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Introdução a Teoria de Bases de Gröbner
Profa Dra: Diane Castonguay
INF-UFG
Setembro de 2007
Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
Introdução a Teoria de Bases de Gröbner
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Sumário
Motivação
O problema da pertinência em Subespaços
O problema de pertinência em K[x].
O problema de pertinência em K[x1, . . . , xn]
O problema de pertinência em K<x1, . . . , xn>
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Referência Principal
Este mini curso foi elaborado a partir da dissertação de mestradode Alexey Antônio Villas Bôas.[Villas Bôas, 2005]
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Motivação
Problema da pertinência para ideal de polinômios.Dado um polinômio, decida se ele pertence ou não a um ideal doanel de polinômios.Parece facil?
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Motivação
Problema da pertinência para ideal de polinômios.Dado um polinômio, decida se ele pertence ou não a um ideal doanel de polinômios.Parece facil?
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Motivação
Problema da pertinência para ideal de polinômios.Dado um polinômio, decida se ele pertence ou não a um ideal doanel de polinômios.Parece facil?
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Exemplo
I Consideremos o anel dos polinômios em três variaveiscomutativas K[x1, x2, x3] e o ideal gerado por
{f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y}
Será que f := xy − xz3 pertence a este ideal?I Consideremos o anel dos polinômios em uma variavel K[x] e o
ideal gerado por
{f1 := x3 − 3x+ 2, f2 := x4 − 1, f3 := x6 − 1}
Será que f := x3 + 4x2 + 3x− 7 pertence a este ideal?
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Exemplo
I Consideremos o anel dos polinômios em três variaveiscomutativas K[x1, x2, x3] e o ideal gerado por
{f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y}
Será que f := xy − xz3 pertence a este ideal?I Consideremos o anel dos polinômios em uma variavel K[x] e o
ideal gerado por
{f1 := x3 − 3x+ 2, f2 := x4 − 1, f3 := x6 − 1}
Será que f := x3 + 4x2 + 3x− 7 pertence a este ideal?
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Problemas
I Problema da pertinência para ideal de polinômiosDado f ∈ K[x1, . . . , xn] e um conjunto gerador para um idealI de K[x1, . . . , xn], decida se f pertence a I.
I Problema da igualdade em quocientes do anel depolinômiosDado f, g ∈ K[x1, . . . , xn] e um conjunto gerador para umideal I de K[x1, . . . , xn], decida se f + I = g + I.
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Problemas
I Problema da pertinência para ideal de polinômiosDado f ∈ K[x1, . . . , xn] e um conjunto gerador para um idealI de K[x1, . . . , xn], decida se f pertence a I.
I Problema da igualdade em quocientes do anel depolinômiosDado f, g ∈ K[x1, . . . , xn] e um conjunto gerador para umideal I de K[x1, . . . , xn], decida se f + I = g + I.
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Para resolver estes problemas, precisamos das bases de Gröbner.
Estas ideias foram introducidas por Buchberger na sua tese dedoutorado em 1965 [Buchberger, 1965] e desde entãodesempenham um papel muito importante na área de ÁlgebraComputacional.
Além do mas, muitos sistemas de computação algébrica incluempacotes para lidar com Bases de Gröbner (comutativa). Entre eles,podemos citar: Axiom, Maple, Mathematica, CoCoA e Reduce.
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Para resolver estes problemas, precisamos das bases de Gröbner.
Estas ideias foram introducidas por Buchberger na sua tese dedoutorado em 1965 [Buchberger, 1965] e desde entãodesempenham um papel muito importante na área de ÁlgebraComputacional.
Além do mas, muitos sistemas de computação algébrica incluempacotes para lidar com Bases de Gröbner (comutativa). Entre eles,podemos citar: Axiom, Maple, Mathematica, CoCoA e Reduce.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Para resolver estes problemas, precisamos das bases de Gröbner.
Estas ideias foram introducidas por Buchberger na sua tese dedoutorado em 1965 [Buchberger, 1965] e desde entãodesempenham um papel muito importante na área de ÁlgebraComputacional.
Além do mas, muitos sistemas de computação algébrica incluempacotes para lidar com Bases de Gröbner (comutativa). Entre eles,podemos citar: Axiom, Maple, Mathematica, CoCoA e Reduce.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Introduciremos dois algoritmos que são as chaves da teoria (no casocomutativo).
I Algoritmo da DivisaoEste algoritmo decide da pertinência de um elemento numideal, dados o elemento e uma Base de Gröbner para o idealem questão.
I Algoritmo de BuchbergerConstrói uma Base de Gröbner para um ideal, a partir de umconjunto �nito de geradores.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Introduciremos dois algoritmos que são as chaves da teoria (no casocomutativo).
I Algoritmo da DivisaoEste algoritmo decide da pertinência de um elemento numideal, dados o elemento e uma Base de Gröbner para o idealem questão.
I Algoritmo de BuchbergerConstrói uma Base de Gröbner para um ideal, a partir de umconjunto �nito de geradores.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Introduciremos dois algoritmos que são as chaves da teoria (no casocomutativo).
I Algoritmo da DivisaoEste algoritmo decide da pertinência de um elemento numideal, dados o elemento e uma Base de Gröbner para o idealem questão.
I Algoritmo de BuchbergerConstrói uma Base de Gröbner para um ideal, a partir de umconjunto �nito de geradores.
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Sumário
Motivação
O problema da pertinência em SubespaçosAlgoritmo - Redução Incompleta de Gauss
O problema de pertinência em K[x].
O problema de pertinência em K[x1, . . . , xn]
O problema de pertinência em K<x1, . . . , xn>
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema da pertinência em Subespaços
Consideremos um corpo K, V = Kn e �xamos uma base ordenadacanônica de V .
Problema da pertinência.Dado v um vetor de V e B = {b1, . . . , bm} uma base ordenada deum subespaço W de V , Decida se v pertence a W .Consideremos estes elementos como vetores (coordenadas na basecanônica de V .)
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema da pertinência em Subespaços
Consideremos um corpo K, V = Kn e �xamos uma base ordenadacanônica de V .
Problema da pertinência.Dado v um vetor de V e B = {b1, . . . , bm} uma base ordenada deum subespaço W de V , Decida se v pertence a W .Consideremos estes elementos como vetores (coordenadas na basecanônica de V .)
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema da pertinência em Subespaços
Consideremos um corpo K, V = Kn e �xamos uma base ordenadacanônica de V .
Problema da pertinência.Dado v um vetor de V e B = {b1, . . . , bm} uma base ordenada deum subespaço W de V , Decida se v pertence a W .Consideremos estes elementos como vetores (coordenadas na basecanônica de V .)
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema da pertinência em Subespaços
Consideremos um corpo K, V = Kn e �xamos uma base ordenadacanônica de V .
Problema da pertinência.Dado v um vetor de V e B = {b1, . . . , bm} uma base ordenada deum subespaço W de V , Decida se v pertence a W .Consideremos estes elementos como vetores (coordenadas na basecanônica de V .)
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
I Primeira abordagem:Resolver o sistema linear de equações α1b1 + . . .+ αmbm = v
I Segunda abordagem:Constrói uma matriz M com m+ 1 linha, onde as m primeiraslinhas correspondem aos elementos de B e a ultima linha aoelemento v.Aplique o algoritmo de Gauss-Jordan a M .Temos que v pertence a W se e somente se a matriz resultanteda aplicação de Gauss-Jordan a matriz M tiver uma linha nula.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
I Primeira abordagem:Resolver o sistema linear de equações α1b1 + . . .+ αmbm = v
I Segunda abordagem:Constrói uma matriz M com m+ 1 linha, onde as m primeiraslinhas correspondem aos elementos de B e a ultima linha aoelemento v.Aplique o algoritmo de Gauss-Jordan a M .Temos que v pertence a W se e somente se a matriz resultanteda aplicação de Gauss-Jordan a matriz M tiver uma linha nula.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
I Primeira abordagem:Resolver o sistema linear de equações α1b1 + . . .+ αmbm = v
I Segunda abordagem:Constrói uma matriz M com m+ 1 linha, onde as m primeiraslinhas correspondem aos elementos de B e a ultima linha aoelemento v.Aplique o algoritmo de Gauss-Jordan a M .Temos que v pertence a W se e somente se a matriz resultanteda aplicação de Gauss-Jordan a matriz M tiver uma linha nula.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
I Primeira abordagem:Resolver o sistema linear de equações α1b1 + . . .+ αmbm = v
I Segunda abordagem:Constrói uma matriz M com m+ 1 linha, onde as m primeiraslinhas correspondem aos elementos de B e a ultima linha aoelemento v.Aplique o algoritmo de Gauss-Jordan a M .Temos que v pertence a W se e somente se a matriz resultanteda aplicação de Gauss-Jordan a matriz M tiver uma linha nula.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Terceira Abordagem
Consideramos uma base especial para W .
