Integral Definida

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Integral Definida

Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 2

Problemas clássicos do Cálculo

Cálculo de retas tangentes e áreas

Subdivisão

Cálculo Diferencial

Determinação de tangentes e taxas de

variação

Cálculo Integral

Determinação de áreas e volumes

Introdução

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Cálculo Integral – Grécia Antiga

Arquimedes / Eudoxo

Método da Exaustão

Esgotar a figura por outras de áreas ou

volumes conhecidos

Egípcios

Recalculavam áreas de suas terras por conta da

variação das águas do Rio Nilo

Um pouco de história


Considere a área da região limitada pelo gráfico de uma função y=f(x), não negativa, num intervalo [a,b], o eixo OX e as retas x = a e x = b.

Calculando Áreas

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Divisão do intervalo [a,b] em n

subintervalos

Subintervalo: [xi-1, xi]

O retângulo que se estende desde o eixo OX

até algum ponto da curva y=f(x) terá por:

Base: comprimento do subintervalo

xi = xi – xi-1

Altura: f(i), onde i [xi-1, xi]

Área aproximada

S = 𝑓(𝜀𝑖)𝑛𝑖=1 ∙ ∆𝑥𝑖

Aproximação por retângulos


Generalizar conceito

para f(x) < 0

Esses somatórios são

chamados Somas de

Riemann e existem

muitas para cada

curva variando

comprimento dos

subintervalos e o

ponto da curva f(x)

Soma de Riemann

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A norma de uma partição 𝑃, denotada por

𝑃 , é o maior de todos os comprimentos

dos subintervalos de [a,b]. Se 𝑃 é um

número pequeno, então os subintervalos de

𝑃 são ditos estreitos.

Uma partição de subintervalos estreitos

fornece uma melhor aproximação para a

área calculada pela soma de Riemann.

Norma de uma Partição


Aumentando o número n de subintervalos

Refinando a Área

0.5 1.0

0.5

1.0

y = x^2

n = 10 n = 20

0.5 1.0

0.5

1.0

y = x^2

20 sub-intervalos

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Refinando a Área

n = 40 n = 80

0.5 1.0

0.5

1.0

y = x^2

40 sub-intervalos

1.0

1.0

x

y

y = x^2


“O conceito de Integral Definida baseia-se na ideia de que, para certas funções,

quando a norma das partições de [a,b] tende a zero, os valores das somas de Riemann correspondentes tendem a um valor limite I.” (Thomas)

𝑃 → 0 ou, analogamente, 𝑛 → ∞ S → I

É possível mostrar que, quando a convergência é satisfeita (limite existe), I é o mesmo, independente da partição e da altura f(i).

A Integral Definida

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Definição

Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja 𝑃 uma

partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a

até b, denotada por 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 é dada por:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎= lim

𝑃 →0 𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

Desde que esse limite exista

Se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 existe, dizemos que f é integrável em

[a,b].

a e b são os limites de integração (inferior e

superior, respectivamente)

A Integral Definida


Quando cada partição tem n subintervalos iguais onde ∆𝑥 =

𝑏−𝑎

𝑛, é correto afirmar

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎= lim

𝑛→∞ 𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑛

𝑖=1

Desde que esse limite exista

A função f é chamada integrando

Teorema

Uma função contínua em [a,b] é integrável em

[a,b].

Ideia da prova: Soma Inferior < I < Soma Superior

(teorema do confronto - sanduíche)

A Integral Definida

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Funções contínuas

Algumas funções não contínuas

Basta que seja possível aproximar a área por

retângulos estreitos

Alguns pontos de descontinuidade

Exemplo de função não integrável

Função característica dos números racionais

𝑓 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

0, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

Funções Integráveis


Calcular, baseado em Somas de Riemann, os valores (aproximados) das integrais abaixo.

2𝑥𝑑𝑥4

0

𝑥2𝑑𝑥1

0

Exemplos

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Se a = b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0𝑏

𝑎

Se a > b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

𝑏

Se f é uma função contínua e não negativa em [a,b], então

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎 Área sob o gráfico de f até o eixo OX

de a até b.

Consequências Imediatas


Supondo que f e g sejam funções integráveis

𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

(𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

f(x) g(x) x [a,b] 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Propriedades

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Se f é integrável em [a,b], [a,c] e [c,b],

então

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑐

𝑐

𝑎

𝑏

𝑎

Repartir a área

Se M e m são respectivamente os valores

máximo e mínimo de f em [a,b] (mf(x)M),

então

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)𝑏

𝑎

Preparação para Valor Médio

Propriedades


Retomando: se M e m são respectivamente

os valores máximo e mínimo de f em [a,b]

(mf(x)M), então 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)𝑏

𝑎

Entre m e M, então deve haver um ‘meio

termo’ que, multiplicado por (b – a) seja

igual à integral

Área sob a curva comparada à área de um

retângulo

(b – a) é a base

M e m são alturas

Comparação de Áreas

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Seja f contínua em [a,b], então existe

c[a,b], tal que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐) ∙ (𝑏 − 𝑎)𝑏

𝑎

Teorema do Valor Médio

O Teorema diz que a área sob a curva é igual à área de um retângulo de base em [a,b] e altura em algum ponto de f(x) em [a,b]

Observações:

f(c) é chamado de valor médio de f em [a,b]

c pode não ser único


Calcule o valor médio das funções abaixo nos intervalos determinados

f(x) = 2x, em [0,4]

f(x) = 1 – x, em [0,1]

Exemplos

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Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton –

vol. 1

Cálculo A – Diva Fleming

Cálculo com Geo. Analítica – Swokowski –

vol. 1

Cálculo – George B. Thomas – vol. 1

História da Matemática – C. Boyer

Wikipedia (imagens)

Referências

Integral Definida

Education

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