Interpolação

A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente

Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação.

Como obter estes dados?

Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na

tabela abaixo:

Como obter o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como x=2.0 ?

Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1,

pode-se usar as técnicas da interpolação

0,057 0,046 0,028 0,016 0,001 f(xi)

6,04,53,01,50xi

A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação)

A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua

Função a ser considerada: Polinômios Interpolação Polinomial

Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações:conhece-se apenas valores de f(x) em

apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...

f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo

f(x) não é conhecida explicitamente

A interpolação por meio de polinômios consiste em:

Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados

Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é:

p(x0)=f(x0)

p(x1)=f(x1)

…

p(xn)=f(xn)

Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão

Polinômio p(x) - polinômio interpoladorPode-se demonstrar que existe um único

polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)} p x a a x a x a x f x

n n

n

0 0 1 0 2 0

2

0 0 ...

p x a a x a x a x f xn n

n

1 0 1 1 2 1

2

1 1 ...

p x a a x a x a x f xn n n n n n

n

n

0 1 2

2 ...

...

O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis

Quais são as variáveis independentes? ai

ou xi ?Poderia ser resolvido diretamenteEssa é uma das formas de se obter o

polinômio interpolador

xxxx

yyyxP

y

y

a

a

x

x

yxaa

yxaa

yxP

yxP

xaaxPxf

)()(

1

1

)(

)(

)()(

001

0101

1

0

1

0

1

0

1110

0010

111

001

101

Problema

Determinar o polinômio interpolador através da resolução de um sistema linear é caro computacionalmente

Outros modos de se obter o polinômio:LagrangeNewton

Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}.

Encontrar um polinômio interpolador p(x) que passe por todos os pontos

p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 ...

Lk(x) são polinômios tais que:

L xk i ki sendo que:

ki

se k i

se k i

0

1

,

,

L x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x xk

k k n

k k k ki k ki k n

( )

0 1 1 1

0 1 1 1

... ...

... ...

L x e

L x se i k

k k

k i

1

0 ,

Pois:

Interpolação Linear

Interpolação para 2 pontos (n+1=2) -

ajuste de retas (n=1) (Interpolação Linear) xi x0 x1

f(xi) f(x0) f(x1)

1

01100 )().()().()().()(

iii xfxLxfxLxfxLxp

Ajuste uma reta aos seguintes pontos (x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)

101

00

10

1 xfxx

xxxf

xx

xxxp

Ajuste uma reta aos seguintes pontos (x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)

101

00

10

1 xfxx

xxxf

xx

xxxp

28.2455.16.524

21.3

42

4

xxxx

xp

6.025.1 xxp

Forma de Newton

))...()((

...))(()(

021

012010

xxxxxxd

xxxxdxxddxp

nnn

dn -> é o operador diferença dividida

Diferenças divididas

)(][ 00 xfxf

01

01

01

011,0

)()(][][][

xx

xfxf

xx

xfxfxxf

02

1,02,12,1,0

][][][

xx

xxfxxfxxxf

03

2,1,03,2,13,2,1,0

][][][

xx

xxxfxxxfxxxxf

Ordem 0

Ordem 1

Ordem 2

Ordem 3

][ 1xf

][ 2xf

][ 3xf

][ nxf

][ 0xf][ 1,0 xxf

][ 2,1 xxf

][ 3,2 xxf

][ 2,1,0 xxxf

][ 3,2,1 xxxf

...

...

Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2

Exemplo

Calcule a tabela de diferenças divididas para os seguintes valores:

x -1 0 1 2 3

F(x) 1 1 0 -1 -2

1

0

1 - 1/2

-1 1/6

0 0 - 1/24

-1 0

-1 0

-1

-2

Mas qual o valor de d?

],...,[

],,[

],[

)(

10

2102

101

00

nn xxxfd

xxxfd

xxfd

xfd

Assim,

))...()(](,...,[

...))(](,,[

)](,[)(

02110

01210

0100

xxxxxxxxxf

xxxxxxxf

xxxxfxfxp

nnn