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Livro: Introdução à Álgebra LinearAutores: Abramo Hefez

Cecília de Souza Fernandez

Capítulo 7: Espaços com ProdutoInterno

Sumário

1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2 Ângulos entre Vetores e Ortogonalidade . . . . . . 181

3 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3.1 Conjuntos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3.2 Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . 192

4 Operadores em Espaços com Produto Interno . . 198

4.1 O Operador Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.2 Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 202

178 CAPÍTULO 7. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

Neste capítulo, apresentaremos a noção de produto interno em espaços

vetoriais. Esta noção, como veremos, generaliza a noção de produto escalar

em R2 e em R3 e enriquece a estrutura de um espaço vetorial, permitindo

de�nir vários conceitos de caráter geométrico previamente estudados em R2

e R3.

1 Produto Interno

Seja V um espaço vetorial. Um produto interno em V é uma função que a

cada par de vetores u e v em V associa um número real, denotado por 〈u, v〉,que satisfaz as seguintes condições:

Para quaisquer vetores u, v e w de V e qualquer número real k,

PI 1 〈v, v〉 ≥ 0;

PI 2 〈v, v〉 = 0 se, e somente se, v = 0;

PI 3 〈u, v〉 = 〈v, u〉;PI 4 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉;PI 5 〈ku, v〉 = k〈u, v〉.

Um espaço vetorial com um produto interno é chamado, abreviadamente,

de espaço com produto interno.

Exemplo 1. Sejam u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn) vetores em Rn.

De�nimos

〈u, v〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn . (1)

Note que

〈u, u〉 = x21 + · · ·+ x2n ≥ 0,

e que

〈u, v〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn = y1x1 + y2x2 + · · ·+ ynxn = 〈v, u〉,

mostrando que as condições 1 e 3 da de�nição de produto interno são satis-

feitas. A condição 2 também é satisfeita já que

〈u, u〉 = x21 + · · ·+ x2n = 0 ⇐⇒ x1 = · · · = xn = 0 ⇐⇒ u = 0.

1. PRODUTO INTERNO 179

Se w = (z1, z2, . . . , zn), então

〈u+ v, w〉 = (x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 + · · ·+ (xn + yn)zn

= (x1z1 + x2z2 + · · ·+ xnzn) + (y1z1 + y2z2 + · · ·+ ynzn)

= 〈u,w〉+ 〈v, w〉,

mostrando que a condição 4 é satisfeita. A condição 5 também é satisfeita,

pois se k ∈ R, então

〈ku, v〉 = (kx1)y1+(kx2)y2+· · ·+(kxn)yn = k(x1y1+x2y2+· · ·+xnyn) = k〈u, v〉.

Assim, (1) de�ne um produto interno em Rn, chamado de produto interno

usual de Rn ou produto escalar de Rn, generalizando a noção de produto

escalar de R2 e de R3.

Exemplo 2. Sejam p(x) = a0 + a1x+ a2x2 e q(x) = b0 + b1x+ b2x

2 vetores

em R[x]2. De�na

〈p(x), q(x)〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2 . (2)

Temos que (2) de�ne um produto interno em R[x]2. De fato, por meio do

isomor�smo de espaços vetoriais,

T : R[x]2 → R3

a0 + a1x+ a2x2 7→ (a0, a1, a2)

o produto 〈p(x), q(x)〉 não é outro que o produto interno usual de R3.

O próximo resultado apresenta algumas propriedades básicas dos produ-

tos internos.

Proposição 7.1.1. Seja V um espaço com produto interno. Se u, v, w ∈ Ve se k ∈ R, então

(i) 〈0, u〉 = 〈u, 0〉 = 0;

(ii) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉;

(iii) 〈u, kv〉 = k〈u, v〉;


(iv) 〈u, v − w〉 = 〈u, v〉 − 〈u,w〉.

Demonstração Provaremos apenas (ii) e deixaremos os demais itens como

exercício (ver Problema 1.3).

De fato, pela condições PI 3 e PI 4 da de�nição de produto interno temos

que

〈u, v + w〉 = 〈v + w, u〉 = 〈v, u〉+ 〈w, u〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉.

�

Seja V um espaço com produto interno. De�nimos a norma do vetor v

de V , ou comprimento de v, denotado por ||v||, como o número real

||v|| = 〈v, v〉1/2.

Se ||v|| = 1, dizemos que v é um vetor unitário.

A distância d(u, v) entre dois vetores u e v de V é de�nida como

d(u, v) = ||u− v|| =√〈u− v, u− v〉.

Por exemplo, se u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn) são vetores de

Rn com o produto interno usual, então

||u|| = 〈u, u〉1/2 =√x21 + x22 + · · ·+ x2n

e

d(u, v) = ||u− v|| = 〈u− v, u− v〉1/2

=√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2.

Observe que, no caso de R2 e R3, ||u|| e d(u, v) são precisamente a norma

e a distância usuais de R2 e de R3.

Problemas

1.1* Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores em R2.

2. ÂNGULOS ENTRE VETORES E ORTOGONALIDADE 181

(a) Mostre que

〈u, v〉 =1

9x1y1 +

1

4x2y2

de�ne um produto interno em R2.

(b) Esboce o círculo unitário no sistema de coordenadas xy em R2, usando

a distância obtida a partir do produto interno em (a).

(c) Esboce o círculo unitário no sistema de coordenadas xy em R2, usando a

distância obtida a partir do produto interno usual.

(d) Você nota alguma diferença entre os círculos obtidos em (a) e em (b)?

1.2 Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores em R2. Mostre que as expressões

a seguir de�nem produtos internos em R2.

(a) 〈u, v〉 = 3x1y1 + 5x2y2 .

(b) 〈u, v〉 = 4x1y1 + x2y1x1y2 + 4x2y2 .

1.3 Conclua a demonstração da Proposição 7.1.1.

1.4 Suponha que u, v e w sejam vetores tais que

〈u, v〉 = 2, 〈u,w〉 = −3, 〈v, w〉 = 5, ||u|| = 1, ||v|| = 2 e ||w|| = 1.

Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:

(a) 〈u+ v, v + w〉; (b) 〈2v + w, 2u− v〉; (c) ||u+ v + w||.

2 Ângulos entre Vetores e Ortogonalidade

Recordemos que no Capítulo 4 vimos que o ângulo θ, com 0 ≤ θ ≤ π,

entre dois vetores não nulos u e v em R3, dotado do produto escalar, satisfaz

a igualdade

cos θ =u · v||u|| ||v||

· (1)

Nosso primeiro objetivo nesta seção será o de de�nir o conceito de ângulo

entre dois vetores não nulos de um espaço com produto interno, utilizando


(1), onde o produto escalar é substituído pelo produto interno. Para que

uma tal de�nição faça sentido, devemos assegurar que

|〈u, v〉|||u|| ||v||

≤ 1

para quaisquer dois vetores não nulos u e v de V . Veremos, no próximo

resultado, que isto sempre ocorre.

