Apostila Álgebra Linear

NotasdeaulasAltemirJoseBorgesCuritibaSetembrode2010Sumario1 SistemasdeCoordenadas 11.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistemadecoordenadasunidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Sistemadecoordenadasbidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Sistemadecoordenadasretangularesortogonal . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Sistemadecoordenadasretangularesoblquo. . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Sistemadecoordenadaspolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Sistemadecoordenadastridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Sistemadecoordenadasretangularesortogonal . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Sistemadecoordenadascilindrco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Sistemadecoordenadasesfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Matrizes 172.1 Denicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Tiposdematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1 Matrizquadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Matriznula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19ii2.2.3 Matrizcoluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.4 Matrizlinha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.5 Matrizdiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.6 Matriztridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.7 Matrizidentidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.8 Matrizescalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.9 Matriztriangularsuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.10 Matriztriangularinferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.11 Matrizsimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.12 Matrizantisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.13 Matrizconjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.14 Matrizesparsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.15 Matrizdiagonalmentedominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Operacoescommatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Igualdadedematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2 Adic aodematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3 Multiplicac aoporescalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.4 Transposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.5 Multiplicac aodematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.6 Matrizesemblocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Matrizinversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1 Equivalenciadematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40iii2.4.2 Calculodainversaempregandooperacoeselementares. . . . . . . . 432.4.3 Calculodainversaempregandomatrizesdeblocos. . . . . . . . . . 452.5 Execcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Determinantes 513.1 Denicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 DesenvolvimentoporLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Execcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Sistemasdeequacoeslineares 574.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 Vetores 685.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.1 Segmentoorientado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.2 Segmentosequipolentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.3 Classedeequivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.1 Vetornulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.2 Vetorunitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.3 Versor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.4 Vetoroposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70iv5.3 Operacoescomvetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.1 Adic aodevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.2 Multiplicac aoporescalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.3 Subtrac aodevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Expressaocartesianadeumvetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.1 Expressaocartesianadoversordeumvetor . . . . . . . . . . . . . 745.4.2 Operac oescomvetoresnaformacartesiana . . . . . . . . . . . . . . 755.4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.5 Paralelismodevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.5.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Coplanaridadedevetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.6.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.7 Cosenosdiretoresdeumvetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.7.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.8 Produtoescalarouinterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.8.1 Denic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.8.2 Interpreta caogeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.8.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.8.4 Expressaocartesianadoprodutoescalar . . . . . . . . . . . . . . . 805.8.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.9 Produtovetorialouexterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82v5.9.1 Denic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9.2 Interpreta caogeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.9.4 Expressaocartesianadoprodutovetorial . . . . . . . . . . . . . . . 835.9.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.10 Produtomisto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.10.1 Denic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.10.2 Interpretac aogeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.10.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.10.4 Expressaocartesianadoprodutomisto . . . . . . . . . . . . . . . . 875.10.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.11 Exercciosgerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 AretanoR3936.1 Equacoesdareta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.1 Equac aovetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.2 Equac osparametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.3 Equac oessimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.1.4 Equac oesreduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977 OplanonoR31007.1 Equacaodoplano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100vi7.1.1 Equac aovetorialdoplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.1.2 Equac aogeraldoplano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.1.3 Equac aodoplanoquepassaporumpontoe eortogonalaumvetor1017.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 EspacoVetorial 1068.1 Denicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.2 Subespacosvetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.2.1 Denic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.2.3 Interse caodesubespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2.4 Somadesubespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Combinac aolinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.4 Subespacogerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.5 Dependencialinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.6 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.7 Mudancadebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269 Transformac oesLineares 1309.1 DenicaoeTeoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2 OespacovetorialL(U, V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134vii9.2.1 Operac oesemL(U, V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.3 N ucleoeImagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.4 Transformac oeslinearesematrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410Autovaloreseautovetores 14710.1 Denic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.2 Autovaloreseautovetoresdeumamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.3 Polin omiocaracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.4 Denic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.5 Diagonalizac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15411Espacoscomprodutointerno1 15611.1 Produtointerno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15611.2 CoecientesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.3.1Anguloentrevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.4 ProcessodeOrtogonalizac aodeGram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.5 Complementoortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16612Conicasequadricas 16812.1 Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168viii12.1.1 Par abola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16912.1.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16912.1.3 Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.2 Quadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.2.1 Elipsoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.2.2 Hiperboloidedeumafolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.2.3 Hiperboloidededuasfolhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.2.4 Paraboloideelptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.2.5 Paraboloidehiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.2.6 Coneelptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17512.2.7 Cilindroelptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17512.2.8 Cilindrohiperbolico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17512.2.9 Cilindroparabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17512.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177ixCaptulo1SistemasdeCoordenadas1.1 ConceitoSistemas de coordenadas sao referenciais pelos quais se estabelece uma correspondenciabiunvocaentrepontosgeometricosen umerosreais.1.2 SistemadecoordenadasunidimensionalNeste sistema de coordenadas, os pontos sao elementos do espaco unidimensional, istoe,deumareta.AscoordenadasdeumpontoPnosistemadecoordenadasunidimensionalsaodeter-minadaspeladistanciadestepontoàorigemdaretaorientada,aqualelepertence.1.3 SistemadecoordenadasbidimensionalEumsistemanosquaisospontossaoelementosdoespacobidimensional, istoe, deumplano.11.3.1 SistemadecoordenadasretangularesortogonalEstesistema econstitudoporumconjuntodeduasretasorientadasxeydemesmaorigemeperpendicularesentresi.Figura1.1: Coordenadascartesianasortogonaisonde Pxe a projecao ortogonal do ponto Psobre o eixo x e Pye a projec ao ortogonaldopontoPsobreoeixoy.Oeixohorizontal 0xousomenteeixoxedenominadoeixodas abscissas eoeixovertical 0youeixoyeoeixodasordenadas. Aorientac aopositivadoeixoxeparaadireita. Aorienta caopositivadoeixoy eparacima.Nessacorrespondenciaentre opontoPe opar ordenadode n umeros reais (x,y),dizemosque:Ptem coordenada (x, y). Geralmente escreve-se o ponto Pe sua coordenada, juntos,assimP(x, y);Pearepresentacaogeometricaougracadoparordenado(x, y);acoordenada(x, y) earepresentac aoanalticadeP;xeysaoascomponentesdacoordenadadeP;ha correspondencia biunvoca entre ponto geometrico e par ordenado (x,y), ou seja,acadaparordenado(x, y)correspondeume unicopontosobreoplanoeacadapontosobreoplanocorrespondeume unicoparordenado(x, y)den umerosreais;umplanocomascaractersitcasanteriormentedescritas, denominadoplanocarte-siano, earepresentac aogeometricadoconjuntoR2ouRR, istoe, doprodutocartesianodeRporR.2Ospontoscujasordenadassaozerolocalizam-sesobreoeixoxeospontoscujasabscissassaozerolocalizam-sesobreoeixoy.Translacaodeeixos:ConsiderenaguraFigura1.2: TranslacaodeeixosConsiderenoplanocartesianoxOyumpontoP(x, y). SejamP(u, v)assuascoorde-nadasnoreferencialuP0v,emqueP0(a, b),assim,valemasrelac oes:x = u + ay= v + bquesaoasformulasdetranslac ao.1.3.2 SistemadecoordenadasretangularesoblquoSe o angulo entre os eixos x e y for diferente de 90o, o sistema cartesiano e denominadosistemacartesianooblquo. Pode-serenomearoseixosxeyparauev,respectivamente.AlocalizacaodeumpontoPedadapeloparordenado(u, v),ondeosn umerosreaisuevsaodenominadoscoordenadasoblquasdeP,emqueuevsaorespectivamenteasprojecoesoblquasdopontoPsobreoseixosuev,respectivamente.3Figura1.3: Coordenadascartesianasobliquas1.3.3 SistemadecoordenadaspolaresOsistemade coordenadas polares e compostopor umasemi-retaorientadaexadenominada eixo polar e um ponto xo, denotado por O, denominado polo, localizado naorigemdoeixopolar.reP(r,)0Figura1.4: CoordenadascartesianaspolaresUmpontoPteracoordenadasP(r, )nosistemapolar,emque,r Re0 < 2.Osistemadecoordenadaspolareseempregado, porexemplo, noacompanhamentodosmovimentosdeplanetasedesatelites, naidenticacaoelocalizacaodeobjetosemtelasderadar.Exemplos:1. RepresentegracamenteopontoP(2, /6)dadoemcoordenadaspolares.2. RepresentegracamenteopontoA(3, 5/6)dadoemcoordenadaspolares.4r=2=/6eP(2,/6)0 2Figura1.5: Exemplo13. RepresentegracamenteopontoB(2, /3)dadoemcoordenadaspolares.4. RepresentegracamenteopontoC(4, /4)dadoemcoordenadaspolares.5. Representegracamenteogracodarelacaor = 1 + cos(). r0 1 + 1 = 2/6 1 +3/2 = 1, 86/4 1 +2/2 = 1, 71/3 1 + 1/2 = 1, 5/2 1 + 0 = 1 1 + (1) = 03/2 1 + 0 = 12 20.511.52302106024090270120300150330180 0Figura1.6: Exemplo55Observac aoimportante: LembredoCalculoquedofatodafunc aoy =cos(x) serumafuncaopar, istoe, cos(x)=cos(x), vemqueogracodarelac aodoexemplo5esimetricoemrelacaoaoeixopolar.6. Representegracamenteogracodarelacaor = 1 2cos(). r0 1/3 0/2 1 33/2 15/3 02 1123302106024090270120300150330180 0Figura1.7: Exemplo6Pelaobserva caodoexemplo5,vejaquenaoserianecessariocalcularasimagensparaarcosmaioresqueesimsomenteduplicarogracoobtidopara0 .Relacaoentrecoordenadaspolaresecoordenadasretangulares:Pode-sesobrepor osistemadecoordenadas cartesianas aosistemadecoordenadaspolares de tal forma que o eixo positivo das abscissas coincida com o eixo polar e a origemdosistemacartesianocoincidacomopolo.ApartirdotrianguloOPxnagura1.8pode-seescrever:sen() =yr=y= rsen()6cos() =xr=x = rcos()tg() =yxr2= x2+ y20.20.40.60.81302106024090270120300150330180 0PxyrOFigura1.8: Relac aoentrecoordenadaspolaresecoordenadasretangularesExemplos:1. Determineas coordenadas polares dopontoP(2, 23), dadoemcoordenadascartesianas.Sabe-sequer2= x2+ y2etg() =yxr2= 22+ (23)2=r = 4tg() =yx=tg() = 232=tg() = 3= = /3P(4, /3)2. Escrevaarelac aor2= 4cos(2)emcoordenadascartesianas.r2=4cos(2)=x2+ y2=4_cos2() sen2()_=x2+ y2=4_y2r2 x2r2_=_x2+ y2_2= 4_y2x2_71.4 SistemadecoordenadastridimensionalEumsistemanosquaisospontossaoelementosdoespacotridimensional, istoe, oespacoR3.1.4.1 SistemadecoordenadasretangularesortogonalEste sistema e constitudo por um conjunto de tres retas orientadas x, ye zde mesmaorigememutuamenteperpendiculares.zyPPyPzxPxFigura1.9: Coordenadasretangularesnoespacotridimensional1.4.2 SistemadecoordenadascilindrcoEste sistema e constitudo por um sistema de coordenadas polar (0, e), situado em umplano,eumeixozortogonalaoplanonaorigem0dosistemapolar.Assim um ponto Ptera coordenadas cilndricas P(r, , z),em que r R e a distanciapolar,0 < 2eoargumentoez R eacota.Relacaoentrecoordenadascilndricasecoordenadasretangulares:Pode-sesobrepor osistemadecoordenadas cartesianas aosistemadecoordenadaspolares de tal forma que o eixo positivo das abscissas coincida com o eixo polar, a origem8zrePPPzFigura1.10: Coordenadascilndricasdosistemacartesianocoincidacomopoloetambemcoincidamoseixosz.Analogamente à correspondencia do sistema polar com o cartesiano ortogonal, pode-seescrever:sen() =yr=y= rsen()cos() =xr=x = rcos()tg() =yxr2= x2+ y2z= zExemplos:1. DetermineascoordenadascilndricasdopontoP(3, 33, 4), dadoemcoorde-nadascartesianas.Sabe-sequer2= x2+ y2etg() =yxr2= (3)2+ (33)2=r = 6tg() =yx=tg() = 333=tg() =3= = 4/3z= 49P(6, 4/3, 4)2. Escrevaarelac aor = 4emcoordenadascartesianas.r = 4=(x2+ y2)1/2= 4=x2+ y2= 16=Cilindrocomcentronaorigem(0, 0, 0)eraioiguala4.1.4.3 SistemadecoordenadasesfericasDadoumpontoOpertencenteaoR3, chamadopolodosistemaesferico, peloqualpassaumeixoz. Consideretambemumplanoquecontemoeixoz.zyPPzxPxPyPOrFigura1.11: CoordenadasesfericasUmpontoP R3teracoordenadasesfericasP(, , ),emque: = OP 0 eadistanciapolar.0 2echamadadelongitude.0 < echamadadecolatitude.Relacaoentrecoordenadasesfericaseascoordenadasretangulares:Nagura1.11considereotriangulodeverticesPz,PeO,assimescreve-se:cos() =z=z= cos()10sen() =r=r = sen()DotriangulodeverticesPx,P

eO,vem:sen() =yr=y= rsen()=y= sen()sen()cos() =xr=x = rcos()=x = cos()sen()EnalmenteapartirdotriangulodeverticesO,P