I Chamamos de coordenada líder de um vetor não nulo v(denotada por v) a menor coordenada não nula de v.
I Uma base G de um subespaço vetorial W é dita uma Base deGauss se ela satis�zer as segunites propriedades:
I Não existem dois vetores em G com a mesma coordenada líder.I Se um vetor não nulo u pertence a W , então existe um
elemento g em G tal que u = g.
I Denotaremos por cl(u) o valor da coordenada líder de u.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Terceira Abordagem
Consideramos uma base especial para W .
I Chamamos de coordenada líder de um vetor não nulo v(denotada por v) a menor coordenada não nula de v.
I Uma base G de um subespaço vetorial W é dita uma Base deGauss se ela satis�zer as segunites propriedades:
I Não existem dois vetores em G com a mesma coordenada líder.I Se um vetor não nulo u pertence a W , então existe um
elemento g em G tal que u = g.
I Denotaremos por cl(u) o valor da coordenada líder de u.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Terceira Abordagem
Consideramos uma base especial para W .
I Chamamos de coordenada líder de um vetor não nulo v(denotada por v) a menor coordenada não nula de v.
I Uma base G de um subespaço vetorial W é dita uma Base deGauss se ela satis�zer as segunites propriedades:
I Não existem dois vetores em G com a mesma coordenada líder.I Se um vetor não nulo u pertence a W , então existe um
elemento g em G tal que u = g.
I Denotaremos por cl(u) o valor da coordenada líder de u.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Terceira Abordagem
Consideramos uma base especial para W .
I Chamamos de coordenada líder de um vetor não nulo v(denotada por v) a menor coordenada não nula de v.
I Uma base G de um subespaço vetorial W é dita uma Base deGauss se ela satis�zer as segunites propriedades:
I Não existem dois vetores em G com a mesma coordenada líder.I Se um vetor não nulo u pertence a W , então existe um
elemento g em G tal que u = g.
I Denotaremos por cl(u) o valor da coordenada líder de u.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
RedIncGAUSS
Algoritmo - Redução Incompleta de Gauss (RedIncGAUSS)
Este algoritmo recebe como entrada uma Base de Gauss G de umsubespaço W de V e um vetor v de V . O algoritmo devolve comosaida um vetor h.
I RedIncGauss(G,v)1. h← v2. enquanto existe g ∈ G tal que h = g faça
3. h← h− cl(h)cl(g) g
4. �m-enquanto
5. devolva h
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
RedIncGAUSS
Algoritmo - Redução Incompleta de Gauss (RedIncGAUSS)
Este algoritmo recebe como entrada uma Base de Gauss G de umsubespaço W de V e um vetor v de V . O algoritmo devolve comosaida um vetor h.
I RedIncGauss(G,v)1. h← v2. enquanto existe g ∈ G tal que h = g faça
3. h← h− cl(h)cl(g) g
4. �m-enquanto
5. devolva h
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
RedIncGAUSS
Teorema
Seja G uma Base de Gauss do subespaço W de V e v ∈ V . Ovetor v pertence a W se e somente se h := RedIncGAUSS(G, v)for igual a zero.
Exemplo sobre a importância da base ser de Gauss
Consideremos a base B := {(1, 2, 1), (1, 0, 2), (0, 0, 1)} ev = (1, 0, 3)
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
RedIncGAUSS
Teorema
Seja G uma Base de Gauss do subespaço W de V e v ∈ V . Ovetor v pertence a W se e somente se h := RedIncGAUSS(G, v)for igual a zero.
Exemplo sobre a importância da base ser de Gauss
Consideremos a base B := {(1, 2, 1), (1, 0, 2), (0, 0, 1)} ev = (1, 0, 3)
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
RedIncGAUSS
Teorema
Seja G uma Base de Gauss do subespaço W de V e v ∈ V . Ovetor v pertence a W se e somente se h := RedIncGAUSS(G, v)for igual a zero.
Exemplo sobre a importância da base ser de Gauss
Consideremos a base B := {(1, 2, 1), (1, 0, 2), (0, 0, 1)} ev = (1, 0, 3)
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Sumário
Motivação
O problema da pertinência em Subespaços
O problema de pertinência em K[x].Algoritmo da Divisão para polinômios em K[x]Algoritmo de Euclides
O problema de pertinência em K[x1, . . . , xn]
O problema de pertinência em K<x1, . . . , xn>
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema de pertinência em K[x].Para n = 1, o algoritmo de Buchberger se reduz ao Algoritmo deEuclides.
I Fato: Todo ideal de K[x] é principal.
Sejam I um ideal de K[x] e p um polinômio. Sabemos que existeum polinômio h tal que I =< h >.Para saber se p pertence a I, veri�caremos se o resto da divisão porh é nulo.
I Dado um conjunto gerador {f1, . . . , fn} de I, precisamosencontrar um polinômio h tal que I =< h >. Para isto,podemos usar repetidamente o Algoritmo de Euclides paraencontrar um máximo divisor comum dos dois polinômios queserá o nosso gerador.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema de pertinência em K[x].Para n = 1, o algoritmo de Buchberger se reduz ao Algoritmo deEuclides.
I Fato: Todo ideal de K[x] é principal.
Sejam I um ideal de K[x] e p um polinômio. Sabemos que existeum polinômio h tal que I =< h >.Para saber se p pertence a I, veri�caremos se o resto da divisão porh é nulo.
I Dado um conjunto gerador {f1, . . . , fn} de I, precisamosencontrar um polinômio h tal que I =< h >. Para isto,podemos usar repetidamente o Algoritmo de Euclides paraencontrar um máximo divisor comum dos dois polinômios queserá o nosso gerador.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema de pertinência em K[x].Para n = 1, o algoritmo de Buchberger se reduz ao Algoritmo deEuclides.
I Fato: Todo ideal de K[x] é principal.
Sejam I um ideal de K[x] e p um polinômio. Sabemos que existeum polinômio h tal que I =< h >.Para saber se p pertence a I, veri�caremos se o resto da divisão porh é nulo.
I Dado um conjunto gerador {f1, . . . , fn} de I, precisamosencontrar um polinômio h tal que I =< h >. Para isto,podemos usar repetidamente o Algoritmo de Euclides paraencontrar um máximo divisor comum dos dois polinômios queserá o nosso gerador.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema de pertinência em K[x].Para n = 1, o algoritmo de Buchberger se reduz ao Algoritmo deEuclides.
I Fato: Todo ideal de K[x] é principal.
Sejam I um ideal de K[x] e p um polinômio. Sabemos que existeum polinômio h tal que I =< h >.Para saber se p pertence a I, veri�caremos se o resto da divisão porh é nulo.
I Dado um conjunto gerador {f1, . . . , fn} de I, precisamosencontrar um polinômio h tal que I =< h >. Para isto,podemos usar repetidamente o Algoritmo de Euclides paraencontrar um máximo divisor comum dos dois polinômios queserá o nosso gerador.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
O problema de pertinência em K[x].Para n = 1, o algoritmo de Buchberger se reduz ao Algoritmo deEuclides.
I Fato: Todo ideal de K[x] é principal.
Sejam I um ideal de K[x] e p um polinômio. Sabemos que existeum polinômio h tal que I =< h >.Para saber se p pertence a I, veri�caremos se o resto da divisão porh é nulo.
I Dado um conjunto gerador {f1, . . . , fn} de I, precisamosencontrar um polinômio h tal que I =< h >. Para isto,podemos usar repetidamente o Algoritmo de Euclides paraencontrar um máximo divisor comum dos dois polinômios queserá o nosso gerador.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoPoli
Algoritmo da Divisão para polinômios em K[x] (DivisãoPoli)O algoritmo recebe como entrada dois polinômios g e f e devolve oresto da divisão de f por g, ou seja, outro polinômio r que satisfazgrau(r) < grau(g) e f = ag + r, para algum polinômio a.
I DivisãoPoli(f,g)1. r ← f2. enquanto r 6= 0 e g divide r faça
3. r ← r − cl(r)rcl(g)g g
4. �m-enquanto
5. devolva r
Para um polinômio g, o termo líder é o monômio de maior grau deg.Exemplos com maior e menor grau
I f := x5 − x2 e g := x2 − x eI f := x5 − x2 e g := x2 − 1
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoPoli
Algoritmo da Divisão para polinômios em K[x] (DivisãoPoli)O algoritmo recebe como entrada dois polinômios g e f e devolve oresto da divisão de f por g, ou seja, outro polinômio r que satisfazgrau(r) < grau(g) e f = ag + r, para algum polinômio a.