Teorema 7.2.1. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Se u e v são ve-

tores de um espaço com produto interno V , então

|〈u, v〉| ≤ ||u|| ||v||, (2)

com igualdade valendo se, e somente se, u e v são linearmente dependentes.

Demonstração A desigualdade é clara se u é o vetor nulo de V . Supo-

nhamos, então, u diferente do vetor nulo. Para qualquer t ∈ R, temos que

〈tu+ v, tu+ v〉 ≥ 0, ou seja, para qualquer t ∈ R,

〈u, u〉t2 + 2〈u, v〉t+ 〈v, v〉 ≥ 0. (3)

De�namos p(t) = 〈u, u〉t2 + 2〈u, v〉t+ 〈v, v〉, t ∈ R. Por (3), p é uma função

polinomial não negativa. Além disso, como o coe�ciente do termo quadrático

é não negativo, segue que o discriminante ∆ de p(t) é um número real não

positivo. Portanto,

∆ = 4〈u, v〉2 − 4〈u, u〉〈v, v〉= 4〈u, v〉2 − 4||u||2 ||v||2 ≤ 0,

o que equivale a

〈u, v〉2 ≤ ||u||2 ||v||2.

Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da desigualdade acima, obte-

mos (2). Deixaremos a parte que trata da igualdade em (2) como exercício

(cf. Problema 2.3) �


Cabe observar que o Teorema 7.2.1 foi provado, em 1821, por Augustin

Cauchy (França, 1789 - 1857) para V = Rn, com o produto interno usual. O

resultado geral, para um espaço com produto interno arbitrário, foi provado

em 1885, por Hermann Schwarz (Alemanha, 1843 - 1921).

Vamos agora de�nir a noção de ângulo em espaços com produto interno

arbitrários. Suponhamos que u e v são vetores não nulos de um espaço

com produto interno V . Dividindo ambos os lados da desigualdade (2) por

||u|| ||v||, obtemos|〈u, v〉|||u|| ||v||

≤ 1

ou, equivalentemente,

−1 ≤ 〈u, v〉||u|| ||v||

≤ 1. (4)

Como cos θ assume, uma única vez, cada valor no intervalo [−1, 1] quando θ

varia no intervalo [0, π], segue de (4) que existe um único θ ∈ [0, π] tal que

cos θ =〈u, v〉||u|| ||v||

· (5)

De�nimos o ângulo entre u e v como o número real θ acima mencionado.

Parece estranho de�nir a norma de um vetor e o ângulo entre dois vetores

em um espaço vetorial abstrato com produto interno, já que em geral não

temos uma representação geométrica associada a estes espaços. Contudo,

muitas de�nições e teoremas básicos da Geometria continuam valendo neste

grau de generalidade.

Por exemplo, sabemos da Geometria de R2 que o comprimento de um

lado de um triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois

(Figura 16(a)). Veremos a seguir que este resultado vale em todos os espaços

com produto interno (veja Proposição 7.2.2(iv)). Um outro resultado da

Geometria a�rma que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelo-

gramo coincide com a soma dos quadrados dos quatro lados (Figura 16(b)).

Este resultado também vale em qualquer espaço com produto interno (veja

Problema 2.2). Figura 16(a) Figura 16(b)


Assim, o produto interno é uma noção que enriquece a estrutura de um

espaço vetorial, permitindo generalizar várias noções de caráter geométrico

em R2 e em R3 para espaços vetoriais mais gerais.

Proposição 7.2.2. (Propriedades da norma) Se u e v são vetores em

um espaço V com produto interno e se k ∈ R, então:

(i) ||u|| ≥ 0;

(ii) ||u|| = 0 se, e somente se, u = 0;

(iii) ||ku|| = |k| ||u||;(iv) ||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v|| (desigualdade triangular).

Demonstração Provaremos o item (iv) e deixaremos os demais itens como

exercícios (veja Problema 2.4). Temos

||u+ v||2 = 〈u+ v, u+ v〉 = 〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ 〈v, v〉= ||u||2 + 2〈u, v〉+ ||v||2 ≤ ||u||2 + 2|〈u, v〉|+ ||v||2, (6)

pois x ≤ |x| para todo x ∈ R. Por (2),

||u||2 + 2|〈u, v〉|+ ||v||2 ≤ ||u||2 + 2||u|| ||v||+ ||v||2

= (||u||+ ||v||)2. (7)

De (6) e (7), segue que

||u+ v||2 ≤ (||u||+ ||v||)2.

Extraindo as raízes quadradas em ambos os lados da desigualdade acima

obtemos a desigualdade desejada. �


No próximo resultado apresentamos algumas propriedades da noção de

distância entre dois vetores de um espaço com produto interno. A veri�cação

dessas propriedades é simples e usa a Proposição 7.2.2. Portanto, deixaremos

a sua demonstração como exercício para o leitor (veja Problema 2.5).

Proposição 7.2.3. (Propriedades da distância) Se u, v e w são vetores

em um espaço com produto interno V , então:

(i) d(u, v) ≥ 0;

(ii) d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v;

(iii) d(u, v) = d(v, u);

(iv) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v) (desigualdade triangular).

O próximo objetivo desta seção é de�nir a noção de ortogonalidade em

um espaço com produto interno. Comecemos com a noção de ortogonalidade

entre dois vetores.

Sejam u e v dois vetores não nulos de um espaço com produto interno

V e seja θ o ângulo entre eles. Segue de (5) que cos θ = 0 se, e somente se,

〈u, v〉 = 0. Equivalentemente, temos θ = π/2 se, e somente se 〈u, v〉 = 0.

Convencionamos que se u ou v é o vetor nulo, o ângulo entre eles é π/2.

Assim, dizemos que dois vetores quaisquer u e v em V são ortogonais quando

〈u, v〉 = 0.

A seguir, introduziremos a noção de ortogonalidade entre um vetor e um

subespaço.

Sejam v um vetor de V e W um subespaço de V . Dizemos que v é

ortogonal a W se v é ortogonal a cada vetor de W . O conjunto de todos os

vetores de V que são ortogonais a W é chamado complemento ortogonal de

W e é denotado por W⊥.

