segundo grau

desconsiderando o m, chegando a uma interpretação errada da equação do

segundo grau, depois calculavam o valor mínimo da área dos quadrados e

representavam este valor no gráfico. Nenhuns dos dois grupos conseguiram

relacionar o m como sendo uma constante e não uma constante e não uma variável,

portanto nenhum deles conseguiu determinar a área mínima.

O problema a ser retratado no exercício nº 7, também não foi resolvido por

completo, a professora, deu a dica de como eles deveriam calcular primeiro a altura

de cada triangulo, e depois encontrar a área, mas eles encontraram a área apenas

de um triangulo, e não relacionaram o perímetro m com a mesma, faltou mais

atenção, pois eles deveriam ter encontrado a área total à segunda parte do

problema (ver anexos) os alunos responderam que a sua área aumentara, a

resposta estava correta, pois quando a barra é dobrada o mesmo perímetro usado

em um triangulo agora é dividido em dois, e com isso a soma da área destes dois

triângulos será menor que a área de apenas um.

28

No exercício nº 8 os alunos conseguiram desenvolver a área do quadrado e

do circulo, relacionaram também a área e o perímetro das duas figuras com o auxilio

da professora, e conseguiram concluir os exercícios sozinhos.

O exercício nº 9, por estar mais próximo ao cotidiano dos alunos, não houve

dificuldades, a professora ajudou apenas na leitura, eles conseguiram resolver todo

o exercício chegando à conclusão que para a área ser máxima x= 15 m e y= 30 m,

como o esperado.

A atividade nº 10 mesmo sendo um assunto próximo do cotidiano deles, os

mesmos não conseguiram entender neste exercício a relação entre área e

perímetro, por não possuir uma figura, mesmo a professora dando dicas do tipo,

calcule o perímetro para depois relacionar com a área, eles não encontraram o valor

da largura L e nem do comprimento C.

Sendo assim percebemos que a dificuldade de interpretação de problemas é

imensa, mas mesmo assim, foi valido trabalhar com a otimização, pois eles puderam

entender que o tópico de máximos e mínimos que eles estudaram em sala de aula,

pode ser aplicado em fatos do cotidiano deles. Podemos observar também que os

exercícios que possuem fatos conhecidos por eles, os mesmos não tiveram tantas

dificuldades, como nos outros exercícios.

4.2 OPINIÃO DOS ALUNOS QUANTO À PROPOSTA

Os alunos quando questionados, se gostaram foram unânimes em dizer,

“gostei porque é uma forma diferente de se ensinar função quadrática.

“muito legal, pois aprendi coisas novas”

“muito interessante, pois podemos compreender a função no nosso

cotidiano”.

Podemos então, perceber que a otimização além de ser uma atividade

diferente das de costume, desperta o interesse, a atenção abriu caminhos para o

aprendizado de máximos e mínimos da função quadrática.

29

A otimização foi utilizada como recurso motivador para a compreensão tanto

do conteúdo bem como de situações do cotidiano.

“no começo pensei ser chato, mas adorei o trabalho e valeu a pena vir na

escola para aprender”;

“o ponto negativo foi apenas que as aulas foram poucas”;

De acordo com o depoimento destes alunos podemos concluir que a

otimização é um bom recurso para estudar máximos e mínimos da função

quadrática.

30

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Tendo em vista a reflexão em torno do estudo proposto, buscamos entender

as implicações e possibilidades do estudo da função quadrática através da utilização

da otimização como um dos recursos didáticos possíveis para este estudo, mas para

isso, nos deparamos com algumas dificuldades que nossos alunos têm que

interpretar problemas.

As atividades realizadas confirmam que a otimização tem muito a contribuir

como recurso didático, pois alem de tornar a aula mais atrativa possibilita o

desenvolvimento do pensamento matemático, de fundamental importância para a

formação social do aluno.

Desse modo, a otimização se apresenta como uma excelente ferramenta,

auxiliando os estudos de função quadrática, mostrando a importância do estudo dos

pontos de máximos e mínimos.

Gostaríamos que muitos profissionais trabalhassem de maneira

diferenciada, pois, somente desta forma, nossos educandos aprenderiam mais

matemática e função quadrática, de modo que o ensino de matemática não fique

restrito a atividades descontextualizadas como vemos na maioria das escolas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

APOSTILA material didático Máster, semi-intensivo, Cuiabá, Editora: máster, 2006/01 ALPHA, Chang C. Matemática para economistas, Rio de Janeiro: Campus, 2006 BARALDI, Ivete Maria. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru: Universidade do Sagrado Coração,1999. BENNATON, Jocelyn Freitas. Fermat e o inicio da história dos problemas de otimização. 2001. Disponível em: <https://sites.google.com/site/profflaviocipparrone/prof-jocelyn>. Acesso em agosto 2011. BOYER, Carl B. Historia de Matemática. São Paulo, Ed. Edgard Blucher, 1974. BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 2001. BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais. Ensino Médio. Brasília: MEC, 2001. BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais. Ensino Médio. Brasília: MEC, 2002. BROUSSEAU, Guy. Fundamentos e métodos da didática da matemática. São Paulo: Rdm, 1986. v. 7, nº 2. FIORENTINI, Dário; MIORIN, Maria Ângela. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~espec/meb/files/Umareflexao_sobre_o_uso_de_materiais_concretos_e_jogos_no_ensino_da_Matematica.doc >. Acesso em 13 set. 2011. FRAGOSO, Wagner da Cunha. Educação matemática. Revista da sociedade brasileira de educação matemática, Belo Horizonte, Ano 7 – nº 8, p. 57-60, jun. 2000. GIOVANNI, José Ruy, et al. A conquista da matemática teoria e aplicação 8º serie. São Paulo: FTD, 1996. GIOVANNI, José Ruy, GIOVANNI Junior. Matemática pensar e descobrir 7º serie. São Paulo: FTD, 1996. IEZZI, Gelson. Matemática 1° serie do segundo grau. São Paulo: Atual, 1990. MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática: conjuntos e funções, São Paulo: Atual, 1988. MELCHIOR, Maria Celina. Da avaliação dos saberes a construção de competências. Porto Alegre: Premer, 2003.

