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Instituto Superior TécnicoLic. Engenharia Informática e de Computadores (Alameda)

Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2A Duração: 1h30

Grupo I (3+1+2+2 valores)

Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:

L1 = {M ∈M : M é máquina classificadora},

L2 = {M ∈M : Lac(M) = Σ∗}.

a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L2 é indecidível.Resolução: A indecidibilidade de L2 é consequência imediata do teoremade Rice. Como L2 ⊆ M, então L2 é indecidível desde que satisfaça trêsrequisitos: (1) L2 6= ∅, (2) L2 6=M, e (3) se M ∈ L2 e Lac(M) = Lac(M ′)então M ′ ∈ L2. Verificamos cada um deles.

(1) Considere-se a máquina A representada graficamente por:

qin qac

x→ x, S

para cada x ∈ Σ ∪ {�}

Amáquina A aceita todos os inputs pelo que Lac(A) = Σ∗, e portantoA ∈ L2 e L2 6= ∅.

(2) Considere-se a máquina B representada graficamente por:

qin qrj

x→ x, S

para cada x ∈ Σ ∪ {�}

A máquina B rejeita todos os inputs pelo que Lac(B) = ∅ 6= Σ∗, eportanto B /∈ L2 e L2 6=M.

(3) se M ∈ L2 e Lac(M) = Lac(M ′) então sabemos que Lac(M) = Σ∗ =Lac(M ′), e portanto também Lac(M ′) = Σ∗, pelo que M ′ ∈ L2.

Pelo teorema de Rice concluímos que L2 é indecidível.

b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L1.Resolução: Não é possível usar (directamente) o teorema de Rice parademonstrar a indecidibilidade de L1, pois existem máquinas M ∈ L1 eM ′ /∈ L1 com Lac(M) = Lac(M ′). Nomeadamente, seja M uma máquina(classificadora) que rejeita todos os inputs, e M ′ uma máquina (não clas-sificadora) que entra em ciclo infinito para todos os inputs. Obviamente,tem-se Lac(M) = ∅ = Lac(M ′), M ∈ L1 e M ′ /∈ L1.

c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.Resolução: Começa-se por verificar que L1 ≤ L2. Basta considerar afunção f : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ definida por f(x) = x se x /∈ M, e f(x) = x′

caso contrário, onde x′ é a máquina definida a partir de x por:qin : w

↓

simula x sobre w(como na máquina universal)

se aborta→ ciclo infinito

↓ se aceita ou rejeita

qac

A função f é total, e computável por uma máquina que verifica se o inputé uma máquina, devolvendo x ou x′ como output consoante o resultado.Se x /∈M então x /∈ L1 e f(x) = x /∈ L2. Se x ∈M, então x ∈ L1 se e sóse x é máquina classificadora se e só se x aceita ou rejeita todos os inputsse e só se x′ aceita todos os inputs se e só se x′ = f(x) ∈ L2.Verifique-se agora que L2 ≤ L1. Basta considerar a função g : {0, 1}∗ →{0, 1}∗ definida por g(x) = x se x /∈ M, e g(x) = x′′ caso contrário, ondex′′ é a máquina definida a partir de x por:

qin : w

↓

simula x sobre w(como na máquina universal)

se aceita→ qac

↓ se rejeita ou aborta

ciclo infinito

A função g é total e computável por uma máquina que verifica se o seuinput é uma máquina, devolvendo x ou x′′ como output consoante o re-sultado. Claramente, se x /∈M então x /∈ L2 e g(x) = x /∈ L1. Se x ∈M,então x ∈ L2 se e só se x aceita todos os inputs se e só se x′′ não temciclos infinitos se e só se x′′ é classificadora se e só se x′′ = g(x) ∈ L1.

d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, apartir da alínea a), que L1 é indecidível.

Resolução: Sabemos da alínea b) que L2 ≤ L1, nomeadamente por inter-médio da função computável g : {0, 1}∗ → {0, 1, $}∗. Seja G uma máquinade Turing que calcule g.Assuma-se, por absurdo, que L1 fosse decidível. Nesse caso, existiria umclassificador D1 tal que Lac(D1) = L1. Então, poder-se-ia construir amáquina D2, descrita por:

qin : x

↓ simulando máquina G que calcula g

g(x)

↓

simula D1 sobre g(x)(como na máquina universal)

se aceita→ qac

↓ se rejeita

qrj

Facilmente, D2 é um classificador pois a função g é total e D1 é um clas-sificador. Além disso, D2 aceita x se e só se D1 aceita g(x) se e só seg(x) ∈ L1 se e só se x ∈ L2. Mas então D2 decidiria a linguagem L2, emcontradição com a sua indecidibilidade, obtida na alínea a).

