Lgica

Clculo Proposicional

Introduo

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Lgica - Definio

Formalizao de alguma linguagem Sintaxe

Especificao precisa das expresses legais

SemnticaSignificado das expresses

DeduoProv regras que preservam a semntica

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Clculo Proposicional - CP

Clculo Proposicional Lgica Proposicional

Apenas enunciados declarativos so permitidos

Excludas sentenas exclamativas, imperativas e interrogativas

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Termo

usado para designar objetos

Exemplos: Paula

Um filme de terror

Tringulo retngulo

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Proposio

uma sentena declarativa que pode assumir os valores verdade (v) ou falso (f)

Exemplos: Todo homem mortal Meu carro um fusca Est chovendo

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Proposio Atmica

Sentena que no contm conectivos(e, ou, se...ento, ...)

Todo homem mortal. Meu carro um fusca. Est chovendo.

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Proposio Composta

Sentena que contm um ou mais conectivos (e, ou, se...ento, ...)

Se Maria estuda ento far bons exames. Ele come e dorme. Pedro dana ou canta.

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Proposio - Cuidado!

A expresso:

A distncia entre Paraty e Ubatuba

no uma sentena pois no possui valorverdade verdadeiro (v) ou falso (f).

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Conceitos Adicionais

Proposio atmica tomo Proposies atmicas so designadas por

letras latinas minsculas (p, q, r, ...) Literal um tomo ou a negao de um

tomo Conectivos ou Juntores: permitem a

construo de proposies compostas

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Conectivos

Conectivos ou Juntores: e ou no condicional bicondicional

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Conectivo: e () A partir de duas proposies, obtm-se uma

terceira denominada conjuno: Exemplo:(p) Maria estuda o problema.(q) Jos vai pescar.

Conjuno de (p) e (q): p qMaria estuda o problema e Jos vai pescar.

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Conectivo: ou () A partir de duas proposies, obtm-se uma

terceira denominada disjuno: Exemplo:(p) Maria estuda o problema.(q) Jos vai pescar.

Disjuno de (p) e (q): p qMaria estuda o problema ou Jos vai pescar.

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Conectivo: no ()

Nega o valor-verdade de uma proposio

Exemplo:(p) Maria estuda o problema.

Negao de (p): pno (Maria estuda o problema).

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Conectivo: condicional () Conectivo condicional lido como se...ento A partir de duas proposies, obtm-se uma

terceira denominada condicional ou implicao

Proposio esquerda de denomina-se premissa ou antecedente

Proposio direita de denomina-se concluso ou conseqente

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Conectivo: condicional () Exemplo:(p) Eu como muito.(q) Eu engordo.

Condicional de (p) e (q): p qSe eu como muito ento eu engordo.

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Conectivo: bicondicional ()

Conectivo bicondicional lido como se e somente se

A partir de duas proposies, obtm-se uma terceira denominada bicondicional

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Conectivo: bicondicional () Exemplo:(p) Um tringulo retngulo(q) Um tringulo tem um ngulo reto.

Bicondicional de (p) e (q): p qUm tringulo retngulo se e somente se tem

um ngulo reto.

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Semntica dos Conectivos

p q pq pq p pq pqv v v v f v v

v f f v f f f

f v f v v v f

f f f f v v v

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Frmulas Bem Formadas (wff)

Frmulas construdas atravs dacombinaao vlida de smbolos

Frmulas Bem Formadas = Well FormedFormula = wff

Para representar wff so usadasmetavariveis proposicionais representadas pelas letras , , , etc

Cada expresso envolvendo , , , etc chamada de forma sentencial

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Definio wff1. um tomo uma wff2. se e so wff, ento so tambm wff:

wff l-se no e ou se ento se e somente se

3. As nicas wff so definidas por (1) e (2).

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Prioridade dos Conectivos (1 de 2)

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Prioridade dos Conectivos (1 de 2)

maior prioridade

menor prioridade

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Prioridade dos Conectivos (2 de 2)

Exemplos: significa ( ) significa ( ) significa (( ()) )

A precedncia pode ser alterada pelo uso de parnteses.

