MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL

PROF. VINICIUS

INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Vinicius Carvalho Beck

Novembro de 2011

5 – Transformações Lineares

5.1 Espaço vetorial

Definição (espaço vetorial): Seja um conjunto munido de uma operação ,

chamada adição, e de uma operação , chamada multiplicação por número real. A tripla

é chamada de espaço vetorial, se e , tem-se que:

(fechamento)

1) (comutatividade)

2)

(associatividade)

3) (existência do vetor neutro)

4) (existência do vetor inverso)

5)

(distributividade)

6) (multiplicação por 1)

7) (comutatividade)

Exemplos:

1)

2)

3)

4) , onde é o conjunto dos vetores com infinitas coordenadas.

5) , onde é o conjunto das matrizes .

6) , onde é o conjunto de todas as funções que levam

em .

7) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .

8) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .

9) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .

5.1 Subespaço vetorial

Definição (subespaço vetorial): Seja um espaço vetorial. Dizemos que

um subconjunto é um subespaço vetorial, se:

1) .

2)

3) , .

Exemplos:

1) ,

2) ,

3) ,

4) , triangulares

5) , , onde é o conjunto das funções

vezes deriváveis

6) ,

5.3 Base

Definição (combinação linear): Seja um espaço vetorial e um

subconjunto de . Chamamos de combinação linear dos vetores qualquer

vetor da forma , com .

Definição (subespaço gerado): O subespaço de gerado por um conjunto é

o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de . Tal subespaço é denotado

por .

Observação: Quando , então diz-se que é um subconjunto gerador de ,

ou equivalentemente, que é gerado por .

Definição (vetores linearmente independentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se

que um conjunto é linearmente independente (abrevia-se por LI), quando nenhum

é combinação linear de outros elementos de .

Definição (vetores linearmente dependentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se que

um conjunto é linearmente dependente (abrevia-se por LD), quando algum é

combinação linear de outros elementos de .

Teorema 1: Seja um conjunto LI no espaço vetorial . Então

.

Teorema 2: Se os vetores geram o espaço vetorial , então qualquer

conjunto com mais do que vetores em é LD.

Definição (base): Uma base de um espaço vetorial é um conjunto ,

linearmente independente e que gera .

Definição (dimensão): Dimensão é a quantidade de vetores da base de um espaço

vetorial. Denota-se por .

Exemplos:

1) , ,

2) , ,

3) , ,

4) , ,

5) , ,

5.4 Transformação linear

Definição (transformação linear): Sejam e espaços vetoriais. Uma

transformação linear é uma função que associa a cada vetor um vetor

, onde:

1)

2)

Definição (operador linear): As transformações lineares do tipo são

chamadas de operadores lineares.

Definição (funcional linear): As transformações lineares do tipo são

chamadas de funcionais lineares.

Exemplo:

1) Rotação em torno da origem:

,

2) Projeção ortogonal sobre um reta:

, ,

,

3) Derivação de polinômios:

,

5.5 Núcleo e imagem

Definição (núcleo): Seja uma transformação linear. Chamamos de núcleo

de , e denotamos por o conjunto dos vetores tais que .

Definição (imagem): Seja uma transformação linear. Chamamos de

imagem de o subconjunto , formado pelos vetores que são imagens

de através da transformação .

Teorema (teorema do núcleo e imagem): Sejam e espaços vetoriais de

dimensões finitas e uma transformação linear. Então

.

5.6 Matriz de uma transformação linear

Exemplos:

1) Rotação em torno da origem:

2) Projeção ortogonal sobre uma reta:

3) Derivação de polinômios:

6 – Autovalores e Autovetores

Definição (subespaço invariante): Diz-se que um subespaço vetorial é

invariante pelo operador linear quando , isto é, quando a imagem

de qualquer vetor é ainda um vetor de .

Definição (autovetor e autovalor): Um vetor em chama-se um autovetor do

operador quando existe tal que . Neste caso, o número real é

chamado de autovalor associado ao vetor .

Teorema (teorema do subespaço invariante): Todo operador linear num espaço

vetorial de dimensão finita possui um subespaço invariante de dimensão 1 ou 2.

Teorema (teorema dos autovalores): A autovalores diferentes do mesmo operador

linear correspondem autovetores linearmente independentes.

Corolário: Seja . Se um operador linear possui autovalores

diferentes, então existe uma base em relação à qual a matriz de é

diagonal, com os autovalores na diagonal principal, isto é,

Teorema (teorema do polinômio característico): Seja . Dada a matriz

, a qual representa o operador linear , os autovalores de são raízes

do polinômio , chamado o polinômio característico de

.