Introdução ao Processamento e Síntese de imagens - Projeções · projeção. Por exemplo: se o...

Introdução ao processamento e síntese de imagens – Júlio Kiyoshi Hasegawa

Introdução ao Processamento e Síntese de imagens - Projeções

Fontes:

Esperança e Cavalcanti (2002) (UFRJ) e Traina e Oliveira (2004) (USP)Antonio Maria Garcia Tommaselli - notas de Aula de CG (2009)

Júlio Kiyoshi Hasegawa


Projeções Geométricas: Definição

� Projeções permitem a visualização bidimensional deobjetos tridimensionais.

� Isso exige a conversão de coordenadas 3D emcoordenadas 2D, o que resulta em uma visão doobjeto em uma posição específica.

� Propósito da projeção: definir um volume devisualização que determine como um objeto éprojetado sobre a tela e quais objetos ou porções deobjetos serão cortados da imagem final.


� Plano de projeção: superfície onde será projetado oobjeto (representação 2D).

� Raios de projeção: retas (virtuais) que passam pelospontos do objeto e pelo centro de projeção.

� Centro de projeção: ponto de onde os raios deprojeção partem.

� Um ponto se projeta no plano de projeção quando o raio de projeção intercepta o plano de projeção.

y

x

z

Centro de Projeção

Objeto

Projetante

Plano de Projeção



� A classificação das projeções depende das relações entre o centro de projeção, o plano de projeção e a direção das linhas ou raios de projeção.

� O método de projeção controla como os objetos da cena são mapeados no plano de imagem.

� Projeções podem ser:

� paralelas

� perspectivas.

Projeções Geométricas: Classificação


Projeções

� na projeção ortográfica, ou projeção paralela, o processo de mapeamento é paralelo: assume-se que todos os raios de luz que atingem a câmara são paralelos ao vetor de projeção;

� Na projeção perspectiva, todos os raios convergem para um ponto comum, denominado ponto de observação, ou centro da projeção. Nesse caso, deve-se determinar o ângulo de visão da câmara



� Três elementos básicos são considerados: plano de projeção, raio projetante e centro de projeção.

y

x

z

Plano de Projeção

Organização dos parâmetros na Projeção

em Perspectiva

Organização dos parâmetros na Projeção

Paralela


Projeções

ParalelasProjetantes paralelas

PerspectivasProjetantes convergentes

ObliquaProjetantes nãoperpendiculares aoplano de projeção

OrtográficaProjetantes perpendiculares aoplano de projeção

Isométrica Dimétrica Trimétrica

AxométricasPlano de projeçãonão paralelo aos planos principais

Múltiplas VistasPlano de projeçãoparalelo aos planos principais

CabinetCavaleira

1 pontode Fuga

2 pontosde Fuga

3 pontosde Fuga


Projeções Geométricas: Paralela

� Centro de Projeção no infinito: as linhas de projeção são paralelas entre si.

� Há apenas indicação da direção para os raios projetantes


Projeções Paralelas� Quando a direção projeção é perpendicular ao plano de projeção tem-se

uma projeção ortográfica, caso contrário tem-se uma projeção oblíqua; � As projeções ortográficas são muito comuns em engenharia e arquitetura

para gerar vistas frontais, laterais e traseiras de objetos

� Se o plano de observação está posicionado em zvp ao longo do eixo zv, então a descrição de qualquer ponto P = (x,y,z) em coordenadas do sistema de observação é transformada para as coordenadas de projeção



� Ortográfica: as linhas de projeção são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeção.



� Ortográfica (múltiplas vistas): mostra o objeto visto do topo (planta baixa), de frente e de lado (elevação).

�Plano xy

⋅

=

11000

0000

0010

0001

1

´

´

´

Z

Y

X

Z

Y

X



� Ortográfica (Axométrica): considera medidas antes e depois da projeção.

� Isométrica (mais comum): a direção de projeção faz ângulos iguais com os 3 eixos principais.

� XYZ:do objeto: mesma mudança nas métricas



� Ortográfica (Axométrica): vetor de projeção tem a direção normal ao plano de projeção.

� Isométrica: a direção de projeção faz ângulos iguais com os 3 eixos principais.

� Dimétrica: a direção de projeção faz ângulos iguais com dois dos eixos principais.

� Trimétrica: a direção de projeção faz ângulos desiguais com os 3 eixos principais.



� Ortográfica (Isométrica): projeção em XY

1 0 0 00 cos(θ) -sen(θ) 00 sen(θ) cos(θ) 00 0 0 1

x yz1

.

cos(β) 0 sen(β) 00 1 0 0

-sen(β) 0 cos(β) 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1

�Utilizar três vetores unitários ((1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)) para obter os ângulos que resultam em uma projeção isométrica

�plano xy (z=0)



� Oblíqua: as linhas de projeção são paralelas entre si e inclinadas em relação ao plano de projeção



� Oblíqua Cavaleira: as linhas de projeção são paralelas entre si e ângulo de 45° em relação ao plano de projeção

� Preserva medida original nas direções não paralelas ao plano de projeção

� direção de projeção é escolhida de modo que não haja encurtamento de retas perpendiculares ao plano xOy.



� Oblíqua Cabinet: ângulo específico com o plano de projeção 63,4°, reduzindo à metade o tamanho do objeto.