Exemplo 1. Seja R3 com o produto interno usual e seja W o plano de

equação cartesiana x + y + z = 0. O vetor v = (1, 1, 1) é ortogonal a W ,

pois v é um vetor normal a este plano. Para determinarmos W⊥, devemos


encontrar um vetor (a, b, c) em R3 que seja ortogonal a todo vetor de W .

Como um vetor de W é da forma (−y − z, y, z), para y, z ∈ R, devemos

encontrar (a, b, c) tal que

(−y − z, y, z) · (a, b, c) = 0

Fazendo, na igualdade acima, y = 0 e z = 1, obtemos a = c; e, fazendo y = 1

e z = 0, obtemos a = b. Portanto,

W⊥ = {(a, a, a); a ∈ R},

ou seja, W⊥ é a reta que passa pela origem que tem v como um vetor diretor.

Terminamos esta seção apresentando algumas propriedades do comple-

mento ortogonal.

Proposição 7.2.4. Seja W um subespaço de um espaço com produto interno

V . Então:

(i) W⊥ é um subespaço de V ;

(ii) W ∩W⊥ = {0};(iii) (W⊥)⊥ = W .

Demonstração Provaremos apenas (i), deixando as demonstrações das

demais propriedades para o leitor (veja Problema 2.10).

Primeiramente, é claro que 0 ∈ W⊥. Tomemos u e v em W⊥ e a em R.Se w ∈ W , então

〈u+ av, w〉 = 〈u,w〉+ a〈v, w〉 = 0 + a0 = 0,

mostrando que u + av é ortogonal a w. Como w ∈ W foi tomado de modo

arbitrário, temos que u + av é ortogonal a cada vetor de W , ou seja u + av

está em W⊥. Pelo Corolário 3.1.2, segue que W⊥ é um subespaço de V . �

No Capítulo 1 tivemos a oportunidade de mostrar que dois sistemas line-

ares homogêneos com matrizes associadas equivalentes possuem conjuntos de


soluções iguais. Vamos, no exemplo a seguir, mostrar que vale uma recíproca

dessa propriedade.

Exemplo 2. Seja dado um sistema linear homogêneo AX = 0, com m equa-

ções e n incógnitas cujo espaço solução é denotado por Sh(A). Chamemos de

TA a transformação linear de Rn para Rm determinada por A e pelas bases

canônicas dos dois espaços vetoriais (cf. Exemplo 4, Seção 1 do Capítulo 6).

Como as soluções do sistema são os vetores de Rn que são ortogonais aos

vetores linhas de A, temos, pelo Problema 2.11, que Sh(A) = (L(A))⊥.

Problemas

2.1 Suponha que R3 e R4 têm o produto interno usual. Em cada item abaixo,

encontre o cosseno do ângulo entre u e v:

(a) u = (−1, 5, 2) e v = (2, 4,−9);

(b) u = (1, 0, 1, 0) e v = (1, 1, 1, 1);

(c) u = (2, 1, 0,−1) e v = (4, 0, 0, 0).

2.2* Mostre que a seguinte identidade vale para quaisquer vetores u e v de

um espaço com produto interno:

||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2||u||2 + 2||v||2.

2.3 Mostre que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz se, e

somente se, u e v são linearmente dependentes.


2.5 Prove a Proposição 7.2.3.

2.6 Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar, para quaisquer

valores reais de a, b e θ, que

(a cos θ + b sen θ)2 ≤ a2 + b2.

2.7 Seja {v1, v2, . . . , vn} uma base de um espaço com produto interno V .

Mostre que o vetor nulo de V é o único vetor de V que é ortogonal a todos

os vetores da base.


2.8 Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v são vetores

ortogonais de V tais que ||u|| = ||v|| = 1, então ||u− v|| =√

2.

2.9* (Uma generalização do Teorema de Pitágoras) Seja {v1, v2, . . . , vn} umconjunto ortogonal de vetores de um espaço com produto interno. Então

||v1 + v2 + · · ·+ vn||2 = ||v1||2 + ||v2||2 + · · ·+ ||vn||2.


2.11 Seja β um conjunto de geradores de W , onde W é um subespaço de um

espaço com produto interno V . Mostre que W⊥ consiste de todos os vetores

de V que são ortogonais a cada vetor do conjunto β.

2.12* Seja W o subespaço de R5 gerado pelos vetores u = (1, 2, 3,−1, 2) e

v = (2, 1, 3, 2,−1). Determine uma base de W⊥.

2.13 Suponha que R4 tem o produto interno usual e seja v = (1,−1, 0,−2).

Determine se v é ortogonal ao subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 =

(−1, 1, 3, 0) e v2 = (4, 0, 2, 2).

2.14 Seja W o plano de equação cartesiana x− 2y− 3z− 1 = 0. Obtenha as

equações paramétricas para W⊥.

3 Bases Ortonormais

Veremos nesta seção que um espaço vetorial, com produto interno, possui

bases que se destacam das demais, chamadas de bases ortonormais. Traba-

lhar com este tipo de base torna V geometricamente muito parecido com o

espaço Rn, onde n = dimV .

Ao longo desta seção, V será sempre um espaço com produto interno 〈 , 〉,de dimensão �nita n > 0.

3.1 Conjuntos Ortogonais

Um conjunto de vetores em V é chamado conjunto ortogonal se quaisquer

dois vetores distintos do conjunto são ortogonais.

3. BASES ORTONORMAIS 189

Por exemplo, o conjunto {(1, 2, 1), (2, 1,−4), (3,−2, 1)} é um conjunto

ortogonal em R3 com seu produto interno usual.

Um conjunto ortogonal no qual cada vetor tem norma 1 é chamado con-

junto ortonormal . Se v é um vetor não nulo em um espaço com produto

interno, segue da Proposição 7.2.2(iii) que o vetor ||v||−1 v tem norma 1.

O processo de multiplicar um vetor não nulo pelo inverso de sua norma para

obter um vetor de norma 1 é chamado de normalização. Assim, um con-

junto ortogonal de vetores não nulos pode ser sempre transformado em um

conjunto ortonormal, normalizando-se cada um de seus vetores.

O próximo resultado relaciona a noção de ortogonalidade com a noção de

independência linear.

Proposição 7.3.1. Todo conjunto ortogonal de vetores não nulos de V é

linearmente independente.

Demonstração Seja {v1, . . . , vr} um conjunto de vetores ortogonais de V

com produto interno. Consideremos a equação

a1v1 + a2v2 + · · ·+ arvr = 0.

