Juliana Pimentel - hostel.ufabc.edu.brhostel.ufabc.edu.br/~juliana.pimentel/AL_aula4.pdf · Para...
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Determinantes
Juliana Pimentel
http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel
Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2
Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.
Esse numero sempre existe!Notacao: det(A)
Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.
Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.Esse numero sempre existe!
Notacao: det(A)
Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.
Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.Esse numero sempre existe!Notacao: det(A)
Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.
Para uma matriz quadrada A o determinante deA e um numero real.Esse numero sempre existe!Notacao: det(A)
Casos:1) Se A = [a], definimos o determinante de Acomo sendo o numero real a.
2) Se A e uma matriz de ordem 2:
A =
[a11 a12a21 a22
]
det(A) = a11.a22 − a21.a12Exemplo:
A =
[2 −14 3
]
det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.
2) Se A e uma matriz de ordem 2:
A =
[a11 a12a21 a22
]
det(A) = a11.a22 − a21.a12
Exemplo:
A =
[2 −14 3
]
det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.
2) Se A e uma matriz de ordem 2:
A =
[a11 a12a21 a22
]
det(A) = a11.a22 − a21.a12Exemplo:
A =
[2 −14 3
]
det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.
2) Se A e uma matriz de ordem 2:
A =
[a11 a12a21 a22
]
det(A) = a11.a22 − a21.a12Exemplo:
A =
[2 −14 3
]
det(A) = 2.3− (4.(−1)) = 6− (−4) = 10.
3) Se A e uma matriz de ordem 3:
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Entao podemos calcular o det(A) atraves de umaregra pratica:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−
−(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a21a12).
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?
Qual a definicao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.
Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?
Qual a definicao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.
Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?
Qual a definicao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.
Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?
Qual a definicao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.
Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?
Qual a definicao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expansao emco-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz2× 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linhae a j-esima coluna de A.
Esta e a expansao em co-fatores atraves da 1a.linha, e estas matrizes sao chamadas menores.Vamos escrever os menores M11,M12,M13.
O determinante de A e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal
O determinante de A e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal
O determinante de A e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal
O determinante de A e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fatorde aij e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferenca entre co-fator e menorde um elemento aij e somente um sinal
O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A =
1 0 −12 −1 03 5 −4
O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A =
1 0 −12 −1 03 5 −4
O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A =
1 0 −12 −1 03 5 −4
O determinante da matriz A de ordem 3 etambem pode ser definido por:
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A =
1 0 −12 −1 03 5 −4
Caso geral
Seja A = (aij) de ordem n. O determinante de Ae definido por:
det(A) = a11A11 + a12A12 + ...+ a1nA1n (∗)
onde A1j e o cofator do elemento a1j.
A expressao dada por (∗) e chamadadesenvolvimento em cofatores do determinante deA em termos da 1a. linha.
Caso geral
Seja A = (aij) de ordem n. O determinante de Ae definido por:
det(A) = a11A11 + a12A12 + ...+ a1nA1n (∗)
onde A1j e o cofator do elemento a1j.
A expressao dada por (∗) e chamadadesenvolvimento em cofatores do determinante deA em termos da 1a. linha.
Exemplo
Podemos calcular o determinante de uma matrizA fazendo desenvolvimento em cofatores emtermos da qualquer linha ou coluna.
0 2 3 00 4 5 00 1 0 32 0 1 3
Exemplo
Podemos calcular o determinante de uma matrizA fazendo desenvolvimento em cofatores emtermos da qualquer linha ou coluna.
0 2 3 00 4 5 00 1 0 32 0 1 3
Exercıcio
Calcule o determinante de A utilizando expansaoem co-fatores ao longo da primeira linha:
A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
Resposta. det(A)=-1.
Exercıcio
Calcule o determinante de A utilizando expansaoem co-fatores ao longo da primeira linha:
A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
Resposta. det(A)=-1.
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:
1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT ) = det(A)
3) det(A−1) = 1det(A)
Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:
1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT ) = det(A)
3) det(A−1) = 1det(A)
Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:
1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT ) = det(A)
3) det(A−1) = 1det(A)
Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:
1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT ) = det(A)
3) det(A−1) = 1det(A)
Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Entao:
1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT ) = det(A)
3) det(A−1) = 1det(A)
Decorre destas propriedades que:A e uma matriz inversıvel se e somente sedet(A) 6= 0