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Guia do professor

números e funções

requisitos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ou Firefox 3.0+), Adobe Flash Player 9.0+ e máquina Java 1.5+.restrições de acessibilidade Este software não possui recurso nativo de alto contraste nem possibilita navegação plena por teclado.licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Objetivos da unidadeIdentificar uma função polinomial através de seu gráfico;1. Adquirir sensibilidade no tratamento gráfico de funções através da 2. identificação de suas raízes;Explorar funções polinomiais de grau maior que dois.3.

Guia do professor

SinopseEste software em formato de jogo explora a relação entre o gráfico de fun-ções polinomiais e sua expressão algébrica. Para marcar pontos no jogo, o aluno terá que encontrar funções polinomiais que correspondam aos gráficos que aparecem na tela. As atividades estão organizadas em níveis crescentes de dificuldade e a qualquer momento o aluno pode solicitar uma dica para tentar responder ou mesmo suspender momentaneamente o jogo e ir para o modo aprender, onde poderá obter mais informações sobre maneiras de resolver os problemas.

ConteúdosFunções e gráficos; �

Função constante, função linear, função quadrática; �

Funções polinomiais, gráficos e propriedades; �

Polinômios, Teorema Fundamental da Álgebra. �

ObjetivosIdentificar uma função polinomial através de seu gráfico;1. Adquirir sensibilidade no tratamento gráfico de funções através da iden-2. tificação de suas raízes;Explorar funções polinomiais de grau maior que dois.3.

DuraçãoUma aula dupla.

Recomendação de usoSugerimos que as atividades sejam realizadas em duplas e que os alunos levem lápis e papel para a sala de informática.

Material relacionadoExperimentos: Caixa de Papel; �

Áudios: O que é polinômio?; �

Vídeos: Embalagens. �

Jogo dos polinômios

O estudo de funções é um tema central no ensino de matemática em qual-quer nível. Este software, em forma de jogo, foi concebido para explorar os aspectos gráfi co, algébrico e numérico de funções polinomiais, os quais, aliados à modelagem de problemas reais, formam um núcleo de grande importância para o aluno do ensino médio. A proposta central do jogo é descobrir a expressão algébrica de uma função polinomial através de seu gráfi co. De certa forma, essa proposta é complementar à atividade de traçar o gráfi co de uma função dada sua expressão algébrica, um exercício bastante valorizado nas aulas de mate-mática, que geralmente é resolvido avaliando-se a função em alguns pontos estrategicamente escolhidos. O jogo dos polinômios valoriza a intuição dos alunos e explora de forma integrada os aspectos gráfi co, numérico e algébrico de funções polinomiais. Em cada atividade o aluno é convidado a pensar sobre o grau do polinômio associado ao gráfi co que aparece na tela, quais são suas raízes, em que intervalos a função é negativa (ou positiva), qual seu comportamento quando cresce (ou decresce) indefi nidamente etc. A qualquer momento o aluno pode dar um palpite (um chute) sobre a resposta e, caso não esteja correto, o gráfi co da função que ele propôs aparece na tela, junto com o gráfi co da função que deve ser encontrada. Assim o aluno pode analisar a diferença entre ambos e melhorar sua res-posta. Este “erro” não é penalizado com a perda de pontos no jogo, pelo contrário, o palpite é incentivado como uma forma de aprendizado.

As funções que aparecem na tela estão organizadas em grupos, de acordo com níveis de difi culdade, mas seus coefi cientes são escolhidos aleatoriamente, o que torna o jogo apropriado para atividades de labora-tório, uma vez que a cada execução ele gera uma sequência distinta de problemas.

Estrutura do software

As atividades no software estão divididas em dois grupos, denominados modo jogar e modo aprender. Para o aluno a ênfase do software é o jogo de descobrir a expressão da função cujo gráfi co é apresentado na tela. A qual-quer momento o aluno pode solicitar uma dica para tentar responder ou suspender momentaneamente o jogo e ir para o modo aprender, onde po-derá obter mais informações sobre maneiras de resolver os problemas. O jogo está dividido em três níveis, todos envolvendo funções poli-nomiais com raízes reais. O primeiro nível trata de polinômios de grau zero a dois. O segundo nível explora polinômios de grau 3 a 6, com todas as raízes distintas, e no terceiro nível aparecem polinômios que possuem pelo menos uma raiz com multiplicidade maior do que um. Para cada nível existe um modo aprender e um modo jogar que o aluno pode acessar em qualquer ordem. Há ainda um desafi o, representado pelo ícone no mapa, conforme tela 1. Neste desafi o, todas as funções estudadas no software aparecem num mesmo jogo, escolhidas de forma aleatória. Pode ser uma ótima opção para exercitar os conhecimentos explorados no programa ou organizar competições entre os alunos. É importante enfatizar que o primeiro nível do jogo e do modo aprender envolve apenas funções constantes do primeiro e segundo graus, portanto