eP,vem:2= r2+ z2=2= x2+ y2+ z2.Exemplos:1. Determine as coordenadas cartesianas do pontoP(6, 5/6, 2/3),dado em coorde-nadasesfericas.z= cos()=z= 6cos(2/3)=z= 612= 3x = sen()cos()=x = 6cos(5/6)sen(2/3) = 63232= 634= 92y= sen()sen()=y= 6sen(5/6)sen(2/3) = 61232= 332P(92, 332, 3)2Oquerepresentaaequac ao,emcoordenadasesfericas, = /3?Escrevendoemcoordenadascartesianas,vem:tg() =yx=3 =yx=y=3 x=Planopassandopelaorigem.Exerccios:1. Passardosistemacartesianoparaosistemapolar:a) A(3, 33)b) B(33, 3)c) x2+ y23x = 0d) (x2+ y2)2= 3(x2y2)11e) x2+ y2+ xy= 5f) x+y-2=02. Passardosistemapolarparaosistemacartesiano:a) P(2, 6)b) Q(2, 76)c) r2= k2sen(2)d) r2(cos(2))2= 23. DeterminarascoordenadaspolaresdopontosimeticodeA(2, 3)emrelac aoaoeixopolar.4. IdemparaopontoBdecoordenadascartesianas(4,-3).5. Representegracamenteacurvadenidaporr = 3sujeitaa0 .6. Transformaraequac aor2= a2cos(2)dosistemapolarparaocartesiano.7. Passardosistemapolarparaosistemacartesiano:a) r = kb) r =kc) logar = k8. Deduzir a formula da distancia entre dois pontos P1(r1, 1) e P2(r2, 2),em coorde-nadaspolares.9. Construir o graco das seguintes funcoes, dadas em coordenadas polares: (Pesquiseonomedecadacurva.)12a)r = 2(1 + cos()) b)r = 2(1 cos())c)r = 2(1 + sen()) d)r = 2(1 sen())e)r2= 32cos(2) f)r2= 32cos(2)g)r2= 32sen(2) h)r2= 32sen(2)i)r = 1 2cos() j)r = 1 2sen()k)r = 4sen(3) l)r = 2cos(3)m)r = 4sen(3) n)r = 2cos(3)o)r =2 p)r = 2q)r = 2sen() r)r = 2sec2(2)s)r = 2 t)r2 = 4u)r = 1 2sen() v)r = 1 2cos()10. Determineascoordenadascilndricas(r, , z)paraospontoscujascoordenadascartesianassao:a) A(4, 43, 3)b) B(23, 2, 1)c) C(0, 1, 3)d) D(4, 0, 1)e) (52,532, 6)f) x2+y23z= 0g) (x2+ y2)2= z2(x2y2)11. Passardosistemacilndrico(r, , z)paraosistemacartesiano(x, y, z):a)A(4, 3, 3) b)B(3, 2, 1)c)C(5, 6, 4) d)D(2, 2, 2)e)z= r2f)r29+z24= 112. Passardosistemaesferico(, , )paraosistemacartesiano:13a) P(2, 3, 23)b) Q(2, 6, 3)c) R(12, 56, 23)d) S(, , )e) =6f) =313. Escrevaaequacaoemcoordenadascilndricasdocilindrocircularretoderaio5ecomoeixoz comooeixocentral.14. Sabe-sequeaequac aoemcoordenadascartesianasx2+ y2=zrepresentaumparaboloidederevolucao. Determineestaequacaoemcoordenadascilndricas.15. Dadas as coordenadas esfericas de P(22, 6, 4). Obte-las emcoordenadascilndricas.16. PassarA(6, 34, 2)dosistemacilndricoparaoesferico.17. Exprimiraequac ao + 6sen()cos() + 3sen()sen() 5cos() = 0emcoorde-nadascartesianas.18. (Exclusivoparaos alunos dalicenciaturaemfsica) Encontre ainclinacaodatangenteparaarosaceade4folhasr=cos(2)napassagematravesdaorigemparaaqual =54.Respostas:1. a) A(6,23)b) B(6,3)c) r(3cos) = 0d) r4= 3r2cos(2)e) r2(1 +sen(2)2) = 5142. a) (3, 1)b) (3, 1)c) (x2+ y2)2= 2k2xyd) (x2y2)2= 2(x2+ y2)3. (2,3)4. (5, arccos(5/4))5. Semi-circunferenciaderaioiguala2.6. (x2+ y2)2= a2(x2y2)7. a) x2y2= k2(arctg(x/y)2)b) x2y2=k2(arctg(y/x))2c) x2y2= a2k(arctg(y/x))8. d2= r21 + r22 2r1r2cos(21)9. UsaroOctaveparaesbocarosgracos.10. a) A(4,23, 3)b) B(4,6, 1)c) C(1,2, 3)d) D(4, 0, 1)e) (5,53, 3)f) r23z= 0g) r4= z2r2cos(2)11. a) A(2, 23, 3)b) B(3, 0, 1)c) C(532,52, 4)d) D(2cos(2), 2sen(2), 2)e) z= x2+y215f)x2+y29+z24= 112. a) P(32,32, 1)b) Q(32,32, 1)c) R(9, 33, 6)d) S(0, 0, )e)3x 3y= 0f) 3z2= x2+y213. r = 514. r2= z15. P(2, 6, 2)16. A(210,34, arccos1010)17. (x + 3)2+ (y + 3/2)2+ (z 5/2)2= 35/218. 1. (Veja[8]paraterumaassociacaocomoquefoivistoemCalculo1.)16Captulo2Matrizes2.1 DenicaoUma matriz de ordem mn sobre um corpo1F e uma aplicac ao do conjunto X dadoporX = (i, j) N N : 1 i m, 1 j nem F.Representaremosasmatrizesporletrasmai usculasdoalfabetolatino.Exemplo1. Aaplicac aoA : X R,onde X = (i, j) N N : 1 i 3, 1 j 2denidaporA(1, 1)=7, A(1, 2)= 1,A(2, 1)=5,A(2, 2)=0, A(3, 1)=1eA(3, 2)=3 eumamatrizdeordem2 3sobreocorpo R.Exemplo2. Aaplicac aoI: X R,onde X = (i, j) N N : 1 i 3, 1 j 3denidaporI(i, j) =___1 , i = j0 , i ,= jeumamatrizsobre R.Notacao: Parafacilitaroscalculosqueenvolveraomatrizes, emexercciosfuturos,iremos representarumamatrizAdeordemmndispondosuasimagens(A(i, j))emumatabelacompostademlinhasencolunas,ladeadasporcolchetes. Cabendoatrans-1Corpo e uma terna (F, +, .), que satisfaz as seguintes propriedades:(A1)(x+y)+z = x+(y+z),(A2)x+y=y + x,(A3)x + 0=x,(A4)x + (x)=0, (M1)(xy)z=x(yz),(M2)xy=yx,(M3)x.1=x,(M4)Paratodox ,= 0 existey F tal quexy = 1(D)x(y + z) = xy + xz.17formadadopar(i, j)ai-esimalinhaeaj-esimacolunadatabela,candoassimamatrizArepresentadagenericamentepor:Amn=________a11a12 a1na21a21 a2n.........am1am2a11amn________= [aij]mnExerccios:Escrevaemformadetabelaasseguintesmatrizes:1. A23= [aij]ondeaij= i2j2. B33= [bij]ondebij=___1 , i = j0 , i ,= j3. C31= [cij]ondecij= i + j4. D14= [dij]ondedij=___i , i = jj, i ,= j2.2 TiposdematrizesExistemmatrizesqueemdeterminadosproblemastemformaoupropriedadesespeci-ais,dentreessasmatrizespodemoscitar:2.2.1 MatrizquadradaUmamatrizAmneditaquadradaquandom = n.Exemplo: A =_____1 3 05 20 8 3_____182.2.2 MatriznulaUma matriz Amn e chamada de matriz nula quando todos os seus elemento sao iguaisazero,isto e,aij= 0, iej.Exemplo: A =________0 0 00 0 00 0 00 0 0________2.2.3 MatrizcolunaUmamatrizAmnechamadadematrizcolunaquandopossuirsomenteumacoluna,ouseja,n = 1.Exemplo: A =________106________2.2.4 MatrizlinhaUmamatrizAmnechamadadematrizlinhaquandopossuirsomenteumalinha,ouseja,m = 1.Exemplo: A =_1 5 2 3_2.2.5 MatrizdiagonalEumamatrizquadrada(m=n)ondeaij=0paratodoi ,=j, istoe, oselementosquenaoestaonadiagonalprincipal2saonulos.Exemplo: A =_____1 0 003 00 0 3_____,B=__0 00 1__2A diagonal principal e formada pelos elementosaijem quei = j.192.2.6 MatriztridiagonalUmamatrizquadradaAechamadadetridiagonal seos seus elementos saonulos,exceto aqueles que se encontram sobre a diagonal principal e sobre as diagonais imediata-menteadjacentes.Exemplo: A =___________1 5 0 0 02 8 1 0 00 1 3 4 00 0 6 9 50 0 0 1 2___________2.2.7 MatrizidentidadeEumamatrizquadrada(m=n)ondeaij=___1 , i = j0 , i ,= j,istoe,oselementosdadiagonal principal saoiguaisa1eosquenaoestaonadiagonal principal saonulos. AsmatrizesidentidadesdeordemmnseraodenotadasporIn.Exemplo: I3=_____1 0 00 1 00 0 1_____,I2=__1 00 1__2.2.8 MatrizescalarEumamatrizquadrada(m=n)ondeaij=___k , i = j0 , i ,= j,istoe,oselementosdadiagonal principal saoiguaisaumelementokeosquenaoestaonadiagonal principalsaonulos.Exemplo: E=_____3 0 00 3 00 0 3_____2.2.9 MatriztriangularsuperiorEumamatrizquadrada(m = n)ondeaij= 0paratodoi > j,ouseja, eumamatrizquadradanaqualoselementosqueestaoabaixodadiagonalprincipalsaoiguaisazero.20Exemplo: S=_____3 2 50 2 40 0 _____2.2.10 MatriztriangularinferiorEumamatrizquadrada(m=n)ondeaij=0paratodoi, j, ouseja,eumamatrizquadradanaqualoselementosqueestaoacimadadiagonalprincipalsaoiguaisazero.Exemplo: T=_____3 0 07 2 05 2 _____2.2.11 MatrizsimetricaEumamatrizquadrada(m = n)ondeaij= ajiparatodoiej.Exemplo: S=________3 5 0 95 2 2 80 2 49 8 4 3________2.2.12 MatrizantisimetricaEumamatrizquadrada(m = n)ondeaij= ajiparatodoiej.Exemplo: A =________0 5 0 95 0 2 80 2 0 49 8 4 0________2.2.13 MatrizconjugadaConsidereAmnumamatrizcomplexa,istoe,seuselementos[aij]saon umeroscom-plexos, chama-sematrizconjugadadeAàmatrizA=[aij], ondeaijeoconjugadocomplexodeaij.21Propriedade:i) (A)= A2.2.14 MatrizesparsaEumamatrizque eformadaporpoucoselementosnaonulos.Exemplo: T=_____3 0 0 0 00 2 0 7 00 0 0 0 1_____Eimportantecitarqueexistiraumagrandeeconomiacomputacional sesomenteoselementosnaonulosdamatrizforemarmazenados.2.2.15 MatrizdiagonalmentedominanteE uma matriz A onde e diagonalmente dominante se [ai,i[ >n

j=1,j=i[aij, i = 1, 2, . . . , n,istoe, omodulodoelementodamatriznadiagonal principal emaiorqueasomadosmodulosdetodososdemaisvalores(nao-diagonais)daquelalinha.Exemplo: T=_____13 0 27 9 05 2 8_____2.3 Operac oescommatrizes2.3.1 IgualdadedematrizesDuas matrizes Amn=[aij] eBmn=[bij] seraoiguais, denotadopor A=B, sea(i, j) = b(i, j)paratodo1 i me1 j n.22Exemplo: AsmatrizesA=_____0 5 15 0 24 2 0_____eB=_____0 x 15 0 yz 2 0_____seraoiguaissex = 5,y= 2ez= 4.2.3.2 AdicaodematrizesDenicao: Dadas as matrizes Amn= [aij] e Bmn= [bij] chama-se adicao de A comB, denotado por A+B, à matriz Cmn= [cij] tal que cij= aij +bijpara todo 1 i me1 j n.Exemplo: SejamA =_____0 5 1 95 0 2 84 2 0 2_____eB=_____1 1 1 32 3 1 41 5 1 1_____,entao,A + B=_____0 + 1 5 + 1 1 + (1) 9 + 35 + 2 0 + 3 2 + 1 8 + 44 + (1) 2 + 5 0 + 1 2 + 1_____=_____1 4 0 123 3 3 123 7 1 1_____.Notequeaadic aodematrizessomenteestadenidaquandoamatrizesaseremso-madaspossuremamesmaordem.Propriedades: SejamasmatrizesAmn,BmneCmn,ent ao:i) A + B= B + A(propriedadecomutativa)ii) A + (B + C) = (A +B) + C(propriedadeassociativa)iii) A+0 = A(existenciadoelementoneutro),onde0 eamatriznuladeordemmn.iv) (A + B)= A + B2.3.3 Multiplicacaoporescalar23Denicao: SejamumamatrizAmn= [aij]eumescalark. Chama-semultiplicac aodoescalarkpelamatrizA,denotadoporkA,àmatrizPmn= [pij]talquepij= k aijparatodo1 i me1 j n.Exemplo: SejamA =__2 1 1 23 0 1 5__ek = 2,entao:2A =__2 2 2 (1) 2 1 2 22 3 2 0 2 (1) 2 5__=__4 2 2 46 0 2 10__Propriedades: SejamasmatrizesAmneBmneosescalaresaeb,ent ao:i) a(A + B) = aA + aB(propriedadedistributivaemrelac aoàsomadematrizes)ii) (a +b)A = aA + bA(propriedadedistributivaemrelac aoàsomadeescalares)iii) a(bA) = (ab)Aiv) a0 = 0v) 0A = 0vi) A + (A) = 0vii) (1)A = Aviii) (A)= ADenicao: DadasasmatrizesAmn=[aij] eBmn=[bij] chama-sediferencadeAcomB,nestaordem,denotadoporA B,comoA B= A + (B).Exemplo: SejamA =_____0 2 13 1 12 2 4_____eB=_____2 1 30 5 11 1 4_____,entao,A B=_____0 2 2 + 1 1 33 0 1 5 1 12 1 2 + 1 4 4_____=_____2 1 43 4 01 1 0_____.242.3.4 TransposicaoDenicao: DadaumamatrizAmn= [aij]chama-setranspostadeA,denotadaporAT,àmatrizAT= [bij]nmtalbij= aji.Propriedades: SejamasmatrizesAmneBmneoescalark,entao:i) (A + B)T= AT+ BTii) (AT)T= Aiii) (kA)T= k.ATDenicao: UmamatrizcomplexaAmn=[aij] echamadadehermitianaouautoadjuntaseA= A,ondeAeatranspostadamatrizconjugadadeA(A= (A)T).Exerccios:1. Determineamatriztranspostade:a) D14= [dij]ondedij=___i , i = jj, i ,= jb) I33= [iij]ondeiij=___i , i = j0 , i ,= jc) E32= [eij]ondeeij=___i + j, i = j1 j, i ,= j2. Resolvaaequac aomatricial__x y8 z__=__3 x + 18 x + y__3. Determinexeyem__x 21 0__+__ 1 72 3__=__ 7 y5 3__4. DadasasmatrizesA=__y + 4 29 x2+ 4__eB=__12 29 53__calcularxeydemodoqueA = B.255. Dadas as matrizes A =_____2 3 85 9 67 4 1_____, B=_____3 7 14 2 50 9 4_____e C=_____7 8 34 3 29 5 1_____.Calcular:a) A + Bb) C Ac) 3A 2B + 4C6. Fornecaumexemplodeumamatrizdeordem3 3quesejaantisimetrica. (nota:umamatriz editaantisimetricaseAT= A)7. SejaA =_____a b cd e fg h i_____. Calcule:a) A ATb) A + AT8. DadasasmatrizesA=__1 24 2__, B=__2 25 0__eC=__0 12 1__, deter-mineXtalque3X + B= 2A C.9. Dadas as matrizes A =__1 04 2__e B=__0 22 1__resolva o sistema___2X + Y= 3A BX 2Y= 5A + 2B.2.3.5 Multiplicacaodematrizes26Denicao: DadasasmatrizesAmn=[aij] eBnp=[bjk] dene-seoprodutodasmatrizesAporBnestaordem,denotadoporAB,àmatrizCmp= [cik]comcik=n

