INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICOENFORMAÇÃO...

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA MECÂNICA

Lisbon-Portugal

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICOENFORMAÇÃO PLÁSTICA

2

Apresentação

Corpo docentePaulo Martins (Prof. Catedrático)Beatriz Silva (Assistente)

Programa da disciplinaMétodos das linhas de escorregamento e do limite superiorProcessos tecnológicos de deformação plástica na massaTeoria da flexão em domínio plásticoProcessos tecnológicos de deformação plástica de chapaProcessos tecnológicos de deformação plástica de tubos e perfis

Avaliação

Avaliação por testes (26/10 e 05/01) ou por exame final

Horário de dúvidas

A afixar na página da disciplina

ContactosSecção de Tecnologia Mecânica, Pavilhão de Física, Piso [email protected], [email protected]

2

3

Apresentação

Bibliografia

Rodrigues J. e Martins P., Tecnologia mecânica vol. 1 e vol. 2, Escolar Editora, 2005.

Martins P. e Silva B., Tecnologia mecânica vol. 1 e vol. 2, Enunciados de Exercícios, 2006. (download a partir da página da disciplina)

4

Apresentação

Problema9.2

Problemas9.6/9.7

Cap. 9 Método do limite superior (cont.)Aplicações do método do limite superior ao cálculo de processos tecnológicos de deformação plástica na massa.

4

Problemas15.4/15.7

Problemas15.1/15.5/15.6

Cap. 15 Extrusão e trefilagemClassificação dos processos de extrusão e trefilagem.Extrusão directa e inversa, extrusão a frio e a quente. Metodologia de concepção e projecto de peças extrudidas e trefiladas.Cálculo de peças extrudidas e trefiladas.

5

Problemas16.4/16.5/16.6

Problemas16.2/16.3

Cap. 16 LaminagemClassificação dos processos de laminagem.Laminagem de produtos planos e não-planos, laminagem a frio e a quente.Metodologia de concepção e projecto de peças laminadas.Cálculo de peças laminadas.

6

Problema9.1

Problemas9.4/9.5

Cap. 9 Método do limite superior Teorema do limite superior. Significado físico-geométrico. Tópicos avançados envolvendo o cálculo de temperaturas.

3

Problemas8.4/8.5/8.6/8.8

Problemas 8.1/8.2/8.7

Cap. 8 Método das linhas de escorregamento (cont.)Equações de Geiringer. Condições de fronteira relativas ao campo de velocidades. Descontinuidades de velocidades.Aplicações do método das linhas de escorregamento ao cálculo de processos tecnológicos de deformação plástica na massa.

2

Cap. 4 PlasticidadeCap. 6 Método da Energia UniformeCap. 7 Método da Fatia Elementar

Problemas8.4/8.5/8.6

Problemas 8.1/8.2/8.7

ApresentaçãoCap. 8 Método das linhas de escorregamentoEquações de Hencky. Condições de fronteira relativas ao campo de tensões. Descontinuidades de tensão.

1

Matériaauto-estudo

Matéria práticaMatéria teóricaSemana

(No.)

3

5

Apresentação

Problemas13.1/13.2

Cap. 13 Teoria da flexão em domínio plásticoNoção de fibra neutra. Flexão de peças direitas – tensões e deformações.

7

Problemas21.2/21.5

Problemas21.1/21.3

Cap. 21 Deformação plástica incrementalFluo-torneamento cónico e cilíndrico. Concepção e projecto de peças fluo-torneadas. Cálculo de peças fluo-torneadas.

12

Problema20.1

Cap. 20 PerfilagemConcepção e projecto de perfis. Cálculo de perfis. Linhas de produção de perfis.

11

Problemas18.3/18.4

Problema18.2

Cap. 18 Quinagem (continuação)Metodologia de concepção e projecto de peças quinadas.Cálculo de peças quinadas.

10

Problema18.1

Cap. 18 Quinagem Classificação dos processos de quinagem. Quinagem em V no ar e quinagem a fundo. Quinagem em U.

9

Problemas13.5/13.6

Problemas13.3/13.4

Cap. 13 Teoria da flexão em domínio plástico (cont.)Flexão de peças curvas – tensões e deformações.8

Matériaauto-estudo


(No.)

6

Apresentação

Problema23.3

Problemas23.1/23.2

Cap. 23 Dobragem de tubos e perfisTensões e deformações. Concepção e projecto de operações de dobragem de tubos e perfis.Máquinas-ferramenta para dobragem de tubos e perfis.

