IntSuperf

1.-4 rea de uma Superfcie

5.1A Em cada caso, calcule a rea da superfcie S.

(a) S uma esfera de raio R: [resp. 4R2]

(b) S a poro do plano x+ y + z = a; a > 0; interna ao cilindro x2 + y2 = a2: [resp. a2p3]

(c) S a poro do parabolide x2+ y2+ z = a2; delimitada pelo cilindro vazado 1 x2+ y2 9; x 0; y 0: [resp. (37p37 5p5) 30:71](d) S a poro da esfera x2 + y2 + z2 = a2; interna ao cilindro x2 + y2 = ay: [resp. (2 4)a2](e) S a poro do cilindro x2 + z2 = a2; delimitada por y2 = a (x+ a) : [resp. 8a2

p2]

(f) S a poro do cone z2 = x2 + y2; z 0; interna ao cilindro x2 + y2 = 2ax: [resp. a2p2](g) S a poro do parabolide x2+ z2 = 2ay; a > 0; abaixo do plano y = a: [resp. 2a2(3

p31)=3]

(h) S a poro do cilindro y2 + z2 = 16; compreendida acima da regio triangular 0 x 2; 0 y 2 x: [resp. 8p3 + 4=3 16](i) S a poro do plano 3x+ 2y + z = 7 no primeiro octante. [resp. 49

p14=12]

(j) S a poro do cilindro parablico z2 = 8x; compreendida acima da regio 0 x 1; 0 y px:[resp. (6

p3 4p2)=3]

(k) S a poro do cilindro y2 + z2 = 4; interna ao cilindro parablico x2 = 2y + 4 e acima do plano

z = 0: [resp. 16p2]

(l) S o tringulo com vrtices A (2; 0; 0) ; B (0; 3; 0) e (0; 0; 2) : [resp.p22]

(m) S a poro do cone z =px2 + y2 interna ao cilindro x2+ y2 = 2x e externa a x2+ y2 = 1: [resp.

p2=3 +

p6=2]

5.1B Seja S a superfcie de um paralelogramo do R3 e sejam S1; S2 e S3 suas projees nos

planos coordenados. Verique que A (S) =qA (S1)

2 +A (S2)2 +A (S3)

2:

2 CLCULO DE VRIAS VARIVEIS MARIVALDO P. MATOS

5.1C Uma edicao erguidano formato da gura ao

lado, onde a fachada descrita pela superfcie cilndrica xy = 1.

Usando as aproximaes: ln 2 = 0:7 eR 20:5

p1 + t4dt = 2:26,

calcule a rea total da edicao. [resp. 19:32]

5.1D Deduza as frmulas para as reas de um cone e de um cilindro (circular reto) de raio a e

altura h: [resp. Acone = apa2 + h2 e Acilindro = 2ah]

1.-3 Clculo de Integrais de Superfcies

5.2A Calcule as seguintes integrais de superfcies:

(a)ZZ

SxdS ; S : x2 + y2 = R2; 1 z 1: [resp. 0]

(b)ZZ

Szpx2 + y2dS ; S a poro da esfera x2 + y2 + z2 = 9; compreendida entre os planos z = 1 e

z = 2: [resp. 2(16p2 5p5]

(c)ZZ

S

~F ~dS ; S : x2 + y2 + z2 = R2; x 0 e ~F = y~j + z ~k: [resp. 4R3=3]

(d)ZZ

S(~F ~nS)dS ; S : x2 + y2 = R2; x 0; y 0; 0 z a e ~F = sen z~i + xy~j cos z ~k: [resp.