é acessível para alunos que ainda não estudaram formalmente o conteúdo de poli nômios, por exemplo, alunos do início do ensino médio.

Modo Jogar da fase 1

Nesta atividade o aluno deverá encontrar a expressão algébrica de poli-nômios de grau zero, um ou dois, cujos gráfi cos são escolhidos aleatoria-mente pelo programa. Ele pode escrever a expressão na forma fatorada, observando as raízes do polinômio, ou na forma expandida. Para completar esta atividade e passar para o próximo nível do jogo, o aluno deverá marcar 15 pontos, sendo que, para cada acerto, ele marca 5 pontos, cada vez que pula um gráfi co ele perde 1 ponto e cada vez que pede uma dica perde 2 pontos. Como já foi dito, uma resposta errada não é penalizada com a perda de pontos. As mesmas regras valem para as atividades seguintes.

tela 1 Mapa do software.

No quadro onde aparecem os gráfi cos existem quatro ícones de ferramentas que são bastante úteis para uma melhor visualização dos gráfi cos. Da esquerda para a direita, a primeira ferramenta serve para selecionar objetos no gráfi co, podendo ser utilizada, por exemplo, para movimentar o ponto que aparece em azul sobre curva desenhada. A segunda ferramenta serve para deslocar o gráfi co pela tela e pode ser utilizada para centralizar a fi gura em algum ponto específi co. As duas últimas são ferramentas de zoom, que servem para aumentar ou diminuir a “distância” do gráfi co em relação ao observador. O software permite ainda um zoom em apenas um dos eixos, o que é bastante útil, por exemplo, para verifi car pontos onde a curva corta o eixo. Para fazer isto, basta selecionar o ícone , clicar com o botão direito do mouse sobre o eixo e arrastar na direção desejada.

tela 2 Exemplo de um polinômio do nível 1.

Ferramentas da janela gráfi ca

Na tela 2 aparece um exemplo de uma situação típica. O gráfi co da função dada pelo programa, para o qual o aluno deve encontrar a expressão analítica, está desenhado em vermelho e será sempre chamado de neste Guia. Uma resposta incorreta foi digitada: . Neste caso nenhum ponto é descontado e o gráfi co correspondente à resposta incorreta é desenhado (em azul) para que seja comparado ao gráfi co do problema. De posse dessas informações o aluno pode reformular sua resposta e digitá-la novamente. Como está indicado no modo aprender, basta verifi car que (a função corta o eixo em ). Como as raízes estão corretas, basta multi pli car a resposta digitada por 3. A resposta certa é .

Modo Aprender da fase 1

Esta atividade é dedicada ao modo aprender da primeira fase do jogo, onde são exploradas funções polinomiais das formas: , e . São apresentados alguns exemplos e o aluno deve responder perguntas sobre os gráfi cos que aparecem na tela. As perguntas estão organizadas para orientar o aluno sobre quais aspectos do gráfi co devem ser observados para descobrir sua expressão algébrica. O software indica se está ou não correta a resposta a cada pergunta; caso não esteja, aparece uma mensagem de erro com uma dica para ajudar o aluno a corrigi-la. O mesmo vale para as demais atividades. Para responder as perguntas, ou para ter uma visão melhor do gráfi co, pode ser que o aluno sinta a necessidade de utilizar as ferramentas de zoom

ou de deslocamento , que aparecem na parte superior do gráfi co. Como foi dito na Introdução, este nível do jogo é acessível a alunos que ainda não tiveram contato com o conteúdo de polinômios. Como as funções que aparecem são no máximo de grau 2, este nível pode ser utilizado inclusive para alunos do primeiro ano do ensino médio.