13

Revisões14

Matériaauto-estudo


(No.)

4

7

Método das linhas de escorregamento

Introdução

O método das linhas de escorregamento é um método completo na medida em que resolve simultaneamente os campos de tensões e de deformações (velocidades).

A denominação linhas de escorregamento é por alguns autores considerada menos apropriada, uma vez que as linhas de escorregamento representam graficamente as direcções dos planos em que a tensão de corte é máxima, as quais fazem ângulos de 45º relativamente aos planos principais, significando, portanto, que as linhas de escorregamento não devem ser confundidas com as direcções de escoamento ou movimentação do material em deformação plástica (geralmente designadas por linhas de fluxo).

8


Introdução – enquadramento histórico

Os fundamentos teóricos do método das linhas de escorregamento remontam aos trabalhos publicados por Coulomb em 1773, Rankine em 1857 e Levy em 1873. Porém, o método só ficou definitivamente estabelecido após Hencky em 1923 e Geiringer em 1930 terem apresentado as equações que permitem resolver o campo de tensões e o campo de velocidades, respectivamente, e Prager e seus colaboradores terem em 1951 e 1953 introduzido os conceitos de hodógrafo e de ciclóide dos pólos.

Charles A. Coulomb 1736-1806

Heinrich Hencky1885-1952

Richard von Mises1883-1953

Hilda Geiringer von Mises1893-1973

William Rankine1820-1872

William Prager1903-1980

5

9


Introdução – hipóteses simplificativas

• O material é homogéneo e isotrópico

• O material tem um comportamento rígido perfeitamente plástico, desprezando-se todos os efeitos associados à componente elástica da deformação e ao encruamento do material

• Desprezam-se os eventuais efeitos que possam decorrer da variação da temperatura, da velocidade de deformação e do tempo associado à deformação plástica dos materiais

• A generalidade das aplicações do método das linhas de escorregamento refere-se à solução de problemas em condições de deformação plástica plana.

xz

y

000

000

=γ=γ≠γ

=εε−=ε

=γ=γ≠γ

=εε−=ε

zxyzxy

zyx

zxyzxy

zyx

dddddd

&&&

&&&

10

x

xyτ

σx

σ σ=z 2

ky

σ3

.ε

1σ

ε. x

xy

x

σ

yxτ

O

y

σ

σ

τ

z =z σ2

O

.ε 3

ε 1

=.ε . ε=z 2

.0

ε

yε

y.

yxε

.γ./2

.

xy

yσ

τ

yxτ

y

σ

x

x


Condições de deformação plástica planaAs relações para as deformações e para as velocidades de deformação que são características da deformação plásticaplana associadas às equações constitutivas rígido-viscoplásticas de Levy-Mises permitem obter as seguintesconclusões para o campo de tensões:

A tensão média é igual à tensão principal intermédia σm= σz= σ2

000

000

=γ=γ≠γ

=εε−=ε

=γ=γ≠γ

=εε−=ε

zxyzxy

zyx

zxyzxy

zyx

dddddd

&&&

&&&

( )

( )

( )

xy

pxy

xy

yxz

p

z

xzy

p

y

zyx

p

x

τσε

=γ

=ε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ+σ−σσε

=ε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ+σ−σσε

=ε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ+σ−σσε

=ε

&&&

&&

&&

&&

23

2

21

21

21

0=τ=τ zxyz

( )yxz σ+σ=σ=σ21

2

xz

y

6

11


Noção de linha de escorregamentoO conjunto de quadrículas (ou rede) definidas pelas direcções dos planos de corte máximo denomina-se por campo de linhas de escorregamento. Estas direcções são, no caso geral, compostas por linhas curvas ortogonais entre si, embora possam coexistir quadrículas rectas no seio do campo de linhas de escorregamento.

1

x

3α

2α

β III

α

IIβ

Iβ

y

P (2,II)

σ

Dir. principal 3

φ

σ

σσm

P

m

k

k

k

k

m

β

σx

φ

σm

y

σ

xyτ

P

y

yxτ

τ xy

σx

x

Dir. principal 1

x

β

τ

α

x

φ

xy

kPólo

α

σ

y

yxτy

=2z

σx

σ = σ m

1σ

σ

2φ y

O

τ yx

3τ

σy

σ

βα

Convenção 1: As linhas de escorregamento da família αestão associadas às distorções no sentido horário, enquanto que as linhas de escorregamento da família β estão associadas às distorções anti-horárias.

