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IntroduçãoNo presente trabalho iremos abordar os temas referentes a “ decomposição de series temporais”, onde falaremos dos assuntos de:

- Métodos das médias móveis;

- Método de percentagem móvel; e

- Cálculo de índice de sazonalidade.

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Métodos das médias móveisNem sempre a tendência de serie cronológica é linear, susceptível de ser representada por uma equação matemática.

É necessário em certos casos o método das medias moveis, que permite suavizar ou eliminar as flutuações da serie por um processo de calculo de medias sucessivas. (Elisabeth Reis)

Dado o seguinte conjunto de valores observados

Y1,2….yk-1,yk,yk+1…..yn-2,yn-1,yn

Define-se como média móvel de ordem k, a seguinte sequências de medias altimétricas simples.

Y 1+Y 2+…+Y kk

Y 2+Y 3+…+Y k +1

k

Y n+1−k+Y n+2−k+…+Y nk

Sendo cada media móvel calculada a partir de K, valores sucessivos da serie cronológica. Quanto maior a ordem K, maior será o efeito de alisamento das flutuações da serie.

Exemplo:

1-Numa serie cuja as observações são trimestrais, se existirem movimentos periódicos que se repetem cada 4 trimestres, devera calcular um media móvel de ordem 4.

2- Os dados seguintes referem-se a exportação de determinado produto agrícola durante 12 anos. Pretende-se obter os valores da tendência utilizado uma média móvel de 3 anos.

anos Exportação(103 ton) Soma moveis de 3 anos Tendênciaxt = media móvel de 3 anos.

199619971998199920002001200220032004200520062007

63,271,958,572,878,375,677,470,873,471,571,775,6

-193,6203,2209,6226,7231,3223,8221,6215,7216,6218,9

-

-64,5367,7369,8675,5677,0974,6073,8671,9072,2072,93-

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A construção de um gráfico dos dados originais e dos valores da tendência encontradas a partir da aplicação do medo das medias moves de 3 anos mostra o alisamento da serie.

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 20080

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Valores de Y

Quando a ordem é impar, as médias móveis referem-se sempre ao período central. Quando o número de períodos para o cálculo das médias móveis é par, o ponto central de intervalo considerado não coincide com nenhum dos períodos originalmente definidos. A media móvel vai refere-se ao meio de dois períodos consecutivos, dai a necessidade de se aplicarem duas medias moveis, tendo a segunda aplicação como único objectivo centrar os valores encontrados para a tendência e referir esses valores a cada um dos períodos originalmente definidos.

Exemplo: seja a seguinte serie cronológica referente a produção de laranjas ( em toneladas) de uma exploração agrícola, entre 1990 e 2000. Pretende-se isolar a componente tendência utilizando o método das médias móveis com ordem 4.

Anos Yt Soma móvel de 4 Media móvel de 4 Media móvel

4

anos anos centrada.1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

5,00

3,65

4.30

4.45

3.89

3.81

3.26

3.87

4.17

4.11

3.38

-

-17,40

16,29

16,45

15,41

14,83

15,11

15,41

15,53-

-

-

-4,35

4,07

4,11

3,85

3,71

3,78

3,85

3,88-

-

-

-

4,21

4,09

3,98

3,78

3,75

3,82

3,87

-

-

Desvantagens do método das médias móveis com ordem par.

- Não é possível isolar os valores da tendência para todos os períodos observados;

- Não é possível obter uma expressão analítica para a tendência, mas apenas um conjunto de valores que a representa;

- Impossibilita que se façam quaisquer previsões para o futuro; e

- As médias móveis são fortemente afectados por valores extremos que, mesmo sendo em número reduzido pode fazer gerar movimentos cíclicos que realmente não existe nas observações originais.

Método de cálculo dos índices sazonais Existem vários métodos de cálculo dos índices sazonais. O mas simples e rudimental o método da percentagem media, não requer o conhecimento prévios dos valores da tendência, conhecimento esse essencial para aplicação do método, dos mas completos e sofisticados.

