Integral Definida

Interpretação Geométrica

Área de um figura plana

Interpretação Geométrica

Área de um figura plana

Seja f(x) contínua e não negativa em um intervalo [a,b]. Vamos calcular a área da região S.

Interpretação Geométrica

Dividimos o intervalo [a,b] em n sub-intervalos tal que a=x0<x1<x2<...<xn=b. Seja ∆xj=xj-xj-1 o comprimento do intervalo [xj-1,xj]. Seja cj∈[xj-1,xj].

Interpretação Geométrica

n=4 n=8

Interpretação Geométrica

A área de cada retângulo é: Aj=f(cj)∆xj.

A soma das áreas dos n retângulos é:

1

1

( )

n

n j

j

n

n j j

j

S A

S f c x

=

=

=

= ∆

∑

∑

Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).

Interpretação Geométrica

A medida que n cresce muito e cada ∆xj, j=1,2,3,...,n

torna-se pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área de S.

Definição

Definição: Seja y=f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. A área sob a curva y=f(x), de a até b, é definida por:

max 01

lim ( )j

n

j jx

j

A f c x∆ →

=

= ∆∑

onde cj∈[xj-1,xj].

OBS: É possível mostrar que este limite existe e é um número não negativo.

Definição

max 01

( ) lim ( )j

nb

j ja x

j

f x dx f c x∆ →

=

= ∆∑∫

Definição: Seja f(x) uma função definida em um intervalo [a,b]. Suponha que este intervalo esteja dividido em n partes de largura ∆xj e seja xj-1≤cj≤xj para j=1,2,...,n. A integral definida de f em [a,b] é dada por:

se este limite existir.

Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b].

( )b

af x dx∫

Teorema

Teorema: Se f(x) é contínua em [a,b] então ela é integrável em [a,b]

Observações

( )b

af x dx∫

1- Na notação os número a e b são chamados limites de integração (a é o limite inferior e b é o limite superior)

2- Se f(x) é contínua e não negativa em [a,b], a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de a até b.

( )b

af x dx∫

Teorema Fundamental do Cálculo

O cálculo de uma integral definida através da sua definição pode ser complexo e inviável em algumas situações. Portanto não a utilizamos para calcular integrais, e sim um teorema que é considerado um dos mais importantes do cálculo:

Teorema: Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b] e F’(x)=f(x) então:

( ) ( ) | ( ) ( )b

x b

x aa

f x dx F x F b F a=

== = −∫

Exemplos

32

1

22 3

0

1

20

1

0

1)

2) 2 1

3)1

4) x

x dx

x x dx

xdx

x

e xdx

+

+

∫

∫

∫

∫

Propriedades da Integral Definida

Seja f(x) e g(x) funções integráveis em [a,b] então:

[ ]

[ ]

[ ]

) ( ) ( ) , constante

) ( ) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( ) ,

) ( ) 0 para todo , ( ) 0

) ( ) ( ) para todo , ( ) ( )

) ( )

b b

a a

b b b

a a a

c b b

a c a

b

a

b b

a a

a kf x dx k f x dx k

b f x g x dx f x dx g x dx

c f x dx f x dx f x dx a c b

d f x x a b f x dx

e f x g x x a b f x dx g x dx

f f x

=

± = ±

+ = < <

≥ ∈ ⇒ ≥

≥ ∈ ⇒ ≥

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫( ) ,

)Se ( ) existe entao ( ) 0

b a

a b

a

a

dx f x dx a b

g f a f x dx

= − >

=

∫ ∫

∫

Cálculo de áreas

Caso 1: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x=a e x=b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x)≥0, para x∈[a,b].

( )b

aA f x dx= ∫

Cálculo de áreas

Caso 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x=a e x=b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x)≤0, para x∈[a,b].

( ) ( )b b

a aA f x dx f x dx= = −∫ ∫

Exemplos

1) Calcule a área da região delimitada pelo eixo x e pela função f(x)=2x+1, no intervalo [1,3].

2) Calcule a área da região delimitada pelo eixo x e pela função f(x)=x²-4x, no intervalo [1,3].

3) Calcule a área da região delimitada por

f(x)=x³-2x²-5x+6 para x∈[-2,3]. E calcule 3

2( )f x dx

−∫

Cálculo de áreas

Caso 3: Área de regiões entre curvas

Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas em [a,b] e f(x)≥g(x), para x∈[a,b].

[ ]

[ ]

) ( ) 0, ( ) 0 e ( ) ( ), ,

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

a f x g x f x g x x a b

A f x dx g x dx f x g x dx

≥ ≥ ≥ ∀ ∈

= − = −∫ ∫ ∫

Cálculo de áreas

[ ]

[ ]

) ( ) 0, ( ) 0 e ( ) ( ), ,

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

b f x g x f x g x x a b

A f x dx g x dx f x g x dx

≥ ≤ ≥ ∀ ∈

= + − = − ∫ ∫ ∫

Cálculo de áreas

[ ]

[ ]

) ( ) 0, ( ) 0 e ( ) ( ), ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b b

a a a a a

c f x g x f x g x x a b

A g x dx f x dx f x dx g x dx f x g x dx

≤ ≤ ≥ ∀ ∈

= − − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Exemplos

Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas:

1) f(x)=-x²+4x e g(x)=x²

2) y²=2x-2 e y=x-5

3) f(x)=x³ e g(x)=x

4) f(x)=senx e g(x)=cosx, 9

4 4x

π π≤ ≤

Teorema do Valor Médio para Integrais

( ) ( )( )b

af x dx f z b a= −∫

1( ) ( )

b

af z f x dx

b a=

− ∫

Teorema: Se f é uma função contínua em [a,b], então existe z∈(a,b) tal que

ou seja, existe z∈(a,b) tal que

1( )

b

aVM f x dx

b a=

− ∫

OBS: O valor médio de f em [a,b] é dado por:

Teorema do Valor Médio para Integrais

Interpretação Geométrica

Se f(x)≥0, para x∈[a,b], então a área sob o gráfico de f é igual a área do retângulo de lados b-a e f(z)

Exemplos

1) Um pesquisador estima que t horas depois da meia noite, em um período típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por: T(t)=3-2/3(t-13)², 0≤t≤24 graus Celsius. Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde?

2) Encontre o valor médio de no intervalo [-1,8] e determine o valor de x que corresponde o valor médio de f.

( ) 3 1f x x= +