I DivisãoPoli(f,g)1. r ← f2. enquanto r 6= 0 e g divide r faça
3. r ← r − cl(r)rcl(g)g g
4. �m-enquanto
5. devolva r
Para um polinômio g, o termo líder é o monômio de maior grau deg.Exemplos com maior e menor grau
I f := x5 − x2 e g := x2 − x eI f := x5 − x2 e g := x2 − 1
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoPoli
Algoritmo da Divisão para polinômios em K[x] (DivisãoPoli)O algoritmo recebe como entrada dois polinômios g e f e devolve oresto da divisão de f por g, ou seja, outro polinômio r que satisfazgrau(r) < grau(g) e f = ag + r, para algum polinômio a.
I DivisãoPoli(f,g)1. r ← f2. enquanto r 6= 0 e g divide r faça
3. r ← r − cl(r)rcl(g)g g
4. �m-enquanto
5. devolva r
Para um polinômio g, o termo líder é o monômio de maior grau deg.Exemplos com maior e menor grau
I f := x5 − x2 e g := x2 − x eI f := x5 − x2 e g := x2 − 1
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoPoli
Algoritmo da Divisão para polinômios em K[x] (DivisãoPoli)
I DivisãoPoli(f,g)1. r ← f2. enquanto r 6= 0 e g divide r faça
3. r ← r − cl(r)rcl(g)g g
4. �m-enquanto
5. devolva r
Para um polinômio g, o termo líder é o monômio de maior grau deg.Exemplos com maior e menor grau
I f := x5 − x2 e g := x2 − x eI f := x5 − x2 e g := x2 − 1
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoPoli
Algoritmo da Divisão para polinômios em K[x] (DivisãoPoli)
I DivisãoPoli(f,g)1. r ← f2. enquanto r 6= 0 e g divide r faça
3. r ← r − cl(r)rcl(g)g g
4. �m-enquanto
5. devolva r
Para um polinômio g, o termo líder é o monômio de maior grau deg.Exemplos com maior e menor grau
I f := x5 − x2 e g := x2 − x eI f := x5 − x2 e g := x2 − 1
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Euclides
Algoritmo de Euclides (Euclides)O algoritmo recebe como entrada dois polinômios f e g de K[x] edevolve um polinômio h = mdc(f, g).
I Euclides(f,g)1. h← f2. s← g3. enquanto s 6= 0 faça
4. r ←DivisãoPoli(h, s)5. h← s6. s← r7. �m-enquanto
8. devolva h
ExemploI =< f1 := x3 − 3x+ 2, f2 := x4 − 1, f3 := x6 − 1 > ep := x3 + 4x2 + 3x− 7.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Euclides
Algoritmo de Euclides (Euclides)O algoritmo recebe como entrada dois polinômios f e g de K[x] edevolve um polinômio h = mdc(f, g).
I Euclides(f,g)1. h← f2. s← g3. enquanto s 6= 0 faça
4. r ←DivisãoPoli(h, s)5. h← s6. s← r7. �m-enquanto
8. devolva h
ExemploI =< f1 := x3 − 3x+ 2, f2 := x4 − 1, f3 := x6 − 1 > ep := x3 + 4x2 + 3x− 7.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Euclides
Algoritmo de Euclides (Euclides)O algoritmo recebe como entrada dois polinômios f e g de K[x] edevolve um polinômio h = mdc(f, g).
I Euclides(f,g)1. h← f2. s← g3. enquanto s 6= 0 faça
4. r ←DivisãoPoli(h, s)5. h← s6. s← r7. �m-enquanto
8. devolva h
ExemploI =< f1 := x3 − 3x+ 2, f2 := x4 − 1, f3 := x6 − 1 > ep := x3 + 4x2 + 3x− 7.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Sumário
Motivação
O problema da pertinência em Subespaços
O problema de pertinência em K[x].
O problema de pertinência em K[x1, . . . , xn]De�niçõesAlgoritmo da DivisãoBase de GröbnerAlgoritmo de Buchberger
O problema de pertinência em K<x1, . . . , xn>Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem monomial
Uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn] é uma relação ≤ nosmonômios de K[x1, . . . , xn] satisfazendo:
I ≤ é uma boa ordemI Para todos os monômios xα, xβ , xγ ∈ K[x1, . . . , xn], sexα < xβ então xαxγ < xβxγ
Notação: Assumiremos que x1 > x2 > . . . > xn.Seja α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn, denotaremos por xα = xα1
1 xα22 . . . xαn
n
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem monomial
Uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn] é uma relação ≤ nosmonômios de K[x1, . . . , xn] satisfazendo:
I ≤ é uma boa ordemI Para todos os monômios xα, xβ , xγ ∈ K[x1, . . . , xn], sexα < xβ então xαxγ < xβxγ
Notação: Assumiremos que x1 > x2 > . . . > xn.Seja α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn, denotaremos por xα = xα1
1 xα22 . . . xαn
n
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem monomial
Uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn] é uma relação ≤ nosmonômios de K[x1, . . . , xn] satisfazendo:
I ≤ é uma boa ordemI Para todos os monômios xα, xβ , xγ ∈ K[x1, . . . , xn], sexα < xβ então xαxγ < xβxγ
Notação: Assumiremos que x1 > x2 > . . . > xn.Seja α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn, denotaremos por xα = xα1
1 xα22 . . . xαn
n
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem monomial
Uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn] é uma relação ≤ nosmonômios de K[x1, . . . , xn] satisfazendo:
I ≤ é uma boa ordemI Para todos os monômios xα, xβ , xγ ∈ K[x1, . . . , xn], sexα < xβ então xαxγ < xβxγ
Notação: Assumiremos que x1 > x2 > . . . > xn.Seja α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn, denotaremos por xα = xα1
1 xα22 . . . xαn
n
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem monomial
Uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn] é uma relação ≤ nosmonômios de K[x1, . . . , xn] satisfazendo:
I ≤ é uma boa ordemI Para todos os monômios xα, xβ , xγ ∈ K[x1, . . . , xn], sexα < xβ então xαxγ < xβxγ
Notação: Assumiremos que x1 > x2 > . . . > xn.Seja α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn, denotaremos por xα = xα1
1 xα22 . . . xαn
n
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Exemplos
I Ordem lexicográ�ca (abreviada por lex)Dizemos que xα < xβ se existe 1 ≤ j ≤ n tal que αj < βj eαi = βi, para todo 1 ≤ i < j.
I Ordem de grau e lexicográ�ca (abreviada por deglex)Dizemos que xα < xβ se∑n
i=1 αi <∑n
i=1 βiou∑n
i=1 αi =∑n
i=1 βi e xα é menor que xβ na ordem
lexicográ�ca.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Exemplos
I Ordem lexicográ�ca (abreviada por lex)Dizemos que xα < xβ se existe 1 ≤ j ≤ n tal que αj < βj eαi = βi, para todo 1 ≤ i < j.
I Ordem de grau e lexicográ�ca (abreviada por deglex)Dizemos que xα < xβ se∑n
i=1 αi <∑n
i=1 βiou∑n
i=1 αi =∑n
i=1 βi e xα é menor que xβ na ordem
lexicográ�ca.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Monômio Líder
Seja f = a1xα1 + a2x
α2 + . . .+ atx
αt um polinômio não nulo de
K[x1, . . . , xn], com 0 6= ai ∈ K e αi ∈ Nn, para 1 ≤ i ≤ t e ≤uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn]. Tome xαj o máximodentre todos os xαi , na ordem ≤.
I Chamamos xαj o monômio líder de f (na ordem dada), edenotaremos por f .
I Ainda, chamamos aj de coe�ciente líder de f e denotaremospor cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K[x1, . . . , xn],denotaremos por S o conjunto {f | f ∈ S}.
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Introdução a Teoria de Bases de Gröbner
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Monômio Líder
Seja f = a1xα1 + a2x
α2 + . . .+ atx
αt um polinômio não nulo de
K[x1, . . . , xn], com 0 6= ai ∈ K e αi ∈ Nn, para 1 ≤ i ≤ t e ≤uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn]. Tome xαj o máximodentre todos os xαi , na ordem ≤.
I Chamamos xαj o monômio líder de f (na ordem dada), edenotaremos por f .
