Toros in ompressíveis para ações Anosov de Rksobre uma variedade de dimensão k + 2Romenique da Ro ha Silva

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇO DO ICMC-USPData de Depósito: 26 de setembro de 2011Assinatura:

Toros in ompressíveis para ações Anosov de Rk sobreuma variedade de dimensão k + 21Romenique da Ro ha SilvaOrientador: Prof. Dr. Carlos Alberto Maquera Apaza

Tese apresentada ao Instituto de Ciên ias Matemáti as e deComputação - ICMC-USP, omo parte dos requisitos paraobtenção do título de Doutor em Ciên ias - Matemáti a.VERSO REVISADAUSP - São CarlosSetembro de 20111Projeto nan iado pela CAPES

Ao meu pai Ranulfo Florên io da Silva,que já me hamava de Doutor antesmesmo de ser Ba harel.Ao Padre José Carlos Nas imentoque me ajudou e que rezou por todosos dias da sua vida, Meus Sin erosAgrade imentos.A minha Esposa Lília, ompanheira detodas as horas.A minha Prin esa Letí ia, que é arazão do meu viver.A minha Mãe Margarida, minha orpredileta.

Agrade imentosAo Joathan, que me ajudou no momento mais difí il de minha aminhada.Ao meu orientador Carlos Maquera pelo apoio, amizade, pa iên ia e também por a reditarno meu trabalho.A Edineia Javarine, amiga que nos momentos tensos, me ajudou a esque er os problemase me fez rir.A professora Zezé Reis, que também me ajudou no iní io.Ao professor Oziride por tirar algumas dúvidas ao longo das pesquisas.A minha família, Lília, Letí ia e Joi e pela pa iên ia e ompreensão em tudo.A minha mãe Margarida, meus irmãos e irmãs pelo apoio e onança.A meu irmão Rafael e sua esposa Graça Céu pela hospedagem em sua asa por um período.A minha sogra Valdeli e, que onsidero uma mãe.À CAPES, pelo apoio nan eiro re ebido durante o doutorado.

ResumoDentre todos os sistemas dinâmi os os sistemas Anosov têm atraído a atenção demuitos matemáti os. No aso de uxo Anosov em uma variedade fe hada M de dimensãotrês, Sérgio Fenley deniu o on eito de losangos no re obrimento universal deM e obteveresultados importantes envolvendo losangos e automorsmos do re obrimento universal.Seguindo o que foi feito por Fenley, e utilizando o on eito de losangos no espaço dasórbitas do uxo levantado (no re obrimento universal), Thierry Barbot obteve ondiçõessu ientes para que um toro in ompressível numa 3-variedade fe hada suportando umuxo Anosov seja isotópi o a um outro que é transverso ao uxo.Neste trabalho onsideramos ações Anosov de Rk sobre uma variedade fe hada M dedimensão k + 2. Primeiramente, onseguimos resultados análogos aos de Fenley (sobreexistên ia de losangos) para estas ações, e usando isso, nalmente obtemos ondiçõessu ientes para que um toro in ompressível seja isotópi o a um toro transverso à ação.Este último resultado é uma generalização do resultado de Barbot men ionado a ima.

Abstra tAmong all dynami al systems the Anosov systems has attra ted the attention of manymathemati ians. In the ase of an Anosov ow in a losed manifoldM of dimension three,Sérgio Fenley dened the on ept of lozenges in the universal overing ofM and obtainedimportant results involving lozenges and overing automorphism. Following what wasmade by Fenley, and using the on ept of lozenge on the orbit spa e of the lifted ow (inthe universal overing), Thierry Barbot obtains su ient onditions for an in ompressibletorus in a losed 3-manifold supporting an Anosov ow to be isotopi to another whi his transverse to ow.In this work we onsidered Anosov a tions of Rk on a losed manifoldM of dimensionk+2. First, we obtain analogous results those of Fenley (about existen e of lozenges) forthis a tions, and using this, nally we obtain su ient onditions for an in ompressibletorus to be isotopi to another torus whi h is transverse to a tion. This last result is ageneralization of Barbot's result mentioned above.