(1 cos a)R+ aR3=3]

(e)ZZ

SxydS ; S : x2 + y2 = 2z; 0 x 1; 0 y 1: [resp. (9p3 8p2 + 1)=15]

(f)ZZ

S

x2 + y2 + z2

dS ; S : x2 + y2 + z2 = R2: [resp. 4R4]

(g)ZZ

Sz2dS ; S a poro do cilindro x2 + y2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e z = x + 3:

[resp. 60]

(h)ZZ

SxdS ; S a poro do plano x+ y + z = 1 no primeiro octante. [resp.

p3=6]

(i)ZZ

SxdS ; S a fronteira da regio delimitada pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos z = 0 e

z = x+ 2: [resp. ]

COMPLEMENTO 5 INTEGRAL DE SUPERFCIE 3

(j)ZZ

Sx2dS ; S a poro do plano z = x, interna ao cilindro x2 + y2 = 1: [resp.

p2=4]

(k)ZZ

Sx2dS ; S : x2 + y2 = z2; 1 z 2: [resp. 15p2=4]

(l)ZZ

S(x+ y) dS ; S a poro do plano 2x+ 3y + z = 6 no primeiro octante. [resp. 5

p14]

(m)ZZ

S

xz

ydS ; S a poro do cilindro x = y2, situada no primeiro octante, entre os planos z = 0; z =

5; y = 1 e y = 4: [resp. 12524 (13p65p5)]

5.2B Considere o campo ~F = x2 ~i+ y2 ~j+ z2 ~k e compare os valores das integrais:ZZ

S

~F ~nSdS

eZZZ

div(~F )dV , onde S a esfera x2 + y2 + z2 = a2 e a bola do R3 x2 + y2 + z2 a2 [resp. 0]

1.-2 Frmulas de Gauss e Stokes. Aplicaes

5.3A Com auxlio do Teorema de Stokes calculeI

~F d~r, sendo o bordo da superfcie S :

(a) ~F = y2~i + z2~j + x2 ~k ; S a poro do plano x + y + z = 1, situada no primeiro octante. [resp.

1](b) ~F = 3y~i xz~j + yz2 ~k ; S a superfcie do parabolide 2z = x2 + y2, situada abaixo do planoz = 2: [resp. 20]

(c) ~F = 2y~i + z~j + 3~k ; S a parte do parabolide z = 4 x2 y2, interior ao cilindro x2 + y2 = 1:[resp. 2](d) ~F = z~i+ x~j + y ~k ; S o hemisfrio z =

p1 x2 y2: [resp. ]

(e) ~F = x2~i+ y2~j + z2 ~k ; S o cone z2 = x2 + y2; 0 z 1: [resp. 0]

5.3B Com auxlio do Teorema de Stokes calculeZ

Pdx+Qdy +Rdz :

(a)Z

ydx+ zdy + xdz ; : x2 + y2 + z2 = R2; x+ y + z = 0: [resp. p3R2]

(b)Z

(y + z) dx+ (x+ z) dy + (x+ y) dz ; : x2 + y2 = 2y; y = z: [resp. 0]

(c)Z

y2 z2 dx+ z2 x2 dy + x2 y2 dz ; a curva interseo da fronteira do cubo 0 x

a; 0 y a; 0 z a; com plano x+ y + z = 3a=2: [resp. 9a3=2](d)

Z

x3dz ; o bordo da superfcie S : z = y + 4; 1 x2 + y2 4: [resp. 45=4]


(e)Z

ydx x2dy + 5dz ; o bordo da superfcie S : ~r (u; v) = u ~i + v ~j + 1 u2 ~k; u 0; v

0; u+ v 1: [resp. 5=6]

5.3C Calcule o uxo do campo ~F atravs da superfcie S e, quando possvel, use o Teorema da

Divergncia de Gauss para comprovar o resultado:

(a) ~F = x~i + y~j + z ~k; S a superfcie do slido limitado pelo hemisfrio z =pa2 x2 y2 e pelo

plano z = 0: [resp. 2a3]

(b) ~F = 2~i + 5~j + 3~k; S a poro do cone z =px2 + y2 interna ao cilindro x2 + y2 = 1: [resp.

