Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos...

Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais

1.Introdução

2.Tabelas de integrais

3.Resolução de exemplos

4.Sistemas algébricos computacionais

5.Resolução de exemplos

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1. Introdução

Nesta aula descreveremos como usar astabelas e os sistemas algébricos computacionaispara integrar as funções que têm antiderivadaselementares.

Você deve ter em mente, contudo, que atémesmo os mais poderosos sistemas algébricoscomputacionais não podem achar fórmulasexplícitas para as antiderivadas de funções comoaquelas descritas no final da aula anterior.

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2. Tabelas de integrais

As tabelas de integrais indefinidas sãomuito úteis quando nos deparamos com umaintegral que é difícil para se avaliar manualmente enão temos acesso a um sistema algébricocomputacional.

Uma tabela relativamente curta de 120integrais é apresentada aqui. Contudo, existemlivros que apresentam centenas de páginas deintegrais.

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2. Tabelas de integrais

Devemos nos lembrar, contudo, que asintegrais não ocorrem frequentemente da maneiraexata como são listadas nas tabelas.

Geralmente temos de usar substituições oumanipulações algébricas para transformar umaintegral dada em uma das formas da tabela.

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3. Resolução de exemplos

Exemplo 1: A região limitada pelas curvasy = arctg x, y = 0 e x = 1 é girada ao redor do eixox. Determine o volume do sólido resultante.

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Solução: Usando o método das cascas cilíndricasvemos que o volume é

1

0

2 arctgV x x dx= ∫ π

Na Tabela de Integrais com o título FormasTrigonométricas Inversas localizamos a fórmula92.

21 11

tg tg2 2

u uu u du u C− −+= − +∫

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Então, o volume é

11 21 1

0 0

12 tg 2 tg

2 2x x

V x x dx x− − += = −

∫π π

( ) ( )12 1 1

01 tg 2tg 1 1x x x− − = + − = − π π

212 1 1

4 2 2 − = − = −

π ππ π π π

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Exemplo 2: Use a Tabela de Integrais paradeterminar

2

25 4

xdx

x−∫

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Solução: Se olharmos na seção da tabela intituladaFormas envolvendo

2 2 ,a u−

veremos que a entrada mais próxima é a de número34.

2 22 2 1

2 2 2 2u u a u

du a u sen Caa u

− = − − + + −∫

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Isso não é exatamente o que temos, maspoderemos usá-la se fizermos primeiro asubstituição u = 2x e du = 2dx.

( )2 2

2 2

2 12 85 5

u du udu

u u=

− −∫ ∫

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Nesse caso, usamos a Fórmula 34 com a2 = 5.

2 2

2 2

185 4 5

x udx du

x u=

− −∫ ∫2

2 1

2

1 55

8 2 2 55 4

x u udx u sen C

x− = − − + +

−∫2

2 1

2

5 25 4

8 16 55 4

x x xdx x sen C

x− = − − + + −∫

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3senx x dx∫

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Solução: Se olharmos na seção intitulada FormasTrigonométricas, veremos que nenhuma dasentradas explicitamente inclui um fator u3.Contudo, podemos usar a fórmula de redução naentrada 84 com n = 3.

3 3 2sen cos 3 cosx x dx x x x x dx= − +∫ ∫

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Precisamos agora avaliar

2cos .x x dx∫Podemos usar a fórmula de redução na

entrada 85 com n = 2, seguida pela entrada 82:

2 2cos sen 2 senx x dx x x x x dx= −∫ ∫

( )2 2cos sen 2 sen cosx x dx x x x x x K= − − +∫

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Combinando esses cálculos, temos

3 3 2sen cos 3 sen 6sen 6 cosx x dx x x x x x x x C= − + − + +∫

onde C = 3K.

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2 2 4x x x dx+ +∫

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Solução: Como a tabela fornece formas envolvendo

2 2 2 2 2 2, e ,a x a x x a+ − −

mas não

2 ,ax bx c+ +

( )22 2 4 1 3x x x+ + = + +

Primeiro completamos o quadrado:

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Se fizermos a substituição u = x + 1 (assimx = u – 1), o integrando envolverá o padrão

2 2 .a u+

( )2 22 4 1 3x x x dx u u du+ + = − +∫ ∫2 23 3u u du u du= + − +∫ ∫

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A primeira integral é avaliada utilizando-se asubstituição t = u 2 + 3:

( )332 2 221 1 2 13 3

2 2 3 3u u du tdt t u+ = = ⋅ = +∫ ∫

Para a segunda integral usamos a Fórmula 21com a 2 = 3.

( )2 2 233 3 ln 3

2 2u

u du u u u+ = + + + +∫

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Então

2 2 4x x x dx+ + =∫

( ) ( )32 2 221 1 3

2 4 2 4 ln 1 2 43 2 2

xx x x x x x x C

+= + + − + + − + + + + +

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4. Sistemas algébricos compu-tacionais

Vimos que o uso de tabelas envolve combinara forma de um dado integrando com as formas deintegrandos nas tabelas.

Os computadores são particularmente bonspara reconhecer padrões. E do mesmo jeito queusamos as substituições junto com as tabelas, umCAS pode fazer substituições que transformamuma integral dada em uma daquelas que ocorremem suas fórmulas armazenadas.

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Então não é surpresa que um sistemaalgébrico computacional seja muito bom com aintegração. Isso não significa que a integraçãomanual é uma habilidade obsoleta.