Esquema aditivo:

Yt=Xt+St+Ct+It

e S t=Yt-Xt-Ct-It

para o caso das series curtas em que não é possível decompor a componente cíclica, fazendo:

Mt= Xt+ Ct

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Isto é, tomando conjuntamente os efeitos da tendência e do ciclo, resulta

St=Yt- Mt-It

Se o esquema for multiplicativo, a componente sazonal será calculada do seguinte modo:

St=Y t

X t∗Ct∗I t

Ou St=Y t

M t∗I t

Para as series cronológicas com poucas observações, sendo Mt = Xt x Ct

Método da percentagem mediaEste método para isolar a componente sazonal de uma serie cronológica, consiste em exprimir os dados de cada subperíodo (semana, mês, trimestre ou semestre), como percentagem da média anual dos valores observados. O índice sazonal para cada subperíodo resulta da média dos diferentes anos.

Exemplo:

As importações (em toneladas) de certa matéria-prima distribuíram se durante 4 anos da seguinte maneira:

Anos Trimestre Importações2004

2005

2006

2007

IIIIIIV

IIIIIIIV

IIIIIIIV

IIIIIIV

17263212

1014138

12222018

1524309

em primeiro lugar, calcula se a media trimestral para cada um dos anos observados:

2004 2005 2006 2007

media trimestral 21,75 11,25 18,00 19,50

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Calculo dos índices sazonais com o método da percentagem media:

Trimestre Anos Índices sazonais2004 2005 2006 2007

IIIIIIIV

78,2119,5147,155,2

88,9124,4115,671,1

66,7122,2111,1100,0

76,9123,1153,846,2

77,6122,3131,968,1

O índice sazonal para o primeiro trimestre foi calculado assim:

St=78,2+88,9+66,7+76,9

4=77,6

Como se pode verificar, a media dos índices sazonais é igual a 100,verificando se, portanto, propriedade de que a sazonalidade se deve compensar.

Calculo dos índices sazonais num modelo de decomposição aditivo

Este método de isolamento da componente sazonal pressupõe o conhecimento prévio dos efeitos da tendência e da componente cíclica e que se corrijam posteriormente os resultados para retirar o efeito das irregularidades. No esquema desse tipo, o somatório dos índices sazonais deverão ser nulos. Aos valores St encontrados é necessário subtrair um factor de correcção que se calcula a partir da fórmula seguinte:

∑ S ik

Factor de correcção (modelo aditivo)

Exemplo:

Retomando o exemplo anterior, utilizou se o método das medias moveis de ordem 4 para isolar a tendência e o efeito do ciclo admitindo que o esquema apropriado de decomposição da serie é aditivo, pretende se calcular os índices sazonais para cada trimestre.

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Calculo dos índices sazonais

Anos Trimestre Importações (Yt) Medias moveis (Mt) Yt-Mt

2004

2005

2006

2007

IIIIIIIV

IIIIIIIV

IIIIIIIV

IIIIIIIV

17263212

1014138

12222018

1524309

--20,87518,5

14,62511,7511,512,75

14,62516,7518,37810

20,520,625--

--11,125-6,5

-4,6252,251,5-4,75

-2,6255,251,625-1

-5,53,375--

Os índices sazonais não corrigidos (St) obtém se a partir das medias das diferenças Yt -Mt, para todos os anos:

Calculo dos índices sazonais não corrigidos

ANOS TrimestresI II III IV

2004200520062007

--4,625-2,6265-5,5

-2,255,253,75

11,1251,51,625-

-6,5-4,75-1-

Ʃ -12,75 10,875 14,25 -12,25St -4,25 3,625 4,75 -4,08

∑i=1

4

S i=0,045

Não se verificando, o somatório dos índices encontrados seja nulo, torna se necessário corrigir os valores encontrados utilizando, para isso um factor de correcção igual a 0,045/4=0,01125. Subtraindo a cada índice St este valor obtêm se os índices corrigidos.