I Ainda, chamamos aj de coe�ciente líder de f e denotaremospor cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K[x1, . . . , xn],denotaremos por S o conjunto {f | f ∈ S}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Monômio Líder
Seja f = a1xα1 + a2x
α2 + . . .+ atx
αt um polinômio não nulo de
K[x1, . . . , xn], com 0 6= ai ∈ K e αi ∈ Nn, para 1 ≤ i ≤ t e ≤uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn]. Tome xαj o máximodentre todos os xαi , na ordem ≤.
I Chamamos xαj o monômio líder de f (na ordem dada), edenotaremos por f .
I Ainda, chamamos aj de coe�ciente líder de f e denotaremospor cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K[x1, . . . , xn],denotaremos por S o conjunto {f | f ∈ S}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Monômio Líder
Seja f = a1xα1 + a2x
α2 + . . .+ atx
αt um polinômio não nulo de
K[x1, . . . , xn], com 0 6= ai ∈ K e αi ∈ Nn, para 1 ≤ i ≤ t e ≤uma ordem monomial em K[x1, . . . , xn]. Tome xαj o máximodentre todos os xαi , na ordem ≤.
I Chamamos xαj o monômio líder de f (na ordem dada), edenotaremos por f .
I Ainda, chamamos aj de coe�ciente líder de f e denotaremospor cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K[x1, . . . , xn],denotaremos por S o conjunto {f | f ∈ S}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoComut
Algoritmo da Divisão em K[x1, . . . , xn] (DivisãoComut)O algoritmo recebe como entrada um polinômio f ∈ K[x1, . . . , xn],e um conjunto �nito S = {f1, f2, . . . , fs} ⊂ K[x1, . . . , xn] edevolve como saída outro polinômio f .
I DivisãoComut(S, f)1. f ′ ← 02. enquanto f 6= 0 faça
3. enquanto fi ∈ S tal que fi divide f faça
4. f ← f − cl(f)f
cl(fi)fifi
5. �m-enquanto
6. se f 6= 07. então f ′ ← f ′ + cl(f)f8. f ← f − cl(f)f9. �m-se
10. �m-enquanto
11. devolva f ′Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoComut
Algoritmo da Divisão em K[x1, . . . , xn] (DivisãoComut)
I DivisãoComut(S, f)1. f ′ ← 02. enquanto f 6= 0 faça
3. enquanto fi ∈ S tal que fi divide f faça
4. f ← f − cl(f)f
cl(fi)fifi
5. �m-enquanto
6. se f 6= 07. então f ′ ← f ′ + cl(f)f8. f ← f − cl(f)f9. �m-se
10. �m-enquanto
11. devolva f ′
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoComut
Exemplo
Considere K[x, y, z] com a ordem lexicográ�ca (x > y > z).S = {f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y} e f := x2 − y2.S = {f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y} ef := xy − xz3.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoComut
Exemplo
Considere K[x, y, z] com a ordem lexicográ�ca (x > y > z).S = {f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y} e f := x2 − y2.S = {f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y} ef := xy − xz3.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoComut
Exemplo
Considere K[x, y, z] com a ordem lexicográ�ca (x > y > z).S = {f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y} e f := x2 − y2.S = {f1 := x2 − y3z, f2 := x2 − z2, f3 := y2z − y} ef := xy − xz3.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoComut
Teorema da Base de Hilbert
Todo ideal I de K[x1, . . . , xn] é �nitamente gerado,ou seja I =< g1, . . . , gt >, para alguns g1, . . . , gt ∈ I.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
DivisãoComut
Teorema da Base de Hilbert
Todo ideal I de K[x1, . . . , xn] é �nitamente gerado,ou seja I =< g1, . . . , gt >, para alguns g1, . . . , gt ∈ I.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Base de Gröbner
Um subconjunto G de um ideal I de K[x1, . . . , xn] é uma base deGröbner para I (na ordem monomial �xada) se < G >=< I >, ouequivalentemente se, para todo polinômio não nulo f ∈ I, existeum polinômio g ∈ G tal que g divide f .
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo
Consideremos K[x, y] com a ordem de grau e lexicográ�ca (x > y).Tomemos F = {f1 := x3 − 2xy, f2 := x2y − 2y2 + x} e I o idealgerado por F .
I O conjunto F não é uma base de Gröbner para I. De fato,f1y − f2x = −x2 ∈ I, mas x2 /∈< f1, f2 >.
I O conjunto {x2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbner para I.I O conjunto {f1, f2, x
2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbnerque contém F .
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo
Consideremos K[x, y] com a ordem de grau e lexicográ�ca (x > y).Tomemos F = {f1 := x3 − 2xy, f2 := x2y − 2y2 + x} e I o idealgerado por F .
I O conjunto F não é uma base de Gröbner para I. De fato,f1y − f2x = −x2 ∈ I, mas x2 /∈< f1, f2 >.
I O conjunto {x2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbner para I.I O conjunto {f1, f2, x
2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbnerque contém F .
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo
Consideremos K[x, y] com a ordem de grau e lexicográ�ca (x > y).Tomemos F = {f1 := x3 − 2xy, f2 := x2y − 2y2 + x} e I o idealgerado por F .
I O conjunto F não é uma base de Gröbner para I. De fato,f1y − f2x = −x2 ∈ I, mas x2 /∈< f1, f2 >.
I O conjunto {x2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbner para I.I O conjunto {f1, f2, x
2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbnerque contém F .
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo
Consideremos K[x, y] com a ordem de grau e lexicográ�ca (x > y).Tomemos F = {f1 := x3 − 2xy, f2 := x2y − 2y2 + x} e I o idealgerado por F .
I O conjunto F não é uma base de Gröbner para I. De fato,f1y − f2x = −x2 ∈ I, mas x2 /∈< f1, f2 >.
I O conjunto {x2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbner para I.I O conjunto {f1, f2, x
2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbnerque contém F .
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Base de Gröbner
Exemplo
Consideremos K[x, y] com a ordem de grau e lexicográ�ca (x > y).Tomemos F = {f1 := x3 − 2xy, f2 := x2y − 2y2 + x} e I o idealgerado por F .
I O conjunto F não é uma base de Gröbner para I. De fato,f1y − f2x = −x2 ∈ I, mas x2 /∈< f1, f2 >.
I O conjunto {x2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbner para I.I O conjunto {f1, f2, x
2, 2xy, 2y2 − x} é uma base de Gröbnerque contém F .
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Teorema
Seja G uma base de Gröbner do ideal I em K[x1, . . . , xn] e seja fum polinômio de K[x1, . . . , xn].Então f ′ = DivisãoComut(G, f) é igual a zero se, e somente se, fpertence a I.
Exemplo:Consideremos K[x, y] com a ordem de grau-lexicográ�ca (x > y) eG = {x2, 2xy, 2y2 − x} uma base de Gröbner.Seja f := x2y − 2y2 + x. O polinômio f pertence a <G>?
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Base de Gröbner
Teorema
Seja G uma base de Gröbner do ideal I em K[x1, . . . , xn] e seja fum polinômio de K[x1, . . . , xn].Então f ′ = DivisãoComut(G, f) é igual a zero se, e somente se, fpertence a I.
Exemplo:Consideremos K[x, y] com a ordem de grau-lexicográ�ca (x > y) eG = {x2, 2xy, 2y2 − x} uma base de Gröbner.Seja f := x2y − 2y2 + x. O polinômio f pertence a <G>?
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Base de Gröbner
Teorema
Seja G uma base de Gröbner do ideal I em K[x1, . . . , xn] e seja fum polinômio de K[x1, . . . , xn].Então f ′ = DivisãoComut(G, f) é igual a zero se, e somente se, fpertence a I.
Exemplo:Consideremos K[x, y] com a ordem de grau-lexicográ�ca (x > y) eG = {x2, 2xy, 2y2 − x} uma base de Gröbner.Seja f := x2y − 2y2 + x. O polinômio f pertence a <G>?
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Base de Gröbner
Teorema
Seja G uma base de Gröbner do ideal I em K[x1, . . . , xn] e seja fum polinômio de K[x1, . . . , xn].Então f ′ = DivisãoComut(G, f) é igual a zero se, e somente se, fpertence a I.
Exemplo:Consideremos K[x, y] com a ordem de grau-lexicográ�ca (x > y) eG = {x2, 2xy, 2y2 − x} uma base de Gröbner.Seja f := x2y − 2y2 + x. O polinômio f pertence a <G>?
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
S-polinômio
Sejam f, g polinômios de K[x1, . . . , xn].O S-polinômio de f e g é.