Modo Jogar da fase 2

Esta atividade representa o segundo nível do jogo, onde aparecem gráfi cos de funções polinomiais de grau três a seis. Todas as funções neste nível possuem todas as raízes reais e distintas, o que facilita a descoberta de sua expressão algébrica. As regras desta fase são as mesmas: para completar esta atividade o aluno deverá marcar 15 pontos, sendo que, para cada acerto, ele marca 5 pontos, cada vez que pula um gráfi co ele perde 1 ponto e cada vez que pede uma dica perde 2 pontos. Como já foi dito, uma resposta errada não é penalizada com a perda de pontos.

No exemplo da tela 3, o gráfi co da função dada pelo programa, para o qual o aluno deve encontrar a expressão analítica, está desenhado em vermelho.

tela 3 Exemplo de uma atividade do Jogo dos Polinômios – nível 2.

Uma resposta incorreta foi digitada: . Neste caso nenhum ponto é descontado e o gráfico correspondente à resposta incorreta é desenhado (em azul), para que seja comparado ao gráfico do problema. De posse dessas informações o aluno pode reformular sua resposta e digitá-la novamente. No exemplo da tela 3, pode-se verificar que a função dada possui 5 raízes

enquanto a função digitada possui apenas 4. Além disso, é neces-sária a análise da intersecção do gráfico com o eixo ( ) para chegar à resposta correta, que no exemplo dado é:

.

Como já foi dito, a resposta também poderá ser dada na forma expan-dida:

.

A qualquer momento o aluno pode acessar as atividades do modo aprender clicando no botão acima do painel do jogo, e assim aprender sobre os gráficos que aparecem neste nível.

Modo Aprender da fase 2

Esta atividade é dedicada ao modo aprender da segunda fase do jogo, onde são exploradas funções polinomiais de grau 3 a 6, com todas as raízes reais e distintas. São apresentados alguns exemplos e o aluno deve responder perguntas sobre os gráficos que aparecem na tela. As perguntas estão organizadas para orientar o aluno acerca dos aspectos do gráfico que devem ser obser-

vados para se descobrir sua expressão algébrica. Ao iniciar a atividade o aluno deve escolher o grau dos polinômios que deseja estudar. Como todas as funções desta fase possuem raízes reais e distintas, a pri-meira coisa que o aluno deve fazer é encontrar essas raízes. Com isso ele saberá que o polinômio tem a forma . . . , onde , , . . . , são as raízes. Este resultado é uma consequência do Teorema Fundamental da Álgebra (para mais detalhes sobre este assunto recomendamos a referência [1]). Após localizar todas as raízes e escrever o polinômio na forma

. . . ,

o aluno deve determinar o valor de , observando onde a função intercepta o eixo , ou seja, o valor de .

Modo Jogar da fase 3

Esta atividade representa o terceiro e mais difícil nível do jogo. Os gráficos que aparecem neste nível são de funções polinomiais de grau 3 a 6, que possuem pelo menos uma raiz com multiplicidade maior do que um. As regras desta fase são as mesmas: para completar esta atividade o aluno deverá marcar 15 pontos, sendo que, para cada acerto, ele marca 5 pontos, cada vez que pula um gráfico ele perde 1 ponto e cada vez que pede uma dica perde 2 pontos. Como já foi dito, uma resposta errada não é penalizada com a perda de pontos.

No exemplo da tela 4, o gráfi co da função dada pelo programa, para o qual o aluno deve encontrar a expressão analítica, está desenhado em vermelho. Pode-se notar que foi digitada uma resposta: , que supõe que as raízes são , com multiplicidade um, e com multiplicidade quatro. Como pode ser visto no gráfi co, a resposta não está correta, inclusive os graus dos polinômios não estão compatíveis. O polinômio desenhado em vermelho ( ) tem grau par, pois quando cresce ou decresce indefi ni-damente o valor da função polinomial cresce para , ou seja,

lim lim .

No entanto, o polinômio desenhado em azul tem grau ímpar. Pode-se notar que

lim e lim .

tela 4 Exemplo de uma atividade do Jogo dos Polinômios - nível 3.

Para obter mais informações sobre essas questões o aluno pode acessar o modo aprender da fase 3, que corresponde à atividade a3 do software. Para resolver o exemplo da tela 4, é necessário analisar “mais de perto” o que acontece com a função em torno de . Utilizando as ferramen tas de zoom, disponíveis no programa, podemos verifi car que a função possui outra raiz, além de e , conforme pode ser visto na tela 5.

