Introdução àMatemática Discreta

Matemática DiscretaProf. Vilson Heck Junior

vilson.junior@ifsc.edu.br

Condução da disciplina

• Aulas:

– Quartas: 10:10 – 12:00

– Sextas: 08:00 – 09:50

• Haverá troca de professores:

– Cada professor realizará avaliações;

– A nota final será uma média das diferentes avaliações;

• MUITOS EXERCÍCIOS!

• Diferentes livros na biblioteca!

• Haverá reposição das aulas de Administração e Introdução àProgramação!

Conteúdos - MTMD

Conteúdos Docente (ch)

1. Introdução;2. Lógica proposicional e de primeira ordem;

Vilson (18h)

3. Conjuntos;4. Relações;

(16h)

5. Sequências e somas (10h)

6. Indução e recursão (8h)

7. Análise combinatória (12h)

8. Elementos da teoria dos números (8h)

Livro Principal(Primeira parte - Vilson)

O que é MTMD?

• A matemática discreta é o estudo de estruturasmatemáticas que são fundamentalmente discretas, aoinvés de contínuas;

• Alguns pontos importantes:– A importância do pensamento lógico;

– O poder da notação matemática;

– A utilidade de abstrações matemáticas;

Contínuo

• Se pensarmos nos números reais, temos um exemplo do que écontínuo. Não há transições abruptas entre os valores, naverdade há infinitos valores entre cada par de números:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4

Contínuo

Reais

Discreto

• Ao compararmos com os números inteiros, temos um exemplo doque é discreto. Há transições abruptas entre os valores:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4

Discreto

Inteiros

Outros exemplos

• Ainda, além dos números inteiros, declarações lógicase grafos são outros exemplos de estruturas discretas.

• Em geral, estes problemas matemáticos não sãoequacionados através de fórmulas algébricastradicionais.

Exemplo de grafo

EXEMPLOS:CONTÍNUO VS DISCRETO

Introdução à Matemática Discreta

Dados - Velocidade de uma Ferrari 430 Scuderia 2008

No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos

Fonte da imagem à esquerda: http://www.motortrend.com/roadtests/exotic/112_0808_2008_ferrari_430_scuderia_test/photo_17.html

Imagens Digitais

No mundo real - Contínuas Na computação - Discretas

Fonte da imagem à esquerda: http://en.wikipedia.org/wiki/Lenna

Mapas

No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos

Fonte da imagem à esquerda: http://www.brasil-turismo.com/santa-catarina/mapas/transportes.htm

Quando estudaremos Matemática Contínua?

1. Álgebra Linear e Geometria Analítica – Fase 2– A geometria cuida de questões de forma, tamanho e posição

relativa de figuras, formas e com as propriedades do espaço;

– Álgebra linear é um ramo da matemática que estuda sistemasde equações lineares, muito utilizados na geometria;

2. Cálculo (diferencial e integral) – Fase 3– Estuda principalmente variações e acúmulos de grandezas,

com aplicações em diversas áreas de geometria e otimizaçãode problemas;

3. Cálculo Numérico (computacional) – Fase 4– Quantificação de Erros, solução de sistemas lineares e não

lineares, interpolação, ajuste de curvas e integraçãonumérica.

MTMD – Pra que?

• Aritmética Básica em Computadores;• Programação, principalmente a lógica;• Estruturas de Dados;• Grafos;• Inteligência Artificial;• Teoria da Computação;• Cálculo Numérico;• Computação Gráfica;• Modelagem e Simulação;• Estatística e Probabilidade;• Fundamentos de Banco de Dados;

ENGENHEIROS E ADVOGADOSIntrodução à Matemática Discreta

Problema• Cenário hipotético:

– Em uma empresa sitiada pela Polícia Federal, estão sendoinvestigadas irregularidades jurídicas. Todas as informações daempresa foram destruídas, uma queima de arquivos.

– Nesta empresa há N funcionários investigados, sendo:

• N um número ímpar;

• No mínimo𝑁

2são da classe de engenheiros;

• No máximo𝑁

2são da classe de advogados;

– A dificuldade está em identificar, dentre os funcionários, quais sãoengenheiros e quais seriam advogados. A PF sabe que:

• Cada funcionário sabe qual é a classe de todos os outros;

• Os engenheiros não mentem, pois estão isentos de culpa;

• Os advogados podem faltar com a verdade, para tentaremescapar, pois são muito inteligentes e estão conspirando paraconfundir os investigadores;

• Problema: Formule um roteiro de interrogação para o agente da PF que,realizando perguntas para um funcionário i de qual classe é outrofuncionário j, aponte ao menos um engenheiro.

Problema v2.0

• Agora, iremos adicionar uma nova restrição ao problema:

– O agente poderá fazer no máximo (N – 1) perguntas para encontraro engenheiro.

• Como fica a solução deste problema?

MTMD e o Problema

• O grupo N é um Conjunto;

• Os advogados e os engenheiros são Subconjuntos;

• As perguntas são feitas de forma Combinatória;

• As respostas são relacionadas através de Lógica Formal;

• Resultados são calculados com base em Somas e números;

• Para saber se o algoritmo está certo, temos que Provar;

Conclusão

• Para resolver um simples exemplo, foi necessário oemprego empírico de diversos tipos deconhecimentos:– Até agora, aprendemos tudo isto de diversas formas

separadas: escola, dia-a-dia, em atividades cotidianas, entreoutros.

• A formalização e o aprofundamento no uso destesconhecimentos trarão diversos benefícios aoprofissional da Ciência da Computação.