Grupo II (4+3 valores)

Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma

y = x1 + x2 + · · ·+ xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗

para as quais∑k

i=1 xi é igual a y, onde os valores são tomados em representaçãobinária. Por exemplo, 111 = 100 + 1 + 10 ∈ S pois 4 + 1 + 2 é 7.

a) Demonstre que S ∈ P.Resolução: Considere-se a máquina de Turing D com alfabeto de trabalhoΓ = {0, 1, +, =,�} e duas fitas bidireccionais, representada por:

qin lst som vai

ret

precmp

qac

qrj

0�→ 0�, RS

1�→ 1�, RS

= �→= �, RS

0�→ 0�, RS

1�→ 1�, RS

+�→ +�, RS

��→ ��, LS

01→ �1, LL1�→ �1, LL

10→ �1, LL

0�→ �0, LL00→ �0, LL

11→ �0, LL

0�→ �1, LL

00→ �1, LL

10→ �0, LL

1�→ �0, LL

01→ �0, LL11→ �1, LL

+1→ +0, SL

= 1→= 0, SL

+∗→

�∗, L

R

+0→

�1,

LR

+�→

�1,

LR∗�

→∗�

, SL

=∗→

�∗,

LR

=�→

�1, L

R

=0→

�1, L

R

∗1→ ∗1, SR

∗0→ ∗0, SR0�→ 0�, LS�0→ �0, SL

11→ 11, LL

00→ 00, LL

∗�→ ∗�, SL

��→ ��, SS

1�→ 1�, SS

�1→ �1, SS

10→ 10, SS01→ 01, SS

∗∗→∗∗

, SS

∗∗→∗∗, S

S

∗0→ ∗0, SR∗1→ ∗1, SR

A máquina D começa por verificar que o input é da forma correcta, umasequência de 0s e 1s até ao símbolo =, transitando para o estado lst ondese verifica que o resto do input é uma lista de sequências de 0s e 1s sepa-radas pelo símbolo +. Depois, a partir do estado som começa a calcular-sena segunda fita a soma necessária. A lista é percorrida da direita paraa esquerda e sucessivamente adicionada, sendo o resultado acumulado nafita 2. Ao processar cada soma, caso haja transporte, transita-se parao estado vai. Processado um dos números da lista (encabeçado por +)recolocamos a cabeça de leitura e escrita da fita 2 no bit mais à direita do

resultado acumulado (estado ret) e repete-se o procedimento. Processadatoda a lista (símbolo =) transita-se para o estado pre, onde se recolocade novo a cabeça de leitura e escrita da fita 2 no bit mais à direita doresultado acumulado, e transita-se para o estado cmp onde se procede ànecessária comparação (considera-se que 0s à esquerda são irrelevantes).Analisando o comportamento de D, para um input y = x1 + x2 + · · ·+ xk

de tamanho n, têm-se n+1 passos na verificação do input, mais o númerode passos para efectuar as k somas, mais o número de passos para a com-paração final. Cada soma é efectuada num número de passos proporcionalao maior comprimento dos somandos que é O(n). Obviamente que k tam-bém é O(n), no pior caso. O mesmo se aplica à comparação final, peloque se tem timeD(n) ≤ O(n)+O(n).O(n)+O(n) = O(n2). Mesmo tendoem conta que D tem duas fitas bidireccionais, sabemos que a linguagemS seria decidida por uma máquina com uma única fita unidireccional emtempo O(n4) e portanto S ∈ P.

b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∪ S é C-completa então C ⊆ P.

Resolução: Da alínea a) temos uma máquina A, de tempo na com a ∈ N,que decide S.Como sabemos que L ≤P S, então existe uma função total f : Σ∗ →{0, 1, +, =}∗ computável por uma máquina F em tempo O(nb) com b ∈ N(onde Σ é o alfabeto subjacente à linguagem L) tal que w ∈ L se e só sef(w) ∈ S, para cada w ∈ Σ∗.Adicionalmente, como L ∪ S é C-completa então é C-difícil, e portantoX ≤P L ∪ S para toda a linguagem X ∈ C. Logo, para cada X ∈ C,existe uma função total gX : Σ∗X → (Σ ∪ {0, 1, +, =})∗ computável poruma máquina GX em tempo O(nc) com c ∈ N (onde ΣX é o alfabetosubjacente à linguagem X) tal que w ∈ X se e só se gX(w) ∈ L∪ S, paracada w ∈ Σ∗X .Dada X ∈ C, considere-se a máquina DX (com 2 fitas) descrita por:

qin : w

↓ simula máquina GX que calcula gX na fita 1

gX(w)