� Somente a face paralela ao plano de projeção permanece com o seu tamanho sem distorção

� direção de projeção é escolhida de modo que os seguimentos de retas perpendiculares ao plano xOy sejam encurtados pela metade dos seus comprimentos.


Perspectiva

� É o estudo de transformações projetivas� O problema consiste em projetar pontos no

espaço d dimensional no plano d -1 dimensional usando um ponto especial chamado de centro de projeção

Centro de

Projeção


Perspectiva

� projeções perspectivas com um ponto de fuga. Somente as linhasparalelas ao eixo z convergem, e as linhas paralelas aos eixos x e ycontinuam paralelas!

� Plano de projeção é perpendicular a um dos eixos principais (X, Y, Z)


Perspectiva

� As projeções perspectivas com 2 pontos de fuga (quando 2 eixosprincipais são interceptados pelo plano de projeção) são maiscomumente usadas em arquitetura, engenharia, desenho publicitário eprojeto industrial


Perspectiva

� Projeções perspectivas com 3 pontos de fuga são bem menosutilizadas, pois adicionam muito pouco em termos de realismocomparativamente às projeções com 2 pontos de fuga, e o custo deimplementação é bem maior.


Transformações Projetivas

� Transformações projetivas transformam retas em retas mas não preservam combinações afim

Centro de

Projeção

P

Q

R

P’

Q’

R’

Q é o ponto médio de PR, mas

Q’ não é o ponto médio de P’R’


Perspectiva

� O encurtamento perspectivo, é a ilusão de que os objetos e comprimentos são cada vez menores à medida que sua distância ao centro de projeção aumenta;

� conjuntos de linhas paralelas que não são paralelas ao plano de projeção, convergem para um ponto de fuga;

� Denominam-se pontos de fuga principais, quando dá-se a aparência de haver uma intersecção entre um conjunto de retas paralelas com um dos eixos principais Ox, Oy ou Oz.

� O número de pontos de fuga principais é determinado pelo número de eixos principais intersectados pelo plano de projeção.

� Por exemplo: se o plano de projeção intercepta apenas o eixo z (então é perpendicular ao eixo z), somente o eixo zpossui um ponto de fuga principal, pois linhas paralelas aos eixos x e y, são também paralelas ao plano de projeção, e dessa forma não ocorre a ilusão de convergência.


Transformações projetivas:Origem no CP

� Se o plano de projeção é perpendicular ao eixo z, está a uma distância d do C.P. (que está na origem) e intercepta o semieixo z negativo, então a projeção de um ponto P é dada por

T

1//

−

−−=′ d

dP

P

dP

PP

z

y

z

x

y

z

P=(Px ,Py ,Pz )Plano de

projeção

d

� Por semelhança de triângulos, vemos que

P’=(P’x ,P’y ,P’z )

d

P

P

P y

z

y′

=− )d/P(

P

P

d.PP

z

y

z

y

y−

=−

=′


Transformação perspectiva em coordenadas homogêneas

� Exercício:Gerar um cubo – definir as coordenadas dos vértices e calcular as coordenadas projetadas. Obs: câmara na origem do sistema e o cubo afastado de 3 unidades da face + próxima.

−−

−

=

−

=

×

−

=′

1

/

/

/10/100

0100

0010

0001

d

dP

P

dP

P

dP

P

P

P

P

P

P

d

Pz

y

z

x

z

z

y

x

z

y

x


Perspectiva:Origem no espaço objeto

� Plano de projeção em zvp

� centro de projeção em zprp

� Para determinar as coordenadas (x´,y´,z´), que são as coordenadas de ponto qualquer ao longo da reta.

O parâmetro u assume valores no intervalo [0,1]: quando u = 0, estamos em P = (x,y,z), e quando u = 1 temos exatamente o centro de projeção (0,0, zprp)



� Definição de perspectiva através de matrizes 4x4, o que é interessante para a composição de transformações juntamente com a projeção;

� No plano de observação, sabemos que z'= zvp , e podemos resolver a equação de z' para obter o valor do parâmetro u nessa posição ao longo da linha de projeção:



Substituindo o valor de u nas equações de z' e y', obtemos as equações de transformação perspectiva:

Usando coordenadas homogêneas pode-se escrever a transformação na forma matricial:


Perspectiva

Nesta representação o fator homogêneo é

E as coordenadas do ponto projetado no plano de observação são obtidas a partir das coordenadas homogêneas dividindo-se por h:



Exercício:Gerar um cubo – definir as coordenadas dos vértices e calcular as coordenadas projetadas. Obs: o centro da face do cubo na origem do sistema (lados com 1 unidade), centro de projeção com 5 unidades e plano de projeção com 3 unidades.


Perspectiva� Observa-se que o valor original da coordenada z precisa ser

mantido nas coordenadas de projeção para uso por algoritmos de remoção de linhas ocultas.

� Em geral, o centro da projeção não precisa ser posicionado ao longo do eixo zv, e as equações acima podem ser generalizadas para considerar o centro em um ponto qualquer.

� Existem vários casos especiais a serem considerados para as equações acima.

� Por exemplo, se o plano de projeção coincide com o plano uv, i.e., zvp = 0, então dp = zprp.

� Em alguns pacotes gráficos é assumido que o centro de projeção coincide com a origem do sistema de coordenadas de observação, i.e., nesse caso zprp = 0.

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