Uma segunda tentativa de resposta foi dada, cujo gráfi co aparece dese-nhado em azul. Apesar das raízes estarem corretas, suas multiplicidades ainda não estão compatíveis. Conforme é discutido no modo aprender do nível 3, as características da raiz indicam que ela tem multi-plicidade igual a um. Já a raiz deve ter multiplicidade ímpar e diferente de um, enquanto a raiz deve ter multiplicidade par. Como o polinômio tem grau entre três e seis a única possibilidade que resta é:

tela 5 A mesma função da tela 4, com zoom em torno de . Pode-se notar que

é um zero de .

tem multiplicidade 1, tem multiplicidade 3 e tem multiplici-dade 2. Ajustando o coefi ciente multiplicativo, chegamos à resposta correta, que neste exemplo é .

Modo Aprender da fase 3

Esta atividade é dedicada ao modo aprender da terceira fase do jogo, onde são exploradas funções polinomiais de grau 3 a 6, com todas as raízes reais e distintas. A exemplo das outras atividades do tipo modo aprender, o aluno é con-duzido a navegar pela atividade através de perguntas sobre os gráfi cos que aparecem na tela. Os conceitos necessários para resolver os problemas que aparecem no jogo são explorados de maneira intuitiva e ajudam a orientar o aluno acerca dos aspectos do gráfi co que devem ser observados para se descobrir sua expressão algébrica. Um destaque especial desta atividade é a discussão sobre como iden-tifi car a multiplicidade de uma raiz analisando o comportamento da função poli nomial no seu entorno, o que é feito de forma bastante clara na parte 4.

Desafi o

Como desafi o, é proposto um nível avançado do jogo, onde todas as fun-ções estudadas no software aparecem, escolhidas de forma aleatória. Neste caso os alunos devem descobrir inicialmente qual o grau da função e se existem ou não raízes múltiplas, para então passar à investigação da expressão algébrica.

Como as funções aparecem misturadas, o desafi o é realmente bastante difícil. As funções “pular” e “dica” serão bastante úteis neste nível do jogo.

Na aula seguinte à exploração do software o professor pode fazer breve resumo sobre os conceitos abordados no jogo e organizar as ideias que foram utilizadas. Para motivar esta atividade pode ser desenhado um gráfi co na lousa, que contenha raízes com multiplicidades diferentes, como o apresentado na figura 6.

Após desenhar o gráfi co o professor pode propor algumas perguntas para que sejam discutidas pela classe. Por exemplo:

fig. 1 Exemplo de um gráfi co para a atividade de fechamento.

Este polinômio tem grau par ou ímpar?1. Resposta esperada: Tem grau par, pois, quando cresce ou decresce indefinidamente, o valor de vai para . Dito de maneira bastante informal, as duas “pontas” do polinômio crescem indefinidamente no mesmo sentido. Se o crescimento fosse em sentidos opostos o polinômio teria grau ímpar.Quais são as raízes do polinômio?2. Resposta esperada: As raízes são , e .Vamos investigar a multiplicidade de cada uma das raízes. Para tanto preci-3. saremos observar o sinal de numa vizinhança à esquerda e à direita de cada raiz. Os dados podem ser organizados numa tabela, conforme apresentamos na tabela 1. Durante o preenchimento da tabela é importante discutir os conceitos que estão envolvidos e chegar à conclusão juntamente com os alunos. Para concluir com precisão o grau da multiplicidade de cada raiz, talvez seja necessário o professor dar a dica de que o polinômio que está sendo estudado tem grau igual a 8. Com base nisso, os seguintes comentários podem ser feitos em relação à multiplicidade de cada raiz:

� : Como esta raiz tem multiplicidade ímpar, poderia ser {1, 3, 5, ...}. Como o gráfico muda de concavidade na raiz (a raiz é um ponto de inflexão), ela não pode ter multiplicidade 1, restando então decidir entre o conjunto {3, 5,...}. Se o polinômio tem grau 8, a raiz só poderia ser {3 ou 5}. Podemos passar para a análise das outras raízes e depois decidir entre 3 ou 5.