Veremos que os cálculos manuais algumasvezes produzem uma integral indefinida em umaforma que é mais conveniente que a resposta docomputador.

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Para começar, vamos ver o que acontecequando pedimos para uma máquina integrar umafunção relativamente simples y = 1/(3x – 2).

Usando a substituição u = 3x – 2, um cálculomanual fácil nos fornece

1 1ln 3 2

3 2 3dx x C

x= − +

−∫enquanto Derive, Mathematica e Maple retornam aresposta

( )1ln 3 2

3x −

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A primeira coisa a notar é que o sistemaalgébrico computacional omite a constante deintegração. Em outras palavras, eles produzem umaantiderivada particular, não a mais geral.

Portanto, quando usarmos uma integraçãofeita por máquina, teremos de adicionar umaconstante.

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Segundo, os símbolos do valor absoluto sãoomitidos na resposta da máquina. Isso é aceitávelse o nosso problema envolve apenas os valores de xmaiores que 2/3. Mas se estivermos interessadosem outros valores de x, então teremos de inserir osímbolo do valor absoluto.

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Exemplo 5: Use um sistema algébrico computa-cional para determinar

2 2 4x x x dx+ +∫

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O Maple responde com

( ) ( ) ( )3

2 221 1 3 32 4 2 2 2 4 arc senh 1

3 4 2 3x x x x x x+ + − + + + − +

Isso parece diferente da resposta queencontramos no Exemplo 4, mas é equivalente,porque o terceiro termo pode ser reescritoutilizando-se a identidade

( )2arc senh ln 1x x x= + +

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Assim

( ) ( ) ( )23 3 1arc senh 1 ln 1 1 1

3 3 3x x x

+ = + + + +

( ) ( )23 1arc senh 1 ln 1 1 1

3 3x x x + = + + + +

( ) ( )23 1arc senh 1 ln ln 1 2 4

3 3x x x x+ = + + + + +

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O termo extra resultante

3 1ln

2 3

−

pode ser absorvido na constante de integração. OMathematica dá a resposta

225 3 1

2 4 arc senh6 6 3 2 3

x x xx x

+ + + + + −

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O Mathematica combinou os dois primeirostermos do Exemplo 4 (e o resultado do Maple) emum único termo por fatoração.

( ) ( )2 2 21 32 4 2 5 ln 2 4 1

6 2x x x x x x x+ + + + − + + + +

O primeiro termo é igual ao primeiro termoda resposta do Mathematica e o segundo termo éidêntico ao último termo no Exemplo 4.

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Exemplo 6: Use um CAS para determinar

( )82 5x x dx+∫

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Solução: O Maple e o Mathematica dão a mesmaresposta:

18 16 14 12 10 81 5 1.75050 4.375 21.875

18 2 3x x x x x x+ + + + + +…

6 4 2218.750 390.625156.250

3 2x x x+ + +…

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Está claro que ambos os sistemas devem terexpandido (x2 + 5)8 pelo Teorema Binomial e entãointegrado cada termo.

( ) ( )8 92 215 5

18x x dx x C+ = + +∫

Se em vez disso integrarmos manualmente,usando a substituição u = x2 + 5, obteremos

Para a maioria dos propósitos, essa é umaforma mais conveniente de resposta.

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Exemplo 7: Use um CAS para determinar

5 2sen cosx x dx∫

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Solução: No Exemplo 11 da Aula no 50, encontra-mos que

5 2 3 5 71 2 1sen cos cos cos cos

3 5 7x x dx x x x C= − + − +∫

O Derive e o Maple dão a resposta

4 3 2 3 31 4 8sen cos sen cos cos

7 35 105x x x x x− − −

ao passo que o Mathematica responde

5 1 3 1cos cos3 cos5 cos7

64 192 320 148x x x x− − + −

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Suspeitamos que existem identidadestrigonométricas que mostram que essas trêsrespostas são equivalentes.

De fato, se pedirmos para o Derive, o Maplee o Mathematica simplificarem suas expressõesusando as identidades trigonométricas, elesfinalmente produzirão a mesma forma da resposta,como no Exemplo 11 da Aula no 50.

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Exemplo 8: Se

4 5( ) 60sen cos ,f x x x x= +

determine uma antiderivada F de f tal que F (0) = 0.Desenhe F para 0 ≤ x ≤ 5. Onde F tem valoresextremos e pontos de inflexão?

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Solução: A antiderivada de f produzida por Maple é

2 3 6 6 4 21 20 20 4 16 32( ) sen cos sen cos cos sen cos sen sen

2 3 7 7 21 21F x x x x x x x x x x x= − − + + +

e notamos que F (0) = 0. Essa expressão provavel-mente pode ser simplificada, mas isso não énecessário, pois um sistema algébrico computa-cional pode plotar essa versão de F tão facilmentecomo qualquer outra versão. Um gráfico de F émostrado na figura a seguir.

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Para localizar os valores extremos de F,desenhamos o gráfico de sua derivada F ’ = f na figura aseguir e observamos que F tem um máximo local quandox ≈ 2,3 e um mínimo local quando x ≈ 2,5. O gráfico deF ” = f ’ na figura a seguir mostra que F tem pontos deinflexão quando x ≈ 0,7; 1,3; 1,8; 2,4; 3,3 e 3,9.

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Máximo local Mínimo local

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