j=1aijbjk(2.1)Exemplo1. EfetueoprodutoABondeA =__2 11 3__eB=__4 2 05 1 3__.AordemdamatrizprodutoC= A22B23eC23,ouseja,C=__c11c12c13c21c22c23__.Utilizandoadenicaodeprodutomatricialdadaem2.1cik=n

j=1aijbjk,tem-se:c11=2

j=1a1jbj1= a11b11 + a12b21= 2 4 + (1) 5= 8 5 = 3c12=2

j=1a1jbj2= a11b12 + a12b22= 2 2 + (1) 1= 4 1 = 3c13=2

j=1a1jbj3= a11b13 + a12b23= 2 0 + (1) 3= 0 3 = 3c21=2

j=1a2jbj1= a21b11 + a22b21= 1 4 + 3 5= 4 + 15 = 19c22=2

j=1a2jbj2= a21b12 + a22b22= 1 2 + 3 1= 2 + 3 = 5c23=2

j=1a2jbj3= a21b13 + a22b23= 1 0 + 3 3= 0 + 9 = 9AssimC= AB=__3 3 319 5 9__.Exemplo 2. Sejam as matrizes A235= [aij] e B512= [bij], em que aij=___0,sei ,= ji,sei = jebij=___1,sei ,= ji2,sei = j,determineoelementoc34damatrizprodutoAB.27Empregando a denic ao de produto matricial dada em 2.1 cik=n

j=1aijbjk, escreve-se:c34=5

j=1a3jbj4= a31b14 + a32b24 +a33b34 +a34b44 + a35b54= 0 1 + 0 1 + 3 1 + 0 42+ 0 1 = 3Denicao: SeAeumamatrizquadradaescreve-seA2= AA,A3= AAAeassimpordiante. Considera-seA0= IeA1= A.Exemplo3. Dadaafuncaof: R22 R22talquef(x)=x2 3x + 2. Determinef(A)paraA =__1 04 2__.3f(A) = A23A + 2If(A) = A A 3A + 2If(A) =__1 04 2__

__1 04 2__3__1 04 2__+ 2__1 00 1__f(A) =__1 012 4____3 012 6__+__2 00 2__f(A) =__0 00 0__Observac oessobreoprodutomatriciala) Aassociatividade.SejamA, BeCmatrizestaisqueosseguintesprodutosexistam, entaoA(BC)=(AB)C.b) Anaocomutatividade.3R22e o conjunto de todas as matrizes reais de ordem 2 2 e,f: R22 R22e uma funcao comdomnio e contra-domnio iguais a R22.28SeasmatrizesAeBsaotaisqueAB=BAdizemosqueAeBcomutam, porexemplo:AsmatrizesA =__2 53 4__eB=__1 00 1__comutam.PoremA =__2 53 4__eB=__1 10 1__naocomutam.Consequentementedizemosoprodutodematrizesnaoecomutativo, umavezquenaosetemAB= BAparatodasasmatrizesAeB.c) Adistributividadeemrelac aoàadicao.SendoA,BeCmatrizesdeordensconvenientes,ent ao:A(B + C) = AB +AC(distributividadeàdireita)(B + C)A = BA +CA(distributividadeàesquerda)c) Aleidocancelamento.Uma igualdade X= Y , com Xe Ymatrizes de ordem mn, pode ser multiplicadaàesquerdaporumamatrizPpm, obtendoPX=PY . AnalogamentepoderamosmultiplicarambososmembrosdaigualdadeX= Y àdireitaporumamatrizQnqchegandoaXQ = Y Q.Jaareciprocanaoevalida,istoe,seXQ = Y QnaoimplicaemX= Y ,analoga-mentePX=PY tambemnaoimplicaemX=Y . TambemAB=0naoimplicaemtermosA = 0ouB= 0.Isto ealeidocancelamentoparamatrizesnao evalida.Teorema: SeAmneBnpentao(AB)T= BTAT.Demonstracao:EscrevaA=[aij]mneB=[bjk]np. OelementocikdeABedadoporcik=n

j=1aijbjk.Considere c

ikcomo o elemento generico de (AB)T, assim c

ik=n

j=1akjbji. Mas o elementob

ijde BTe b

ij= bji,logo o elemento c

ikde BTATe c

ik=

nj=1b

ija

jk=

nj=1bjiakj,logoc

ikde(AB)Tomesmoelementoc

ikdeBTAT.29Denicao: UmamatrizAmm= [aij] echamadadeidempotenteseA2= A.Denicao: UmamatrizAmm= [aij] echamadadenilpotentede ndicekseAk= 0eAk1,= 0,sendokuminteiropositivo.2.3.6 MatrizesemblocosUmamatrizApode-separticionadaemmatrizesmenoreschamadasblocosoucelas.AmatrizAassimescrita echamadamatrizemblocos.Exemplo:A matriz A =_____2 3 1 0 01 3 1 0 01 2 1 4 7_____pode ser particionada em blocos, por exemplo,comoA =_____2 3 1 0 01 3 1 0 01 2 1 4 7_____=__X YZ W__,ondeX=__ 2 3 11 3 1__,Y=__0 00 0__,Z=_ 1 2 1_eW=_4 7_.A vantagem da particao de uma matriz em blocos, vem do fato que as operac oes sobrematrizesemblocospodesefeitooperando-seosblocos, comosefossemelementosdasmatrizes.Sejam as matrizes de blocos A =________A11A12 A1pA21A22 A2p Am1Am2 Amp________, B=________B11B12 B1nB21B22 B2n Bp1Bp2 Bpn________eC=________C11C12 C1pC21C22 C2p Cm1Cm2 Cmp________,entao:30a)kA =________kA11kA12 kA1pkA21kA22 kA2p kAm1kAm2 kAmp________b)A + C=________A11 + C11A12 + C12 A1p + C1pA21 + C21A22 + C22 A2p + C2p Am1 + Cm1Am2 + Cm2 Amp + Cmp________c)AB=________Q11Q12 Q1nQ21Q22 Q2n Qm1Qm2 Qmn________,emqueQij= Ai1B1j +Ai2B2j + + AipBpjExemplo: Empregando matrizes de blocos efetue AB, onde A =________2 3 0 0 01 3 0 0 00 0 1 4 70 0 1 1 2________,B=___________2 3 0 01 3 0 01 2 0 00 0 1 10 0 2 1___________.AB=________2 3 0 0 01 3 0 0 00 0 1 4 70 0 1 1 2________.___________2 3 0 01 3 0 01 2 0 00 0 1 10 0 2 1___________=31AB=________2 3 0 0 01 3 0 0 00 0 1 4 70 0 1 1 2________.___________2 3 0 01 3 0 01 2 0 00 0 1 10 0 2 1___________=__X Y ZW R T_______EFG_____=__X.E + Y.F+Z.GW.E + R.F+ T.G__=__X.E +0 +00 + R.F+T.G__=__X.ER.F+ T.G__=__X.ER.F__+__0T.G__=________4 + 3 6 9 0 02 3 3 + 9 0 01 2 4 41 2 1 1________+________0 0 0 00 0 0 00 0 14 70 0 4 2________=________7 15 0 05 12 0 01 2 18 31 2 5 1________Exerccios1. Verique se o produto A.ATe uma matriz simetrica, sendo A =_____2 3 11 3 11 2 1_____2. DadasasmatrizesA=_____4 53 72 4_____eB=__ 4 6 33 5 8__. Calcule(AB)TeBTATvericandoaigualdade(AB)T= BTAT3. Verdadeirooufalso? Seaarmacaoforverdadeiraprove, casofalsadeumcon-32traexemplo.a) AmatriznulaO33eumamatrizdiagonal.b) AmatrizidentidadeI33etriangularinferior.c) Todamatrizescalar etriangularsuperior.d) Oprodutodeduasmatrizesquadradassempreexiste.e) Existemmatrizesquadradasnaonulasqueelevadasaoquadradoresultamnamatriznula.f) AX= AY implicaemX= Y paraqualquermatrizA.g) (A B)(A + B) = A2B2h) SeA eumamatriztriangularsuperiorent aoATetriangularinferior.i) SejaAnnentaoAATesimetrica.j) Oprodutodematrizes triangulares inferiores (superiores) demesmaordemeoutramatriztriangularinferior(superior)demesmaordem.k) (A + B)2= (A + B)(A + B)l) Umamatrizescalardeordemmmcomutacomtodasasmatrizesdeordemmm.4. Deumexemplodeumamatriznilpotentede ndice4.5. DetermineXnaequac aomatricialAXB= C,sabendoquePA = BQ = I.6. Dadaafunc aof : 122 1tal quef(x) =2x2 x + 4. Calculef(A)sendo__ 1 23 1__7. Umarededecomunicacaotemcincolocaiscomtransmissoresdepotenciasdistin-tas. Estabelecemosqueaij=1, namatrizaseguir, signicaqueaestac aoi podetransmitirdiretamenteàestac aoj,eaij= 0signicaqueatransmissaodaestac ao33inaoalcancaaestacaoj.A =___________0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0___________a) Qualosignicadodadiagonalprincipalsernula.b) CalculeB= A2c) Qualosignicadodoelementob13= 2emA2d) QualosignicadodamatrizA28. Existemtresmarcasdeautomoveisdisponveisnomercado: oJacare,oPiranhaeoUrubu. OtermoaijdamatrizA,aseguir,eaprobabilidadedequeumdonodecarrodalinhaimudeparaocarrodacolunaj, quandocomprarumcarronovo._____0.7 0.2 0.10.3 0.5 0.20.4 0.4 0.2_____a) Qualosignicadodadiagonalprincipalsernula.b) CalculeA2c) QualosignicadodamatrizA29. DetermineAn,para:(a) A =__1 00 2__(b) B=_____1 0 00 1 00 0 3_____(c) R =__cos(x) sen(x)sen(x) cos(x)__10. Determine,seexistir,umamatrizAtalque:34a) A2=__ 5 46 5__b) A2=__0 10 0__11. DeterminetodasasmatrizesA22taisqueAB= BAparaB=__2 01 1__12. Dada uma matriz Ann= [aij], ent ao o tracode A, denotado tr(A), e denido comoasomadetodososelementosdadiagonal principal deA, istoe, tr(A)=i=n