3](c) ~F = x~i y~j; S a parte do primeiro octante, limitada pelos trs planos coordenados e pela esferade equao x2 + y2 + z2 = R2: [resp. 0]

(d) ~F = x~i+y~j+z ~k; S a fronteira do slido no primeiro octante limitado pelos planos x = 1; y = 2;

e 3x+ 2y + z = 12: [resp. 51]

5.3D Seja S a superfcie descrita por: ~X (u; v) = u~i+v~j+2 u2 + v2~k; u2+v2 1; e considere

o campo ~F = y~i+ (x+ y)~k: Calcule o uxo de rot(~F ) atravs de S de duas maneiras: primeiro por um

clculo direto e, depois, usando a Frmula de Stokes. [resp. ]

5.3E Seja ~r = x~i+ y~j + z ~k o vetor posio do ponto P (x; y; z) e seja r = k~rk. Verique que ouxo do campo ~F =

~r

r3atravs de uma superfcie simples fechada regular S que no contenha a origem

igual a zero. Qual seria o uxo do campo ~F , se a superfcie S contivesse a origem no seu interior?

[resp. 4]

5.3F Com a notao do exerccio precedente e admitindo que representa uma regio compacta

do R3 delimitada por uma superfcie simples fechada e regular S (por exemplo uma esfera), use o

Teorema da Divergncia de Gauss e verique a relao:ZZSr ~r ~nS dS = 4

ZZZ

r dV:

5.3G Use a Frmula de Gauss e estabelea as seguintes identidades:

(a)ZZZ

(vu+ru rv) dV =

ZZ@

v@u

@~nSdS:

(b)ZZZ

(vu uv) dV =

ZZ@

(v@u

@~nS u @v

@~nS)dS:


(c) vol () = 13

ZZ@

k~rk cos (~r; ~nS) dS:

5.3H Se cos; cos e cos representam os co-senos diretores da normal exterior superfcie S,

use o Teorema de Gauss e calcule as seguintes integrais de superfcies:

(a)ZZ

S(xy cos+ yz cos + xz cos ) dS ; S a esfera x2 + y2 + z2 = R2: [resp. 0][ resp. 0]

(b)ZZ

Sx2y2z2 (cos+ cos + cos ) dS ; S a fronteira do cubo 0 x a; 0 y a ; 0 z a :

[resp. a8=3]resp. a8=3

5.3I Uma curva regular no plano xz; de equao cartesiana z = f (x) ; a x b; gira em

torno do eixo z descrevendo uma superfcie S: Deduza a Frmula de Pappus: A (S) = 2Lh, onde L

o comprimento da curva e h a distncia do centride de ao eixo de rotao.

5.3J Em coordenadas cilndricas uma superfcie S descrita pela equao z = G (r; ) ; (r; ) 2 D:Mostre que:

A (S) =

ZZD

r1 +G2r +

1

r2G2 rdrd:

5.3K Mostre que em coordenadas cilndricas, a equao z = G (r) ; a r b; 0 2;representa uma superfcie de revoluo cuja rea :

A = 2

Z ba

p1 +G2r rdr:

5.3L Calcule a rea do cone obtido por rotao da reta y = 3x+ 2; 0 x 3; z = 0; em tornodo eixo x: [resp. 39=

p10]

5.3M Calcule o momento de inrcia da superfcie homognea S em torno do eixo indicado. Em

cada caso admita que a densidade supercial de massa 1:

(a) S a poro do cilindro x2 + y2 = 2x, que jaz entre as folhas do cone x2 + y2 = z2 ; Eixo x: [resp.

1024=45]

(b) S a superfcie do tetraedro com vrtices A (1; 0; 0) ; B (0; 1; 0) ; (0; 0; 1) e D (0; 0; 0); Eixo y:

[resp. (2 +p3)=6]

(c) S a esfera x2 + y2 + z2 = R2; Eixo z: [resp. 8R4=3]

(d) S a esfera x2 + y2 + z2 = R2; Eixo a reta x = y; z = 0: [resp. 8R4=3]


5.3N Encontre o centride de cada superfcie S dada abaixo. Como no exerccio precedente,

admita que a densidade supercial de massa 1:

