Olá caros alunos do 8ºB, sabemos que vocês adoram estudar e em

função do cenário atual, por meio desta eu estarei passando a vocês conteúdo

e atividades para revisarem e estudarem esses dias enquanto todos nos

estamos nesse recesso.

Sem mais delongas:

Potenciação:

Indica multiplicação de fatores iguais. Sendo ‘a’ um numero inteiro e ‘n’ um

numero natural maior que 1, temos que:

a é a base

n é o expoente

o resultado é a potencia.

Veja os exemplos a seguir:

Dois elevado a quarta potencia é igual a 2.2.2.2=16

Outro exemplo:

2³=2.2.2=8

Por definição qualquer numero elevado a zero é igual a 1.

Qualquer numero elevado a 1 é igual a ele mesmo.

7¹=7

Para não se confundir:

Um numero negativo elevado a um expoente par terá como resultado um

numero positivo.

Um numero negativo elevado a um expoente impar Dara um resultado

negativo.

Propriedades da potência:

Para facilitar algumas operações podemos usar das propriedades da

potencia:

- Toda potência de 10 é igual ao numeral formado pelo algarismo 1 seguido

de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

10 elevado a 7 é igual a 10.000.000.

- Multiplicação de potências de base igual.

3² vezes 3³ é igual a 3elevado a 5.

Veja que neste caso, se repete a base e soma se os expoentes.

Para praticar:

Aplique a propriedade de multiplicação de potencias:

58.58⁸

7⁵.7⁸=

3².3⁴=

- Divisão de potencia de mesma base.

Neste caso manten-se a base e se subtrai os expoentes.

2⁵ ÷2³= 2²

Observe, a base dois foi repetida e se subtraiu 3 do 5 resultando em dois.

Resolva:

2⁶/2⁴=

9⁸÷9⁴=

6³/6²=

-Potencia de expoente negativo.

Para calcular esta potência você pode inverter o número tal qual uma fração

para deixar o expoente positivo, veja:

Três elevado a dois negativo.

Você inverte o 3, e ele fica igual a 1/3 (um terço).

Mas por que? Você pergunta, eu respondo, o 3 é na verdade três inteiros,

ou seja, 3/1, quando você inverter ele você vai mudar o numerador e o

denominador de lugar, ou seja de 3/1 vai para 1/3.

Depois aplica a operação, (1/3)² é igual a 1/9.

Agora tente resolver:

5 elevado a 4 negativo (professor não vai escrever 5 -⁴? Ate que vou, mas

escrevi por extenso pra vocês se darem ao trabalho de ler)

7-8=

25-12=

(2/3)-5=

(1/3)-2=

-Potência de potência.

(7²)³= 7²*³=7⁶.

Note que se repetiu a base e multiplicou-se os expoentes.

Para praticar:

(5²)³=

(4³)⁶=

(2⁴)⁹=

-Potência de um produto.

Exemplo (5*7)³= 5³ vezes 7³

Veja que neste caso aplicou-se a distributiva do expoente 3 aos números 5

e 7, ou seja, temos que (5.7)³ é a mesma coisa que 5³ vezes 7³.

Pratique:

(2.3)²=

(5*4)⁶=

(7*2)²=

Radiciação

É a operação inversa a potência.

O sinal √ chama-se radical.

Índice 2 significa raiz quadrada.

Índice 3 significa raiz cúbica.

Índice 4 significa raiz quarta.

E por ai vai.

 (lê-se “raiz quadrada de 81”)

 (lê-se “raiz cúbica de 64”)

 (lê-se “raiz quarta de 16”)

Note que o índice 2 não precisa ser evidenciado, em outras palavras apesar

de saber que tem um 2 no índice você não precisa escrever o numero dois.

Mas nos demais casos você tem de especificar o valor do índice.

Olhe por exemplo, a raiz cúbica de 8, é o número que multiplicado por si

mesmo 3 vezes resultara no valor do radicando.

³ √8 = 2

Veja que 2³= 2.2.2 = 8

Assim, raiz cúbica de 8 é dois pois 2.2.2 é igual a 8.

E assim como as potências as raízes trem suas propriedades:

-A raiz enésima de um numero elevado a enésima potência é o próprio

numero, ou seja, se você calcular a raiz de uma potencia cujo índice seja o

mesmo do expoente da raiz você terá o mesmo numero, veja:

³ √2³ = 2

Aqui, raiz cúbica de dois elevado ao cubo é dois, pois o expoente 3 do dois

cancela o índice 3 da raiz.

- O índice de uma raiz pode ser multiplicado ou dividido por um numero

qualquer desde que o expoente do numero radicando seja multiplicado ou

dividido pelo mesmo valor.

Exemplo: √ 5⁴ = ²*³ √5⁴*³

Viu, O índice 2 foi multiplicado por 3 e o expoente 4 também, isso faz com

que a conta de o mesmo valor pois estamos igualando os lados.