Lista de Figuras1.1 Levantamentos dos aminhos α, c, b, β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Uniformidade transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Variedade imersa que não é uma folha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 As seções transversais D(ti) e D(ti+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1 Lados positivo e negativo da folha F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 J u

+(p), om representação em dimensões reduzidas. . . . . . . . . . . . . . 283.3 Losango em M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Folha F1 na fronteira de J u∗ (O0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Folha W s(Oi) próxima de L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Formação do losango de lados W u

−(Q1), Ws+(Q1), W

u+(O0) e W s

−(O0). . . . . 323.7 Folha L na fronteira de J u∗ (O0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.8 Fi ⊂ ∂Bi om Fi ∩ W

u(O) 6= ∅. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.9 A adeia one tando as duas órbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1 A projeção ps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 A ação do automorsmo g sobre um g-losango. . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 L1 e L2 em posição direta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 L1 e L2 em posição indireta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 L e L+−(x1) em posição indireta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 As omponentes do anel A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.7 As omponentes de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.8 As folheações nas omponentes do anel A e de A. . . . . . . . . . . . . . . 464.9 O losango L++(xi) = L−−(yi). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.10 Caminho c0 no losango L0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.11 Faixa A0 em M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.12 Curvas de auto-interseção om ponto duplo e triplo. . . . . . . . . . . . . . 494.13 Eliminando as auto-interseções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.14 Anel A2 om ∂A2 = θ1 ∪ f1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.15 h2(U+(x)) ⊂ U+(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.16 h2(S+(x)) ⊂ S+(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.17 O ompa to K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

14 LISTA DE FIGURAS4.18 Os pontos xos p e t1 de f e o ponto xo y1 de h2. . . . . . . . . . . . . . . 56

Lista de SímbolosZ Conjunto dos números inteirosZ∗ = Z− 0

I I = [0, 1] quando I estiver indi ando um intervalo da retaDiff r(M) Grupo dos difeomorsmos de lasse Cr em M

Home(M) Grupo dos homeomorsmos de M Indi a o nal de uma prova

SumárioIntrodução 11 Preliminares 51.1 Automorsmos de re obrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Folheações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Espaço e topologia das folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Holonomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Folheações orientáveis e transversalmente orientáveis . . . . . . . . 131.3 Ação de Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Ações Anosov de Rk: algumas propriedades gerais 172.1 Sistemas Anosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Difeomorsmo Anosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Fluxo Anosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Ação Anosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Algumas propriedades gerais de ações Anosov de odimensão um irredutíveis 212.3 Folhas e órbitas periódi as para automorsmos do re obrimento universal . 223 Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2 273.1 Orientação transversal e losangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Existên ia de losangos e adeia de losangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Uma onsequên ia fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Posição ótima de um 2-toro in ompressível 374.1 A ação de π1(M) no espaço das órbitas Qφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Losangos em Qφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Anel de Birkho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Toro in ompressível em M: Prova do Teorema B . . . . . . . . . . . . . . . 51Referên ias Bibliográ as 59

i

ii SUMÁRIO

IntroduçãoNa teoria lássi a dos sistemas dinâmi os há um grupo de sistemas que atraiu e on-tinua atraindo a atenção de muitos matemáti os de renome interna ional, são os difeo-morsmos e uxos de Anosov, ujos on eitos foram introduzidos por Anosov em [1, queoriginalmente não eram hamados desta maneira. Tais sistemas têm propriedades dinâ-mi as muito interessantes, e quando eles são de odimensão um, a teoria de folheações éusada om muita e á ia no estudo de suas dinâmi as.Anosov mostrou que todo difeomorsmo Anosov de lasse Cr (r ≥ 1) é Cr- estrutu-ralmente estável. Verjovsky em [31 mostrou que um uxo Anosov de odimensão um emuma variedade de dimensão maior que três é transitivo.Fenley em [9, [10, [11, [12, [13 e Barbot em [2, [3, [4, [5, [6 realizaram um estudointenso dos uxos Anosov numa variedade fe hadaM de dimensão três. A seguir relatamosalguns dos resultados obtidos por eles, os quais motivaram o nosso estudo realizado natese. Uma variedade mergulhada em M é dita in ompressível se o mergulho induz umaapli ação injetiva entre os grupos fundamentais. Em [11 Fenley mostrou que: Se T éum toro mergulhado em M que é transverso ao uxo, então T é in ompressível. Torna-senatural então, perguntarmos o que podemos armar se tivermos omo hipótese que T éum toro in ompressível em M . Barbot em [5 e Fenley em [9 estudaram a existên iade um toro in ompressível em M e a sua lasse de isotopia, de maneira que esse toroseja isotópi o a um outro que esteja em melhor posição possível em relação ao uxo, e omelhor que podemos esperar é que seja transverso ao uxo. Ambos obtiveram resultados om ondições distintas para que se on luísse que um determinado toro T in ompressívelem M seja isotópi o a um outro que é transverso ao uxo. Um dos resultados do Fenleydiz que: Se nenhum laço em T é livremente homotópi o a uma órbita fe hada do uxo φ,então φ é topologi amente onjugado a uma suspensão de um difeomorsmo Anosov deum toro de dimensão dois. Além disto, T é isotópi o a um toro transverso ao uxo.Barbot [5 , inspirado no trabalho de Fenley em [11, fez uso do on eito de losangono espaço das órbitas do levantamento do uxo φ no re obrimento universal e resultadosrela ionados om anéis de Birkho, para mostrar o seguinte resultado:Teorema (Barbot). Seja T um toro in ompressível em M e suponha que existem dois aminhos fe hados c1 e c2 em T tais que:(i) c1 e c2 não são homólogos em T ; 1