MOREIRA, M. A. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. Ed. Moraes, São Paulo, 1982 OLIVEIRA,Marta Kohl. Vygotsky, aprendizado e desenvolvimento.Um processo sócio-histórico. Cidade: Scipione, 2005. OLIVEIRA, Nanci: Conceito de função: uma abordagem do ensino-aprendizagem. 1997. Disponível em: <http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volume6/UM_BREVE_HISTRICO_DO_CONCEITO_DE_FUNO.pdf.>. Acesso em: 03 mar. 2011. ONUCHIC, L.R. Ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. Pesquisa em Educação matemática: concepções e perspectiva. São Paulo: Unesp, 1999. PITOMBEIRA, João Bosco. Revisando uma velha conhecida. Disponível em: < http://www.bienasbm.ufba.br/C2.pdf>. Acesso em 20 set.. 2011. STRUIK, Dirk J: História concisa das matemáticas. Coleção ciência aberta, 2º edição, revista e ampliada. São Paulo: Abril, 1992. SILVA, Jaime. O que é otimização. Disponível em: <http//www.mat.uc.pt/~jsoares/researc/>. Acesso em 05 out. 2011. SILVA, Juan Carlos da Cruz. Máximos e mínimos e tangentes a uma curva: propósito da obra de Fermat. Disponível em: <HTTP//www.juansolideo.com.br/índex.htm>. Acesso em 15 out. 2011. YOUSHKEVITCH A.P: O the concepto f function up to the middle of the 19-century. In: Archive for history of exact sciences. São Paulo: Edgard Blúche, 16: 37-85, 1976/77.

33

ANEXOS

QUESTIONÁRIO

LOCAL DA APLICAÇÃO:__________ ____________________________________

DATA DA APLICAÇÃO:____/___/2010

Você deve responder as questões abaixo, de acordo com o que entendeu

da explicação dada pelo professor sobre função quadrática.

QUESTÕES

1) Considere um retângulo cuja medida do perímetro é 10 cm. Sendo x a medida de um de seus lados, obtenha:

a) A área do retângulo em função de x; b) O valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima.

2) Considere o retângulo do exercício anterior. Escreva uma expressão

para a área. Suponha que o perímetro seja de 30 cm, escreva este fato em forma de equação.

3) Considere um circulo de raio r. Escreva uma expressão para a área e uma equação expressando o fato de que a circunferência tem perímetro de 15 cm.

4) Considere um curral retangular com uma partição ao meio, como

aparece na figura abaixo. Utilize letras para indicar as dimensões externas do curral. Escreva uma equação expressando o fato de que são necessários 5000m de cerca pra construir o curral (incluindo a partição). Escreva uma expressão para a área total do curral.

5) Um pintor comprou uma lata de tinta para cobrir uma área a2. Sabendo–se que ele cobrira duas regiões quadradas separadas, quais devem ser os lados x e y desses quadrados para que a soma dos perímetros dos quadrados seja máxima? Represente os pontos de máximo das figuras.

6) Uma haste metálica medindo m foi cortada e as partes soldadas como

os lados de dois quadrados, com o aproveitamento de um dos lados de forma que este lado de um ficou sendo o lado do outro quadrado. Qual é a menor área possível que podemos obter, exigindo sempre a existência dos dois quadrados? Represente o ponto de mínimo da figura.

7) Uma haste metálica fina medindo m foi dobrada de forma a montar dois triângulos eqüiláteros um ao lado do outro, apoiados sobre uma mesma horizontal. Qual é a menor área possível para a soma desses triângulos? O que acontece se construirmos apenas um triângulo?

8) Uma haste metálica fina medindo m foi dobrada de forma a montar um quadrado tangenciando um circulo. Quais devem ser as medidas desses objetos para que a área das regiões limitadas por elas seja mínima? Represente graficamente o ponto de mínimo da figura.

9) Um criador de galinhas resolve construir um galinheiro de forma

retangular. Aproveitando um muro já existente no local como um dos lados desse galinheiro, dispõe de 60 m de uma tela especial para fechar os outros três lados. Como obter as medidas do local correspondente ao galinheiro, para que a área seja máxima possível? Represente graficamente o ponto de Maximo da figura.

10) O Sr Silva Jardim deseja demarcar um canteiro retangular para flores

ao longo da parede lateral de sua casa. Os outros três lados serão demarcados por uma cerca de arame. Ele dispõe apenas de 20 m de cerca. Qual será o comprimento C e a largura L do canteiro retangular que lhe permite a maior área possível de plantio? (dica: escreva primeiro uma função área A em termos de somente uma variável, L ou C, com a ajuda do perímetro (20 m)).