↓ copia resultado

gX(w)gX(w)

↓ simula máquina F que calcula f na fita 2

gX(w)f(gX(w))

↓

simula D sobre gX(w) na fita 1se aceita→ qac

↓ se rejeita

simula D sobre f(gX(w)) na fita 2se aceita→ qac

↓ se rejeita

qrj

Facilmente, DX é um classificador pois as funções f, gx são totais e D éum classificador. Além disso, DX aceita w se e só se D aceita gX(w) ouf(gX(w)) se e só se gX(w) ∈ S ou f(gX(w)) ∈ S se e só se gX(w) ∈ S ougX(w) ∈ L se e só se gX(w) ∈ L∪S se e só se w ∈ X. Conclui-se que DX

decide a linguagem X ∈ C.

Resta verificar que a máquina DX é de tempo polinomial. Tem-se, defacto, que

timeDX(n) ≤ timeGX

(n) +O(n + timeGX(n)) + timeF (n + timeGX

(n))+

timeD(n+ timeGX(n))+ timeD(n+ timeF (n+ timeGX

(n)))

≤ O(nc) +O(n + nc) + timeF (n +O(nc))+

timeD(n +O(nc)) + timeD(n + timeF (n +O(nc)))

≤ O(nc) +O(nc) +O((n + nc)b)+

O((n + nc)a) + timeD(n +O((n + nc)b))

≤ O(nc) +O(nc) +O(nbc) +O(nac) + timeD(n +O(nbc))

≤ O(nbc) +O(nac) +O((n +O(nbc))a) = O(nabc)

correspondendo ao tempo necessário para para calcular gX(w), copiargX(w) para a segunda fita, e depois o tempo necessário para para calcularf(gX(w)), simular D sobre gX(w), e ainda simular D sobre f(gX(w)).

Sabendo que existe uma máquina equivalente com uma única fita comuma desaceleração quadrática, podemos concluir que X é decidível emtempo O(n2abc), e portanto X ∈ P. Concluímos que C ⊆ P.

Grupo III (1+1+3 valores)

a) Enuncie o teorema de Savitch.

Resolução: O teorema de Savitch diz que se n ≤ f(n) então NSPACE(f(n)) ⊆SPACE(f(n)2).

b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.

Resolução: Uma função f diz-se construtível no espaço se log(n) = O(f(n))e o cálculo de f(n) (em binário) a partir de n (em unário) é computávelem espaço O(f(n)).

O teorema de hierarquia espacial afirma que, se f é uma função cons-trutível no espaço, então existe uma linguagem L ∈ SPACE(f(n)) quenão pode ser decidida por nenhuma máquina cujo espaço seja o(f(n)).

c) Use os teoremas anteriores para mostrar que

NTIME(n) ( SPACE(n3).

Resolução: Demonstramos que

NTIME(n) ⊆ NSPACE(n) ⊆ SPACE(n2) ( SPACE(n3).

NTIME(n) ⊆ NSPACE(n) pois se L ∈ NTIME(n) então existe umamáquina não-determinista D que decide L tal que ntimeD(n) = O(n).Mas tem-se nspaceD(n) ≤ ntimeD(n) já que em cada passo de com-putação a máquina D visita, no máximo, uma nova célula de memória.Assim, tem-se que nspaceD(n) = O(n) e portanto L ∈ NSPACE(n).O teorema de Savitch garante que NSPACE(n) ⊆SPACE(n2).Como n2 = O(n3) é imediato que SPACE(n2) ⊆ SPACE(n3).Falta mostrar que existe L ∈ SPACE(n3) tal que L /∈ SPACE(n2).Observe-se que log(n) = O(n3) e que f(n) = n3 é construtível no espaço.Basta notar que para o input 1n o output pretendido (n3)bin é tal que|(n3)bin| ≤ 3.|(n)bin| = O(log(n)), e portanto é calculável em espaço lin-ear obtendo (n)bin e depois realizando duas multiplicações.O teorema de hierarquia espacial diz-nos então que existe L ∈ SPACE(n3)que não pode ser decidida por nenhuma máquina cujo espaço seja o(n3).Para mostrar que L /∈ SPACE(n2) basta verificar que n2 = o(n3). Veja-se então que:

limn→∞

n2

n3 = limn→∞

1n

= 0.


