Introdução Semelhança e Congruência de Triângulos
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Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP Congruência e Semelhança de Triângulos... 373 Congruência e Semelhança de Triângulos Através de Modelos Resumo: Um modelo concreto é proposto para ser utilizado pelo aluno em sala de aula, de maneira a compreender os conceitos de Razão e Proporção en- tre segmentos, necessários nas definições de semelhança e congruência de triângulos. Tais definições são fundamentais no uso dos demais mo- delos aqui apresentados: Casos de Congruência de Triângulos e Relação entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Na descrição dos modelos são apresentados os objetivos a serem alcançados com a aplicação desses em sala de aula, assim como as respectivas propriedades de cada modelo. Palavras-chave: congruência; semelhança; triângulos Introdução A situação atual do ensino público é preocupante. O professor necessita de meto- dologias de ensino que consiga despertar o interesse dos alunos. Isso se agrava quando particularizamos para a área de matemática, a geometria. Neste sentido, este trabalho apresenta exemplos do que chamamos de modelos concretos de geometria. Apresenta- mos, em particular, os modelos específicos: Razão e Proporção entre segmentos, Casos de Congruência de Triângulos e Relação entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Observamos que, em geral, os alunos do ensino fundamental confundem os conceitos de congruência e semelhança de triângulos. Com a utilização desses modelos como recurso didático em sala de aula é possível despertar interesse no aluno, auxiliá- lo na compre- ensão dos conceitos de semelhança e congruência de triângulos e obter dele próprio as propriedades geométricas relacionadas com esses modelos, as quais serão descritas no objetivo do respectivo modelo e nos resultados. Os modelos são construídos com materiais de baixo custo como: papel cartão, EVA, cola, tesoura e canudos. Semelhança e Congruência de Triângulos Inicialmente serão introduzidos os conceitos de Razão e Proporção entre segmentos para melhor entendimento das definições de semelhança e congruência de triângulos a 1 Departamento de Matemática, UNESP-São José do Rio Preto
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Congruência e Semelhança de Triângulos
Através de Modelos� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Resumo: Um modelo concreto é proposto para ser utilizado pelo aluno em sala de
aula, de maneira a compreender os conceitos de Razão e Proporção en-tre segmentos, necessários nas de%nições de semelhança e congruência de triângulos. Tais de%nições são fundamentais no uso dos demais mo-delos aqui apresentados: Casos de Congruência de Triângulos e Relação entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Na descrição dos modelos são apresentados os objetivos a serem alcançados com a aplicação desses em sala de aula, assim como as respectivas propriedades de cada modelo.
Palavras-chave: congruência; semelhança; triângulos
IntroduçãoA situação atual do ensino público é preocupante. O professor necessita de meto-
dologias de ensino que consiga despertar o interesse dos alunos. Isso se agrava quando particularizamos para a área de matemática, a geometria. Neste sentido, este trabalho apresenta exemplos do que chamamos de modelos concretos de geometria. Apresenta-mos, em particular, os modelos especí%cos: Razão e Proporção entre segmentos, Casos de Congruência de Triângulos e Relação entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Observamos que, em geral, os alunos do ensino fundamental confundem os conceitos de congruência e semelhança de triângulos. Com a utilização desses modelos como recurso didático em sala de aula é possível despertar interesse no aluno, auxiliá- lo na compre-ensão dos conceitos de semelhança e congruência de triângulos e obter dele próprio as propriedades geométricas relacionadas com esses modelos, as quais serão descritas no objetivo do respectivo modelo e nos resultados.
Os modelos são construídos com materiais de baixo custo como: papel cartão, EVA, cola, tesoura e canudos.
Semelhança e Congruência de TriângulosInicialmente serão introduzidos os conceitos de Razão e Proporção entre segmentos
para melhor entendimento das de%nições de semelhança e congruência de triângulos a
1 Departamento de Matemática, UNESP-São José do Rio Preto
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serem utilizados nos modelos dos casos de congruência de triângulos e de relação entre as áreas de dois triângulos semelhantes.
Modelo - Razão e ProporçãoNesse modelo são utilizados canudos de tamanhos distintos (ver tabela a seguir) para
representar os segmentos.
Objetivo
Com a aplicação desse modelo pretende-se que o aluno entenda o que são segmentos proporcionais e a razão entre as medidas de dois segmentos.
Modo de utilizar
1. Corte os canudos de acordo com a tabela:
Quantidade Cor Medida
11 Vermelho 4 cm
3 Azul 8 cm
2 Verde 16 cm
1 Amarelo 18 cm
2. Quantos canudos vermelhos é preciso agrupar, sem sobreposição, para obter a me-dida do canudo azul?
Considerando que o canudo azul representa um segmento com medida AB e o canudo vermelho representa um segmento com medida CD, o número que você obteve é chamado razão entre AB e CD, ou seja, AB
CD
.