Vamos mostrar que ai = 0, para todo 1 ≤ i ≤ r. Fixe 1 ≤ i ≤ r. Então,

〈a1v1 + · · ·+ arvr, vi〉 = a1〈v1, vi〉+ · · ·+ ai〈vi, vi〉+ ai+1〈vi+1, vi〉+ · · ·+ ar〈vr, vi〉

= ai〈vi, vi〉, (1)

já que 〈vj, vi〉 = 0 sempre que j 6= i. Por outro lado

〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ arvr, vi〉 = 〈0, vi〉 = 0. (2)

De (1) e (2), segue que ai〈vi, vi〉 = 0 e como vi é um vetor não nulo, temos

necessariamente que ai = 0. Como i foi tomado de modo arbitrário em seu

intervalo de variação, o resultado segue. �

A recíproca do resultado acima é obviamente falsa, pois, por exemplo,

o conjunto {(1, 1), (1, 0)} de vetores em R2 com o produto interno usual é

linearmente independente, mas não é um conjunto ortogonal.


Se α={v1, . . . , vn} é um conjunto ortogonal de vetores não nulos de V ,

segue da proposição anterior que α é uma base de V . Uma base consistindo

de vetores ortogonais é chamada base ortogonal e uma base consistindo de

vetores ortonormais é chamada base ortonormal.

Por exemplo, a base canônica de Rn com o produto interno usual é uma

base ortonormal.

Vimos que se V é um espaço vetorial e α é uma base de V então, em

geral, é necessário resolver um sistema linear a �m de escrever um vetor

de V em termos da base α. O próximo resultado mostra que quando V é

um espaço com produto interno e α é uma base ortonormal de V , então é

bastante simples encontrar as coordenadas de um vetor de V em relação a

base α.

Teorema 7.3.2. Se α={v1, v2, . . ., vn} é uma base ortonormal de V , então,

para todo v ∈ V , podemos escrever

v = 〈v, v1〉v1 + 〈v, v2〉v2 + · · ·+ 〈v, vn〉vn .

Demonstração Seja v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn a escrita de v na base α.

Fixe i, com 1 ≤ i ≤ n. Temos

〈v, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉= a1〈v1, vi〉+ · · ·+ ai〈vi, vi〉+ · · ·+ an〈vn, vi〉 = ai,

já que 〈vj, vi〉 = 0 se j 6= i e 〈vi, vi〉 = ||vi||2 = 1. Como i foi tomado de

modo arbitrário, a demonstração está completa. �

Se β = {v1, v2, . . . , vn} é uma base ortogonal de V , normalizando cada

um dos vetores de β, obtemos a base ortonormal α de V , onde

α =

{v1||v1||

,v2||v2||

, . . . ,vn||vn||

}.

Pelo Teorema 7.3.2, para cada vetor v em V , temos que

v = 〈v, v1||v1||

〉 v1||v1||

+ · · ·+ 〈v, vn||vn||

〉 vn||vn||

=〈v, v1〉||v1||2

v1 + · · ·+ 〈v, vn〉||vn||2

vn.


O número real

ai =〈v, vi〉||vi||2

é chamado de coe�ciente de Fourier1 de v em relação ao vetor vi . Este

escalar admite uma interpretação geométrica relacionada com a noção de

projeção. Para apresentarmos esta interpretação geométrica, vamos precisar

do seguinte resultado.

Proposição 7.3.3. Seja w um vetor não nulo de V . Se v ∈ V , então

k =〈v, w〉〈w,w〉

=〈v, w〉||w||2

(3)

é o único número real tal que v′ = v − kw é ortogonal a w.

Demonstração Para que v′ seja ortogonal a w devemos ter 〈v−kw,w〉=0,

ou seja, 〈v, w〉 = k〈w,w〉, mostrando que k =〈v, w〉〈w,w〉

· Reciprocamente, su-

ponhamos que k =〈v, w〉〈w,w〉

· Então,

〈v − kw,w〉 = 〈v, w〉 − k〈w,w〉 = 〈v, w〉 − 〈v, w〉〈w,w〉

〈w,w〉 = 0,

o que mostra que v − kw é ortogonal a w. �

O escalar k em (3) é o coe�ciente de Fourier de v em relação ao vetor

w. A projeção de v ao longo de w (Figura 17) é denotada por projw(v) e é

de�nida por

projw(v) = kw =〈v, w〉〈w,w〉

w.Figura 17

O próximo resultado, cuja demonstração é deixada como exercício (veja

Problema 3.2), generaliza a Proposição 7.3.3.

1Em homenagem a Jean-Baptiste Fourier (França, 1768 - 1830), conhecido na Mate-

mática por iniciar a investigação sobre o desenvolvimento de funções periódicas em séries

trigonométricas convergentes, chamadas séries de Fourier, e sua aplicação aos problemas

de condução de calor.


Proposição 7.3.4. Suponhamos que {w1, w2, . . . , wr} seja um conjunto or-

togonal de vetores não nulos de V . Se v ∈ V , então

ki =〈v, wi〉||wi||2

, 1 ≤ i ≤ r,

são os únicos números reais tais que o vetor

v′ = v − k1w1 − k2w2 − · · · − krwr

é ortogonal aos vetores w1, w2, . . . , wr.

3.2 Ortogonalização de Gram-Schmidt

Vimos na seção anterior que trabalhar com bases ortonormais é bastante

conveniente. Veremos a seguir que todo espaço com produto interno, não

nulo, de dimensão �nita tem uma base ortonormal.

A construção dada na prova do resultado abaixo é chamada de processo

de ortogonalização de Gram-Schmidt, pois leva os nomes de Jorgen Peder-

sen Gram (Dinamarca, 1850 - 1916) e de Erhard Schmidt (Alemanha, 1876

- 1959). Cabe observar que a construção de Gram-Schmidt pode ser en-

contrada, de modo implícito, em trabalhos de Pierre Simon Laplace2 e de

Cauchy.

2Pierre Simon Laplace (França 1749 � 1827) foi um importante matemático, físico e

astrônomo, conhecido por suas contribuições à mecânica celeste à teoria de probabilidades,

bem como por suas aplicações da matemática à física.


Teorema 7.3.5. O espaço V possui uma base ortogonal.

Demonstração Seja {v1, v2, . . . , vn} uma base de V . Tomemos (veja Figura

18)

w1 = v1,

w2 = v2 −〈v2, w1〉||w1||2

w1,

w3 = v3 −〈v3, w1〉||w1||2

w1 −〈v3, w2〉||w2||2

w2,

...

wn = vn −〈vn, w1〉||w1||2

w1 − · · · −〈vn, wn−1〉||wn−1||2

wn−1.