S(f, g) :=xγ
cl(f)ff − xγ
cl(g)gg
onde xγ é o mínimo comum multíplo de f e g,ou seja, se f = xα e g = xβ , com α = (α1, . . . , αn} eβ = (β1, . . . , βn}, então γ = (γ1, . . . , γn}, com γi = max(αi, βi).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
S-polinômio
Sejam f, g polinômios de K[x1, . . . , xn].O S-polinômio de f e g é.
S(f, g) :=xγ
cl(f)ff − xγ
cl(g)gg
onde xγ é o mínimo comum multíplo de f e g,ou seja, se f = xα e g = xβ , com α = (α1, . . . , αn} eβ = (β1, . . . , βn}, então γ = (γ1, . . . , γn}, com γi = max(αi, βi).
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Base de Gröbner
S-polinômio
Sejam f, g polinômios de K[x1, . . . , xn].O S-polinômio de f e g é.
S(f, g) :=xγ
cl(f)ff − xγ
cl(g)gg
onde xγ é o mínimo comum multíplo de f e g,ou seja, se f = xα e g = xβ , com α = (α1, . . . , αn} eβ = (β1, . . . , βn}, então γ = (γ1, . . . , γn}, com γi = max(αi, βi).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
S-polinômio
Sejam f, g polinômios de K[x1, . . . , xn].O S-polinômio de f e g é.
S(f, g) :=xγ
cl(f)ff − xγ
cl(g)gg
onde xγ é o mínimo comum multíplo de f e g,ou seja, se f = xα e g = xβ , com α = (α1, . . . , αn} eβ = (β1, . . . , βn}, então γ = (γ1, . . . , γn}, com γi = max(αi, βi).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
S-polinômio
Sejam f, g polinômios de K[x1, . . . , xn].O S-polinômio de f e g é.
S(f, g) :=xγ
cl(f)ff − xγ
cl(g)gg
onde xγ é o mínimo comum multíplo de f e g,ou seja, se f = xα e g = xβ , com α = (α1, . . . , αn} eβ = (β1, . . . , βn}, então γ = (γ1, . . . , γn}, com γi = max(αi, βi).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Teorema
Seja I um ideal de K[x1, . . . , xn].Um conjunto gerador G = {g1, . . . , gt} é uma base de Gröbner se esomente se para todos pares (i, j), com i 6= j, S(gi, gj) se reduzpara zero sobre G (para alguma ordem em que os elementos de Gsão considerados pelo Algoritmo da Divisão).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Teorema
Seja I um ideal de K[x1, . . . , xn].Um conjunto gerador G = {g1, . . . , gt} é uma base de Gröbner se esomente se para todos pares (i, j), com i 6= j, S(gi, gj) se reduzpara zero sobre G (para alguma ordem em que os elementos de Gsão considerados pelo Algoritmo da Divisão).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Buchberger
Algoritmo de Buchberger (BUCHBERGER)O algoritmo recebe como entrada um conjunto �nitoF = {f1, f2, . . . , ft} de geradores de um ideal I de K[x1, . . . , xn] edevolve um conjunto G ⊇ F que é uma Base de Gröbner de I.BUCHBERGER(F)1. G← F2. repita3. G′ ← G4. para cada par fi, fj ∈ G faça5. r ← DivisãoComut(G,S(fi, fj))6. se r 6= 07. então G← G ∪ {r}8. �m-se9. �m-para10. até G = G′
11. devolva GProfa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Buchberger
Algoritmo de Buchberger (BUCHBERGER)BUCHBERGER(F)
1. G← F
2. repita
3. G′ ← G
4. para cada par fi, fj ∈ G faça
5. r ← DivisãoComut(G,S(fi, fj))6. se r 6= 07. então G← G ∪ {r}8. �m-se
9. �m-para
10. até G = G′
11. devolva GProfa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Buchberger
Exemplo
Seja K[x, y] com a ordem de grau-lexicográ�ca (x > y).Consideremos F = {f1 := x3 − 2xy, f2 := x2y − 2y2 + x} e I oideal gerado por F .
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Buchberger
Exemplo
Seja K[x, y] com a ordem de grau-lexicográ�ca (x > y).Consideremos F = {f1 := x3 − 2xy, f2 := x2y − 2y2 + x} e I oideal gerado por F .
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Buchberger
Teorema
Seja F = {f1, f2, . . . , ft} um conjunto gerador de um ideal I nãonulo de de K[x1, . . . , xn].Se F for fornecido como entrada para o Algoritmo de Buchberger,esse terminará em um número �nito de passos e devolverá umaBase de Gröbner �nita para I.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Buchberger
Teorema
Seja F = {f1, f2, . . . , ft} um conjunto gerador de um ideal I nãonulo de de K[x1, . . . , xn].Se F for fornecido como entrada para o Algoritmo de Buchberger,esse terminará em um número �nito de passos e devolverá umaBase de Gröbner �nita para I.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Sumário
Motivação
O problema da pertinência em Subespaços
O problema de pertinência em K[x].
O problema de pertinência em K[x1, . . . , xn]
O problema de pertinência em K<x1, . . . , xn>De�niçõesAlgoritmo da DivisãoBase de GröbnerProcedimento de MoraProfa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
As idéias envolvidas na Teoria de Bases de Gröbner nãocomutativas foram inicialmente estudadas de forma independentepor Bokut [Bokut, 1976] e por Bergman [Bergman, 1978].
Entretanto, quem primeiro considerou essa teoria de um ponto devista mais computacional foi Mora [Mora, 1986, Mora, 1994],introduzindo uma generalização do Algoritmo de Buchberger para ocaso não comutativo (em particular para a álgebra livre), conhecidocomo Procidemento de Mora.
Existem uma série de pacotes computacionais que implementam osalgoritmos e procedimentos da Teoria de Bases de Gröbner nãocomutativas. Entre eles, destacamos Opal, NCGB (Mathematica),Bergman (Standard Lisp) e GNBP (GAP4).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
As idéias envolvidas na Teoria de Bases de Gröbner nãocomutativas foram inicialmente estudadas de forma independentepor Bokut [Bokut, 1976] e por Bergman [Bergman, 1978].
Entretanto, quem primeiro considerou essa teoria de um ponto devista mais computacional foi Mora [Mora, 1986, Mora, 1994],introduzindo uma generalização do Algoritmo de Buchberger para ocaso não comutativo (em particular para a álgebra livre), conhecidocomo Procidemento de Mora.
Existem uma série de pacotes computacionais que implementam osalgoritmos e procedimentos da Teoria de Bases de Gröbner nãocomutativas. Entre eles, destacamos Opal, NCGB (Mathematica),Bergman (Standard Lisp) e GNBP (GAP4).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
As idéias envolvidas na Teoria de Bases de Gröbner nãocomutativas foram inicialmente estudadas de forma independentepor Bokut [Bokut, 1976] e por Bergman [Bergman, 1978].
Entretanto, quem primeiro considerou essa teoria de um ponto devista mais computacional foi Mora [Mora, 1986, Mora, 1994],introduzindo uma generalização do Algoritmo de Buchberger para ocaso não comutativo (em particular para a álgebra livre), conhecidocomo Procidemento de Mora.
Existem uma série de pacotes computacionais que implementam osalgoritmos e procedimentos da Teoria de Bases de Gröbner nãocomutativas. Entre eles, destacamos Opal, NCGB (Mathematica),Bergman (Standard Lisp) e GNBP (GAP4).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Os problemas do caso não comutativo
No caso comutativo há sempre a garantia de existência de umaBase de Gröbner �nita.Par o caso não comutativo, existem exemplos de ideais �nitamentegerados que não possuem nenhuma Base de Gröbner �nita,independente da ordem dada nos termos. Com isso o Procedimentode Mora pode nunca �nalizar sua computação.
Por outro lado, existe a garantia de que se o ideal admitir algumaBase de Gröbner �nita (para a ordem dada) então o procedimentode Mora terminará e devolverá uma Base de Gröbner �nita.
O problema de calcular uma Base de Gröbner não écomputável.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Os problemas do caso não comutativo
No caso comutativo há sempre a garantia de existência de umaBase de Gröbner �nita.Par o caso não comutativo, existem exemplos de ideais �nitamentegerados que não possuem nenhuma Base de Gröbner �nita,independente da ordem dada nos termos. Com isso o Procedimentode Mora pode nunca �nalizar sua computação.
Por outro lado, existe a garantia de que se o ideal admitir algumaBase de Gröbner �nita (para a ordem dada) então o procedimentode Mora terminará e devolverá uma Base de Gröbner �nita.
O problema de calcular uma Base de Gröbner não écomputável.