-A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas.

Exemplo: √a.b = √a . √b.

Ou seja, se eu tiver por exemplo uma multiplicação dentro do radical eu

posso separar esses números e fazer a raiz separada deles e depois

multiplicar eles.

Raiz de cinco vezes o dois é igual a raiz de cinco vezes a raiz de dois.

√5.2 = √5. √2

Pratique:

√7.5=

³ √6.4=

√4/4=

√8÷2=

-Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o

radicando:

(⁴√5²)³ = ⁴ √5²*³= ⁴ √5⁶

Perceba que o expoente 3 passa a multiplicar o expoente dentro do

radicando, neste caso o 2.

Pratique:

(√5)³ = √5³

(³√8³)³ =

(⁵√4⁷)³ =

-Raiz de raiz.

Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um numero, é passível

obter o seu resultado desta forma:

A raiz quadrada da raiz cúbica de cinco é igual a raiz sexta de 5.

²√³√5= ²*³√5

Ou seja, se você encontrar uma operação de radiciação dentro de outra,

você pode multiplicar os índices.

Pratique:

√³√25=

³√√16=

⁴√⁵√125=

A ultima propriedade diz que podemos escrever um radical na forma de

potência com seu expoente fracionado, consequentemente se pode

escrever a potencia em forma de raiz, observe:

√5³= 5³÷²

Veja que a raiz quadrada de 5 elevado a terceira é igual a 5 elevado a 3/2.

Onde ‘a’ é um numero qualquer.

1)Pratique:

³√7²=

√2⁴=

⁴√5² =⁰

1) Escreva as potencias dadas de modo que elas sejam expressas em

forma radical.

31/2

42/3

2343/4

Decomposição em fatores primos

Hora de ver a decomposição em fatores primos para calcular a raiz, ate

agora não pedi para você calcular, apenas para aplicar a propriedade, mas

me diga qual a raiz de 144?

Bem vamos ver uma forma de calcular.

Primeiro, uma colinha, você lembra dos números primos?

Números primos são números divisíveis apenas por ele mesmo e pelo

numero 1, de modo a obter um valor inteiro. Eis eles aqui:

2,3,5,7,11,13,17,19,23... e por ai vai.

Para o caso de uma raiz quadrada você pode ir dividindo o valor do radical

ate obter produto 1, conforme o esquema:

Você pode pegar sua calculadora e confirmar que √144 = 12.

Vamos agora tentar com a √484.

É um numero par, dividindo por dois fica 242 dividindo por dois de novo fica

121, e agora? Se fizer por 3 ou por 2 terá números quebrados, deve estar

pensando que seria bom ter a colinha agora não é mesmo? Bem se você

pensar um pouco vai notar que 121 é múltiplo de 11, e 11 é um número

primo, 121/11= 11 e 11/11 = 1.

A cada dois números iguais desconsidere o segundo. Você terá ao final

2*11=22, e se verificar, constatara que √484 = 22.

Agora resolva:

A) √64

B) √196

C) √36

Muito bem mas e para uma raiz de índice diferente de dois?

Bem nestes casos o procedimento é semelhante mas muda a

quantidade de números que você vai cortar.

Para calcular a raiz cúbica, a cada três números iguais você corta dois.

Exemplo ³√64 = 4

Para demais raízes o procedimento é similar veja que para raiz de índice 4 a

cada 4 números iguais você corta 3.

Experimente calcular a 4√81, você vai obter como resultado 3.

81/3 = 27, 27/3= 9, 9/3=3 e 3/3=1. Você vai cortar três dos quatro números três

e vai restar apenas um numero 3, logo o resultado é 3.

Calcule:

A) 3√216

B) 4√256

Vamos agora resolver juntos estes exercícios:

A) 3-2.5²=

Três elevado a dois negativo, vezes 5 ao quadrado.

Potencia de índice negativo, primeiramente você deve inverter o 3 para o

expoente ficar positivo:

(1/3)2.5²=

Muito bem, podemos calcular agora, 3 ao quadrado é 3*3, logo (1/3)² é 1/9.

5²=5*5=25.

Para multiplicar 1/9 e 25 você deve se lembrar que esse 25 representa 25

inteiros, logo 25/1.

1/9 vezes 25/1 = 25/9.

B)210.(28/26)=

Lembre-se das propriedades, divisão de potencias, repita a base e subtraia os

expoentes, teremos que (28/26)= 2².

Para multiplicar as potencias de base igual você repete a base e soma os

expoentes.

210.2² = 212.

c)(1/4)³= não tem segredo, 1³=1 e 4³=4*4*4=64 logo essa conta resulta em

1/64.

d) (1/4)-2= (4/1)²=(16/1)=16.