i=1aii.Mostreque:a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B).b) tr(AT) = tr(A)c) tr(ATA) 013. Calculeotracodeumamatrizescalardeordemn n.14. SeA eumamatrizn neA4= 0,veriqueque(InA)1= In + A + A2+ A3.15. SendoA =__2 00 3__calculeA2,A3,An.16. SejaA =___112013___. UsandooOctave,calculeasequenciaA, A2, A3, . . . , An, . . .. Descrevaocomportamentodessasequenciamatricial.17. Umamatriz real simetricaAe positivadenidade paratodovetor (coluna) xtem-sexTAxepositivo. Veriqueseas matrizes A=_____1 0 20 2 22 2 7_____, B=_____1 0 10 1 21 2 3_____eC=_____4 2 122 10 312 3 41_____saopositivadenidas.3518. Uma matriz real S e ortogonal se STS= SST= I. Mostre que S=_____1/9 8/9 4/94/9 4/9 7/98/9 1/9 4/9_____eortogonal.19. Descrevacomodeterminariamossomenteoelementop7,4damatrizP= AB,ondeA2312eB129.20. ConsidereamatrizS=_____2 1 11 2 11 1 2_____, mostrequeSn+1=3nSparatodoninteiropositivo.21. Encontretodasasmatrizes__x yz t__quecomutamcom__1 10 1__.22. VeriqueseamatrizX=_____121_____esolucaodaequac aomatricial AX=2XcomA =_____3 2 02 3 00 5 5_____.23. Determineumamatriznaonuladeordem2 2talqueB2= 0.24. Resolvaosistemadeequac oes___X + Y= A + BX Y= A +C, emqueA=_____3 22 30 5_____,B=_____0 03 05 5_____eC=_____1 22 14 2_____.25. ProvequeseAeBsaomatrizessimetricasent aoABserasimetricaseesomenteseAB= BA.26. CalculeABsendoA =________2 3 0 0 0 01 3 0 0 0 00 0 0 1 4 70 0 0 1 1 2________eB=________2 3 0 01 3 0 00 0 1 40 0 1 1________.3627. Dadaamatriz A=__1 23 6__. Determine umamatriz naonulaB23tal queAB= 0.28. ConrmeasrespostasencontradasutilizandoosoftwareOctave.2.4 MatrizinversaDenicao: DadaumamatrizAmn, dizemosqueumamatrizGnmeumainversaàesquerdadamatrizAseesomenteseGA=I. AnalogamenteHnmeumainversaàdireitadeAseAH= I.Exemplo: Determine, seexistirem, asinversasàesquerdaeàdireitadamatrizA=__1 0 21 1 1__(i)Inversaàesquerda(G):ComoamatrizApossui ordem23amatrizinversaàesquerda, casoexista, teraordem3 2,assimconsidere:G =_____a bc de f_____,talqueGA = I,ouainda:_____a bc de f_______1 0 21 1 1__=_____1 0 00 1 00 0 1_____37___a b = 1b = 02a + b = 0c d = 0d = 12c + e = 0e f= 1f= 02e + f= 0,que e um sistema de equac oes lineares incompatvel, assim, a matriz A nao possui inversaàesquerda.(ii)Inversaàdireita(H):Como a matriz A possui ordem 23 a matriz inversa à direita, caso exista, tera ordem3 2,assimconsidere:H=_____a bc de f_____,talqueGA = I,ouainda:__1 0 21 1 1_______a bc de f_____=__1 00 1_____a + 2e = 1b + 2f= 0a + c + e = 0b + d + f= 1==a = 1 2eb = 2fSubstituindoasduas ultimasigualdadesnasequac oes(3)e(4)iniciais,vem:___a = 1 2eb = 2f(1 2e) + c + e = 0 c = 1 3e2f+ d +f= 0 d = fe Rf RComo o sistema apresentou-se indeterminado, existem varias matrizes inversas à dire-itadamatrizAe,escreve-se:38H=_____1 2e 2f1 3e fe f_____Vejaqueamedidaqueforematribudosvaloresaosparametroseef, seraoobtidasasdiversasmatrizesinversasàdireita.Teorema: Se existirem inversas à esquerda e à direita de uma matriz quadrada A elasseraoiguaiseessainversasera unica.demonstracao: Sejam G e Has inversas de A à esquerda e à direita, respectivamente,assimGA=IeAH=I. MasG=G.I=G(AH)=(GA)H=I.H=H. ParaprovaraunicidadesuponhaqueexistaG

quetambemsejaumainversaàesquerdadeA, logocomofeitoanteriormentechega-seaG

= Hent aoG

= G,ousejaainversa e unica.Teorema: SejaAmnumamatrizretangular,m ,= n. Sem < nAnaopossuiinversaàesquerdaesem > nAnaopossuirainversaàdireita.Observac ao. Veja que o teorema acima nada arma com respeito a existencia de umamatrizinversa,somentearmaqueemdeterminadoladonaohaver ainversa.Denicao: Se existirem inversas à esquerda e à direita de uma matriz A ela sera ditainversvel,regularounaosingulareessainversa( unica)seradenotadaporA1.Teorema: Umamatrizeinversvel seesomenteseforquadradaeseudeterminantefordiferentedezero.Teorema: SeAeBforemmatrizesinversveis,ent ao:i) (A1)1= Aii) (AT)1= (A1)Tiii) (AB)1= B1A1iv) Paratodok Ramatrizk.A einversvele(k.A)1=1kA1v) An= (A1)n= A1.A1 A1Prova:39(i)(A1)1= X (A1)(A1)1= A1X I= A1X A = X.Propriedades: SeAeBforemmatrizesinversveis,entao:i) SeA eumamatrizinversvel,ent aoA.ATeAT.Asaotambeminversveis.ii) SeA eumamatrizsimetricainversvel,ent aoA1esimetrica.iii) Ainversadeumamatriztriangularinferior eumamatriztriangularinferior.iv) Ainversadeumamatriztriangularsuperior eumamatriztriangularsuperior.2.4.1 EquivalenciadematrizesDenicao: Chamam-seoperac oeselementaresporlinhasdeumamatrizA = [aij]deordemmn:op.1) ApermutadeduaslinhasdeA.op.2) Amultiplicacaodeumalinhaporumescalarnaonulo.op.3) Asubstituicaodeumalinhapelasuasomacomoutralinhapremultiplicadaporumescalar.Denicao: Uma matriz Bdiz-se equivalente por linhas a uma matriz A se e somentese puder ser obtida, a partir de A, mediante a aplicac ao de um n umero nito de operac oeselementaressobreaslinhasdeA.Exemplo. Dada a matriz A =_____1 2 11 1 31 1 0_____determine uma matriz T, triangularsuperiorquesejaequivalenteporlinhasaA.Comofoi pedidoparasedeterminarumamatrizequivalenteporlinhasàmatrizA,bastaescalonar,porlinhasamatrizAateobter-seumamatriztriangularsuperior._____1 2 11 1 31 1 0_____L2 L2 + L1_____1 2 10 3 21 1 0_____40_____1 2 10 3 21 1 0_____L3 L3L1_____1 2 10 3 20 3 1__________1 2 10 3 20 3 1_____L3 L3 +L2_____1 2 10 3 20 0 3_____LogoB=_____1 2 10 3 20 0 3_____eumamatriztriangularsuperiorequivalenteporlinhasàmatrizA.Exemplo. IdemparaA =_____2 1 21 1 03 2 2__________2 1 21 1 03 2 2_____L1 L2_____1 1 02 1 23 2 2__________1 1 02 1 23 2 2_____L2 L22L1L3 L33L1_____1 1 00 1 20 1 2__________1 1 00 1 20 1 2_____L3 L3L2_____1 1 00 1 20 0 0_____e, C=_____1 1 00 1 20 0 0_____e umamatriz triangular superior equivalente por linhas àmatrizA.Observac ao:Eimportanteobservar queas operac oes elementares op.1 eop.2 nosfornecemoutraoperac ao,naoelementar,masquepodeserdemuitautilidade:Li cLi + dLj41Denicao: Umamatrizmn editaescalonada,ouemformadeescada,se:a) Aslinhasnulasocorremdepoisdaslinhasnaonulas.b) Seoprimeironaonulodeumalinhaocorrernacolunakent aooprimeiroelementonaonulodalinhaseguintedeveraestardepoisdacolunak.Denicao: Chama-se matriz escalonada reduzida por linhas a uma matriz A tal que:a) Amatriz eescalonada.b) Cadacolunaquecontemoprimeiroelementonaonulodealgumalinhatemtodososoutrosseuaelementosiguaisazero.c) Oprimeiroelentonaonulodelinha e1.Teorema: Toda matriz Amnsobre um corpo F e equivalente por linhas a uma matrizB,escalonadareduzidaporlinhas.Denicao: Chama-se matriz elementar à matriz que e obtida a partir da matriz iden-tidadeutilizando-seuma unicaoperacaoelementarsobreaslinhasdamatrizidentidade.Exemplos: A =_____1 0 01 1 00 0 1_____,B=__1 00 2__saomatrizes elementares, enquantoqueC=__1 01 2__eD =_____1 0 01 2 00 0 1_____naosaomatrizeselementares.Teorema: Matrizes elementares sao inversveis e suas inversas sao matrizes elementaresdomesmotipo.Teorema: QualqueroperacaoelementarsobreaslinhasdeumamatrizAmnpodeseobtida multiplicando-se a matriz A pela matriz elementar E, à esquerda, onde Ee obtidaaplicando-seàmatrizidentidadeaoperacaoelementardesejada.42Exemplo:__1 01 1____3 51 2__=__3 54 3__eomesmoqueaplicaraoperac aoelementarL2 L2 + L1.Teorema:Uma matriz Amne equivalente por linhas a uma matriz Bmnse e somenteseexisteumamatrizPprodutodematrizeselementares,ondeA = PB.Teorema: UmamatrizAquadradaserainversvelseesomenteseforequivalenteporlinhasàmatrizidentidade.demonstrac ao:() Seja A inversvel e Ba matriz escalonada reduzida por linhas equivalente a A. Ent aoexisteumamatrizP,que eprodutodematrizeselementares,talqueB= PA. PelofatodeAser inversvel tem-sedet(A) ,=0ecomoPeoprodutodematrizes elementarestem-se tambem que det(P) ,=, logo det(B) ,= o que implica que Bnao possui linhas nulaseassimB= I. Ent aoA eequivalenteporlinhasàmatrizidentidade. Sendo A equivalente por linhas à matriz identidade,existeP,produto de matrizeselementares,talqueI=PA. Entaodet(I)=det(PA)ouaindadet(I)=det(P)det(A),masdet(I) = 1logodet(A) ,= 0eassimA einversvel.2.4.2 CalculodainversaempregandooperacoeselementaresComoconsequenciadoteoremaanteriorpode-seescreveroseguintealgoritmoparaadeterminac aodainversadeumamatrizquadradaA.Algoritmo: Dever aserconstrudaumamatrizdeblocos[A... I] eemseguidaapli-camosoperac oeselementaressobreaslinhasdestamatrizdeblocoscomoobjetivodeconduziramatrizAàmatrizidentidade. AssimnolugardamatrizAteremosamatrizidentidadeenolugardamatrizidentidadeteremosainversadeA.Exemplo 1. Determine, utilizando o algoritmo anterior, a inversa da matriz_____1 0 01 2 00 0 1_____43_____1 0 0 1 0 01 2 0 0 1 00 0 1 0 0 1_____L2 L2L1_____1 0 0 1 0 00 2 0 1 1 00 0 1 0 0 1_____L2 L22_____1 0 0 1 0 00 1 0 1/2 1/2 00 0 1 0 0 1_____L2 L22A1=_____1 0 01/2 1/2 00 0 1_____Exemplo2. Determineamatrizinversade_____0 1 21 2 11 3 8_____._____0 1 2 1 0 01 2 1 0 1 01 3 8 0 0 1_____L2 L1_____1 2 1 0 1 00 1 2 1 0 01 3 8 0 0 1_____L3 L3 + L1_____1 2 1 0 1 00 1 2 1 0 00 5 9 0 1 1_____L1 L12L2L3 L39L2_____1 0 3 2 1 00 1 2 1 0 00 0 1 5 1 1_____L1 L13L3L2 L2 + 2L244_____1 0 0 13 2 30 1 0 9 2 20 0 1 5 1 1_____L3 L3_____1 0 0 13 2 30 1 0 9 2 20 0 1 5 1 1_____A1=_____13 2 39 2 25 1 1_____2.4.3 CalculodainversaempregandomatrizesdeblocosSejaAumamatrizdeordemn ndaformaA =__P QR S__,emquePtemordemk k, S e de ordem (nk) (nk), Q e de ordem k (nk) e R tem ordem (nk) k.SupondoqueP1econhecidaou efacilmentedeterminada,podemostrarqueA1podeserobtidaatravesdeumprocedimentoecienteutilizandosomenteA1.ConsiderequeA1=__X YZ W__,assimpode-seescrever:__P QR S____X YZ W__=__Ik00 Ink__, em que Ike Inksao respectivamente as matrizes identidade de ordem k e nk, e tem-se___PX + QZ= Ik(1)PY+ QW= 0 (2)RX + SZ= 0 (3)RY+ SW= Ink(4)IsolandoY naequacao(2) tem-se Y = P1QWque substituidoem(4) resultaW= (S RP1Q)1.Agoraapartirde(1)escreve-seX=P1 P1(QZ)elevadoem(3)implicaemZ= WRP1,assim:45___W= (S RP1Q)1Y= P1QWZ= WRP1X= P1P1(QZ).Exemplo: Determine, empregando matrizes de blocos, a inversa de A =________1 0 3 10 0.5 4 25 3 10 76 4 14 10.5________.Tome: P =__1 00 0.5__, Q=__3 14 2__,R=__5 36 4__eS=__ 10 714 10.5__.ComoP1=__1 00 2__escreve-seP1Q =__3 18 4__Empregandoasrelacoesdeduzidasanteriormente,vem:___W= (S RP1Q)1=__ 1 00 2__Y= P1QW=__3 28 8__Z= WRP1=__5 612 16__X= P1P1(QZ) =__ 26 3488 114__assim,A1=__X YZ W__=________26 34 3 288 114 8 85 6 1 012 16 0 2________.462.5 Execcios1. Vericar se a matriz A =_____1 1 00 1 11 1 3_____e a inversa de B=_____2 3 11 3 11 2 1_____.2. Determine me npara que a matriz B =__5 222 9__seja a inversa de A=__m 222 n__3. Determineainversadasseguintesmatrizes,seexistirem: ,a) A =_____1 2 10 1 31 2 3_____b) B=_____1 1 10 1 22 3 4_____c) C=________3 1 5 00 2 0 12 0 1 31 1 2 0________d) D =_____1 2 10 1 11 1 1_____e) E=_____1 2 12 1 11 1 0_____f) F=________i 3 2 i3 i 1 i2 1 1 0i i 0 1________g) G =________1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 1 1________h) H=________a 0 0 00 b 0 00 1 c 00 0 0 d________4. Uma maneira para codicar uma mensageme atraves da multiplicac ao de ma-trizes. Vamos associar as letras do alfabeto aos n umeros, segundo a correspondenciaseguinte:A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25SuponhamosqueanossamensagemsejaPUXAVIDA. Podemos formar umamatriz3 3assim:_____P U XA VI D A_____,queusandoacorrespondencianumericaca:47M=_____15 20 231 0 219 4 1_____AgorasejaCumamatrizqualquer3 3naosingular,porexemplo:C=_____1 0 11 3 10 1 1_____MultiplicamosnossamatrizdamensagemporC,obtendoM.C,_____15 20 231 0 219 4 1_____._____1 0 11 3 10 1 1_____=_____5 83 581 21 225 13 14_____. Transmitimos esta novamatriz(na pratica, envia-se a cadeia de n umeros 5, 83, 58, 1, 21, 22, 5, 13, 14). Quemrecebeamensagemdecodica-aatravesdamultiplica caopelainversa(M.C).C1=Meposteriortranscric aodosn umerosporletras. Cechamadamatrizchaveparaocodigo.a) Vocerecebeuamensagem: 12, 48, 23, 2, 42, 26, 1, 42, 29. Utilizandoamesmamatrizchavetraduzaamensagem.b) Acontecequeoinimigodescobriusuachave. Oseucomandantemandavocesubstituir amatrizchavepor_____1 1 11 1 00 0 2_____. VocetransmiteamensagemCRETINO...a ele. Por que nao sera possvel a ele decodicar sua mensagem?c) Escolha uma matriz chave que de para codicar palavras ate 16 letras. Codiqueedescodiqueàvontade! Sepossuir algumsoftwarequefacaoprodutodematrizes,outilizeneste tem.5. Verdadeirooufalso? Seaarmacaoforverdadeiraprove, casofalsadeumcon-traexemplo.a) Se amatriz Apossui umalinhanulaent aoABtambemtemumalinhadeelementosnulos.b) SeamatrizApossui umacolunanulaentaoABtambemtemumacolunadeelementosnulos.48c) SeAeBsaomatrizesdiagonaisn nent aoAB= BA.d) SeAAT= 0ent aoA = 0.e) Ainversadeumamatriztriangularsuperior eumamatriztriangularinferior.f) Setr(AAT) = 0ent aoA = 0.g) Sejam duas matrizes A e B de ordem nn equivalentes por linhas. A e inversvelseesomenteseBeinversvel.h) SeA,BeCsaomatrizesn n,ent ao(ABC)1= C1A1B1.i) SeA einversvelent ao(A1)1= A.j) SeA einversvelent ao(kA)1= kA1.k) Nao existem matrizes A22, diferente da matriz identidade, que seja auto-inversa,isto e,talqueA = A1.l) SeumamatrizA einversvelentaoA2sempreserainversvel.m) SeasmatrizesAnneBnnsaoinversveisent aoA + Btambem einversvel.n) SejaAinversvel,entaoseAB= ACtem-seB= C.o) SejaAumamatrizquadradatal queI Aeinversvel ent aoA(I A)1=(I A)1A.6. Suponha que A e Bsao matrizes quadradas e que AB= 0. Se B e inversvel calculeamatrizA.7. Asoperacoeselementaresop1. L2 L22L1op2. L3 L34L1op3. L3 L3 + L2op4. L3 L3op5. L2 L2 + L3op6. L1 L12L3praticadasnaordememqueestaoescritasdeixamamatrizA33equivalenteporlinhasàmatrizidentidade. DetermineasmatrizesAeA1.498. Explique, utilizandoos teoremas vistos emsala, oprocedimentopraticoparaadeterminac aodamatrizinversa,isto e,[A ... I]escalonadosetorna[I... A1].9. SeA1=_____1 3 00 1 11 1 4_____eB1=_____2 1 10 0 21 1 1_____. Calcule(AB)1.10. DadaamatrizA =_____0 1 21 2 11 3 8_____,resolvaaequac aoA1.X.AT= A,semsubsti-tuirXporumamatrizgenerica.11. Resolvaasseguintesequacoesmatriciais,sendoAinversvel:a) AX= Bb) XA = Bc) X1A = Bd) AX1= Be) AXB= BAf) (AX)T= Bg) (AX)1= Bh) ((AX)1B)T= Ai) AX= AT+I12. Mostre que a inversa de A =__cos(x) sen(x)sen(x) cos(x)__e A1=__cos(x) sen(x)sen(x) cos(x)__.13. Resolva,novamente,osexerccios1,2,3,4,9e10utilizandooOctave.50Captulo3Determinantes3.1 DenicoesDenicao: SejaS=1, 2, 3, . . . , noconjuntodetodososn umerosinteirosde1an,dispostosemordemcrescente. Umaoutraordemj1, j2, . . . , jndoselementosdeSechamadaumapermutac aodeS.Denicao: Umapermutacaoj1, j2, . . . , jndeSn= 1, 2, 3, . . . , ntemumainvers aoseuminteirojrprecedeuminteiromenorjs. Umapermutac aoedenominadaparseon umero total de inversoes e par. Uma permutac ao e denominada mpar se o n umero totaldeinversoes e mpar.Exemplo1: SejaS4=1, 2, 3, 4. Apermutac ao(4, 1, 3, 2), querepresentaremospor4132,tem4inversoes: o4antesdo1,o4antesdo3,o4antesdo2,o3antesdo2.Portanto,apermuta cao4132deS4eumapermutac aopar,poistemumn umeropardeinvers oes.Exemplo2: SejaS2=1, 2. Apermutacao12naotemnenhumainversao. Logo, eumapermutacaopar. Jaapermutac ao21eumapermutacao mpar, poistemapenasumainversao,o2antesdo1.Denicao: SejaAmmumamatrizquadrada,dene-secomodeterminantedeA,de-51notadopordet(A)ou [A[,comodet(A) =