Pela Proposição 7.3.4, o conjunto {w1, w2, . . . , wn} é um conjunto ortogo-

nal. Além disso, como o conjunto {v1, v2, . . . , vn} é linearmente independente,

cada vetor wi é não nulo. Assim, o conjunto {w1, w2, . . . , wn} é um conjunto

ortogonal de vetores não nulos de V . Como, por de�nição, n = dimV , segue

pela Proposição 7.3.1 que {w1, w2, . . . , wn} é uma base ortogonal de V . �

Figura 18

Decorre da proposição acima que se V tem uma base ortogonal, ele tem

uma base ortonormal, pois os vetores de uma base ortogonal podem ser

normalizados para produzir uma base ortonormal de V .


Exemplo 1. Considere R3 com o produto interno usual. Apliquemos o

processo de Gram-Schmidt ao conjunto {(1, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1)} para ob-

termos uma base ortogonal {w1, w2, w3} de R3.

Façamos

w1 = (1, 0, 0),

w2 = (1, 1, 1)− 〈(1, 1, 1), (1, 0, 0)〉||(1, 0, 0)||2

(1, 0, 0) = (0, 1, 1),

w3 = (0, 0, 1)− 〈(0, 0, 1), (1, 0, 0)〉||(0, 1, 1)||2

(1, 0, 0)

−〈(0, 0, 1), (0, 1, 1)〉||(0, 1, 1)||2

(0, 1, 1) =

(0,−1

2,1

2

).

Assim, {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0,−12, 12)} é uma base ortogonal de R3.

Uma consequência importante do Teorema 7.3.5, que demonstraremos a

seguir, é o fato de que V=W⊕W⊥, ondeW é um subespaço de V . Em outras

palavras, cada vetor v de V pode ser escrito de modo único como

v = w1 + w2 , (4)

onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥. O vetor w1 é chamado projeção ortogonal de v

em W e é denotado por projW (v). O vetor w2 é chamado componente de v

ortogonal a W e é denotado por projW⊥(v) (Figura 19). Por (4), temos então

que v = projW (v) + projW⊥(v).Figura 19

Teorema 7.3.6. Se W é um subespaço de V , então

V = W ⊕W⊥.

Demonstração Pela Proposição 7.2.4(ii), W ∩W⊥ = {0}. Vejamos que

V = W + W⊥. Pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, existe


uma base ortonormal {v1, v2, . . . , vn} de W . Tomemos v ∈ V . De�na

w1 = 〈v, v1〉v1 + 〈v, v2〉v2 + · · ·+ 〈v, vn〉vn,w2 = v − w1 .

Note que w1 + w2 = w1 + (v − w1) = v. Além disso, w1 ∈ W , pois w1 é

uma combinação linear dos vetores da base de W . Portanto, resta mostrar

que w2 ∈ W⊥, ou seja, w2 é ortogonal a W . Para isto, seja w ∈ W . Pelo

Teorema 7.3.2,

w = 〈w, v1〉v1 + 〈w, v2〉v2 + · · ·+ 〈w, vn〉vn .

Assim,

〈w2, w〉 = 〈v − w1, w〉 = 〈v, w〉 − 〈w1, w〉= 〈w, v1〉〈v, v1〉+ · · ·+ 〈w, vn〉〈v, vn〉−(〈v, v1〉〈v1, w〉+ · · ·+ 〈v, vn〉〈vn, w〉

)= 0.

Como w ∈ W foi tomado de modo arbitrário, segue que w2 é ortogonal a W .

�

Exemplo 2. Retomemos o Exemplo 1 da Seção 2, onde V = R3 e onde

W = {(x, y, z); x + y + z = 0} e W⊥ = {(x, y, z); x = y = z}. Note que

W ∩W⊥ = {0}.


Como

dim(W +W⊥) = dimW + dimW⊥ − dim(W ∩W⊥),

segue que dim(W + W⊥) = 3, já que temos dimW = 2, dimW⊥ = 1 e

dim(W ∩W⊥) = 0. Portanto, W + W⊥ = R3. Consequentemente, temos

que R3 = W ⊕W⊥, como aliás deveria ser pelo Teorema 7.3.6.

Para cada (x, y, z) ∈ R3, temos que

(x, y, z) =(2x−y−z

3, −x+2y−z

3, −x−y+2z

3

)+(x+y+z

3, x+y+z

3, x+y+z

3

)∈ W +W⊥.

Mais ainda, a escrita acima é única. Em outras palavras, todo vetor de R3

se expressa, de forma única, como a soma de um elemento e W com um

elemento de W⊥. A �gura abaixo mostra a decomposição do vetor (0, 3, 0).

Figura 20

Exemplo 3. Seja AX = 0 um sistemam×n de equações lineares homogêneo,

cujo conjunto solução denotamos por Sh(A). Seja TA a transformação linear

associada à matriz A. Sabemos (cf. Exemplo 2, Seção 2) que

KerTA = Sh(A) = (L(A))⊥.

Por outro lado, pelo Exemplo 4, Seção 1, Capítulo 6, temos que

ImTA = C(A).


Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, temos que

n = dim KerTA + dim ImTA = dim(L(A))⊥ + dim C(A).

Pelo Teorema 7.3.6, temos que

n = dimL(A) + dim(L(A))⊥ = pA + dimSh(A).

Daí decorre que

dimSh(A) = n− pA,

e que

dim C(A) = dimL(A).

Assim, o posto por linhas de uma matriz A, que por de�nição é igual à

dimensão do espaço linha L(A) de A, coincide com o posto de A por colunas,

ou seja com a dimensão do espaço coluna C(A) da matriz A.

Problemas

3.1* Seja V um espaço com produto interno de dimensão �nita n. Se α é

uma base ortonormal de V e se

[v]α =

a1

a2...

an

e [w]α =

b1

b2...

bn

,então:

(a) ||v|| =√a21 + a22 + · · ·+ a2n;

(b) d(v, w) =√

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + · · ·+ (an − bn)2;

(c) 〈v, w〉 = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn .

O exercício anterior mostra que trabalhando com bases ortonormais, o

cálculo de normas e produtos internos arbitrários se reduz ao cálculo de nor-

mas e produtos internos das matrizes das coordenadas, como em Rn com sua

norma e produto interno usuais .


3.2 Prove a Proposição 7.3.4.

3.3 Mostre que os vetores

v1 =

(4

5,3

5, 0

), v2 =

(− 3

5,4

5, 0

)e v3 = (0, 0, 1)

formam uma base ortonormal para R3 com o produto interno usual. Em

seguida, expresse o vetor v = (1,−1, 2) nesta base.