� : Esta raiz tem multiplicidade ímpar, pois há uma mudança de sinal do polinômio da vizinhança esquerda para a direita da raiz. Como a concavidade não é alterada, podemos concluir que esta raiz tem multiplicidade igual a 1.

� : Esta raiz tem multiplicidade par, pois o sinal do polinômio é o mesmo (positivo) na vizinhança à esquerda e à direita dela. Então

poderia ter multiplicidade {2, 4, 6, ...}. Como o polinômio tem grau 8, esta escolha fica restrita a {2, 4}, levando-se em conta o grau das outras duas raízes. Para finalizar, basta observar que o gráfico tem um achatamento em . Esse é um indício de que a raiz tem multi-plicidade alta (maior do que 2). Assim, podemos concluir que tem multiplicidade igual a 4. Como tem multiplicidade igual a 1, podemos finalmente concluir que a multiplicidade de é 3.

Vamos sintetizar o que foi discutido numa tabela.

O valor de pode ser encontrado observando-se no gráfico que , ou seja, o gráfico corta o eixo em 16. Fazendo e em

obtemos , ou seja, . Por-tanto, . Uma atividade relacionada a gráficos de polinômios que pode ser feita em sala de aula é a seguinte: A turma será dividida em pequenos grupos (de 3 ou 4 alunos) e a ativi-dade terá 3 etapas.

Etapa 1: � Cada grupo deve escrever (inventar) a expressão de um poli-nômio na forma . . . . Pode ser combinado um limite máximo para o grau de , a fim de evitar exa-geros.

Raiz Sinal de na

vizinhança à esquerda da raiz

Sinal de na

vizinhança à direita da raiz

Multi pli-cidade par ou ímpar

Observação sobre a concavidade

Grau de multi-plicidade

−1 + − Ímpar,pois troca de sinal na raiz.

Muda a concavidade

3

1 − + Ímpar,pois troca de sinal na raiz.

Não muda a concavidade

1

2 + + Par,pois não troca de sinal na raiz.

O gráfico de é achatado em

4

tabela 1 Resumo da discussão sobre a multiplicidade das raízes de .

Finalmente podemos encontrar a expressão algébrica de . Utilizando

o Teorema Fundamental da Álgebra sabemos que pode ser escrito com

o .

Etapa 2: � Após inventadas as expressões, os grupos trocam de polinômios para a fase de desenho. Nesta fase os alunos devem fazer um esboço do gráfico do polinômio inventado pelo outro grupo. O desenho deve ser feito numa folha em branco, que possa ser destacada. É importante que não anotem nada sobre a expressão algébrica do polinômio, apenas marquem suas raízes e o intercepto- .Etapa 3: � Na terceira fase da atividade os alunos devem trocar os gráficos desenhados e, com base apenas no gráfico, descobrir sua expressão algébrica. (Obs.: não vale um grupo pegar de volta o gráfico do polinômio que ele inventou.)

Opcionalmente o professor pode propor um sistema de pontuação se desejar transformar a atividade em um jogo. Por exemplo, para cada ati-vidade realizada corretamente a equipe marca 10 pontos. Assim, se a equipe inventou um polinômio dentro das regras tem 10 pontos. Se desenhou corretamente o polinômio dos colegas, mais 10 e se acertou a expressão, outros 10 pontos. Como atividade de aprofundamento podem ser propostas competições entre os alunos, utilizando o software. O número cada vez maior de alu-nos envolvidos em competições como as olimpíadas de matemática tem demonstrado que, quando desafiados de maneira criativa, os estudantes respondem positivamente. Neste sentido o software pode funcionar como um facilitador para o professor. A competição pode ser divulgada com alguns dias de antecedência e os alunos podem se organizar, montar suas equipes e treinar, utilizando o desafio do software ou navegando pelas ati-vidades de aprendizagem para tirar suas dúvidas. Fazendo isso, certamente vão aprender bastante sobre gráficos de funções polinomiais.

[1] - Lima, Elon; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Volume 3. Rio de Janeiro: impa, 2009.

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Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de SoftwareLeonardo BarichelloCoordenador de ImplementaçãoMatias Costa

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

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AutorCristiano Torezzan

RevisoresLíngua PortuguesaAna Cecília Agua de Melo

Projeto gráfico Preface Design IlustradorLucas Ogasawara