3. Repita o passo 2 com os demais canudos de modo a completar as relações a seguir:
Azul = .....vermelho Razão ...
Verde = .....vermelho Razão ...
Amarelo = ......vermelho Razão ...
Verde = ......azul Razão ...
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De$nição: A Razão k entre as medidas de 2 segmentos AB e CD é dada por k=
AB CD
Se AB CD
= EF GH
, dizemos que os segmentos AB e CD são proporcionais à EF e GH.
De$nição: Os triângulos ABC e EFG são semelhantes se possuem ângulos corres-pondentes congruentes (ângulos com a mesma medida) e lados correspondentes propor-cionais.
Por exemplo, se nos triângulos ABC e EFG�� �� ��ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
e AB EF
=
AC EG
=
BC FG
= k
então os triângulos ABC e EFG são semelhantes. Neste caso utilizamos a notação ABC ~ EFG . Observamos que na notação ABC ~ EFG está embutido a correspondência entre os ângulos congruentes e lados proporcionais dos triângulos.
De$nição: Dois triângulos são congruentes se possuem ângulos congruentes e lados correspondentes congruentes (lados com mesma medida).
Por exemplo, se nos triângulos ABC e EFG�� �� ��ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
e AB = EF
BC = FG
AC = EG
então os triângulos ABC e EFG são congruentes. Neste caso utilizamos a notação ABC EFG, na qual também está embutido a correspondência entre os ângulos e lados congruentes dos triângulos.
É importante observarmos que dois triângulos congruentes são semelhantes. Basta para isso considerarmos na de%nição de triângulos semelhantes k= 1. No entanto, dois triângulos semelhantes nem sempre são congruentes. Isso pode ser veri%cado na apresen-tação do modelo de área de triângulos semelhantes a seguir.
Concretamente, dois triângulos são congruentes se é possível a sobreposição dos tri-ângulos. Uma vez obtida a sobreposição %ca de%nida a correspondência entre os ângulos e lados. Dois triângulos são semelhantes se tem a mesma forma sendo possível obter um deles ampliando ou reduzindo as medidas dos lados do outro (multiplicando as medidas ou dividindo as medidas dos lados pelo mesmo número).
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Modelo- Casos de Congruência de TriângulosEsse modelo foi construído utilizando papel cartão como base e sobrepondo EVA, de
forma a obter 3 grupos de triângulos (I, II e III) (Figura1) . Em cada grupo são dadas medidas especí%cas como as medidas dos lados do triângulo, e utilizada a mesma cor para representar ângulos congruentes (Figura 2). O aluno deve receber o modelo como indica-do na Figura 2.
Objetivo
Aplicando o modelo apresentado na Figura 2 o aluno deve conseguir visualizar os casos de congruência de triângulos a partir apenas da de%nição de congruência de triângulos e da interpretação de congruência através da sobreposição.
Modo de utilizar
1. Observe o grupo I.
2. Os três triângulos são congruentes? Por quê? Você deve manipular os triângulos.
3. Existem dois triângulos congruentes? Por quê?
4. O que observamos em relação às medidas dadas nos triângulos?
5. Registre uma propriedade que pode facilitar a veri%cação da congruência de dois triângulos.
6. Repetir os passos de 2 a 5 para os grupos II e III.
Figura 1- Composição do modelo. Figura 2- Casos de Congruência de Triângulos.
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Modelo- Relação Entre Área de Triângulos SemelhantesEsse modelo é composto de 14 triângulos congruentes construídos com papel cartão
(de preferência de cores distintas) (Figura 3). Essa atividade pode ser desenvolvida com mais de 14 triângulos e também com outros polígonos.
Objetivo
Considerando um triângulo do modelo (Figura 3) construir triângulos semelhantes a este com os demais triângulos para visualizar a relação entre as áreas de triângulos semelhantes.
Modo de Utilizar
1. Observe um dos triângulos do modelo, e chame-o de T1.
2. Utilizando os triângulos do modelo construa um triângulo semelhante a T1, dobran-do as medidas dos lados correspondentes, chamando-o de T2.
3. Compare a área de T2 com a área de T1. Registre a relação obtida.
4. Construa um triângulo T3 semelhante a T1, triplicando as medidas dos lados cor-respondentes.
5. Compare a área de T3 com a área de T1. Registre a relação obtida.
6. Se construirmos um triângulo TN semelhante a T1, multiplicando a medida dos lados de T1 n vezes, qual a relação entre a área de TN e T1?
Figura 3- Composição do modelo.
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ResultadosA utilização desses modelos como recurso didático em sala de aula ajudam a desper-
tar o interesse do aluno pela geometria. É possível obter do próprio aluno, as proprie-dades geométricas relacionadas com o modelo trabalhado, além de resgatar o conheci-mento prévio do aluno relacionado ao conteúdo vinculado ao modelo. Em particular, com o modelo de Razão e Proporção é possível que os alunos compreendam a de%nição de segmentos proporcionais, fundamentais nas de%nições de semelhança e congruência de triângulos.