3.4* Seja W um subespaço de dimensão �nita de um espaço com produto

interno V . Prove que:

(a) Se {w1, w2, . . . , wn} é uma base ortonormal deW e v é um vetor qualquer

de V , então projW (v) = 〈v, w1〉w1 + 〈v, w2〉w2 + · · ·+ 〈v, wn〉wn ;

(b) Se {w1, w2, . . . , wn} é uma base ortogonal de W e v é um vetor qualquer

de V , então

projW (v) =〈v, w1〉||w1||2

w1 +〈v, w2〉||w2||2

w2 + · · ·+ 〈v, wn〉||wn||2

wn .

3.5 Considere R4 com o produto interno usual. Use o processo de Gram-

Schmidt para transformar a base {v1, v2, v3, v4} em uma base ortogonal, onde

v1 = (0, 2, 1, 0), v2 = (1,−1, 0, 0), v3 = (1, 2, 0,−1) e v4 = (1, 0, 0, 1).

3.6 Seja W o subespaço de R4 gerado pelos vetores

v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1,−1, 2,−2) e v3 = (−1,−5, 1,−7).

Ache a projeção ortogonal de v = (1, 2,−3, 4) em W .

3.7 Construa, a partir do vetor v = (2, 1, 0), uma base ortonormal de R3 com

o produto interno usual.

4 Operadores em Espaços com Produto Interno

Nesta seção, vamos de�nir importantes operadores em espaços com pro-

duto interno. Mais precisamente, mostraremos a existência do operador ad-

junto de um operador linear e, a partir deste, introduzir as noções de operado-

res simétricos e operadores ortogonais. Estes operadores estão relacionados

4. OPERADORES EM ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO 199

com o Teorema Espectral, um dos teoremas mais importantes da Álgebra

Linear, conforme veremos no Capítulo 9.

Nesta seção, continuaremos supondo que V é um espaço com produto

interno de dimensão �nita n > 0.

4.1 O Operador Adjunto

Dado um vetor v ∈ V , a ele associamos de modo natural um funcional

linear em V , como segue:

φv : V → Ru 7→ 〈u, v〉 .

De fato, φv é um funcional linear, pois, para todos u1, u2 ∈ V e todo

a ∈ R, temos

φv(u1 + au2) = 〈u1 + au2, v〉 = 〈u1, v〉+ a〈u2, v〉 = φv(u1) + aφv(u2).

Assim, cada v em V de�ne um funcional linear φv em V , ou seja, um ele-

mento de (V,R). A recíproca deste fato é também verdadeira, como mostra

o seguinte resultado.

Teorema 7.4.1. Dado um funcional linear φ em V , existe um único vetor

v ∈ V tal que φ = φv.

Demonstração Seja φ ∈ (V,R) e �xe uma base ortonormal {v1, v2, . . . , vn}de V . Pelo Teorema 7.3.2, todo elemento u ∈ V se escreve como

u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn.

Existência: Tomemos v = φ(v1)v1 + φ(v2)v2 + · · ·+ φ(vn)vn.

Por um lado, temos

φ(u) = φ(〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn

)= 〈u, v1〉φ(v1) + 〈u, v2〉φ(v2) + · · ·+ 〈u, vn〉φ(vn).

(1)


Por outro lado,

〈u, v〉 = 〈u, φ(v1)v1 + φ(v2)v2 + · · ·+ φ(vn)vn〉= φ(v1)〈u, v1〉+ φ(v2)〈u, v2〉+ · · ·+ φ(vn)〈u, vn〉.

(2)

Juntando (1) e (2) obtemos que φ(u) = 〈u, v〉 = φv(u), para todo u ∈ V .Unicidade: Suponhamos que v′ tenha a propriedade 〈u, v′〉 = 〈u, v〉, paratodo u ∈ V . Logo 〈u, v − v′〉 = 0, para todo u ∈ V . Portanto, v − v′

é ortogonal a todos os vetores de V , o que, em virtude do Problema 2.7,

acarreta que v = v′. �

Observe que o Teorema 7.4.1 garante que a função v 7→ φv, onde φv(u) =

〈u, v〉 (u ∈ V ), é um isomor�smo entre V e (V,R) (cf. Problema 4.4).

Teorema 7.4.2. Dado um operador linear T em V , existe um único operador

linear T ∗ em V tal que

〈T (v), w〉 = 〈v, T ∗(w)〉, para quaisquer v, w ∈ V.

Demonstração Tome w ∈ V . Como a função de�nida por v 7→ 〈T (v), w〉é um funcional linear em V (veri�que), segue, do Teorema 7.4.1, que existe

um único vetor w′ ∈ V tal que

〈T (v), w〉 = 〈v, w′〉, para todo v ∈ V.

Basta de�nir T ∗(w) = w′. A demonstração do Teorema 7.4.1 também nos

mostra que se {v1, . . . , vn} é uma base ortonormal de V , então

T ∗(w) = w′ = 〈T (v1), w〉v1 + · · ·+ 〈T (vn), w〉vn.

Daí, vê-se claramente que T ∗ é linear. �

O operador T ∗ é chamado de operador adjunto de T . Assim, o Teorema

7.4.2 a�rma que todo operador linear T , em um espaço com produto interno

de dimensão �nita, possui um operador adjunto T ∗.

O próximo resultado mostra como podemos obter T ∗ a partir de uma

representação matricial de T .


Proposição 7.4.3. Para toda base ortonormal α de V e para todo operador

linear T em V , temos que

[T ∗]αα = ([T ]αα)t.

Para demonstrarmos a proposição acima, vamos precisar do seguinte re-

sultado, cuja demonstração �ca como exercício para o leitor (veja Problema

4.5).

Lema 7.4.4. Seja α = {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de V . Se A =

[aij]n×n é a matriz que representa um oprerador T em V , com relação à base

α (ou seja, A = [T ]αα), então

aij = 〈T (vj), vi〉, para todos i, j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Demonstração da Proposição 7.4.3. Considere as matrizes [T ]αα = [aij]n×n

e [T ∗]αα = [bij]n×n. Pelo Lema 7.4.4,

aij = 〈T (vj), vi〉 e bij = 〈T ∗(vj), vi〉, para todos i, j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Logo,

bij = 〈T ∗(vj), vi〉 = 〈vi, T ∗(vj)〉 = 〈T (vi), vj〉 = aji,

para todos i, j, com 1 ≤ i, j ≤ n, provando o resultado. �

Um operador linear T : V → V é dito ser um operador simétrico quando

T ∗ = T .

Pela Proposição 7.4.3, observamos que se T é um operador simétrico em

V , então para toda base ortonormal α de V temos

[T ]αα = ([T ]αα)t.