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Variaes de Notao

Item Adotada Outras e pq p&q p.q p,q ou pq p|q p+q p;q no p ~p p condicional pq pq pq qp bicondicional pq pq pq

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Semntica do CP

Consiste na interpretao de suas frmulas, ou seja, atribuio dos valores-verdade (v ou f) s formulas atmicas, por exemplo:

(p v q) (p q)

Como a frmula possui 2 componentes atmicos ela admite 22 interpretaes. Para uma frmula de n componentes tem-se 2ninterpretaes .

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Validade e Inconsistncia (1 de 5)

Se uma frmula tem valor v numa interpretao I, ento verdadeira na interpretao I.

Ex: p q p qI1. v v vI2. v f fI3. f v fI4. f f f

(p q) verdadeira na interpretao I1

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Validade e Inconsistncia (2 de 5)

Se uma frmula verdadeira segundo alguma interpretao, ento satisfatvel(ou consistente).

Ex: p q p qI1. v v vI2. v f fI3. f v fI4. f f f

(p q) satisfatvel

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Validade e Inconsistncia (3 de 5)

Uma frmula vlida (tautologia) quando for verdadeira em todas suas interpretaes

Ex: p p

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Validade e Inconsistncia (4 de 5) Se uma frmula tem valor f numa

interpretao I, ento falsa na interpretao I.

Ex: p q p qI1. v v vI2. v f fI3. f v fI4. f f f

(p q) falsa nas interpretaes I2, I3 e I4.

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Validade e Inconsistncia (5 de 5)

Uma frmula insatisfatvel (ou inconsistente ou contradio) quando for falsa segundo qualquer interpretao I.

Ex: p p Uma frmula invlida quando for falsa

segundo alguma interpretao I.Ex: p q Frmulas que no so tautologias nem

contradies so chamadas contingentes.

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Exerccios

Provar usando tabela verdade que:

1. (p p) inconsistente e portanto invlida.2. (p p) valida e portanto consistente.3. (p p) invlida, ainda que consistente.

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Conseqncia Lgica (1 de 2)

Sejam , 1, 2, ..., n wff. Diz-se que conseqncia lgica de 1, 2, ..., n se, e somente se, para qualquer interpretao em que 1, 2, ..., n forem simultaneamente verdadeiras, tambm verdadeira.

Se conseqncia lgica de 1, 2, ... n,, diz-se que segue-se logicamente de 1, 2, ... n,.

Notao: 1, 2, ..., n

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Conseqncia Lgica (2 de 2) Teorema 2.7.1: conseqncia lgica de

1, 2, ..., n se e somente se:

1 2 ... n uma tautologia

Teorema 2.7.2: conseqncia lgica de 1, 2, ..., n se e somente se:

1 2 ... n uma contradio

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Equivalncia Lgica

Uma frmula logicamente equivalente () a uma frmula quando for conseqncia lgica de e for conseqncia lgica de :

se e somente se uma tautologia

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Exerccio

Provar que (p q) equivalente a (p q) p q pq pq (pq)(pq)v v v v v

v f f f v

f v v v v

f f v v v

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Argumento

Argumento uma sequncia 1, 2, ..., n(n 1) de proposies, onde:i (1 i n-1) so chamadas premissas en denomina-se concluso.

Notao:1, 2, ..., n-1 n.

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Argumento Vlido (1 de 2)

Um argumento 1, 2, ..., n-1 n vlidose e somente se:1 2 ... n-1 n for uma tautologia

ou equivalentemente,

1 2 ... n-1 n

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Argumento Vlido (2 de 2)

Um argumento vlido pode ser lido como:

1, 2, ..., n-1 acarretam n ou n decorre de 1, 2, ..., n-1 ou n conseqncia lgica de 1, 2, ..., n-1

Para n=1, o argumento valido se e somente se 1 for tautolgica

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Princpio da Substituio (1 de 2)

Subfrmulas: dada a frmula

: (p q) r, entop q, p, q, r, so as subfrmulas de .

O princpio afirma que uma subfrmula de uma frmula , ou toda a frmula , pode ser substituda por uma frmula equivalente e que a frmula resultante equivalente a .

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Princpio da Substituio (2 de 2)

Exemplo: pelo princpio da substituio, a frmula

: (p v q) (p v r)

equivalente a:

: (p q) (p r).

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Propriedades (1 de 5)

Existem vrias propriedades da negao, conjuno e disjuno.

Estas propriedades podem ser verificadas como equivalncias lgicas.

Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a tautologia.