(a) S o hemisfrio z =pR2 x2 y2: [resp. C(0; 0; R=2)]

(b) S a poro da esfera x2 + y2 + z2 = 1 que jaz no interior do cone z2 = x2 + y2; z 0: [resp.C(0; 0; (2 +

p2)=4)]

(c) S a poro do hemisfrio x2 + y2 + z2 = 4; y 0; externa ao cilindro x2 + y2 = 2: [resp.CM (0; (2 +

p2)=2; 0)]

5.3O Uma concha esfrica homognea de raio a cortada pela folha de um cone circular reto cujo

vrtice est no centro da esfera. Se o ngulo do vrtice do cone ; 0 < < , qual o centro de massa

da poro da concha que jaz no interior do cone? [resp. sobre o eixo do cone, distantea (1 cos)

4 [1 cos (=2)]do centro da esfera]

5.3P Calcule o potencial eletrosttico ' (x; y; z) no ponto A (0; 0; z) devido a uma distribuio

uniforme de carga eltrica, com densidade ; no disco x2 + y2 a2: Qual o campo eltrico ~E no ponto

A? [resp. ' = 2pa2 + z2 jzj

; ~E = r' = 2z

1

jzj 1p

a2 + z2

~k]

5.3Q No exerccio precedente qual seria o potencial eletrosttico e o campo eltrico no ponto A,

se a densidade no ponto (x; y) do disco fosse (x; y) =px2 + y2? Use os resultados:Z

drpr2 + z2

= lnr +pr2 + z2 e Z pr2 + z2dr = r2pr2 + z2 + z22 ln r +pr2 + z2 ;

e encontre as seguintes expresses para o potencial e o campo eltrico:

' = z2a

z

q1 + (a=z)2 ln

a

z+q1 + (a=z)2

~E = 2z

ln

a

z+q1 + (a=z)2

az

q1 + (a=z)2

~k

5.3R Calcule o campo eletrosttico na origem devido a uma distribuio uniforme de carga sobre

o cilindro x2 + y2 = R2; 0 z a: [resp. ~E = 2(pR2 + a2 R)R2 + a2

~k]

5.3S Qual o potencial eletrosttico no ponto (0; 0; z), devido a uma distribuio uniforme de

carga sobre o hemisfrio z =pR2 x2 y2? [resp. 2R(

pR2 + z2 R+ z)

z]


5.3T Considere uma distribuio uniforme de carga eltrica sobre uma esfera S de raio a. Mostre

que o campo eltrico num ponto do eixo z interior a S zero. Qual o campo eltrico nos pontos do eixo

z exteriores esfera S ? [resp. ~E(0; 0; z) =4a2

z2~k. O fenmeno ocorre como se toda carga estivesse

concentrada no centro da esfera]

5.3U Mostre queRRS

x2 + y2

(x~i+ y~j) ~ dS = 4Iz; onde Iz representa o momento de inrcia,

com relao ao eixo z, do slido com densidade de massa 1; delimitado por S:

5.3V Seja S a poro do cilindro x2+y2 = 2ax; a > 0; 0 z 1; que jaz entre os planos x = 2ae x = b; 0 < b < 2a: Admita a densidade constante 0 e calcule: (a) a massa de S; e (b) o momento de

inrcia Iz de S. [resp. (a) 2a0 arcsin1a

p2ab b2

(b) 4a20(a+

p2ab b2)]

5.3W Dada uma superfcie S de equao cartesiana ' (x; y; z) = 0; (y; z) 2 D; ' de classe 1,com 'x 6= 0; mostre que:

(a)RRS f (x; y; z) dS =

RRD

q'2x + '

2y + '

2z

f (x; y; z)

j'xjdydz;

(b)RRS~F ~nS dS =

RRD(~F r') 1j'xj

dydz:

4. Integral de Superfcierea de uma SuperfcieClculo de Integrais de SuperfciesFrmulas de Gauss e Stokes. Aplicaes

IntSuperf

Documents

Transcript of IntSuperf