Assim, T : V → V é simétrico se, e somente se, [T ]αα é uma matriz simé-

trica. Observemos que o fato de um operador ser simétrico não depende da

base ortonormal escolhida. Portanto, se [T ]αα for uma matriz simétrica em


uma determinada base ortonormal α, então [T ]ββ será também simétrica para

qualquer outra base ortonormal β.

Exemplo 1. Seja T : R3 → R3 o operador linear de�nido por T (x, y, z) =

(2x− y + z,−x+ y + 3z, x+ 3y). Se α é a base canônica de R3, então

[T ]αα =

1 −1 1

−1 1 3

1 3 0

é uma matriz simétrica e, portanto, T é um operador simétrico.

4.2 Operadores Ortogonais

Um operador linear T : V → V é dito ser um operador ortogonal quando

T ∗T = TT ∗ = IV .

Em outras palavras, T é um operador ortogonal quando T é invertível e

T ∗ = T−1.

Diremos que um operador T em V preserva norma, preserva distância, ou

preserva produto interno, quando, para todos u, v ∈ V , se tenha ||T (v)|| =

||v||, d(T (u), T (v)) = d(u, v), ou 〈T (u), T (v)〉 = 〈u, v〉, respectivamente.

O resultado a seguir caracteriza os operadores ortogonais.

Teorema 7.4.5. Seja T : V → V um operador linear. As seguintes a�rma-

ções são equivalentes:

(i) T é ortogonal;

(ii) T preserva a norma;

(iii) T preserva a distância;

(iv) T preserva o produto interno;

(v) T transforma toda base ortonormal de V numa base ortonormal de V ;


(vi) T transforma alguma base ortonormal de V numa base ortonormal

de V .

Demonstração (i) ⇒ (ii) Se v ∈ V , então pelo Teorema 7.4.2.

||T (v)||2 = 〈T (v), T (v)〉 = 〈v, T ∗(T (v))〉 = 〈v, IV (v)〉 = 〈v, v〉 = ||v||2.

(ii) ⇒ (iii) Se v, u ∈ V , então

d(T (v), T (u)) = ||T (v)− T (u)|| = ||T (v − u)|| = ||v − u|| = d(v, u).

(iii) ⇒ (iv) Se v, u ∈ V , então d(T (v + u), 0) = d(v + u, 0). Ou seja,

||T (v + u)||2 = ||v + u||2. (3)

Note que

||T (v + u)||2 = 〈T (v), T (v)〉+ 2〈T (v), T (u)〉+ 〈T (u), T (u)〉

e

||v + u||2 = 〈v, v〉+ 2〈v, u〉+ 〈u, u〉 . (4)

Como

〈v, v〉 = (d(v, 0))2 = (d(T (v), 0))2 = 〈T (v), T (v)〉,

o mesmo valendo para u, temos de (3) e (4) que 〈T (v), T (u)〉 = 〈v, u〉, como

desejado.

(iv) ⇒ (i) Se v, u ∈ V , então pelo Teorema 7.4.2

〈v, u〉 = 〈T (v), T (u)〉 = 〈v, T ∗(T (u))〉,

mostrando que, para todos u, v ∈ V ,

〈v, (T ∗T − IV )(u)〉 = 0.

Pelo Problema 2.8, temos que (T ∗T − IV )(u) = 0, para todo u ∈ V , o que

acarreta que T ∗T = IV , logo T é ortogonal.


(i) ⇒ (v) Seja {v1, v2, . . . , vn} uma base ortonormal de V . Então

〈T (vi), T (vj)〉 = 〈vi, vj〉 =

0 se i 6= j

1 se i = j.

Logo, o conjunto {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} é ortonormal e, consequentemente,

linearmente independente (Proposição 7.3.1). Como dimV=n, concluímos

que esse conjunto é uma base de V .

(v) ⇒ (vi) Esta implicação é óbvia.

(vi) ⇒ (iv) Seja {v1, v2, . . . , vn} uma base ortonormal de V tal que

{T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} também é uma base ortonormal de V . Sejam v

e u em V . Se

v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn e u = b1v1 + b2b2 + · · ·+ bnvn ,

então

〈v, u〉 =n∑i=1

n∑j=1

aibj〈vi, vj〉 =n∑i=1

n∑j=1

aibj . (5)

Por outro lado, temos

T (v) = a1T (v1) + a2T (v2) + · · ·+ anT (vn) e

T (u) = b1T (v1) + b2T (v2) + · · ·+ bnT (vn),

donde

〈T (v), T (u)〉 =n∑i=1

n∑j=1

aibj〈T (vi), T (vj)〉 =n∑i=1

n∑j=1

aibj. (6)

Assim, de (5) e (6), concluímos que 〈T (v), T (u)〉 = 〈v, u〉, como desejado. �

Exemplo 2. Consideremos o operador linear T : R2 → R2 dado por T (x, y) =

(x cos θ−y sen θ, x sen θ+y cos θ). Lembremos da Seção 3, do Capítulo 6, que

T é o operador rotação por um ângulo θ em R2. Note que se α é a base canô-

nica de R2, o conjunto {T (1, 0), T (0, 1)} = {(cos θ, sen θ), (− sen θ, cos θ)} é


uma base ortonormal em R2. Assim, pelo Teorema 7.4.5, T é um operador

ortogonal em R2.

Para relacionarmos a propriedade de um operador ser ortogonal com pro-

priedades de suas matrizes associadas, estabelecemos a de�nição a seguir.

Uma matriz A ∈M(n, n) é dita ser ortogonal quando

AAt = AtA = In.

Em outras palavras, A é uma matriz ortogonal se A é invertível e At = A−1.

Segue imediatamente da de�nição que uma matriz A é ortogonal se, e

somente se, a matriz At é ortogonal.

Por exemplo, a matriz de rotação em R3 dada por

A =

cos θ − sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

é uma matriz ortogonal.

Com o resultado a seguir podemos veri�car mais facilmente se uma matriz

é ortogonal ou não.

Proposição 7.4.6. Para uma matriz A =[aij]n×n , as seguintes a�rmações

são equivalentes:

(i) A é ortogonal;

(ii) As colunas de A formam um conjunto ortonormal em Rn;

(iii) As linhas de A formam um conjunto ortonormal em Rn.

Demonstração (i) ⇔ (ii) Chamemos AtA =[bij]n×n . Pela de�nição de

produto de matrizes, o elemento bij é dado por

bij = a1i a1j + a2i a2j + · · ·+ ani anj

= 〈(a1i, a2i, . . . , ani), (a1j, a2j, . . . , anj)〉.