12


Noção de linha de escorregamento (continuação)Em face do que foi referido anteriormente as linhas de escorregamento não sofrem qualquer tipo de extensão (apenas distorcem), pelo que o seu comprimento se mantém inalterável.

φ+d

2

φ

P φ

φ

1P

90º

β

α

Convenção 2: O sentido positivo das linhas α é aquele que coincide com o sentido positivo das linhas β,quando a linha α rodar de um ângulo igual a 90º no sentido anti-horário.

Convenção 3: A variação do ângulo de rotação dφ entre dois pontos genéricos situados sobre a mesma linha, será positiva, quando ao se avançar no sentido positivo da linha, a respectiva tangente à linha for rodando no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (válido tanto para as linhas α, como para as linhas β ).

7

13

φφ+dφ+d

α

β

φA

B


Equações de Hencky

O campo de tensões nas zonas em deformação plástica em condições de deformação plana écaracterizado a partir das seguintes equações:

Transformação de Levy

0

0

=∂

∂σ+

∂

∂τ

=∂

∂τ+

∂∂σ

yx

yx

yxy

yxx

• Equações de equilíbrio de tensões(na ausência de forças mássicas)

• Critério de plasticidade

( ) 222 44 kxyyx =τ+σ−σ

φ=τ

φ+σ=σ

φ−σ=σ

2cos2sen2sen

kkk

xy

my

mx

02sen22cos2

02sen22cos2

=∂∂φ

φ−∂∂φ

φ+∂

∂σ

=∂∂φ

φ−∂∂φ

φ−∂

∂σ

xk

yk

y

yk

xk

x

m

m

02

02

=βφ

+β

σ

=αφ

−α

σ

ddk

dd

ddk

dd

m

m

tem Ck α=φ−σ 2

tem Ck β=φ+σ 2

Linhas de escorregamento do tipo α

Linhas de escorregamento do tipo β

02 =φ−σ dkd m

02 =φ+σ dkd m

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Equações de Hencky – significado geométrico

Ao percorrer no plano físico uma linha α , o círculo de Mohr, no plano das tensões, desloca-se como se rolasse sem escorregar sobre a linha I, de um ângulo igual a dφ (ângulo ao centro 2dφ ), deslocando-se o pólo sobre a circunferência de uma quantidade igual a 2kdφ, como se estivesse fixo sobre a circunferência enquanto esta roda.


02 =φ−σ dkd m

φφ+dφ+d

α

β

φA

B

AB

AP

PB

O

φ2k d

Linha II -k

Ciclóide dos pólos

φ2d

CD Linha I

σ

+k

τ

φ

φ+ φd

8

15∆φk

∆φ/2

∆φ

σP

Pτ

σ

P

π2k

τ

O

+k (I)

-k (II)


Equações de Hencky – significado geométrico

Ciclóide dos pólos α

φφ+dφ+d

α

β

φA

B

AB

AP

PB

O

φ2k d

Linha II -k

Ciclóide dos pólos

φ2d

CD Linha I

σ

+k

τ

φ

φ+ φd

φ∆=τφ∆−φ∆=σ

cos)sen(

kk

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1º Teorema de Hencky

dβ

r

s

dα

CBdφ

d DAφ

D'A

C

B

D

A'

β

α

)2(2)(2)(2)()(

ACB

ABBCmAmBmBmCmAmC

kkk

φ−φ−φ=

φ−φ+φ−φ−=σ−σ+σ−σ=σ−σ

)2(2)(2)(2)()(

ACD

ADDCmAmDmDmCmAmC

kkk

φ+φ+φ−=

φ−φ−φ−φ=σ−σ+σ−σ=σ−σCDDCABBA dd φ=φ−φ=φ−φ=φ )()(

CBBCADDA dd φ=φ−φ=φ−φ=φ )()(

O ângulo entre as tangentes a duas linhas de uma família, nos pontos em que são intersectadas por uma linha da outra família, éconstante e, consequentemente, também a diferença das tensões será constante.

(analogamente para as linhas da outra família)

9

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Condições de fronteira relativas ao campo de tensões

A resolução das equações de Hencky, relativas ao campo de tensões, exige que sejam introduzidas as condições de fronteira física dos problemas.