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Os problemas do caso não comutativo
No caso comutativo há sempre a garantia de existência de umaBase de Gröbner �nita.Par o caso não comutativo, existem exemplos de ideais �nitamentegerados que não possuem nenhuma Base de Gröbner �nita,independente da ordem dada nos termos. Com isso o Procedimentode Mora pode nunca �nalizar sua computação.
Por outro lado, existe a garantia de que se o ideal admitir algumaBase de Gröbner �nita (para a ordem dada) então o procedimentode Mora terminará e devolverá uma Base de Gröbner �nita.
O problema de calcular uma Base de Gröbner não écomputável.
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Os problemas do caso não comutativo
No caso comutativo há sempre a garantia de existência de umaBase de Gröbner �nita.Par o caso não comutativo, existem exemplos de ideais �nitamentegerados que não possuem nenhuma Base de Gröbner �nita,independente da ordem dada nos termos. Com isso o Procedimentode Mora pode nunca �nalizar sua computação.
Por outro lado, existe a garantia de que se o ideal admitir algumaBase de Gröbner �nita (para a ordem dada) então o procedimentode Mora terminará e devolverá uma Base de Gröbner �nita.
O problema de calcular uma Base de Gröbner não écomputável.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Os problemas do caso não comutativo
No caso comutativo há sempre a garantia de existência de umaBase de Gröbner �nita.Par o caso não comutativo, existem exemplos de ideais �nitamentegerados que não possuem nenhuma Base de Gröbner �nita,independente da ordem dada nos termos. Com isso o Procedimentode Mora pode nunca �nalizar sua computação.
Por outro lado, existe a garantia de que se o ideal admitir algumaBase de Gröbner �nita (para a ordem dada) então o procedimentode Mora terminará e devolverá uma Base de Gröbner �nita.
O problema de calcular uma Base de Gröbner não écomputável.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem Admissível
Dado uma alfabeto X = {x1, . . . , xn}. Consideramos, neste minicurso, o caso particular de K<X> a álgebra livre sobre X.Denotamos por X∗ o conjunto das palavras sobre X.
Dizemos que uma ordem ≤ em X∗ é admissível se, as seguintescondições forem satisfeitas.
I A ordem ≤ é uma boa ordem em X∗.I Sejam p, q ∈ X∗, se p < q então upr < uqr, para todosu, r ∈ X∗.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem Admissível
Dado uma alfabeto X = {x1, . . . , xn}. Consideramos, neste minicurso, o caso particular de K<X> a álgebra livre sobre X.Denotamos por X∗ o conjunto das palavras sobre X.
Dizemos que uma ordem ≤ em X∗ é admissível se, as seguintescondições forem satisfeitas.
I A ordem ≤ é uma boa ordem em X∗.I Sejam p, q ∈ X∗, se p < q então upr < uqr, para todosu, r ∈ X∗.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem Admissível
Dado uma alfabeto X = {x1, . . . , xn}. Consideramos, neste minicurso, o caso particular de K<X> a álgebra livre sobre X.Denotamos por X∗ o conjunto das palavras sobre X.
Dizemos que uma ordem ≤ em X∗ é admissível se, as seguintescondições forem satisfeitas.
I A ordem ≤ é uma boa ordem em X∗.I Sejam p, q ∈ X∗, se p < q então upr < uqr, para todosu, r ∈ X∗.
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De�nições
Ordem Admissível
Dado uma alfabeto X = {x1, . . . , xn}. Consideramos, neste minicurso, o caso particular de K<X> a álgebra livre sobre X.Denotamos por X∗ o conjunto das palavras sobre X.
Dizemos que uma ordem ≤ em X∗ é admissível se, as seguintescondições forem satisfeitas.
I A ordem ≤ é uma boa ordem em X∗.I Sejam p, q ∈ X∗, se p < q então upr < uqr, para todosu, r ∈ X∗.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem de grau e lexicográ�ca
I Ordem lexicográ�ca (abreviada por lex)Dizemos que u ≤ v se v = uw para algum w ∈ X∗ ouse u = wxuu
′ e v = wxvv′ para algumas letras xu, xv ∈ X e
algumas palavras w, u′, v′ ∈ X∗.
A ordem lexicográ�ca NÃO é uma ordem admíssivel.
I Ordem de grau e lexicográ�ca (abreviada por deglex)Dizemos que u < v se‖ u ‖<‖ v ‖ou‖ u ‖=‖ v ‖ e u é menor que v na ordem lexicográ�ca.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem de grau e lexicográ�ca
I Ordem lexicográ�ca (abreviada por lex)Dizemos que u ≤ v se v = uw para algum w ∈ X∗ ouse u = wxuu
′ e v = wxvv′ para algumas letras xu, xv ∈ X e
algumas palavras w, u′, v′ ∈ X∗.
A ordem lexicográ�ca NÃO é uma ordem admíssivel.
I Ordem de grau e lexicográ�ca (abreviada por deglex)Dizemos que u < v se‖ u ‖<‖ v ‖ou‖ u ‖=‖ v ‖ e u é menor que v na ordem lexicográ�ca.
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De�nições
Ordem de grau e lexicográ�ca
I Ordem lexicográ�ca (abreviada por lex)Dizemos que u ≤ v se v = uw para algum w ∈ X∗ ouse u = wxuu
′ e v = wxvv′ para algumas letras xu, xv ∈ X e
algumas palavras w, u′, v′ ∈ X∗.
A ordem lexicográ�ca NÃO é uma ordem admíssivel.
I Ordem de grau e lexicográ�ca (abreviada por deglex)Dizemos que u < v se‖ u ‖<‖ v ‖ou‖ u ‖=‖ v ‖ e u é menor que v na ordem lexicográ�ca.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem de grau e lexicográ�ca
I Ordem de peso e lexicográ�ca (abreviada por weight-lex)Dada uma aplicação peso φ : X → N− {0}, de�nimosφ : X∗ → N sua extensão natural. Dizemos que u < v seφ(u) < φ(v)ouφ(u) = φ(v) e u é menor que v na ordem lexicográ�ca.
As ordens de grau e lexicográ�ca e de peso e lexicográ�ca sãoadmíssiveis.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Ordem de grau e lexicográ�ca
I Ordem de peso e lexicográ�ca (abreviada por weight-lex)Dada uma aplicação peso φ : X → N− {0}, de�nimosφ : X∗ → N sua extensão natural. Dizemos que u < v seφ(u) < φ(v)ouφ(u) = φ(v) e u é menor que v na ordem lexicográ�ca.
As ordens de grau e lexicográ�ca e de peso e lexicográ�ca sãoadmíssiveis.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Termo Líder
Sejam ≤ uma ordem admissível em X∗ e f ∈ K<X>.
I De�nimos como termo líder de f o maior elemento dosuporte de f (na ordem dada), e o denotamos por f .
I Ainda, chamamos o coe�ciente de f de coe�ciente líder def , denotado por cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K<X>, denotaremos porS o conjunto {f | f ∈ S}.
Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
Introdução a Teoria de Bases de Gröbner
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Termo Líder
Sejam ≤ uma ordem admissível em X∗ e f ∈ K<X>.
I De�nimos como termo líder de f o maior elemento dosuporte de f (na ordem dada), e o denotamos por f .
I Ainda, chamamos o coe�ciente de f de coe�ciente líder def , denotado por cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K<X>, denotaremos porS o conjunto {f | f ∈ S}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Termo Líder
Sejam ≤ uma ordem admissível em X∗ e f ∈ K<X>.
I De�nimos como termo líder de f o maior elemento dosuporte de f (na ordem dada), e o denotamos por f .
I Ainda, chamamos o coe�ciente de f de coe�ciente líder def , denotado por cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K<X>, denotaremos porS o conjunto {f | f ∈ S}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
De�nições
Termo Líder
Sejam ≤ uma ordem admissível em X∗ e f ∈ K<X>.
I De�nimos como termo líder de f o maior elemento dosuporte de f (na ordem dada), e o denotamos por f .
I Ainda, chamamos o coe�ciente de f de coe�ciente líder def , denotado por cl(f).
I Por �m, se S é um subconjunto de K<X>, denotaremos porS o conjunto {f | f ∈ S}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Divisão
Algoritmo da Divisão em K<X> (Divisão)O algoritmo recebe como entrada um elemento f ∈ K<X>, e umconjunto �nito S = {f1, f2, . . . , fs} ⊂ K<X> e devolve comosaída outro elemento h de K<X> tal que f = a+ h ondea ∈<S> e nenhum elemento do suporte de h seja divisível pelotermo líder de um dos fi. Além do mais, h ≤ f .