Portanto, daí segue-se que

AtA = In se, e somente se,

〈(a1i, a2i, . . . , ani), (a1j, a2j, . . . , anj)〉 =

0 se i 6= j

1 se i = j,

provando o desejado.

(i) ⇔ (iii) Basta utilizar o fato que A é ortogonal se, e somente se, At é

ortogonal, que as linhas de At são as colunas de A e aplicar o que foi provado

acima. �

Teorema 7.4.7. Se α e β são bases ortonormais de V , então a matriz

mudança de base[IV]αβé uma matriz ortogonal.

Demonstração Sejam α = {v1, v2, . . . , vn} e β = {w1, w2, . . . , wn}. Supo-

nhamos [IV ]αβ = [aij]. Para cada i, com 1 ≤ i ≤ n, temos que

vi = a1iw1 + a2iw2 + · · ·+ aniwn.

Ora, como vi e vj são ortogonais, quando i 6= j, então

0 = 〈vi, vj〉 = a1ia1j + a2ia2j + · · ·+ anianj

= 〈(a1i, a2i, . . . , ani), (a1j, a2j, . . . , anj)〉, (7)

pois β é ortonormal. De (7) concluímos que as colunas de [IV ]αβ formam

vetores ortogonais em Rn. Vejamos agora que cada coluna de [IV ]αβ forma

um vetor unitário em Rn. De fato, se 1 ≤ i ≤ n, então

1 = 〈vi, vi〉 = a21i + a22i + · · ·+ a2ni ,

já que β é ortonormal. Assim, as colunas de [IV ]αβ formam vetores unitários

em Rn. Pela Proposição 7.4.6, [IV ]αβ é uma matriz ortogonal. �

Terminaremos a seção mostrando a relação entre os operadores ortogonais

e as matrizes ortogonais.

Sejam dados um espaço vetorial, com uma base α = {v1, . . . , vn}, e uma

matriz quadrada A = [aij] de ordem n. Podemos, como feito na Seção 1


do Capítulo 6 para Rn e a base canônica, associar à matriz A um operador

linear TA, de�nido como segue:

TA(v) = (a11x1 + · · ·+ a1nxn, . . . , an1x1 + · · ·+ annxn),

onde x1, . . . , xn são as coordenadas de v relativamente à base α, ou seja

v = x1v1 + · · ·+ xnvn.

Proposição 7.4.8. Sejam α uma base ortonormal de V e T um operador

linear em V . Seja A ∈M(n, n).

(i) T é ortogonal se, e somente se, [T ]αα é ortogonal.

(ii) A é ortogonal se, e somente se, TA é ortogonal.

Demonstração Provaremos apenas o item (i), deixando a demonstração

do item (ii) para o leitor (veja Problema 4.10).

De fato, se α = {v1, v2, . . . , vn} é uma base ortonormal de V e se T é um o-

perador ortogonal em V então, pelo Teorema 7.4.5, β = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)}é uma base ortonormal de V . Se [T ]αα = [aij], então, para todo i, com

1 ≤ i ≤ n, temos

T (vi) = a1i v1 + a2i v2 + · · ·+ ani vn.

Como β é ortonormal, segue que 〈T (vi), T (vj)〉 = 0 se i6=j e 〈T (vi), T (vi)〉=1.

Por outro lado, sendo α é ortogonal, temos que

a1ia1j + a2ia2j + · · ·+ anianj =

〈a1i v1 + a2i v2 + · · ·+ ani vn, a1j v1 + a2j v2 + · · ·+ anj vn〉 =

〈T (vi), T (vj)〉 =

0 se i 6= j

1 se i = j,(8)

mostrando assim que as colunas de [T ]αα formam um conjunto ortonormal em

Rn. Pela Proposição 7.4.6, [T ]αα é uma matriz ortogonal.


Suponhamos agora que [T ]αα = [aij] é uma matriz ortogonal. Para mos-

trarmos que T é ortogonal basta provarmos, pelo Teorema 7.4.5, que o con-

junto {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} é ortonormal em V . Mas isto pode ser facil-

mente veri�cado a partir de (8). �

Problemas

4.1* Sejam S e T operadores lineares num espaço com produto interno de

dimensão �nita e seja k ∈ R. Prove que:

(a) (S + T )∗ = S∗ + T ∗; (b) (kT )∗ = kT ∗;

(c) (ST )∗ = T ∗S∗; (d) (T ∗)∗ = T .

4.2 Considere o funcional linear φ : R3 → R de�nido por φ(x, y, z) = x +

4y − 5z. Encontre o vetor v em R3 tal que φ = φv.

4.3 Seja T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (2x + 2y, 3x − 4z, y). Encontre

T ∗(x, y, z).

4.4 Mostre que a função

V → (V,R)

v 7→ φv

onde φv(u) = 〈u, v〉, para todo u ∈ V , é um isomor�smo de espaços vetoriais.

Mostre com isto que podemos transportar o produto interno de V para (V,R),

do seguinte modo:

〈φu, φv〉 = 〈u, v〉.

4.5 Demonstre o Lema 7.4.4.

4.6 Dentre os seguintes operadores lineares, veri�car quais são ortogonais:

(a) T : R2 → R2, T (x, y) = (−y,−x);

(b) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ y, x− y);

(c) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (z, x,−y);

(d) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x, y cos θ + z sen θ,−y sen θ + z cos θ).


4.7* Encontre uma matriz ortogonal [aij] de ordem 3 cuja primeira linha é

dada por

a11 =1

3, a12 =

2

3, e a13 =

2

3·

4.8 Mostre que o produto de matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.

4.9 Construa uma matriz ortogonal A = [aij] cuja primeira coluna seja:

(a) a11 =2√5, a21 =

−1√5;

(b) a11 =1

3, a21 =

−2

3e a31 =

−2

3·


Bibliogra�a

[1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso, Coleção Textos Univer-

sitários, SBM, 2006.

[2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos , Editora Ciência Moderna,

2001.

[3] A. Hefez e M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros , Coleção Mate-

mática e Aplicações, IMPA, 2008.

[4] A. Hefez e M. L. T. Villela, Números Complexos e Polinômios , Coleção

PROFMAT, SBM, 2012.

[5] V. J. Katz, A History of Mathematics - an Introduction, HarperCollins

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[6] S. Lang, Introduction to Linear Algebra, 2nd edition, Undergraduate Texts

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[7] E.L. Lima, Álgebra Linear , 3a edição, Coleção Matemática Universitária,

IMPA, 1998.

[8] E.L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear , 2a edição, Coleção

Matemática Universitária, IMPA, 2010.

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