()a1j1.a2j2.a3j3. . . amjm,ondeosomatorioe tomado sobre todas as permutacoes j1, j2, . . . , jmdo conjunto Sm= 1, 2, 3, . . . , m. Osinaldotermocorrespondenteàpermutac aoj1, j2, . . . , jme+seelaforparesera sefor mpar.Pode-seconstatarquecadatermododet(Anxn)eumprodutodenelementosdeA,contento exatamente um elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Os ndicesrelativosàslinhasestaonasuaordemnatural(1, 2, 3, . . . , n),enquantoqueos ndicesrelativosàscolunasestaonaordemj1, j2, . . . , jn. Comoapermutac aoj1, j2, . . . , jnconsistenosn umerosde1anemumaordemdiferentedausual,elanaotemrepetic ao.Assim,odet(A)temn!termos.Exemplo: Calcule, usando a denic ao, o determinante da matriz A =_____a11a12a13a21a22a23a31a32a33_____Peladenicaodedeterminantetemos:det(A) =

()a1j1.a2j2.a3j3ComoS3=1, 2, 3, ent aoaspermuta coessao123, 132, 213, 231, 312, 321com,respectivamente,0, 1, 1, 2, 2, 3inversoes. Assim,det(A) = a11a22a33a11a23a32a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32a13a22a313.2 Propriedades(i) det(AT) = det(A)(ii) SeBeumamatrizobtidapermutando-seduaslinhas(ouduascolunas)deA,ent ao.det(B) = det(A),(iii) SeApossuiduaslinhasouduascolunasiguaisou,ainda,seApossuiumalinhaouumacolunanula,entaodet(A) = 0.52(iv) Se Be umamatriz obtidamultiplicando-se umalinha(oucoluna) de Apor umn umeroreal k, entaodet(B)=kdet(A). Consequentemente, det(kB)=kndet(A)seAnn.(v) Se substituirmos uma linha r (ou coluna r) pela soma dos elementos de r com os corre-spondentes elementos de uma linha s (ou coluna s) multiplicada por uma constanteknaonula,comr ,= s,obtendo-seassimumamatrizB,ent aodet(B) = det(A).(vi) SeAeumamatriztriangularsuperiorouinferior,entaodet(A) =a11.a22. . . . .ann,isto e, o determinante de A e igual ao produto dos elementos da diagonal principal.(vii) det(AB) = det(A).det(B).(viii) det(A1) =1det(A),seA einversvel.(ix) det(A) = ndet(A),ondeAtemordemn n.3.3 DesenvolvimentoporLaplaceSejaAmmumamatrizquadradaent ao:det(A) =m

j=1aij(1)i+jdet(Aij) ,ondedet(Aij)eodeterminantedasubmatrizAijobtidaapartirdeAsuprimindo-seai-esimalinhaeaj-esimacoluna.Exemplo. CalculeodeterminantedamatrizA =________3 1 1 21 1 0 11 0 2 13 2 1 2________det(A) =3 1 1 21 1 0 11 0 2 13 2 1 253det(A) =3 1 1 21 1 0 11 0 2 13 2 1 2L2 L2 + 2L1L3 L3 + L1det(A) =3 1 1 21 1 0 15 2 0 36 3 0 4det(A) =3 1 1 21 1 0 15 2 0 36 3 0 4det(A) = (1)(1)1+31 1 15 2 36 3 4det(A) = (1)_8 + 15 + 18 12 9 20_det(A) = 0543.4 Execcios1. Quantasinversoesde1, 2, 3, 4, 5existemnosconjuntos:(i) 3, 5, 4, 1, 2(ii) 2, 1, 4, 3, 5(iii) 5, 4, 3, 2, 12. CalculeovalordodeterminantedamatrizA=_____1 2 31 1 11 4 1_____peladenicao.DepoisconrmeoresultadoutilizandoaregradeSarruseoOctave.3. DadasasmatrizesA =__1 21 0__eB=__3 10 1__,calcule:(i) det(A) + det(B)(ii) det(A +B)4. SejamAeBmatrizesdeordemnn. Seaarmacaoforverdadeirajustique,casofalsadeumcontraexemplo.(i) det(AB) = det(BA)(ii) det(AT) = det(A)(iii) det(2A) = 2det(A)(iv) det(A2) = (det(A))2(v) Sedet(A) = 1entaoA1= Avi) det(ATBT) = det(A).det(BT.vii) SeA = A1entaodet(A) esomenteiguala1.5. Calculeodeterminantedasseguintesmatrizes:55(i) A =________3 1 5 00 2 0 12 0 1 31 1 2 0________(ii) B=________i 3 2 13 i 1 i2 1 1 0i i 0 1________(iii) C=___________1 0 0 0 03 2 0 0 02 1 1 0 02 4 0 1 03 5 8 4 2___________6. QualovalordodeterminantedeumamatrizortogonalA?7. SendoA =_____1 2 11 0 14 4 5_____determineosvalorestaisquedet(A I) = 0.56Captulo4Sistemasdeequacoeslineares4.1 ConceitosUm sistema de m equac oes lineares com n incognitas x1, x2, , xn e com coecientesaijetermosindependentesbk,denidossobreumcorpo F eescritodeseguinteforma:S:___a11x1+ a12x2+ a13x3++ a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ a23x3++ a2nxn= b2a31x1+ a32x2+ a33x3++ a3nxn= b3