I Divisão(S, f)1. g ← f2. h← 03. enquanto g 6= 0 faça
4. enquanto existem fi ∈ S e w,w′ ∈ X∗ tais que wfiw′ = g
faça
5. g ← g − cl(g)cl(fi)
wfiw′
6. �m-enquanto
7. se g 6= 08. então h′ ← h′ + cl(g)g9. g ← g − cl(g)g
10. �m-se
11. �m-enquanto
12. devolva h
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Divisão
Algoritmo da Divisão em K<X> (Divisão)
I Divisão(S, f)1. g ← f2. h← 03. enquanto g 6= 0 faça
4. enquanto existem fi ∈ S e w,w′ ∈ X∗ tais que wfiw′ = g
faça
5. g ← g − cl(g)cl(fi)
wfiw′
6. �m-enquanto
7. se g 6= 08. então h′ ← h′ + cl(g)g9. g ← g − cl(g)g
10. �m-se
11. �m-enquanto
12. devolva h
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Divisão
Exemplo
Considere K<a, b, c> com a ordem de grau e lexicográ�ca(a > b > c).S = {f1 := ab− ac, f2 := a2 − ac, f3 := ba} e f := caaba.Escolhendo f1 primeiro, temos como saída cacca.Escolhendo f2 primeiro, temos como saída 0.Escolhendo f3 primeiro, temos como saída 0.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Divisão
Exemplo
Considere K<a, b, c> com a ordem de grau e lexicográ�ca(a > b > c).S = {f1 := ab− ac, f2 := a2 − ac, f3 := ba} e f := caaba.Escolhendo f1 primeiro, temos como saída cacca.Escolhendo f2 primeiro, temos como saída 0.Escolhendo f3 primeiro, temos como saída 0.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Divisão
Exemplo
Considere K<a, b, c> com a ordem de grau e lexicográ�ca(a > b > c).S = {f1 := ab− ac, f2 := a2 − ac, f3 := ba} e f := caaba.Escolhendo f1 primeiro, temos como saída cacca.Escolhendo f2 primeiro, temos como saída 0.Escolhendo f3 primeiro, temos como saída 0.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Divisão
Exemplo
Considere K<a, b, c> com a ordem de grau e lexicográ�ca(a > b > c).S = {f1 := ab− ac, f2 := a2 − ac, f3 := ba} e f := caaba.Escolhendo f1 primeiro, temos como saída cacca.Escolhendo f2 primeiro, temos como saída 0.Escolhendo f3 primeiro, temos como saída 0.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Divisão
Exemplo
Considere K<a, b, c> com a ordem de grau e lexicográ�ca(a > b > c).S = {f1 := ab− ac, f2 := a2 − ac, f3 := ba} e f := caaba.Escolhendo f1 primeiro, temos como saída cacca.Escolhendo f2 primeiro, temos como saída 0.Escolhendo f3 primeiro, temos como saída 0.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Base de Gröbner
Um subconjunto G de um ideal I de K<X> é uma base deGröbner para I (na ordem admissível �xada) se < G >=< I >,ou equivalentemente se, para todo elemento não nulo f ∈ I, existeum polinômio g ∈ G tal que g divide f .
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Introdução a Teoria de Bases de Gröbner
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Nem sempre é �nito
Seja I o ideal gerado por f := aba− b2a.I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca
(a > b).Uma base de Gröbner para I é
G := {ab2i−1a− b2ia | i ≥ 1}
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I.
I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca(b > a).Uma base de Gröbner para I é {f}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Nem sempre é �nito
Seja I o ideal gerado por f := aba− b2a.I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca
(a > b).Uma base de Gröbner para I é
G := {ab2i−1a− b2ia | i ≥ 1}
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I.
I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca(b > a).Uma base de Gröbner para I é {f}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Nem sempre é �nito
Seja I o ideal gerado por f := aba− b2a.I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca
(a > b).Uma base de Gröbner para I é
G := {ab2i−1a− b2ia | i ≥ 1}
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I.
I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca(b > a).Uma base de Gröbner para I é {f}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Nem sempre é �nito
Seja I o ideal gerado por f := aba− b2a.I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca
(a > b).Uma base de Gröbner para I é
G := {ab2i−1a− b2ia | i ≥ 1}
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I.
I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca(b > a).Uma base de Gröbner para I é {f}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Nem sempre é �nito
Seja I o ideal gerado por f := aba− b2a.I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca
(a > b).Uma base de Gröbner para I é
G := {ab2i−1a− b2ia | i ≥ 1}
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I.
I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca(b > a).Uma base de Gröbner para I é {f}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Nem sempre é �nito
Seja I o ideal gerado por f := aba− b2a.I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca
(a > b).Uma base de Gröbner para I é
G := {ab2i−1a− b2ia | i ≥ 1}
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I.
I Consideremos K<a, b> com a ordem de grau e lexicográ�ca(b > a).Uma base de Gröbner para I é {f}.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Sempre in�nito
Consideremos K<a, x, y> e I o ideal gerado por{axya− xya, xy − yx}.
I O conjunto
G := {ayixia− yixia, xy − yx | i ≥ 1}
é uma base de Gröbner para I para qualquer ordem admissívelsatisfazendo xy > yx.
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I, independente daordem admissível escolhida.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Sempre in�nito
Consideremos K<a, x, y> e I o ideal gerado por{axya− xya, xy − yx}.
I O conjunto
G := {ayixia− yixia, xy − yx | i ≥ 1}
é uma base de Gröbner para I para qualquer ordem admissívelsatisfazendo xy > yx.
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I, independente daordem admissível escolhida.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Exemplo - Sempre in�nito
Consideremos K<a, x, y> e I o ideal gerado por{axya− xya, xy − yx}.
I O conjunto
G := {ayixia− yixia, xy − yx | i ≥ 1}
é uma base de Gröbner para I para qualquer ordem admissívelsatisfazendo xy > yx.
De fato, não existe base de Gröbner �nita para I, independente daordem admissível escolhida.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Teorema
Seja G uma base de Gröbner do ideal I em K<X> e sejaf ∈ K<X>.Então f ′ = Divisão(G, f) é independente da escolha feita na linha4.Logo, f ′ é igual a zero se, e somente se, f pertence a I.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Teorema
Seja G uma base de Gröbner do ideal I em K<X> e sejaf ∈ K<X>.Então f ′ = Divisão(G, f) é independente da escolha feita na linha4.Logo, f ′ é igual a zero se, e somente se, f pertence a I.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Teorema
Seja G uma base de Gröbner do ideal I em K<X> e sejaf ∈ K<X>.Então f ′ = Divisão(G, f) é independente da escolha feita na linha4.Logo, f ′ é igual a zero se, e somente se, f pertence a I.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de SobreposiçãoSejam f, g dois elementos de K<X>.Uma sobreposição envolvendo f e g é uma quadrupla (f, g, u, v)satisfazendo:
I u e v são palavras não nula de X∗.I uf = gv.I O termo líder de f não divide v e o termo líder de g não divideu.
Dado uma sobreposição (f, g, u, v), diremos que uma relação desobreposição envolvendo f e g é dada por
O(f, g, u, v) = uf − αgv
com α = cl(uf)/cl(gv).Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de SobreposiçãoSejam f, g dois elementos de K<X>.Uma sobreposição envolvendo f e g é uma quadrupla (f, g, u, v)satisfazendo:
I u e v são palavras não nula de X∗.I uf = gv.I O termo líder de f não divide v e o termo líder de g não divideu.
Dado uma sobreposição (f, g, u, v), diremos que uma relação desobreposição envolvendo f e g é dada por
O(f, g, u, v) = uf − αgv
com α = cl(uf)/cl(gv).Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de SobreposiçãoSejam f, g dois elementos de K<X>.Uma sobreposição envolvendo f e g é uma quadrupla (f, g, u, v)satisfazendo:
I u e v são palavras não nula de X∗.I uf = gv.I O termo líder de f não divide v e o termo líder de g não divideu.
Dado uma sobreposição (f, g, u, v), diremos que uma relação desobreposição envolvendo f e g é dada por
O(f, g, u, v) = uf − αgv
com α = cl(uf)/cl(gv).Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de SobreposiçãoSejam f, g dois elementos de K<X>.Uma sobreposição envolvendo f e g é uma quadrupla (f, g, u, v)satisfazendo:
I u e v são palavras não nula de X∗.I uf = gv.I O termo líder de f não divide v e o termo líder de g não divideu.
Dado uma sobreposição (f, g, u, v), diremos que uma relação desobreposição envolvendo f e g é dada por
O(f, g, u, v) = uf − αgv
com α = cl(uf)/cl(gv).Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de SobreposiçãoSejam f, g dois elementos de K<X>.Uma sobreposição envolvendo f e g é uma quadrupla (f, g, u, v)satisfazendo:
I u e v são palavras não nula de X∗.I uf = gv.I O termo líder de f não divide v e o termo líder de g não divideu.