2 Introdução(ii) Para i = 1, 2, ci é livremente homotópi o em M a uma órbita periódi a de φ.Então T é isotópi o a um toro transverso a φ.Por outro lado, Fenley [9 usou o fato dos espaços das folhas das folheações estávelfra a F s e instável fra a Fu não serem Hausdor e o Teorema de Barbot itado a imapara mostrar que: Se existe um g ∈ π1(T ) que não tem folhas invariantes, mas existeuma folha F de F s (ou de Fu) tal que F e g(F ) não se separam no respe tivo espaço dasfolhas. Então T é isotópi o a um toro transverso a φ.Existe uma extensa literatura sobre ações Anosov de Rk, noção originalmente dadapor Pugh e Shub em [30, devida aos trabalhos de Katok e olaboradores [18, [19 [20,[21, [22, [23, e re entemente Maquera e Barbot [24 e [25, entre outros. Em parti u-lar, Maquera e Barbot estudaram ações Anosov de odimensão um e obtiveram váriosresultados importantes que serão fundamentais para o nosso trabalho.O objetivo prin ipal desta tese é mostrar uma versão do Teorema de Barbot parauma ação Anosov φ de Rk de lasse C1 sobre uma (k + 2)-variedade fe hada M . Sejamπ : M → M a apli ação de re obrimento universal de M e φ a ação de Rk sobre M queé o levantamento da ação φ. Temos assim, o nosso primeiro resultado, que foi obtido porFenley [11 para um uxo Anosov numa 3-variedade, que garante a existên ia de adeiasde losangos (veja a Denição 3.3) no re obrimento universal da variedade M .Teorema A. Sejam φ uma ação Anosov de odimensão um irredutível, de Rk em M omdim(M) = k+2 e g um automorsmo do re obrimento universal M distinto da identidadeque xa duas órbitas O0 e O de φ. Então, O0 e O são one tadas por uma adeia nitade losangos, todos invariantes por g, assim omo os seus vérti es. Mais ainda, esta adeiapode ser es olhida omo sendo minimal.Para a noção de minimalidade, veja Denição 3.6. Com este resultado em mãos, alémde outros que seguem em onsequên ia dele, passamos a estudar o on eito e os resultadosenvolvendo losangos no espaço das órbitas de φ que, pelo trabalho de Maquera e Barbot, éhomeomorfo a R2. Finalmente o nosso segundo resultado, e prin ipal, é uma generalizaçãodo Teorema de Barbot a ima e obtido em [5.Teorema B. Seja T um toro de dimensão dois in ompressível em M e suponha queexistem dois aminhos fe hados c1 e c2 em T tais que:(i) c1 e c2 não são homólogos em T ;(ii) Para i = 1, 2, existem xi0 ∈ M , e v um elemento Anosov dos grupos de isotropiade x10 e de x20 indivisível em ambos tais que ci é livremente homotópi o em M ao aminho αi : I →M dado por αi(s) = φ(sv, xi0).Então T é isotópi o a um toro transverso à ação φ.