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Propriedades (2 de 5)

Propriedades da Conjuno

associativa ( ) ( ) comutativa idempotente propriedadede v(erdade)

v propriedadede f(also)

f f

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Propriedades (3 de 5)

Propriedades da Disjuno

comutativa v v associativa v ( v ) ( v ) v idempotente v propriedadede v(erdade)

v v vpropriedadede f(also)

v f

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Propriedades (4 de 5)

Distributivas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Negao ()

Absoro ( ) ( )

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Propriedades (5 de 5)

De Morgan ( ) ( )

Equivalncia da Implicao

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Frmulas Proposicionais Equivalentes (1 de 2)

Nome da Regra Regramodus ponens , |= modus tollens , |=

silogismo hipottico(ou regra da cadeia)

, |= silogismo disjuntivo , |= dilema construtivo , , |= dilema destrutivo , , |=

simplificao |= conjuno , |=

adio |= contraposio |=

exportao ( ) |= ( ) importao ( ) |= ( )

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Frmulas Proposicionais Equivalentes (2 de 2)

Exemplo da forma de leitura modus ponens:

,

caso seja verdadee seja verdade,obrigatoriamente ser verdade.

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Verificao de Validade de Argumentos (1 de 2)

Sejam 1, 2, ..., n, frmulas do ClculoProposicional. Uma sequncia finita de proposies C1, C2, ..., C uma prova ou deduo de , a partir das premissas 1, 2, ..., n , se e somente se:

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Verificao de Validade de Argumentos (2 de 2)

cada C uma premissa j (1 j n), ouC provm das frmulas precedentes, pelo uso

de um argumento vlido das regras de inferncia, ouC provm do uso do princpio de substituio

numa frmula anterior, ouC

Diz-se ento que dedutvel de 1, 2, ..., n ou que um teorema.

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Exemplo (1 de 3)

Se as uvas caem, ento a raposa as come.

Se a raposa as come, ento esto maduras.

As uvas esto verdes ou caem.

Logo,

A raposa come as uvas se e s se as uvas caem.

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Exemplo (2 de 3)

Se as uvas caem, ento a raposa as come. (C1)Se a raposa as come, ento esto maduras. (C2)

As uvas esto verdes ou caem. (C3)Logo,

A raposa come as uvas se e s se as uvas caem.

p: as uvas caem Premissas:

q: a raposa come as uvas C1: p qr: as uvas esto maduras C2: q r(r: as uvas esto verdes) C3: r p

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Exemplo (3 de 3)

Premissas:

C1: p q Provar que:C2: q r p q, q r, r p |= p qC3: r p

Deduz-se que:

C4: r p (C3: equivalncia)C5: q p (C2 + C4: regra da cadeia)C6: p q q p (C1 + C5: conjuno)C7: p q (C6: equivalncia)

LgicaLgica - DefinioClculo Proposicional - CPTermoProposioProposio AtmicaProposio CompostaProposio - Cuidado!Conceitos AdicionaisConectivosConectivo: e (?)Conectivo: ou (?)Conectivo: no ()Conectivo: condicional (?)Conectivo: condicional (?)Conectivo: bicondicional (?)Conectivo: bicondicional (?)Semntica dos ConectivosFrmulas Bem Formadas (wff)Definio wffPrioridade dos Conectivos (1 de 2)Prioridade dos Conectivos (1 de 2)Prioridade dos Conectivos (2 de 2)Variaes de NotaoSemntica do CPValidade e Inconsistncia (1 de 5)Validade e Inconsistncia (2 de 5)Validade e Inconsistncia (3 de 5)Validade e Inconsistncia (4 de 5)Validade e Inconsistncia (5 de 5)ExercciosConseqncia Lgica (1 de 2)Conseqncia Lgica (2 de 2)Equivalncia LgicaExerccioArgumentoArgumento Vlido (1 de 2)Argumento Vlido (2 de 2)Princpio da Substituio (1 de 2)Princpio da Substituio (2 de 2)Propriedades (1 de 5)Propriedades (2 de 5)Propriedades (3 de 5)Propriedades (4 de 5)Propriedades (5 de 5)Frmulas Proposicionais Equivalentes (1 de 2)Frmulas Proposicionais Equivalentes (2 de 2)Verificao de Validade de Argumentos (1 de 2)Verificao de Validade de Argumentos (2 de 2)Exemplo (1 de 3)Exemplo (2 de 3)Exemplo (3 de 3)