INTEGRAL INDEFINIDA

Nice Maria Americano da Costa

(́ ) ( )F x f x

A questão posta pela operação derivada, era: dada uma função f(x), encontrar outra função, digamos F(x), que é igual à f´(x), ou seja, igual à derivada de f(x).

Com a nova operação que estudaremos, agora, a questão é, de certa forma, posta de forma inversa. Isto é, dada a função f(x), queremos determinar outra função F(x), cuja derivada é igual à função dada:

( ) (́ )F x f x

Definimos como primitiva esta função F(x) obtida com tal procedimento.

Consideremos f(x)=senx. Desejamos encontrar um outra função F(x), tal que, F´(x)=senx. Esta função procurada é F(x)=-cosx, pois F´(x)=senx.

Definição 1. Diz-se que F(x) é uma primitiva da função f(x), no intervalo [a,b], se em todos os pontos deste intervalo, tem-se F´(x)=f(x).

Note que, para f(x)=senx, a função G(x)=-cosx +5 também tem sua derivada igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função qualquer admite mais de uma primitiva.

A NOÇÃO DE PRIMITIVA

Outros exemplos:

3( )f x x uma primitiva é:4

( )4

Fx

x

( ) cosf x x ( )F x senx

1( )f x

x

uma primitiva é:

( ) lnF x xuma primitiva é:

Mas as funções:4

( ) 54

xF x

3( )

4F x senx ( ) lnF x x a

São, correspondentemente, primitivas das funções dadas.

Teorema. Se duas funções, F1(x) e F2(x), são primitivas da função f(x), no intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é uma constante.

Demonstração. Pela definição de primitiva, temos que as derivadas das F1(x) e F2(x) são iguais a f(x):

1

2

(́ ) ( )

(́ ) ( )

F x f x

F x f x

1 2( ) ( ) ( )G x F x F x

Definindo a diferença de F1(x) e F2(x) como uma nova função G(x), teremos

Calculando agora a derivada de G(x), temos:

1 2

1 2

(́ ) (́ ) (́ )

(́ ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) Constante

G x F x F x

G x f x f x

G x F x F x

Basta então conhecer uma primitiva, pois as demais diferem apenas de uma constante. Podemos então escrever para a primitiva de uma função f(x) :

( )F x C

Definição 2. Denomina-se Integral indefinida de uma função f(x) a operação de determinação da expressão da primitiva dessa função, F(x)+C; esta operação é simbolicamente representa por

( )f x dxPortanto, da definição, teremos

( ) ( )

( ) ( )

f x dx F x C

com

F x f x

Em virtude da definição da operação, temos que a derivada de uma integral indefinida é igual à função dada, ou integrando:

( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x

Propriedades:

A diferencial de uma integral indefinida é igual à expressão no integrando

( ) ( ) ( ) ( )d f x dx F x C dx F x dx f x dx Lembrando que a diferencial de uma função é a sua derivada vezes a diferencial da variável independente e usando o resultado anterior

A integral indefinida da diferencial de uma dada função é igual à própria função mais uma constante

( ) ( )dF x F x C

exemplos:

4

3

2

2

cos

cos

x

x dx

x dx

senx dx

x dx

dx

xdx

x

e dx

dx

x

5 4

4 3

3 2

2

2

Funçao Derivada

5

4

3

1 1

cos

cos

1

cos

1ln

x x

x x

x x

x x

x xsenx x

x senx

tgxx

e e

xx

5

4

5

4cos

ln

1

x

x

x

x

senx

x

x

e

tgx

Outras propriedades:

Teorema. A integral indefinida da soma algébrica de duas funções é a soma algébrica das integrais indefinidas dessas funções:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x

Mas pela propriedade demonstrada antes

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )

f x f x dx

g x g x dx

Então

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro direito da tese do teorema

( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx

Teorema. Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração

( ) ( )cf x dx c f x dx

Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos:

( ) ( )cf x dx cf x

Mas pela propriedade demonstrada antes

( ) ( )cf x c f x dx

Então ( ) ( )cf x dx c f x dx

O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro direito da tese do teorema

( ) ( )c f x dx c f x dx

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

POR MUDANÇA DE VARIÁVEL

Nem sempre temos pela frente o cálculo de uma integral de uma função elementar, mas de uma composição delas. Por exemplo

2 cossen x x dxEntretanto, fazendo algumas transformações, por mudança de variável, podemos chegar a expressões com funções elementares. No exemplo, se olharmos com cuidado, vemos que :

cos ( )xdx d senx

Podemos então fazer a transformação

cos

u senx

entao

du dx

A integral torna-se: 32 3

3

uu du sen x C

O princípio desta técnica se apóia nas propriedade da derivada que vimos anteriormente. Dada a integral da função f(x), podemos imaginar x como uma função de outra variável t.

( )

( )

x t

dx t dt

Então

( )f x dx f t t dt

Para mostrar, derivemos o membro esquerdo em relação a x

( ) ( )f x dx f x

Derivemos o direito em relação a x, lembrando que temos uma função de t:

x t

dtf t t dt f t t dt

dx

Mas [( )] ( )

1

( )

tf t t dt f t t

e

dt

dx t

1[ ( )] ( ) ( )

( )x t

dtf t t dt f t t dt f t t f x

dx t

Então

Que é o resultado encontrado antes.

2

2

22

1

1

2

1 1ln ln(1 )

1 2 2 2

xdx

x

t x

dt xdx

x dtdx t x C

x t

Exemplo

cos

ln ln(cos )cos

senxdxx

t cox

dt senxdx

senx dtdx t x Cx t

Exemplo

Exemplo

5

5 5

5

5

1 1

5 5 5

x

x t t x

e dx

t x

dt dx

dte dx e e e C