am1x1+ am2x2+ am3x3++ amnxn= bmSistemaslinearesematrizesSe nosistemaSanterior zermos Amn=[a[ij], XT=[x1, x2, , xn] e bT=[b1, b2, , bm]teremosaformamatricial:Ax = bQuandoamatrizb = 0osistemaserachamadodesistemalinearhomogeneo.SolucaodeumsistemalinearChama-sesoluc aodeumsistemalinearSaumamatrizxqueveriquesimultanea-57mentetodasasequacoesdeS: Ax=b. Conceitua-sequeresolverumsistemalinearedeterminartodasassuassoluc oes,enquantoquediscutirumsistema ediscutirsobquaiscondic oesestesistemateraounaosolucoes.EquivalenciadesistemaslinearesDois sistemas lineares S1 e S2 serao chamados de equivalentes se e somente se possuiremasmesmassolucoes, ouseja, todasolucaodeS1tambemesolucaodeS2evise-versa.Assim torna-se claro que para determinarmos a solucao de um sistema linear Sdeveremosencontrar um sistema S1equivalente a Smas que possua uma soluc ao mais visvel. Comoporexemplo:S:___2x + y = 92x + 2y = 0eS1:___2x + y = 9+ 3y = 9VejaquenosistemaS1asoluc ao efacilmenteencontrada,x = y= 3.Teorema: Seasmatrizes[A...B] e[A1...B1] foremequivalentesporlinhasentaoossis-temasA1x = B1eAx = Bseraoequivalentes.PostoChama-sepostodeumamatrizAmn, denotadoporp(A), aon umerodelinhasnaonulasdeumamatrizescalonadaequivalenteporlinhasaA.NulidadeChama-senulidadedeumamatrizAmnan p(A).Teorema:Dadoumsistemadeequac oeslinearesAx = b,comAmn.(i) Sep(Ab) > p(A)osistemaseraincompatvel.(ii) Sep(Ab) = p(A) < nosistemaserapossveleindeterminado,apresentandomaisdeumasoluc ao.(iii) Se p(Ab) = p(A) = n o sistema sera possvel e determinado, apresentando uma unicasoluc ao.58Exemplos1. Resolverosseguntessistemasdeequac oeslineares:a)___x + 2y 3z = 32x y + z = 3x y z = 42x 3z = 4________1 2 3 32 1 1 31 1 1 42 0 3 4________________1 2 3 32 1 1 31 1 1 42 0 3 4________L2 L22L1L3 L3 + L1L4 L42L1________1 2 3 30 5 7 90 1 4 70 4 3 2________L2 L1________1 2 3 30 1 4 70 5 7 90 4 3 2________L3 L3 + 5L2L4 L4 + 4L2________1 2 3 30 1 4 70 0 13 260 0 15 30________L4 L42L359________1 2 3 30 1 4 70 0 13 260 0 0 0________x + 2 1 3 2 = 3x = 1y 4 2 = 7y= 113z= 26 z= 2b)___x + 2y 3z + w = 32x y + z 2w = 3x 8y + 11z 7w = 9_____1 2 3 1 32 1 1 2 31 8 11 7 9__________1 2 3 1 32 1 1 2 31 8 11 7 9_____L2 L22L1L3 L3 + L1_____1 2 3 1 30 5 7 4 90 10 14 8 12_____L3 L32L2_____1 2 3 1 30 5 7 4 90 0 0 0 6_____ 0z= 6 Sistemaincompatvel60c)___3x + 2y z w = 32x y + z 2w = 3x 3y + 2z w = 6_____3 2 1 1 32 1 1 2 31 3 2 1 6__________3 2 1 1 32 1 1 2 31 3 2 1 6_____L2 L2L1_____3 2 1 1 31 3 2 1 61 3 2 1 6_____L3 L3L2_____3 2 1 1 31 3 2 1 60 0 0 0 0_____L2 3L2 +L1_____3 2 1 1 30 7 5 4 150 0 0 0 0_____7y + 5z 4w = 15 y=5z 4w 1573x + 2y z w = 33x + 25z 4w 157z w = 3x = z + 5w + 372. Discutirosseguintessistemasdeequacoeslineares:a)___x y z = 12x y + bz = 3x y z = a_____1 1 1 12 1 b 31 1 1 a_____61_____1 1 1 12 1 b 31 1 1 a_____L2 L22L1L3 L3 + L1_____1 1 1 10 1 b + 2 10 2 2 a + 1_____L3 L3 + 2L2_____1 1 1 10 1 b + 2 10 0 2b + 2 a + 3_____ (2b + 2)z= a + 3Sistemapossveledeterminado: 2b + 2 ,= 0 b ,= 1Sistemapossveleindeterminado: 2b + 2 = 0ea + 3 = 0 b = 1ea = 3Sistemaincompatvel: 2b + 2 = 0ea + 3 ,= 0 b = 1ea ,= 3b)___x + y + a2z = 1bx + y + abz = 1b2x + by a3z = ab_____1 1 a21b 1 ab 1b2b a3ab__________1 1 a21b 1 ab 1b2b a3ab_____L2 L2bL1L3 L3bL1_____1 1 a210 1 b ab a2b 1 b0 0 a3ab2ab b__________1 1 a210 1 b ab(1 a) 1 b0 0 a(a2+ b2) b(a 1)_____Sistemapossvel eindeterminado:a(a2+ b2)=0eb(a 1)=0ou1 b=0eab(1 a) = 0e1 b = 0 b = 1,isto e,a = 0eb = 0oua = b = 1oua = 0eb = 1.62Sistemaincompatvel: a(a2+ b2) = 0eb(a 1) ,= 0ou1 b = 0eab(1 a) = 0e1 b = 0 b = 1,isto e,a = 0eb ,= 0.Sistemapossveledeterminado: Noscasoscontr arios.4.2 Exerccios1. Determine todas as solucoes, se existirem, dos seguintes sistemas de equacoeslineares.a)___x + 2y + 3z = 92x y + z = 83x z = 3b)___x + y + 2z 5t = 32x + 5y z 9t = 32x + y z + 3t = 11x 3y + 2z + 7t = 5c)___x + 2y + 3z + 4w = 5x + 3y 5z + 7w = 11x z 2w = 6d)___x + 2y + 2z = 0x + 3y + 2z = 02x + y 2z = 0e)___x + 2y + z + w = 0x + w = 0x + y + z = 0f)___x + 2y = 0x 2y = 0g)__1 1 12 5 2__._____xyz_____=__43__h)_____1 3 2 3 72 6 1 2 51 3 1 0 2_____.___________x1x2x3x4x5___________=_____1421_____2. Resolvaossistemasanterioresusandoocomando doOctave.3. ResolvaporescalonamentoetambemcomoOctaveosistema63___x + = 1+ 0.001y = 0.001+ 0.0001z = 0.0001x + 0.001y + 0.0001z = 1.00114. No exerccio 3 anterior substitua a matriz de termos independentes por b =________1.010.0110.00991.0021________eresolvanovamenteporescalonamentoetambempeloOctave. Compareassolucoes. Oqueseraqueaconteceucomosoftware?5. Sabe-se que umaalimentacaodiariaequilibradaemvitaminas deve constar de170unidadesdevitaminaA, 180unidadesdevitaminaB, 140unidadesdevitaminaC,180unidadesdevitaminaDe350unidadesdevitaminaE. Comoobjetivodedescobriscomo devera ser uma refeicao equilibrada, foram estudados 5 alimentos. Fixada a mesmaquantidade(1g)decadaalimento,determinou-seque:i) OelementoItem1unidadedevitaminaA,10unidadesdevitaminaB,1unidadedevitaminaC,2unidadesdevitaminaDe2unidadesdevitaminaE.ii) OelementoIItem9unidadedevitaminaA,1unidadesdevitaminaB,0unidadedevitaminaC,1unidadedevitaminaDe1unidadedevitaminaE.iii) O elemento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 unidadesdevitaminaC,1unidadedevitaminaDe2unidadesdevitaminaE.iv) O elemento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade devitaminaC,2unidadesdevitaminaDe13unidadesdevitaminaE.v) OelementoVtem1unidadedevitaminaA,1unidadedevitaminaB,1unidadedevitaminaC,9unidadesdevitaminaDe2unidadesdevitaminaE.QuantosgramasdecadaumdosalimentosI, II, III, IVeVdevemosingerirparaquenossaalimentacaosejaequilibrada?6. Discutirosseguintessistemas:64a)___ax + y az = 0ax + y z = 2 ax + ay z = ab)___x + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1c)___ax + 2y = 63x y = 2x + y = 0d)___x + ay z = ax y + az = a2ax + y + z = abf)___x 4y + a2z = a22x + 2y 2az = ab4x y + 4z = b2g)___x + y z = 12x + 3y + az = 3x + ay + 3z = 27. SejamUeV matrizes-colunassoluc oesdosistemalinearhomogeneoAx = 0.a)MostrequeU+ Veumasoluc aob)MostrequeU Veumasoluc aoc)MostrequerUeumasoluc aoqualquerquesejaoescalarr.d)MostrequerU+ sVeumasoluc aoquaisquerquesejamosescalaresres.e)Deexemplosnumericosparailustraresteexerccio8. Dada a matriz__a bc d__. Mostre que A e equivalente por linhas a I2se e somentesead bc ,= 0.65RespostasSecao1.3.46. matrizdevesersimetricacomdiagonalrincipalnula.Secao1.3.53.a)V b)V c)Vd)F e)V f)Fg)F h)V i)V5. X= PCQ15. Asequenciapareceestarconvergindopara__1, 0000 0, 75000 0__.16. A eeBnao epositivadenida.20. 1,2ou3.26.a)V b)F c)Vd)V e)F f)Vg)V h)F i)Vj)V k)V l)FSecao1.410. X=_____80 59 3039 31 15318 233 119_____11. X= A1.AT+ A1Determinantes6. 1Sistemas1.66a)___x = 2y= 1z= 3b)___x = 5 2ty= 2 + 3tz= 3 + 2tt 1c)incompatveld)___x = 0y= 0z= 0e)___x = ty= tz= tt 16. d)Sistemapossveleindeterminadosea = 2eb = 1ousea = b = 1;sistemaimpossvel sea=2eb ,= 1oua= 1eb ,= 1; sistemapossvel edeterminadosea ,= 1ea ,= 2.f)Sea = 4eb = 8oub = 2,oua = 1eb = 2oub = 1/2indeterminado. SeSea = 4eb ,= 8oub , = 2,oua = 1eb ,= 2oub ,= 1/2impossvel. Sea ,= 4ea ,= 1determinado.67Captulo5Vetores5.1 Conceitos5.1.1 SegmentoorientadoDadaumaretaredoispontosAeBpertencentesaestareta. AoseadmitirumsentidoparaosegmentoABtem-seumsegmentosorientadoAB, emqueAechamadodeorigemeBdeextremidadedosegmentoorientado,ouBA. Todosegmentoorientadoecompostoportres tens:Direc ao:Eamesmadesuaretasuporte.Sentido:Edenidodaorigemparaaextremidadedosegmento.Modulo:EdadopeladistanciadopontoAaopontoBe, serarepresentadopor[AB[.5.1.2 SegmentosequipolentesDoissegmentosorientadosABeCDsaochamadosdeequipolentessepossuiremamesmadeirecao,omesmosentidoeomesmomoduloe,seraodenotadosporAB CD.68Propriedades(i)Reexiva: AB AB.(ii)Simetrica: SeAB CDent aoCD AB.(iii)Transitiva: AB CDeCD EFent aoAB EF(iv) Dados um segmento orientado ABe um ponto C, entao existe um unico ponto DtalqueAB CD.(v)SeAB CDent aoBA DC.(vi)SeAB CDent aoAC BD.(vii)Todosossegmentosnulossaoequipolentesentresi.5.1.3 ClassedeequivalenciaPelapropriedade (iv) anterior, existeminnitos segmentos orientados equipolentesaumsegmento ABdado. Esteconjuntorecebeonomedeclassedeequivalenciadosegmentoorientado AB.5.2 VetorOvetordeterminadoporumsegmentoorientadoABeoconjuntodetodososseg-mentos orientados equipolentes a ABe, sera denotado por v , isto e, vetor e um elementogenericodeumaclassedeequivalencia.Eimportanteconcluir, apartirdestadenic ao,queumvetor v naoestaxoemumdeterminadopontodoespacoaoqualelepertence.Assim,pode-seescrever:A +v = B,ouainda, v = B A.1Exemplos:1Veja que este conceito e consequencia da propriedade (iv)691. Determineovetor v = ABemqueA(1, 2, 4)eB(0, 3, 1).2. Determineomodulodovetor ABemqueA(0, 5, 0)eB(2, 1, 3).5.2.1 VetornuloEumvetorquepossuimoduloigualazero.5.2.2 VetorunitarioUmvetor v eunitariose [ v [ = 1.5.2.3 VersorDadoumvetor v naonulo, seuversor, denotadoporversv , eovetorunitariodemesmadirecaoemesmosentidode v .5.2.4 VetoropostoDadoumvetor ABseuvetoropostoseradadopor BA.5.3 Operac oescomvetores5.3.1 Adicaodevetores1. Denicao: Dadosdoisvetores u e v chama-sevetorsomade u e v ,denotadopor u+v , ao vetor obtido por meio do seguinte procedimento: Dado um ponto Aqualquer determine o ponto Btal que B= A+ue o ponto Ctal que C= B+v .nestascondic oes,tem-se u+v = C A.2. PropriedadesDadososvetores u , v e w,ent ao:70Associativa. ( u+v ) +w= u+ (v + w)Comutativa: u+v = v +uElementoneutro. u+0 = uElementooposto: u+ (u) = 0Leidocancelamento: Se u+v = u+went ao v = wProvadapropriedadecomutativa.APBV2V1V1V1+V2V2+V1Figura5.1: Propriedadecomutativadaadic aodevetores.Como___O + v1= A v1= A OA +v2= P v2= P ALogo v1+ v2= P O.(1)Ecomo___O +v2= B v2= B OB +v1= P v1= P Bvem v2+v1= P O.(2)Comparando(1)e(2)resulta v1+v2= v2+v15.3.2 Multiplicacaoporescalar1. Denicao: Dados um vetor v e um escalar K. Chama-se multiplicacao do escalarKpelovetor v ,denotadoporkv ,aovetorkv talque: v eKv possuemamesmadirec ao. v eKv teraomesmosentidoseK> 0eteraosentidoscontr ariosseK< 0.71 [Kv [ = [K[[v [2. Propriedades: Dadososescalareseeosvetores u e v ent ao:Propriedadecomutativa. v = v Propriedadeassociativaemrelac aoaoprodutodeescalares. ( u ) = ()uPropriedadedistributivaemrelacaoàadicaodeescalares. ( +)u= u+uPropriedade distributiva em relacao à adic ao de vetores. ( u + v ) = u +v5.3.3 Subtracaodevetores1. Denicao: Dados dois vetores u e v , dene-sediferencaentre u e v , nestaordem,denotadopor u v ,aovetor u v = u+ (v ).5.3.4 Exemplos1. Determineomodulodasomaeomodulodadiferencadedoisvetores v e wqueformamumangulode60o, [v [ = 4e [w[ = 6.OAV1V1+V2PV1V2V2V2Figura5.2: Somaesubtrac aodevetores.72A partir da lei dos cosenos a2= b2+c22bccos(), e da guraa 5.2 pode-se escrever:[v +w[2= [v [2+[w[22[v [[w[cos(180o)Assim [v +w[2= 42+ 622.4.6.cos(120o).Logo [v + w[2= 16 + 36 + 24,assim [ v +w[ =76.Analogamente,[v w[2= [ v [2+[w[22[ v [[ w[cos()Assim [v +w[2= 42+ 622.4.6.cos(60o).Logo [v + w[2= 16 + 36 24,assim [v + w[ =28.2. Dadosdoisvetoresperpendicularesdemoduloigual a12e5, determineomodulodasomaeomodulodadiferencadessesvetores.3. Demonstre, vetorialmente, que o segmento determinado pelos pontos medios de doislados de um triangulo e paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual à metadedeste terceiro lado. Do triangulo ABC da gura 5.3 vem (BA) = (CA)+(BC).BCMNFigura5.3: Exemplo3.(3)DotrianguloMNCdagura5.3vem(N M) = (C M) + (N C). (4)Mas (C A) =2(C M) e (B C) =2(N C), assim(3) ca(B A) =2(C M) + 2(N C)(B A) = 2(N M) AB= 2MN735.4 ExpressaocartesianadeumvetorConsidere umsistemacartesianoortogonal de eixos Ox, Oy e Oz e os repectivosversoresdesteseixos i, j e k .POjkCviyBzFigura5.4: ExpressaocartesianadeumvetorObservandoagura5.4econsiderandoP(x, y, z)pode-seescrever:v = OP= OA +OB +OCMascomo:OA = xi ,OB= yj eOC= zk vemv = OP= xi + yj + zkque eaexpressaodeumvetor v = (x, y, z).5.4.1 ExpressaocartesianadoversordeumvetorDadoovetor v = x i + y j +zk pode-seescrever:vers(v ) =v[v [=xi + yj + z k_x2+ y2+ z2vers(v )x_x2+ y2+ z2i +y_x2+ y2+ z2 j +z_x2+y2+z2k745.4.2 Operacoescomvetoresnaformacartesiana1. Adic ao: Dados os vetoresv1= x1i +y1 j +z1k e v2= x2i +y12j +z2k tem-sev1+v2= (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k .2. Produtodeumvetorporumescalar: Dadoovetor v1=x1i + y1 j + z1k eoescalartem-sev1= x1 i + y1j +z1k5.4.3 Exerccios1. Dadososvetores v1= 2i 3j + k e v2= 2 i +j2k determine:a) v1+ v2b) 2v1+ 3v22. Determinem,neptaisquemv1+ nv2+ pv3= O3. Determineos escalares aebtais que u =av + bw, emque u = i + j,v = i + 5j + 2k e w= i + 2j +k .4. Determine o valor de a para que o vetor w= 3ai +aj +3k tenha modulo iguala7.5.5 ParalelismodevetoresDoisvetores u e v seraochamadosdeparalelossepossuiremamesmadirec ao,logopelofatodessesvetorespossuiremamesmaretasuporte,elesiraodiferiroupeladirec aooupelomodulo,assimpode-seenunciar:Teorema5.1Doisvetores u e v ,naonulos,seraoparalelosseesomenteseexistirumescalarKtal queu= Kv.75Corolario5.2Doisvetores v1=x1i + y1j + z1k e v2=x2i + y12j + z2k seraoparalelossesomentesesuascoordenadashomonimasforemproporcionais,istoe,x1x2=y1y2=z1z225.5.1 Exerccios1. Determineaebparaqueosvetores u = i + 2j 3k e v =a i + 4j + bksejamparalelos.2. DadosospontosA(3, 1, 2)eB(3, 1, 1),determine:a) Ovetor ABb) Ovetor wparaleloa ABetalque [w[ = 143. VeriqueseospontosA(2, 1, 0),B(3, 1, 1)eC(3, 3, 2)saocolineares.4. MostrequeospontosA(4, 0, 1),B(5, 1, 3),C(3, 2, 5)eD(2, 1, 3)saoverticesdeumparalelogramo.5. DetermineopontosimetricodeA(3, 1, 2)emrelac aoaopontoB(1, 0, 3).6. Os vetores v1= 2i 3j +6k e v2= i +2j 2k estao aplicados no mesmopontoA. Determineascoordenadasdovetor ABdemodulo342ecujadirec ao eadirec aodabissetrizdoanguloformadopelosvetores v1e v2.7. Demonstrequeasdiagonaisdeumparalelogramoseinterseptamemseuspontosmedios.8. Osegmentoqueuneos pontos medios dos lados naoparalelos deumtrapezioeparaleloàsbaseseigualasuasemi-soma.9. DemonstrevetorialmentequeobaricentoGdeumtrianguloABCedadoporG =A+B+C3.2A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do numerador correspondente.765.6 CoplanaridadedevetoresTresvetores u , v e wseraocoplanaressepossuiremimagensgeometricasparalelasaomesmoplano.avvuwbwFigura5.5: CoplanaridadedetresvetoresTeorema5.3Osvetores u , v e wseraocoplanaresseesomenteseexistiremescalaresaebtaisque u= av + b w3.Corolario5.4Tresvetores u =(x1, y1, z1), v =(x2, y2, z2)e w=(x3, y3, z3)seraocoplanaresseesomentesex1y1z1x2y2z2x3y3z3= 0.5.6.1 Exerccios1. Vericar se os vetores u= (3, 1, 2), v = (1, 2, 1) e w= (2, 3, 4) sao coplanares.2. Verique se os pontos A(1, 1, 1), B(2, 1, 3), C(0, 2, 2) e D(1, 0, 2) saocoplanares.3. DetermineovalordemparaqueospontosA(m, 1, 2),B(2, 2, 3),C(5, 1, 1)eD(3, 2, 2)sejamcoplanares.77Figura5.6: Cosenosdiretoresdeumvetor5.7 CosenosdiretoresdeumvetorChamam-se angulos diretores deumvetor v = xi +yj +zk aos angulos,e queovetor v formacomosvetores i, j e k ,respectivamente.Oscosenosdosangulosdiretoressaochamadosdecosenosdiretoresdovetor v , ouseja,cos(),cos()ecos()e,saodadospor:cos() =x[v [, cos() =y[v [e cos() =z[v [,esatisfazemacos2() + cos2() + cos2() = 1 .5.7.1 Exerccios1. Determineoscosenosdiretoresdovetor v = (2, 3, 6).2. Determinaroangulodiretordeumvetor v ,sendo= 45oe= 60o.3. Provequecos2() + cos2() + cos2() = 1.3Nesta expressao ( u= av+ bw) diremos que ue uma combinacao linear de v e w.785.8 Produtoescalarouinterno5.8.1 DenicaoDados dois vetores ue v , chama-se produto escalar ou interno de ue v , denotadopor u .v ,aon umerorealu .v = [u [[v [cos() , (5.1)emque0 eoanguloformadopor u e v .Apartirdadenicao(5.1))observa-se:1. Sinal doprodutoescalar. Tem-se u . v >0quandocos()>0, ouseja, quandooanguloentreosdoisvetoresforagudoe, u . v ,satisfazendoasseguintespropriedades:(i) v1, v1) 0e v1, v1) = 0seesosev1= 0(ii) av1, v2) = av1, v2)(iii) v1 + v2, v3) = v1, v3) +v2, v3)(iv) v1, v2) = v2, v1)Denicao11.2Umespacodedimensaonitacomprodutointernoreal echamadodeEuclidianoespaco.Exemplo 1: Em Rnexiste um produto interno a que chamamos produto interno usualou canonico.E denido por v1, v2) = x1y1+x2y2+ +xnyn, em que v1= (x1, x2, , xnev2= (y1, y2, , yn. ParaoR3esteproduto econhecidoporprodutoescalar.Exemplo2: VeriquequeemR2parav1=(x1, y1) ev2=(x2, y2) aaplicac aodeR2R2talque v1, v2) = x1x2y1x2x1y2 + 4y1y2eumprodutointerno.156(i) v1, v1) = (x1, y1), (x1, y1)) 0v1, v1) = x1x1x1y1x1y1 + 4y1y1v1, v1) = x212x1y2 + 4y22v1, v1) = (x1y1)2+ 3y22 0e v1, v1) = (x1y1)2+ 3y22= 0seesosex1= y1= 0(ii) av1, v2) = a(x1, y1), (x2, y2))av1, v2) = (ax1, ay1), (x2, y2))av1, v2) = ax1x2ay1x2ax1y2 + a4y1y2av1, v2) = a(x1x2y1x2x1y2 + 4y1y2) = av1, v2)(iii) v1 + v2, v3) = (x1, y1) + (x2, y2), (x3, y3))v1 +v2, v3) = (x1 + x2, y1 + y2), (x3, y3))v1 +v2, v3) = (x1 + x2)x3(y1 +y2)x3(x1 + x2)y3 + 4(y1 +y2)y3v1 +v2, v3) = x1x3 + x2x3y1x3y2x3x1y3x2y3 + 4y1y3 + 4y2y3v1 +v2, v3) = (x1x3y1x3x1y3 + 4y1y3) + (x2x3y2x3x2y3 + 4y2y3)v1 +v2, v3) = (x1, y1), (x3, y3)) +(x2, y2), (x3, y3))(iv) v1, v2) = v2, v1)v1, v2) = x1x2y1x2x1y2 + 4y1y2v1, v2) = x2x1x2y1y2x1 + 4y2y1v1, v2) = v2, v1)Exemplo3: SejaV=Rnn. ComoRnneisomorfoaoRn2, enatural escrever oprodutointernocanonicode V = Rnncomo:A, B) =