Expoente negativo, você inverte a fração.

e) ((1/2)6.(1/2)12)/(1/2)8=

Você pode repetir a base (1/2) e somar os expoentes 6 e 12 obtendo expoente

18 e depois repetir a base novamente e subtrair 8 obtendo expoente 10. Ou

seja o resultado é (1/2)10=(1/1024)

f) ((5*4)²)/54.28=

(5*4)² você pode aplicar a distributiva e fazer 5² vezes 4² e obter 400 quanto

pode multiplicar 4 por 5 e depois elevar o resultado ao quadrado, ou seja 20² =

400.

54.28= primeiro 54= 5*5*5*5=625 e 28= 2*2*2*2*2*2*2*2=256

Multiplique 256 por 625 e vai obter 160.000.

O resultado desta operação é 400/160.000.

Escreva agora as raízes na forma de potência.

√7 = 71/2

O expoente 1 do 7 fica sendo o numerador, e o índice 2 da raiz fica sendo o

divisor do expoente de 7.

4√2³= 23/4

4√81= 811/4

√569 = 569/2

5√25² = 252/5

9√999³ = 9993/9

Vamos agora realizar estes exercícios:

1) Reduza a uma só potencia e resolva-a:

A) [(-22)2]=

B)5².55.5-1=

C) (7.3)²=

D) 4²+4³-48=

E) (7²)³=

F) (4². 4)³=

2) Resolva:

a) 6/2√122/2=

b) √100 . 25=

c) (³√8)²=

d) √√81

e) √√256=

f) √ 4 . 36=

Peguem a apostila pagina 24 Estimando raiz quadrada:

As vezes não teremos um valor exato mas poderemos estimar um valor

aproximado, exemplo, o numero 6 não é um quadrado perfeito, então não

tem raiz exata.

Sabe-se que 6 está entre os produtos perfeitos 4 e 9, isto é √4<√6<√9.

Para estimar a raiz quadrada não exata, podemos calcular valores dentro

do espaço procurado:

(2,1)² = 4,41

(2,2)² = 4,484

(2,3)²=5,29

(2,4)²=5,76

(2,5)²=6,25.

Considerando uma casa decimal, podemos encontrar

aproximadamente √6, o que nos leva a concluir que √6 está entre 2,4 e 2,5,

uma vez que estes valores elevados ao quadrado compreendem um espaço

próximo a possível √6 que caso você consulte sua calculadora obterá como

resultado para √6 o valor 2,44...

Como podem ver por aproximação se achou um valor próximo.

Vamos recordar o que são números quadrados perfeitos já que citamos

eles:

Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois

fatores iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 são quadrados

perfeitos, pois 2² = 4, 6² = 36 e 10² = 100. O que significa que tirar uma raiz

quadrada deles vai dar um valor inteiro.

Lista de números quadrados perfeitos:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 etc...

Sistema de numeração decimal.

Ele é de base 10. Usamos dez algarismos diferentes para representar todos os

números existentes.

0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

É um sistema posicional, ou seja, a posição do algarismo no numero modifica o

seu valor. É o sistema que nos usamos, o indo-árabico.

As quantidades são agrupadas de 10 em 10.

10 unidades = uma dezena.

10 dezenas = uma centena

10 centenas = uma unidade de milhar.

Exemplo:

Ordens e Classes

No sistema de numeração decimal cada algarismo representa uma ordem,

começando da direita para a esquerda e a cada três ordens temos uma classe.

Para fazer a leitura de números muito grandes, dividimos os algarismos do

número em classes (blocos de 3 ordens), colocando um ponto para separar as

classes, começando da direita para a esquerda.

Exemplo:

1) 57283

Primeiro, separamos os blocos de 3 algarismos da direita para a esquerda e

colocamos um ponto para separar o número: 57. 283. No quadro acima vemos

que 57 pertence a classe dos milhares e 283 a classe das unidades simples.

Assim, o número será lido como: cinquenta e sete mil, duzentos e oitenta e

três.

2) 12839696

Separando os blocos de 3 algarismos temos: 12.839.696 O número então será

lido como: doze milhões, oitocentos e trinta e nove mil, seiscentos e noventa e

seis.

Classe dos decimais.

Exemplo:

2,25.

Duas unidades, dois décimos e cinco centésimos.

Dois inteiros e vinte e cinco centésimos.

0,35 = Trinta e cinco centésimos.

0,125 =Cento e vinte e cinco milésimos.

1,4 = Um inteiro e quatro décimos.

Para comparar um número decimal com outro lembre-se de igualar as casas

decimais.

0,4>0,15 pois 0,4=0,40

Por enquanto é só ‘pepepepepessoal’.

Busquem estudar e praticar, em caso de duvidas sempre é bom rever os

conceitos, lembre-se de anotar.

Boa sorte a todos e lembrem-se de tomar os devidos cuidados como por

exemplo lavar bem as mãos com água e sabão e evitar aglomerações.