Com o modelo de Congruência de Triângulos é possível que os alunos consigam visu-alizar os casos de congruência de triângulos a seguir.
1º CASO: LAL (lado, ângulo, lado): Se dois triângulos têm respectivamente dois lados correspondentes e o ângulo entre eles congruentes, então esses triângulos são congruentes.
2º CASO: ALA (ângulo, lado ângulo): Se dois triângulos têm respectivamente dois ângulos correspondentes e o lado entre eles congruentes, então esses triângulos são con-gruentes.
3º CASO: LLL (lado, lado, lado): Se dois triângulos têm respectivamente três lados correspondentes congruentes, então esses triângulos são congruentes.
Observamos que em cada grupo de triângulos uma situação problema foi colocada. Em resoluções de exercícios os alunos cometem o erro de dizer que dois triângulos tendo dois
lados com a mesma medida e um ângulo com a mesma medida são congruentes. Com o modelo apresentado é possível ele veri%car concretamente que isso não é o que ocorre.
Finalmente, com a aplicação do modelo da Relação entre as áreas de triângulos se-melhantes os alunos devem apresentar os triângulos como na Figura 4, possibilitando ao aluno veri%car concretamente que ao duplicar os lados correspondentes de um triângulo para obter o triângulo semelhante a ele, a área não duplica, como é a resposta de muitos alunos a princípio, e sim quadruplica. Analogamente, quando triplicamos o lado ele con-segue visualizar a relação entre as áreas e muitos conseguem generalizar o resultado como solicitado em 6 no modo de utilizar do modelo.
Embora neste trabalho foi apresentado somente o modelo com uma medida especí%ca para cada lado das %guras envolvidas, na prática é importante que o mesmo aluno trabalhe com mais de um modelo em uma mesma atividade e com medidas distintas. Isso leva o aluno a perceber que a mesma propriedade pode ser obtida em cada modelo, podendo assim formalizar as propriedades. Após a formalização das propriedades pelo aluno há
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necessidade de demonstrá-las. No entanto, foi dada a oportunidade ao aluno de visualizar antes a propriedade, o que aumenta o seu interesse em veri%car a sua validade.
Figura 4- Triângulos Semelhantes.
Durante o ano de 2007 essa metodologia de ensino foi aplicada com êxito na Escola Estadual Profa. Maria de Lourdes Murad de Camargo e nas Escolas Municipais Darcy Ribeiro e Michel Pedro Sawaya de São José do Rio Preto, através do projeto do Núcleo de Ensino intitulado “Material Concreto para o Ensino de Geometria”, coordenado pela au-tora deste trabalho e com a colaboração dos docentes de matemática das escolas citadas e dos estagiários do projeto, sendo esses alunos da Licenciatura da Matemática da UNESP de São José do Rio Preto.
A %gura 5 apresenta fotos das escolas durante a aplicação dos modelos apresentados e da exposição realizadas na UNESP sobre o projeto anteriormente citado.
Na exposição foram apresentados os trabalhos desenvolvidos durante a aplicação do projeto nas escolas e os modelos puderam ser manipulados pelos visitantes. Foram convi-dados para a exposição os alunos das próprias escolas envolvidas no projeto e os alunos da UNESP de São José do Rio Preto. Essa atividade foi importante no desenvolvimento do projeto. A exposição foi agendada desde o início e os alunos mostraram interesse em di-vulgar o que conseguiram fazer. Ajudou incentivá-los a desenvolver as atividades propos-tas em sala de aula. Houve também a troca de experiência entre os trabalhos das diferentes escolas. Para os alunos da UNESP foi dada a oportunidade de conhecerem como podem trabalhar nas escolas utilizando novas metodologias de ensino.
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Figura 5- Fotos das escolas e exposição.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemáti-ca. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.
[2] DANTAS, S.C.; SANTOS, F. V.; RIBEIRO, J.S.; PESSÔA, K.A.; FAVALLI, L.D. Coleção: A escola é nossa- Matemática 4ª série. São Paulo: Scipione, 2003.
[3] DOLCE, OSVALDO e Pompeo, J.N. Fundamentos da Matemática Elementar. V.9, São Paulo: Atual, 2003.
[4] IEZZI, GELSON; Dolce, O. e MACHADO, A. Matemática e Realidade- ensino Fundamental. São Paulo: Atual, 2005.
[5] IMENES, JAKUBO, LELLIS. Coleção: Para que serve Matemática? Semelhança. São Paulo: Atual, 1992.
[6] LINDQUIST, M. M. & SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando a Geometria. São Paulo: Atual, 1998.
[7] Secretaria de Estado da Educação - São Paulo. Experiências Matemáticas – 6a, 7ª e 8ª Série. São Paulo: SE/CENP, 1998.