j, knAjkBjkExemplo 4: Seja V = C[0, 1] o espaco vetorial de todas as func oes contnuas, de vari avelreal x, no intervalo [0, 1]. Mostre que f(x), g(x)) =_10f(x)g(x)dx e um produto interno.Denicao11.3SejaVumespacovetorial munidode umprodutointerno , ). Doisvetoresv1ev2de Vseraochamadosdeortogonais,emrelacaoaesteprodutovetorial,sev1, v2) = 0eseradenotadoporv1 v2157Propriedades:1. 0 vparatodov V.2. Sev1 v2entaov2 v1.3. Sev1 v2paratodov2 Vent aov1= 0.4. Sev1 v3ev2 v3ent ao(v1 + v2) v3.5. Sev1 v2e eumescalarentaov1 v2.Exemplo1. Mostreque, emrelac aoaoprodutointernousual doR3osvetoresu=(1, 3, 2)ev= (1, 1, 1)saoortogonais.Paramostrarquedoisvetoressaoortogonaisbastaprovarque u, v) = 0. Assim:u, v) = (1, 3, 2), (1, 1, 1))u, v) = 1 + 3 2 = 0Teorema11.4Seja v1, v2, , vnumconjuntode vetores naonulos dois adois or-togonais, istoe,vi, vj) =0 paratodoi ,=j. Entao v1, v2, , vne linearementeindependente.Prova:Considerea1v1 + a2v2 + + anvn= 0.Enao a1v1 + a2v2 + + anvn, vi) = 0, vi) = 0e,a1v1, vi) +a2v2, vi) + +anvn, vi) = 0a1v1, vi) + a2v2, vi) + + anvn, vi) = 0Mas,porhipotese, vi, vj) = 0,i ,= j,ent aoaivi, vi) = 0,quepelofatodevinaoserovetornulolevaaai= 0,paratodoi,assimoconjunto v1, v2, , vn eLI.

Denicao11.5Umconjunto= v1, v2, , vndevetoresdeumespacovetorial Vseraumabaseortogonal para Vseforbasede Ve vi, vj) = 0paratodoi ,= j.15811.2 CoecientesdeFourierSeja Vumespacovetorial munidodeumprodutointerno , ), = v1, v2, , vnumabaseortogonalpara Vew V.Comow Veebaseentaow=a1v1 + a2v2 ++ anvn. Calculandooprodutointernodewcomvitem-se:a1v1 +a2v2 + +anvn, vi) = a1v1, vi) +a2v2, vi) + +aivi, vi) + +anvn, vi)w, vi) = aivi, vi)eai= w, vi)vi, vi)Denicao11.6Oscoecientesai= w, vi)vi, vi)saochamadoscoecientesdeFourier.Exemplo1: Seja V=R2munidodoprodutointernocanonicoesejatambem=(1, 1), (1, 1)umabaseortogonal de V, verique. Determineascoordenadasdev=(1, 5)emrelac aoàbase.Lembre que estas coordenadas pode ser determinadas pela resoluc ao de (1, 5) = a(1, 1)+b(1, 1),mascomoe ortogonalestas coordenadaspodemser determinadaspeloscoe-cientesdeFourierai= w, vi)v1, vi),assim,a = (1, 5), (1, 1))(1, 1), (1, 1))= 1 + 51 + 1= 2e,b = (1, 5), (1, 1))(1, 1), (1, 1))=1 + 51 + 1= 3e,(1, 5) = 2(1, 1) + 3(1, 1)ou[v]=__23__.11.3 NormaDenicao11.7Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno , ). Chama-senormadeumvetorv V,emrelacaoaestanorma,denotadopor |v|,a|v| =_v, v) .159Exemplo1: Determine |(1, 2)|.|(1, 2)| =_(1, 2), (1, 2))|(1, 2)| =1 + 4|(1, 2)| =5Exemplo2: Determine |f(x)|,sendof(x) = 2x 1.|f(x)| =_f(x), f(x))|f(x)| =__10f(x)g(x)dx|f(x)| =__10 (2x 1)(2x 1)dx|f(x)| =__10 (2x 1)2dx|f(x)| =_(2x 1)3610|f(x)| =_13Exemplo3: Determineovalordeaparaque |(6, a, 3)| = 7.|(6, a, 3)| =_(6)2+ a2+ 32= 736 + a2+ 9 = 49a = 2Propriedades:Sejam VumespacovetorialEuclidiano,v, wvetoresde Vea R.(i) |v| 0e |v| = 0seesosev= 0.(ii) |av| = [a[|v|.(iii) [v, w)[ |v||w|(DesigualdadedeSchwarz).(iv) |v + w| |v| +|w|(Desigualdadetriangular).Denicao11.8Sejam ve w dois vetores de um espaco vetorial V munido de uma norma|.|. Chama-sedistancia1entreosvetoresvew,denotadopord(v, w),a:d(v, w) = |v w|1A distancia e chamada de metrica induzida pela norma.16011.3.1AnguloentrevetoresDenicao11.9Dadosdoisvetoresu, vdeumespacoEuclidiano V. Oanguloentreuevetal que:cos() = [u, v)[|u||v|Exemplo1. Determineoanguloentreosvetoresu = (1, 2, 1)ev= (2, 1, 1).cos() = [u, v)[|u||v|cos() = [(1, 2, 1), (2, 1, 1))[|(1, 2, 1)||(2, 1, 1)|cos() =2 2 + 166cos() =16 = arccos16Exemplo2. Determineoanguloentreosvetoresu =__1 02 2__ev=__0 12 2__.cos() = [u, v)[|u||v|cos() =1.0 + 0.(1) + 2.2 + (2).21 + 0 + 4 + 40 + 1 + 4 + 4= 0 = /2Denicao11.10DizemosqueumvetorvdeumespacovetorialEuclidiano Vestanor-malizadose |v| = 1.Denicao11.11Seja Vumespacovetorial Euclidiano. Umabase= v1, v2, , vnde V sera chamada de base ortonormal se for ortogonal e cada vetor vi for unitario,istoe:[vi, vj)[ =___0,sei ,= j1,sei = jExemplo1. Abasecanonica= (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), emrelac aoaoprodutointernousual, eumabaseortonormal.Exemplo2. NormalizeabasedoR2= (3, 4), (12, 5).|(3, 4)| =9 + 16 = 5|(12, 5)| =144 + 25 = 13161

= 15(3, 4),113(12, 5)

= (35, 45), (1213,513 )11.4 ProcessodeOrtogonalizacaodeGram-SchmidtDadaumabase= v1, v2, , vndeumespacovetorial Euclidiano V, desejamosdeterminar,apartirde,umabase

= v

1, v

2, , v

nquesejaortogonal.Consideremosinicialmente, porexemplo, v

1=v1. Desejamosdeterminarapartirdovetorv2umvetorv

2quesejaortogonalav

1.Figura11.1: ProcessodeOrtogonalizac aodeGram-SchmidtObserve a partir da gura 11.1 que v2= v

2+cv1, em que cv1= cv

1, isto e, v

2= v2cv

1ecomo v

2, v

1) = 0ent ao(v2cv

1), v

1) = 0v2, v

1) cv

1, v

1) = 0v2, v

1) cv

1, v

1) = 0c = v2, v

1)v

1, v

1)ev

2= v2 v2, v

1)v

1, v

1)v

1Generalizandoesteprocedimento,vem:v

1= v1v

2= v2 v2, v

1)v

1, v

1)v

1162v

3= v3 v3, v

2)v

2, v

2)v

2 v3, v

1)v

1, v

1)v

1...v

n= vnvn, v

n1)v

n1, v

n1)v

n1 vn, v

1)v

1, v

1)v

1Exemplo1. Determineapartirde= (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)umabaseortonor-malparaoR3munidodoprodutointernousual.NoprocessodeortogonalizacaodeGram-Schmidtescolhav