Dado uma sobreposição (f, g, u, v), diremos que uma relação desobreposição envolvendo f e g é dada por
O(f, g, u, v) = uf − αgv
com α = cl(uf)/cl(gv).Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de SobreposiçãoSejam f, g dois elementos de K<X>.Uma sobreposição envolvendo f e g é uma quadrupla (f, g, u, v)satisfazendo:
I u e v são palavras não nula de X∗.I uf = gv.I O termo líder de f não divide v e o termo líder de g não divideu.
Dado uma sobreposição (f, g, u, v), diremos que uma relação desobreposição envolvendo f e g é dada por
O(f, g, u, v) = uf − αgv
com α = cl(uf)/cl(gv).Profa Dra: Diane Castonguay INF-UFG
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de Divisão
Sejam f, g dois elementos de K<X>.Dizemos que existe uma relação de divisãoenvolvendo f e G sef = ugv, para algumas palavras de X∗.Neste caso, essa relação de divisão é dada por
D(f, g, u, v) = f − αugv
com α = cl(f)/cl(ugv).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de Divisão
Sejam f, g dois elementos de K<X>.Dizemos que existe uma relação de divisãoenvolvendo f e G sef = ugv, para algumas palavras de X∗.Neste caso, essa relação de divisão é dada por
D(f, g, u, v) = f − αugv
com α = cl(f)/cl(ugv).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Relação de Divisão
Sejam f, g dois elementos de K<X>.Dizemos que existe uma relação de divisãoenvolvendo f e G sef = ugv, para algumas palavras de X∗.Neste caso, essa relação de divisão é dada por
D(f, g, u, v) = f − αugv
com α = cl(f)/cl(ugv).
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Proposição
Sejam f, g dois elementos de K<X>.Existe apenas um número �nito de relações de sobreposição e dedivisão envolvendo f e g.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
Base de Gröbner
Proposição
Sejam f, g dois elementos de K<X>.Existe apenas um número �nito de relações de sobreposição e dedivisão envolvendo f e g.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
Procedimento de Mora (PMORA)O algoritmo recebe como entrada um conjunto �nitoF = {f1, f2, . . . , ft} de geradores de um ideal I de K<X>. Casotermine sua computação, ele devolve uma Base de Gröbner �nitapara I. Aindam se I possuir alguma Base de Gröbner �nita (para aordem admissível �xada), o procedimento termina.
1. R← ∅; G← F2. para cada par f, g ∈ G faça3. R← R ∪ CalculaRelações(f, g)4. �m-para5. enquanto R 6= ∅ faça6. r ← EscolheRelação(R)7. h← Divisão(G, r)8. se h 6= 09. então G← G ∪ {h}10. para cada par g ∈ G faça11. R← R∪ CalculaRelações(g, h)12. �m-para; �m-se;�m-enquanto13. devolva G
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
Procedimento de Mora (PMORA)
1. R← ∅; G← F
2. para cada par f, g ∈ G faça3. R← R ∪ CalculaRelações(f, g)4. �m-para5. enquanto R 6= ∅ faça6. r ← EscolheRelação(R)7. h← Divisão(G, r)8. se h 6= 09. então G← G ∪ {h}10. para cada par g ∈ G faça11. R← R∪ CalculaRelações(g, h)12. �m-para; �m-se;�m-enquanto13. devolva G
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
CalculaRelações(f, g)
Esta função recebe como entrada dois elementos de K<X> edevolve um conjunto contendo todas as relações de sobreposição ede divisão não nulas envolvendo os elementos f e g.
Esta função pode ser emplementada sem muita di�culdade fazendobuscas por subpalavras envolvendo f e g. Ademais, sua saída serásempre um conjunto �nito.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
CalculaRelações(f, g)
Esta função recebe como entrada dois elementos de K<X> edevolve um conjunto contendo todas as relações de sobreposição ede divisão não nulas envolvendo os elementos f e g.
Esta função pode ser emplementada sem muita di�culdade fazendobuscas por subpalavras envolvendo f e g. Ademais, sua saída serásempre um conjunto �nito.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
EscolheRelação(R)
Esta função recebe como entrada um conjunto composto porrelações de sobreposição e de divisão e devolve um desseselementos (removendo-o do conjunto original R).
Ela deve possuir a seguinte propriedade: se um elemento s éinserido no conjunto R e sucessivas chamadas são feitas para afunção EscolheRelação, s deve ser devolvido em um número �nitode chamadas de EscolheRelação.
Em outras palavras, exigimos que toda relação de sobreposição e dedivisão encontrada pelo procedimento seja considerada em tempo�nito.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
EscolheRelação(R)
Esta função recebe como entrada um conjunto composto porrelações de sobreposição e de divisão e devolve um desseselementos (removendo-o do conjunto original R).
Ela deve possuir a seguinte propriedade: se um elemento s éinserido no conjunto R e sucessivas chamadas são feitas para afunção EscolheRelação, s deve ser devolvido em um número �nitode chamadas de EscolheRelação.
Em outras palavras, exigimos que toda relação de sobreposição e dedivisão encontrada pelo procedimento seja considerada em tempo�nito.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
EscolheRelação(R)
Esta função recebe como entrada um conjunto composto porrelações de sobreposição e de divisão e devolve um desseselementos (removendo-o do conjunto original R).
Ela deve possuir a seguinte propriedade: se um elemento s éinserido no conjunto R e sucessivas chamadas são feitas para afunção EscolheRelação, s deve ser devolvido em um número �nitode chamadas de EscolheRelação.
Em outras palavras, exigimos que toda relação de sobreposição e dedivisão encontrada pelo procedimento seja considerada em tempo�nito.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
Exemplo
Seja K<a, b, c, d, e, f> com a ordem de peso e lexicográ�ca(a < b < c < d < e < f) com a seguinte aplicação peso:
φ(a) = 3 e φ(b) = φ(c) = φ(d) = φ(e) = φ(f) = 1
Consideremos I o ideal gerado por F = {g1, g2, . . . , g7} com:g1 := ca− ac g2 := da− ad g3 := ba− b2cg4 := be2 − b2c g5 := b2cf − bc g6 := e2f − bc2g7 := bcd
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
Exemplo
Seja K<a, b, c, d, e, f> com a ordem de peso e lexicográ�ca(a < b < c < d < e < f) com a seguinte aplicação peso:
φ(a) = 3 e φ(b) = φ(c) = φ(d) = φ(e) = φ(f) = 1
Consideremos I o ideal gerado por F = {g1, g2, . . . , g7} com:g1 := ca− ac g2 := da− ad g3 := ba− b2cg4 := be2 − b2c g5 := b2cf − bc g6 := e2f − bc2g7 := bcd
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
Teorema
Seja F = {f1, f2, . . . , ft} um conjunto gerador de um ideal I nãonulo de de K<X>.Se F for fornecido como entrada para o Procedimento de Mora,esse terminará em um número �nito de passos e devolverá umaBase de Gröbner �nita para I se e somente se I possui uma Basede Gröbner �nita.
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PMORA
Teorema
Seja F = {f1, f2, . . . , ft} um conjunto gerador de um ideal I nãonulo de de K<X>.Se F for fornecido como entrada para o Procedimento de Mora,esse terminará em um número �nito de passos e devolverá umaBase de Gröbner �nita para I se e somente se I possui uma Basede Gröbner �nita.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
Bergman, G. M., The diamond lemma for ring theory, Adv. inMath. 29 (1978), no. 2, 178-218.
Bokut, L. A., Imbeddings into simple associative algebras,Algebra i Logika 15 (1976), no. 2, 117-142, 245.
Buchberger, B., On �nding a vector space basis of the residue
class ring modulo a zero dimensional polynomial ideal, Ph.D.thesis, Univ. of Innsbruck, Austria, 1965.
Mora, F., Gröbner bases for non-commutative polynomial rings,Algebraic algoritms and error-correcting codes: proceedings(Jacques Calmet, ed.), Lecture Notes in Computer Science,vol. 229, Springer-Verlag, 1986, 353-362.
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Motivação Subespaços Uma variável Comutativo Não Comutativo
PMORA
Mora, T., An introduction to commutative and
noncommutative Gröbner bases, Theoretical Computer Science134 (1994), 131-173.
Villas Bôas, A. A., Aspectos algébricos e computacionais da
teoria de bases de Gröbner não comutativas, Dissertação deMestrado, Univ. de São Paulo, Brasil, 2005.
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