Apresentação de interpolação

INTERPOLAÇÃO

Disciplina: Cálculo Numérico - Prof.: Valdemir Antunes

EQUIPE: ALEXANDRE KIYOMITSU FURUCHO

ELVIS OLIVEIRA MARTINS

GUSTAVO VARASQUIM DE SOUZA

GUILHERME GIANCRISTOFARO CORTEZI

LEANDO KENICHI ALONSO TANIGUCHI

INTERPOLAÇÃO

Muitas funções são conhecidas apenas em um conjunto finito e

discreto de pontos de um intervalo [a,b], como a função y = f(x).

Exemplo: tabela abaixo.

i 0 1 2 3

Xi X0 X1 X2 X3

f (xi) Y0 Y1 Y2 Y3


Neste caso tendo-se que trabalhar com esta função e não se dispondo

de sua forma analítica, pode-se substituí-la por outra função, que é uma

aproximação da função dada, a qual é deduzida apenas por dados tabelados.

As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos

variados, tais como: exponencial, logarítmica, trigonométrica e polinomial.

Considerando o trabalho proposto faremos uso das funções polinomiais através

do conceito de interpolação. Portanto, o primeiro passo é determinar o

polinômio interpolador pela interpolação de Lagrange, que é uma aproximação

da função tabelada. O segundo passo é aplicar a função f(x) nos conceitos que

envolvem os Sólidos de Revolução.


SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

O volume de um sólido de revolução é um sólido obtido com a rotação de

uma região num plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de

revolução, o qual pode ou não interceptar a região. Por exemplo, se a região

limitada por um semi-círculo e seu diâmetro for girada em torno do eixo de

revolução, uma esfera será descrita.



Um cone circular reto é gerado se a região limitada por um triângulo

retângulo for girada em torno de um de seus catetos.


x

y

x = a

ii f ,

x = b

xfy

ixi1ix ix

0

if

xi

Figura 1 Figura 2

Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e suponha que 0xf para todo x em [a,b].

Seja R a região limitada pela curva xfy , pelo eixo x e pelas retas x=a e x=b. A Figura 1 mostra a região R e o i-ésimo retângulo. Quando o i-ésimo é girado em torno do eixo x, obtemos um elemento de volume que é um disco cuja base é um círculo de raio 1f unidades e cuja a altura é xi

unidades, como é mostrado na Figura 2.


Se unidades cúbicas for o volume desse disco,

xfV iii 2

Como temos n retângulos, iremos obter n discos circulares

dessa forma, a soma das medidas dos volumes desses n discos

circulares será

xfV i

n

ii

n

ii

2

11

Essa é uma soma de Riemann. Portanto, se V unidades cúbicas for o volume do sólido de revolução, V será o limite dessa soma de Riemann quando aproxima-se de zero. Esse limite existe, pois 2f

é contínua em [a,b], já que supusemos que f seja contínua nesse número. Temos então o Teorema:


Temos então o Teorema:

dxxfV

xfv

b

a

i

n

ii

2

2

10

lim

Seja f uma função contínua em [a,b] e suponha que 0xf para todo x em [a,b]. Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação efetuada, em torno do eixo x, da região limitada pela curva xfy , pelo eixo x e pela retas x=a e x=b, e se V for o número de unidades cúbicas no volume de S, então


O objetivo deste trabalho é aplicar a interpolação de Lagrange para se obter o

polinômio através dos pontos retirados da curva representada na Figura, a qual

representa a metade da parte interna da taça com a finalidade de obter o volume total.

OBJETIVO


0 1 2 3 4 5 6

X = (Pr ofundidade da taça)

0

1

2

3

4

5

6Y

= (

Rai

o d

a ta

ça)

(1 ; 3 ,1 0 )

(6 ,6 ; 5 ,4 5 )(5 ; 5 ,3 0 )

(3 ; 4 ,8 0 )


i 0 1 2 3

Xi 1 3 5 6,6

F (xi) 3,10 4,80 5,30 5,45

TABELA

210,2513,1326,0022,0

6,615131

6,653

0

23

302010

3210

XXX

XXX

XXXXXX

XXXXXX

i

L


292,2097,3875,0069,0

6,635313

6,651

1

23

312101

3201

XXX

XXX

XXXXXX

XXXXXX

i

L

547,1297,2828,0078,0

6,653515

6,631

2

23

321202

3102

XXX

XXX

XXXXXX

XXXXXX

i

L


465,0713,0279,0031,0

56,636,616,6

531

3

23

231303

2103

XXX

XXX

XXXXXX

XXXXXX

i

L

xLyxLyxLyxLyxP 332211003

465,0713,0279,0031,045,5

547,1297,2828,0078,030,5

292,2097,3875,0069,080,4

210,2513,1326,0022,010,3

23

23

23

233

xxx

xxx

xxx

xxxxP


534,2886,3512,1169,0

199,8174,12388,4413,0

002,11866,14200,4331,0

851,6690,4011,1068,0

23

23

23

233

xxx

xxx

xxx

xxxxP

514,1888,1322,0019,0 233 xxxxP

mloucmV

dxxxxV

2,4312,431

514,1888,1322,0019,0

3

26,6

0

23


Valor calculado.....: 431 ml

Valor medido.........: 428 ml

Erro: 0,7%


G:\5<BA> Semestre\Calculo Num<E9>rico\Trabalho de C<E1>lculo N<FA>merico\MOV00961.MPG

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