1= (1, 1, 1),v2= (0, 1, 1)ev3= (0, 0, 1),assim:v

2= v2 v2, v

1)v

1, v

1)v

1v

2= (0, 1, 1) (0, 1, 1), (1, 1, 1))(1, 1, 1), (1, 1, 1))(1, 1, 1)v

2= (0, 1, 1) 0 + 1 + 11 + 1 + 1(1, 1, 1)v

2= (0, 1, 1) _23, 23, 23_v

2= (2/3, 1/3, 1/3)v

3= v3 v3, v

2)v

2, v

2)v

2 v3, v

1)v

1, v

1)v

1v

3= (0, 0, 1) (0, 0, 1),_23, 13, 13_)_23, 13, 13_,_23, 13, 13_)_23, 13, 13_ (0, 0, 1), (1, 1, 1))(1, 1, 1), (1, 1, 1))(1, 1, 1)v

3= (0, 0, 1) 1/36/9_23, 13, 13_13(1, 1, 1)v

3= (0, 0, 1) (1/3, 1/6, 1/6) (1/3, 1/3, 1/3)v

3= (0, 1/2, 1/2)e

= (1, 1, 1), (2/3, 1/3, 1/3), (0, 1/2, 1/2) eumabaseortogonalparaR3.Agora para obter uma base ortonormal deve-se normalizar cada um dos vetores de

.v

1=v

1|v

1|=(1, 1, 1)|(1, 1, 1)|=(1, 1, 1)3= (3/3,3/3,3/3)163v

2=v

2|v

2|=(2/3, 1/3, 1/3)|(2/3, 1/3, 1/3)|=(2/3, 1/3, 1/3)6/3= (2/6, 1/6, 1/6)v

3=v

3|v

3|=(0, 1/2, 1/2)|(0, 1/2, 1/2)|=(0, 1/2, 1/2)1/2= (0, 2/2,2/2)e

= (3/3,3/3,3/3), (2/6, 1/6, 1/6), (0, 2/2,2/2)e umabaseortonormalparaR3.Exemplo 2. Considere o espaco Euclidiano dos polinomios de grau menor ou igual a 2,P2(x), munidodoprodutointerno f(x), g(x))=_10f(x)g(x)dxeabase= 1, x, x2deP2(x). Ortogonalize.Noprocessodeortogonalizac aodeGram-Schmidttomev

1= 1,v2= xev3= x2.v

2= v2 v2, v

1)v

1, v

1)v

1v

2= x x, 1)1, 1)1v

2= x _101xdx_1011dx1v

2= x x2/2[10x[101v

2= x 1/2v

3= x2x2, (x 1/2))(x 1/2), (x 1/2))(x 1/2) x2, 1)1, 1)1v

3= x2_10x2(x 1/2)dx_10 (x 1/2)(x 1/2)dx(x 1/2) _10x2 1dx_1011dx1v

3= x2_10 (x3x2/2)dx_10 (x 1/2)2dx(x 1/2) _10x2dx_10dx1v

3= x2x4/4 x3/6[10(x 1/2)3/3[10(x 1/2) x3/3[10x[101v

3= x21(x 1/2) 131v

3= x2x + 1/6e

= 1, x 1/2, x2 x 1/6eumabaseortogonal paraP2(x). (Conrmeo164resultado.)11.5 ComplementoortogonalDenicao11.12Considereumespacovetorial EuclidianoVeSumsubconjuntonaovaziode V, naoobrigatoriamenteumsubespacovetorial de V. Chama-secomplementoortogonal deS,denotadoporS,aoconjunto:S= v V/v, s) = 0, s S .Propriedades:Seumsubespacovetorialde V,independentedeSsersubespacode Vounao.(S)= SS S= 0SeSforumsubespacovetorialde VentaoS S= V.Sev Sent aoveortogonalaosvetoresdeumabasedeS.S SSeS1 S2entaoS2 S1Exemplo 1. Considere o R3munido do produto interno canonico e S= span(1, 1, 2), (0, 1, 1).DetermineS.S= v V/v, s) = 0, s SSejav Sentao v, s) = 0paratodovetorsdeS.Como Se gerado por (1, 1, 2), (0, 1, 1) que e LI, ent ao (1, 1, 2), (0, 1, 1) e uma baseparaSeentao v, (1, 1, 2)) = 0e v, (0, 1, 1)) = 0,queparaV= (x, y, z)vem:___x + y + 2z= 0y + z= 0 y= zx = z165ev= (z, z, z)logo,S= span(1, 1, 1).11.6 Exerccios1. Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno , ). Mostre que 0, v) = 0paratodov V.2. Seja , )oprodutointernousualdoR2. Determineovetorwtalque w, u) = 1ew, v) = 3sendou = (1, 2)ev= (1, 1).3. Seja V = C[0, 1] munido do produto interno f(x), g(x)) =_10f(x)g(x)dx. Calculef(x), g(x))paraf(x) = x22eg(x) = 2x + 1.4. Determineaparaqueos vetores f(x) =x 1eg(x) =x + adeC[0, 1] sejamortogonais.5. SejamAeBduasmatrizesdoespacoR22munidodoprodutointerno A, B)=tr(BTA). Determined(A, B),sendoA =__1 02 1__eB=__1 10 2__.6. SejaT : R3R3dadapor T(x, y, z) =(z, x y, z). Determine umabaseortonormalparaocomplementoortogonaldon ucleodeT.7. Calculeadistanciaentreosvetoresu=(1, 3, 5, 7)ev=(4, 2, 8, 1)utilizandoanormausualdoR48. Calculeadistanciaentreos vetores u=t + 2ev =3t 2utilizandoanormau, v) =_10u(t)v(t)dt.9. Calculeoanguloentreosvetores:(a) u = (1, 3, 2)ev= (2, 1, 5)(b) u = (1, 3, 5, 4)ev= (2, 3, 4, 1)(c) f(t) = 2t 1eg(t) = t2,comanormadaintegral166(d) A =__2 13 1__eB=__0 12 3__comanorma A, B) = tr(BTA).10. UtilizeGram-Schmidtparaobterumabaseortonormalapartirde= (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 3).11. Determineumabaseortonormalparaoespacosoluc aodosistemahomogeneo___x + y z= 02x + y + 2z= 0.12. UtilizeoscoecientesdeFourierparadeterminarascoordenadasdev=(2, 3)emàbaseortonormal= (1/2, 1/2), (1/2, 1/2).13. Idemparav= (2, 3, 1)e= (1/5, 0, 2/5), (2/5, 0, 1/5), (0, 1, 0).14. DetermineumabaseparaocomplementoortogonaldosubespacoW= span(2, 1, 0, 1, 2), (1, 3, 1, 2, 4), (3, 2, 1, 1, 2), (7, 7, 3, 4, 8),(1, 4, 1, 1, 2).167Captulo12Conicasequadricas12.1 ConicasDenicao12.1DadoumsistemadecoordenadascartesianasxOy,umaconica eocon-juntodetodosospontosP(x, y)quevericamaequacaoquadratica,do2ograucomduasvariaveis,Ax2+ By2+ Cxy + Dx +Ey + F= 0 .Geometricamenteasconicassaoobtidasatravesdaintersec aodeumplanocomumasuperfcieconicacircular,conformeagura12.1.Figura12.1: Conicas16812.1.1 ParabolaDenicao12.2Parabola e o lugar geometrico dos pontos P(x, y) de um plano que equidis-tamdeumaretad,chamadadiretriz,edeumpontoF,chamadofoco.Figura12.2: Par abolaEquac oesdaparabola1. Oeixodesimetria eparaleloaoeixoOx(y yo)2= 2p(x xo)2. Oeixodesimetria eparaleloaoeixoOy(x xo)2= 2p(y yo)12.1.2 ElipseDenicao12.3ElipseeolugargeometricodospontosP(x, y)deumplanocujasomadas distancias a dois pontos xos dados F1 e F2, chamados focos da elipse, e uma constante2a,emque2a > d(F1, F2).d(P, F1) + d(P, F2) = 2aElementosdaelipse:A1, A2, B1, B2saoosvertices.169F1, F2saoosfocosesegmentoF1F2decomprimento2c eadistanciafocal.Oecentro,opontomediodosegmentoF1F2.OsegmentoA1A2temmedida2ae echamadodeeixomaior.OsegmentoB1B2temmedida2be echamadodeeixomenor.AaplicacaodoteoremadePitagorasnotriangulodeverticesO, F1eB2conduzàrelac aoa2= b2+ c2Arelac aoe =caeaexcentricidadedaelipse.Figura12.3: ElipseEquacaodaelipse1. Oseixossaoparalelosaoeixocoordenados(x xo)2a2+(y yo)2b2= 112.1.3 HiperboleDenicao12.4Hiperbolee olugar geometricodos pontos P(x, y) de umplanocujomodulodadiferencadesuasdistanciasadoispontosxosdadosF1eF2,chamadosfocosdahiperbole,eumaconstante2a,emque2a < d(F1, F2).[d(P, F1) d(P, F2)[ = 2a170Figura12.4: HiperboleEquacoesdahiperbole1. Oseixossaoparalelosaoeixoscoordenados.(x xo)2a2(y yo)2b2= 1Exerccios: Identiquecadaumadasseguintesconicas:1. 2x25y27 = 02x25y2= 72x275y27= 1x2__7/2_2 y2__7/5_2= 1 Representaumahiperbole.2. x2+ y26x 2y + 8 = 0x26x + 9 + y22y + 4 2 = 0(x 3)2+(y 1)2= 2 Representa uma circunferencia de raio2 e centro (3, 1).3. 2x2+ 2y2+ 4xy + 42 x + 122 y 8 = 01oEscrevendoaequacaoemformamatricial._x y___a bb c____xy__= ax2+ 2bxy + cy2Assim,___a = 2b = 2c = 2Logo.171_x y___2 22 2____xy__+_42 122___xy__8 = 02oDeterminac aodosautovaloreseautovetoresdamatriz__2 22 2__v1= (12,12) eoautovetorassociadoaoautovalor1= 0.v2= (12,12) eoautovetorassociadoaoautovalor2= 4.Assim_x y___2 22 2____xy__nabasecanonicasereduza_x1y1___0 00 4____x1y1__emrelacaoàbasedeautovetores.3oDeterminac ao da matriz mudanca de coordenadas da base de autovetores para abasecanonica._x1y1_=_I_autovetorescanonica__x1y1___x1y1_=__ 1/2 1/21/2 1/2__autovetorescanonica__x1y1__4oReescreveraequacaodadanabasedeautovetores._x1y1___0 00 4____x1y1__+_42 122___ 1/2 1/21/2 1/2____x1y1__8 =0Efetuandoasoperac oesanteriores,vem:y21 + 2x1 + 4y12 = 0ouainda(y1 + 2)2+ 2(x13) = 0Que representaumaparabolade vertice (2, 3) emrelac aoaosistemade eixosformadospelosautovetores.Figura12.5:17212.2 QuadricasDenicao12.5UmaquadricaemR3eoconjuntodetodosospontosP(x, y)queveri-camaequacaoquadratica,do2ograucomtresvariaveis,Ax2+By2+ Cz2+Dxy +Exy + Fyz + Gx + Hy + Iz +J= 0 .12.2.1 Elipsoidex2a2+y2b2+z2c2= 1Figura12.6: Elipsoide12.2.2 Hiperboloidedeumafolhax2a2+y2b2 z2c2= 1Figura12.7: Hiperboloidedeumafolha17312.2.3 Hiperboloidededuasfolhasx2a2 y2b2+z2c2= 1Figura12.8: Hiperboloidededuasfolhas12.2.4 Paraboloideelpticox2a2+y2b2= czFigura12.9: Paraboloideelptico12.2.5 Paraboloidehiperbolicox2a2+y2b2= cz174Figura12.10: Paraboloidehiperbolico12.2.6 Coneelpticox2a2+y2b2= z212.2.7 Cilindroelpticox2a2+y2b2= 112.2.8 Cilindrohiperbolicox2a2 y2b2= 112.2.9 Cilindroparabolicoy= ax2175Figura12.11: CilindroparabolicoExemplo 1. Classiquee esboce ograco da quadricax2+y22x 4y +2z +5 = 0.a)Fazendoumatranslac aoparaeliminarostermoslineares.(x 1)2+ (y 2)2+ 2z= 0 = Paraboloidecircular.Exemplo2. Classiqueeesboceogracodaquadrica x2+ 2yz + z y= 100.a)Escrevendoaequac aoemformamatricial:_x y z______1 0 00 0 10 1 0__________xyz_____+_0 1 1______xyz_____= 100b)Determinarumabaseortonormaldeautovetores.= v1, v2, v3, emquev1=(1, 0, 0)ev2=(0, 12,12)saoautovetoresnormalizadosassociados aoautovalor 1= 1ev3=(0,12,12)eautovetor denormaigual a1associadoaoautovalor2= 1.c)Determinaramatrizmudancadebase._____xyz_____can=_I_autovcan_____x1y1z1_____autov=I=______1 0 00121201212______d)Reescreveraequac aoemrelac aoàbase(referencial)deautovetores._x1y1z1______1 0 00 1 00 0 1__________x1y1z1_____+_0 1 1_______1 0 00121201212___________x1y1z1_____=176100e)Voltardaformamatricialparaaformaquadratica.x21y21 +z21 22y1= 100f)Efetuarumatranslac aoparaeliminarostermoslineares.x21(y1 +12)2+ z21=1992eaindax21__199/2_2 (y1 +12)2__199/2_2+z21__199/2_2= 1Aequacaorepresentaumparaboloidededuasfolhas.12.3 ExercciosEsboceogracoeclassiqueasseguintesquadricas:1. x29y2+ z2= 92. 9x216y2+ z2= 1443.x216 y29+z24= 04. z= x2+ 2y25. 2x2+ 3y2+ 4z2= 12177ReferenciasBibliogracas[1] BOLDRINI, JoseLuiz; et al.Algebralinear. 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