1.1

Álgebra Linear

Mauro Rincon

Márcia Fampa

Aula 1: Vetores

Informações sobre o curso

Bibliografia

Introdução a Álgebra Linear com Aplicações6ª ediçãoEditora: LTCAutor: Bernard Kolman

1.2

1.1 - Vetores

Grandezas Físicas Escalares

Massa

Pressão

Velocidade

Força

Grandezas Físicas Vetoriais

1.3

Deslocamento

1.1 - Vetores

1.4

Todos os segmentos orientados que têm a mesmadireção, o mesmo sentido e o mesmo comprimentosão representantes de um mesmo vetor.

A C

DB

1.1 - Vetores

1.5

1.1 - Vetores

1.6

Vetor Nulo

1.1 - Vetores

1.7

Vetor Unitário

Vetor Simétrico (ou oposto)

v-v

1.1 - Vetores

1.8

Vetores Colineares

v

uA

BC

D

uA

B vCD

1.1 - Vetores

1.9

eq=\LARGE\[ E\,=\,M\,C^2\]

Vetores Coplanares

uB

A

C Dv

1.2 - Operações com vetores

1.10

1.2.1 - Adição de vetores

u

B

A

v

C

D

1.2 - Operações com vetores

1.11

1.2.1 - Adição de vetores

b)

a)

1.2 - Operações com vetores

1.12

1.2.1 - Adição de vetores

u

B=C

A

v

Du+v

1.2 - Operações com vetores

1.13

1.2.1 - Adição de vetores

Regra do ParalelogramoUma forma prática de calcular a soma entredois vetores é construindo um paralelogramo.

u

B

VoltarvC

D Adição

A

A=C v

u u + v

1.2 - Operações com vetores

1.14

1.2.1 - Adição de vetores

Propriedades da AdiçãoAssociativa: 1)

Voltar

v

u

w

u + v

v

u

Adição

u + vw

y=

x=

name=uv_w

(u+v)+w

v

u

w

v

w v + wv + w

uu+(v+w)

1.2 - Operações com vetores

1.15

1.2.1 - Adição de vetores

Propriedades da Adição

Comutativa:2)

4)

3)

1.2 - Operações com vetores

1.16

1.2.1 - Adição de vetores

Observação

v

u

DB

A

u+v

v+u u

v

D B

A

u

-v

u

-v

u-v

1.2 - Operações com vetores

1.17

1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor

b)

c)

a)

1.2 - Operações com vetores

1.18

1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor

1.2 - Operações com vetores

1.19

1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor

a)

c)

d)

b) (propriedade distributiva)

1.20

1.3 - Vetores no

AB

P

1.3 - Vetores no

1.21

Vetores representados por segmentos de retasorientados com origem na origem do sistema

1.3 - Vetores no

1.22

Vetores representados por segmentos de retasorientados com origem na origem do sistema

1.4 - Igualdade e Operações

1.23

Igualdade

Exemplos:1)2)

1.4 - Igualdade e Operações

1.24

Operações

b)

a)

1.4 - Igualdade e Operações

1.25

Operações

1.26

1.5 - Vetor definido por dois pontos

1.27

1.5 - Vetor definido por dois pontos

1.28

1.6 - Produto Escalar

Definição

1.29

1.6 - Produto Escalar

Módulo de um vetor

1.30

1.6 - Produto Escalar

Vetor unitário

1)Observação

1.31

1.6 - Produto Escalar

2)

1.32

1.6 - Produto Escalar

Propriedades do Produto Escalar

II)

III)

IV)

I)

1.33

1.6 - Produto Escalar

ObservaçãoDas propriedades (I) - (IV) obtemos que:

De fato:

Mostre que, de forma análoga:

1)

1.34

1.7 - Ângulo de dois vetores

1.35

1.7 - Ângulo de dois vetores

Cálculo do Ângulo de dois Vetores

1.36

1.7 - Ângulo de dois vetores

Cálculo do Ângulo de dois Vetores

1.37

1.7 - Ângulo de dois vetores

Cálculo do Ângulo de dois Vetores

1

21 2

1.38

1.7 - Ângulo de dois vetores

Cálculo do Ângulo de dois Vetores

1.39

1.7 - Ângulo de dois vetores

1.40

1.7 - Ângulo de dois vetores

1.41

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

a)

3

3

1.42

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

u

v

62

-3

-4

1.43

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

b)

1.44

1.8 - Paralelismo e Ortogonalidadede Dois Vetores

1.45

1.9 - Vetores no

1.9 - Vetores no

1.46

Propriedades:1)

2)

1.9 - Vetores no

1.47

Propriedades:

3)

4)

5)

1.9 - Vetores no

1.48

Propriedades:

7)

a)

b)

6)

1.49

1.10 - Vetores no

1.10 - Vetores no

1.50

.b)

.c)

.d)

.e)

a)

1.51

Exercícios

Faça os seguintes exercícios da seção 3.1, páginas115/116 do livro texto.

(a), (c) e (e)1)(a) e (b)2)

3)(a), (b) e (c)5)(a), (b) e (c)7)

(a) e (c)12)

(a) e (d)10)

14)(a) e (b)19)(b) e (c)21)(a), (b) e (c)24)

Exercícios Teóricos

T.1, T.3, T.5 e T.8.