Principais tipos de condições de fronteira:

• Superfície livre

• Superfície sem atrito (entre o material e a ferramenta)

• Superfície com atrito máximo (entre o material e a ferramenta)

• Superfície com atrito de Coulomb (entre o material e a ferramenta)

Superfície livre

Material

2k

0

2k

0

α

β

P

P

β

Pólo

-k

α k

σ

τ

2k 0

Ex. Superfície livre

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Condições de fronteira relativas ao campo de tensões (continuação)

Ex. Superfície sem atrito (entre o material e a ferramenta)

Superfície sem atrito

σ

σ1

σ

3

1

σ3Material

β

α

P

P

β

σ3

α

Pólo

-k

σ1

k

σ

τ

0

Superfície com

Material

k

mσ

mσ

σ

kk

m

P

k σm α

β

atrito máximoP

Ex. Superfície com atrito máximo (entre o material e a ferramenta)

Pólo

σ3

β

α

σm

-k

σ0

1

k

σ

τ

As linhas de escorregamento deverão encontrar a superfície a 45º

Uma das linhas de escorregamento (dependendo do sentido da distorção provocada pelas tensões de corte) encontra a superfície tangencialmente, enquanto que a linha da outra família a vai intersectar ortogonalmente

10

19


a

τA

PF

Condições de fronteira relativas ao campo de tensões (continuação)

Ex. Superfície com atrito de Coulomb (entre o material e a ferramenta)

O ângulo θ deverá ser função da pressão aplicada

Superfície com atritode Coulomb

P

µ

µ

p

q

P

p µ p q

pp µp

θ

α

Material β

θ

β

p

µ

3σ

τ=µp

p

α

Pólo

-k

µ

σ1

σ

arctg

τ

k

0

pPF τ

==µ

20


Descontinuidade de tensão

Por vezes a resolução do campo de tensões exige a introdução de linhas de descontinuidade de tensão.

Zona A

Zona B

σ

B

n

σt

σ

LDT

σt

τ

σt'

n

σn

A

τ

σt'

σn

P

P

P

τ

σt'n

PA

τ

σ

-k

σt

PBσ

τ

k

0

• Os critérios de plasticidade devem continuar a ser respeitados em cada um dos semi-planos que resultam da divisão do plano físico pela linha de descontinuidade de tensão (LDT).

• Tanto a tensão normal que se exerce na direcção perpendicular à LDT, como a tensão de corte têm que ser iguais nos dois semi-planos, para que a continuidade física do material em deformação fique assegurada.

• A tensão de corte não pode ser máxima numa LDT, pois se assim fosse essa linha seria uma linha de escorregamento e os dois pólos PA e PB estariam coincidentes.

11

21


Descontinuidade de tensão – significado físico

A LDT pode ser interpretada como uma lâmina elástica de espessura reduzida que no limite se confunde com a própria linha onde o estado de tensão do semi-plano A evolui para o do semi-plano B passando através de sucessivos estados de tensão elásticos.

τ

σt'n

PA

σ

-k

σt

PBσ

τ

k

0σt'' σt'''

Zona A

Zona B

σ

B

n

σt

σ

LDT

σt

τ

σt'

n

σ n

A

τ

σt'

σn

P

P

P

22' 2, τ−±σ=σσ kntt

( ) 222 44 kn =τ+σ−σ

22


Campos de linhas de escorregamento

Existem dois tipos de campos de linhas de escorregamento particularmente simples e que uma vez combinados estão na base de inúmeras soluções utilizadas na análise de processos de deformação plástica:

• Campo uniforme - consiste num conjunto de linhas de escorregamento rectas e ortogonais entre si.

• Leque - constituído por um ponto singular, que não é mais do que o centro geométrico de vários arcos de círculo atravessados por linhas rectas que nele convergem.

O

Para além destes campos de linhas de escorregamento existem outros, que podem ser bastante mais complexos, em que as linhas que os constituem apresentam raios de curvatura variáveis de ponto para ponto.

12

23


Exemplo de aplicação – campo de tensões

Considere a operação de indentação sem atrito em condições de deformação plana que se encontra representada na figura (solução de Prandtl).

a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.b) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite de

elasticidade do material p/2k.

x

y

B'

C'

A

O' O

B

C

24

v

A

v

x

y

A

v

u

V

β

y

x

α

φ

φ


Equações de GeiringerO campo de velocidades nas zonas em deformação plásticaem condições de deformação plana é caracterizado a partir das seguintes equações:

Velocidade de deformação

• Equação da continuidade(condição de incompressibilidade em condições de deformação plástica plana)

• Compatibilidade das deformações(os eixos principais do tensor das tensões e do tensor das velocidades de deformaçãosão coincidentes)