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2A Duração: 1h30



L1 = {M ∈M : M é máquina classificadora},

L2 = {M ∈M : Lac(M) = Σ∗}.

a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L2 é indecidível.

b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L1.

c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.

d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L1 é indecidível.



y = x1 + x2 + · · ·+ xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗

para as quais∑k

i=1 xi é igual a y, onde todos os valores são tomados em repre-sentação binária.

Por exemplo, 111 = 100 + 1 + 10 ∈ S pois 4 + 1 + 2 é igual a 7.

a) Demonstre que S ∈ P.

b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∪ S é C-completa então C ⊆ P.





NTIME(n) ( SPACE(n3).


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2B Duração: 1h30


Considere as linguagens L1 = {M ∈ M : M aceita todas as palavras} eL2 = {M ∈M : todas as computações de M são finitas}.







y#x1$x2$ . . . $xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗

para as quais y é o máximo do conjunto {x1, . . . , xk}, onde todos os valores sãotomados em representação binária.

Por exemplo, 110#110$101$10 ∈ S pois 6 é o máximo de {6, 5, 2}.

a) Demonstre que S ∈ PSPACE.

b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L \ S é C-difícil então C ⊆ PSPACE.





NTIME(n + log(n)) ( SPACE(n3 − n2).


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2C Duração: 1h30



L1 = {M ∈M : M não é máquina classificadora},

L2 = {M ∈M : Lac(M) 6= Σ∗}.







u1$u2$ . . . $uk#u, onde k ≥ 0 e u1, . . . , uk, u ∈ {0, 1}∗

para as quais (u)bin >∑k

i=1(ui)bin.

Por exemplo, 101$1$10#1001 ∈ S pois 9 > 8 = 5 + 1 + 2.


b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∩ S é C-completa então C ⊆ P.





NTIME(2n) ( SPACE(n2. log(n)).


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2D Duração: 1h30



L1 = {M ∈M : Lac(M) 6= Σ∗},

L2 = {M ∈M : M tem pelo menos uma computação infinita}.








para as quais y ≤ min(x1, . . . , xk), onde todos os valores são tomados em rep-resentação binária.

Por exemplo, 100#110$101$1000 ∈ S pois 4 ≤ 5 = min(6, 5, 8).


b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∩ S é C-difícil então C ⊆ PSPACE.





NTIME(n.√

n) ( SPACE(n3. log(n)).


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2E Duração: 1h30


Considere as linguagens L1 = {M ∈ M : M é máquina classificadora} eL2 = {M ∈M : M aceita todas as palavras}.







x1 + x2 + · · ·+ xk < y, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗

para as quais∑k

i=1 xi é menor que y, onde todos os valores são tomados emrepresentação binária.

Por exemplo, 10 + 100 + 1 < 1000 ∈ S pois 2 + 4 + 1 = 7 < 8.


b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e S ∪ L é C-completa então C ⊆ PSPACE.





NTIME(3n) ( SPACE(n3).


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2F Duração: 1h30



L1 = {M ∈M : Lac(M) = Σ∗},

L2 = {M ∈M : M não tem nenhuma computação infinita}.








para as quais y = max(x1, . . . , xk), onde todos os valores são tomados em rep-resentação binária.

Por exemplo, 110#101$110$10 ∈ S pois 6 = max(5, 6, 2).


b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L \ S é C-difícil então C ⊆ P.





NTIME(n + log(n3)) ( SPACE(n3 − n).


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2G Duração: 1h30



L1 = {M ∈M : Lac(M) ∪ Lrj(M) 6= Σ∗},

L2 = {M ∈M : existe(m) palavra(s) não aceite(s) por M}.







u1$u2$ . . . $uk#u, onde k ≥ 0 e u1, . . . , uk, u ∈ {0, 1}∗

para as quais (u)bin ≥∑k

i=1(ui)bin.

Por exemplo, 10$101$1#100 ∈ S pois 8 ≥ 8 = 2 + 5 + 1.


b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∩ S é C-completa então C ⊆ PSPACE.





NTIME(n) ( SPACE(n2. log(n)− n2).


Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2H Duração: 1h30



L1 = {M ∈M : Lac(M) 6= Σ∗},

L2 = {M ∈M : nem todas as computações de M são finitas}.








para as quais y é o mínimo de {x1, . . . , xk}, onde todos os valores são tomadosem representação binária.

Por exemplo, 101#110$101$1000 ∈ S pois 5 é o mínimo de {6, 5, 8}.


b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e S ∩ L é C-difícil então C ⊆ P.





NTIME(n.√

n) ( SPACE(n4).

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