Trimestre I II III IVÍndice sazonal corrigido

-4,26125 3,61375 4,73875 -4,09125

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Calculo dos índices sazonais num modelo de decomposição multiplicativo.

Num modelo multiplicativo, a componente sazonal para cada subperíodo expressa-se em percentagem, da valor da tendência e devera revelar uma media para todos subperíodos igual a 100. Caso contrário será necessário proceder a correcção dos índices.

As passas para obtenção dos índices sazonais são:

1- Calculam-se os valores da tendência, quer ajustando uma recta de regressão, quer atreveis do método das médias moveis;

2- Calculam-se os quocientes Y tX t

∗100 ou Y tMt

* 100, no caso de series curtas.

3- Determina-se para cada subperíodo, a média dos resultados obtidos no passo anterior.

4- Calcula-se o somatório dos índices anteriores. Caso esse somatório seja diferente de K x 100(k= numero de subperiodos), é necessário corrigir os índices.

5- Para obter os índices sazonais corrigidos, dividem-se os valores obtidos pelo seguinte factor de correcção:

∑ s ik∗100

Factor de correcção( modelo multiplicativo).

Exemplo:

As vendas de gelados seguiram a seguinte distribuição nos últimos 4 anos. Pretende-se prever o valor das vendas para o terceiro trimestre de 2008.

Anos Trimestre Vendas (yt) Tendência (Xt) (Yt /Xt)x1002004 I

IIIIIIV

1252

1,791,962,132,30

5610223487

2005 IIIIIIIV

1362

2,482,652,833,00

4011321267

2006 IIIIIIIV

1364

3,173,353,523,70

3189170108

2007 IIIIIIIV

2284

3,874,044,224,40

524918991

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Fui ajustada a uma recta de regressão aos valores observados, tendo-se encontrado a seguinte equação para a tendência:

Xt=1,62+ 0,17t

Os valores da tendência, calculados a partir da recta de regressão são utilizados para calcular os quocientes Yt/Xt .Os índices sazonais não para cada subperíodo. Admite-se nesse exemplo, que a componente não tem qualquer efeito sobre a serie observada.

anosTrimestre

I II III IV2004200520062007

56403152

1021138949

234212170189

876710891

Ʃ 179 353 805 353St 44,75 88,25 201,25 88,25

∑i=1

4

sti=422,50

O factor para a correcção dos índices é igual 422,50

400=1,05625. Dividindo cada valor St

por este factor obtém-se os índices corrigidos:

Trimestre I II III IVÍndices sazonais corrigidos

42 84 191 84

Para o terceiro trimestre de 2008, (t= 19):

Tendência X19= 1,62 + 0,17 x 19= 4,85

Sazonalidade S19 = 191

Previsão Y19 = 4,85 x 1,91 ≈ 9,26.

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Conclusão

No trabalho apresentado, que abordamos o assunto de decomposição das series temporais, vimos que no método das medidas moveis quando o número de períodos para o cálculo das médias móveis é par, o ponto central de intervalo considerado não coincide com nenhum dos períodos originalmente definidos. A media móvel vai referir-se ao meio de dois períodos consecutivos, dai a necessidade de se aplicarem duas medias moveis, tendo a segunda aplicação como único objectivo centrar os valores encontrados para a tendência e referir esses valores a cada um dos períodos originalmente definidos. Já na percentagem media, consiste em exprimir os dados de cada subperíodo (semana, mês, trimestre ou semestre), como percentagem da média anual dos valores observados.

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BibliografiaREIS, Elisabeth, estatística descritiva, 7 P edição, revista e corrigida. Edição silabo.

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ÍndiceIntrodução..........................................................................................................................1

Métodos das médias móveis..............................................................................................2

Método de cálculo dos índices sazonais............................................................................4

Método da percentagem media..........................................................................................5

Calculo dos índices sazonais num modelo de decomposição aditivo...............................6

Calculo dos índices sazonais num modelo de decomposição multiplicativo....................8

Conclusão........................................................................................................................10

Bibliografia......................................................................................................................11