Linhas de escorregamento do tipo β

0=∂

∂+

∂∂

=ε+εyv

xv yx

yx&&

yx

xy

yx

xy

ε−ε

ε=

σ−σ

τ&&

&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

=ε

∂

∂=ε

∂∂

=ε

xv

yv

yvxv

yxxy

yy

xx

21

&

&

&

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

τ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

σ−σyv

xv

xv

yv yx

xyyx

yx 2

000

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

=φ=φ yv

xv yx

φ+φ=

φ−φ=

cossensencos

vuvvuv

y

x

0=∂∂φ

−∂∂

xv

xu

0=∂∂φ

+∂∂

yu

yv

0=φ− dvdu0=φ+ dudv

13

25


Equações de Geiringer – significado físico

Considerem-se dois pontos A e B infinitamente próximos situados sobre uma linha de escorregamento α. Sejam u e v respectivamente as velocidades absolutas segundo as direcções de α e β no ponto A e u+du e v+dv as velocidades absolutas no ponto B.

A linha de escorregamento α não varia de comprimento entre os pontos A e B

0=φ− dvdu

A

u

ABV

VA

v

u+du

B

φd /2

AV

ABVφφ+d

VB

v+dv

∆V

φ

/2dφ

l∆

β

α

02

sen2

cos2

sen)(2

cos)()(=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ φ

+φ

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ

+−φ

+=∆ dvduddvvdduu

dtld

26


Condições de fronteira relativas ao campo de velocidades

A resolução das equações de Geiringer, relativas ao campo de velocidades, exige que sejam introduzidas as condições de fronteira física dos problemas.

Principais tipos de condições de fronteira:

• Contacto material-ferramentaNas zonas de contacto entre o material e as ferramentas, a componente normal da velocidade terá de ser igual à da ferramenta. Esta condição determina que, em termos relativos, o material sópoderá, quanto muito, deslocar-se tangencialmente à superfície de contacto.

• Linhas de simetria cinemáticaO campo de velocidades tem que respeitar as linhas de simetria cinemáticas do problema. Refira-se a este propósito que nem sempre as linhas de simetria cinemáticas coincidem com as linhas de simetria geométricas.

• Pontos neutrosNo caso particular de uma linha de simetria intersectar uma fronteira material (ferramenta, por exemplo), a velocidade nesse ponto é nula e corresponde a um ponto de inversão do sentido da velocidade tangencial sobre a superfície de contacto com a fronteira.

14

27


Descontinuidade de velocidade

Por vezes a resolução do campo de velocidades exige a introdução de linhas de descontinuidade de velocidade (LDV).

Numa LDV o valor da intensidade da descontinuidade de velocidade (diferença entre os módulos das velocidades) é constante ao longo de toda a linha de descontinuidade de velocidade

P

v =vA B

LDV

u

Bu

A

Zona A

Zona B

α

00

=φ−

=φ−

dvdudvdu

BB

AA .teBA Cuu =−

BA vv =

1α

Iβ

A

B

C

DP (1,I)

Convenção 4: Um ponto localizado na intersecção de duas linhas de descontinuidade de velocidade pode ter quatro representações distintas de velocidade (no hodógrafo), consoante o quadrante em que é considerado, sendo, por isso, a sua posição referenciada adicionando à designação do ponto uma letra identificando o quadrante em que este se situa. Utilizam-se as letras A, B, C e D, respectivamente para os 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes.

28


Exemplo de aplicação – campo de velocidades

Considere a operação de indentação sem atrito em condições de deformação plana que se encontra representada na figura (solução de Prandtl).

a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.

D

1,IIIB

A

1,II

O

αβ

1,I

AD

Vo

O'

15

29


Auto estudo

Resolver os exercícios 8.4, 8.5, 8.6 e 8.8

4,I1,I

1,II

1,III1,IV

2,I

1,IV

+k

P2,I -k

4,Imσ O P

τ

σ

P4,I P1,I

P1,II

P1,III

Para resolver o exercício 8.8 deverá efectuar-se o download do programa de elementos finitos I-FORM da página da disciplina e proceder à sua instalação nas seguintes directorias:Pre-processador – c:\i_form\pre (quando disponibilizado)Pós-processador – c:\i_form\postPrograma de elementos finitos – c:\i_form\iform2Os ficheiros de dados fem.dat e die.dat devem ser copiados para a directoria do programa de elementos finitos.

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