Introdução 3Mais detalhes da noção de indivisível ver em Denição 2.30. Para dar um ideia de omo este trabalho se desenvolve, a seguir daremos uma breve des rição de sua estrutura.O Capítulo 1 é onde veremos alguns resultados e denições que serão utilizados nos apítulos seguintes. Falamos um pou o sobre folheações, que será importante para en-tendermos aquelas que nos serão dadas pela ação Anosov. Algo que também vemos noprimeiro apítulo é o on eito de automorsmos do re obrimento, que será ru ial emtodo o trabalho.No Capítulo 2 daremos as noções de difeomorsmo, uxo e ação Anosov, itandoalgumas propriedades e resultados importantes. A atenção maior será dada às ações, queformam o sistemas Anosov no qual estamos interessados. Apresentamos as ações Anosovirredutíveis de odimensão um, om alguns resultados importantes obtidos por Maquerae Barbot em [24. Com toda informação que teremos até então, passaremos a estudar aação dos automorsmos do re obrimento sobre as folheações e as órbitas em M .No ter eiro apítulo, e a partir dele, onsideraremos sempre uma ação Anosov de Rkde odimensão um irredutível em M , variedade fe hada de dimensão k + 2. Deniremoslosangos em M (o re obrimento universal de M) e adeias de losangos, para em seguidaobtermos resultados importantes, omo o Teorema A itado a ima e um outro (Proposição3.9) que envolve um automorsmo do re obrimento e uma folha invariante.Finalmente, no Capítulo 4 veremos o on eito de losangos agora denidos no espaçodas órbitas de φ. Os resultados obtidos para losangos em M no Capítulo 3 também seapli am nesse aso. Veremos novos resultados envolvendo losangos e anel de Birkho emM (Denição 4.14) para hegarmos na última seção om tudo que será ne essário paraenun iar e provar o Teorema B.

4 Introdução

Capítulo 1PreliminaresVeremos alguns resultados e denições que serão ne essários em apítulos posteriores,quando usaremos om muita frequên ia, por exemplo, a relação entre o grupo fundamen-tal de uma variedade M e o grupo dos automorsmos de re obrimento, bem omo asfolheações que nos serão dadas por uma ação Anosov.1.1 Automorsmos de re obrimentoSejam E e X espaços topológi os. Quando estivermos falando de aminhos, I indi aráo intervalo fe hado [0, 1].Teorema 1.1 (Levantamento de aminhos, [7). Sejam π : (E, e0) → (X, x0) uma apli a-ção de re obrimento e α : I → X um aminhos ontínuo tal que α(0) = x0. Então existeum úni o aminho ontínuo α : I → E tal que π α = α e α(0) = e0.Qualquer aminho ontínuo α que satisfaça π α = α é hamado de levantamento deα.Teorema 1.2 (Levantamento de homotopias, [7). Sejam (Y, d) um espaço métri o, π :

E → X uma apli ação de re obrimento e F : Y × I → X uma homotopia. Suponhamosque a apli ação f : Y → X dada por f(y) = F (y, 0) possua um levantamento f : Y → E.Então existe uma úni a homotopia F : Y × I → E tal que F (y, 0) = f(y) para todo y ∈ Ye π F = F .Proposição 1.3 ([7). Sejam π : (E, e0) → (X, x0) um re obrimento e α e β dois ami-nhos em X tais que α(0) = β(0) = x0 e α(1) = β(1) = x1. Se α e β são homotópi os om extremos xos (α ≃ β rel(0, 1)) e α e β são dois levantamentos de α e β omα(0) = β(0) = e0 então α(1) = β(1) e α ≃ β rel(0, 1).Seja π : E → X um re obrimento. Dizemos que uma apli ação ontínua e bijetiva5

6 1. Preliminaresf : E → E é um automorsmo do re obrimento E

π// X se o diagrama abaixo omuta:

Ef

//

π

E

π~~⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

XIsto signi a que o automorsmo do re obrimento Eπ

// X é um levantamento daapli ação π : E → X .Denotemos por Home(E) o grupo dos homeomorsmos de E, por G(E, π,X) o on-junto de todos os automorsmos do re obrimento Eπ

// X e por Diff r(E) o grupodos difeomorsmos de E de lasse Cr. Os resultados seguintes (Lema 1.4 e Teorema 1.5)podem ser en ontrados em [7].Lema 1.4 ([7). G(E, π,X) é um subgrupo de Home(E). Se E e X são variedadesdiferen iáveis e π é de lasse Cr então G(E, π,X) ⊂ Diff r(E).No que estamos interessados, e que nos será bastante útil, é no aso em que E é ore obrimento universal de X . Neste aso, o grupo de automorsmos do re obrimento temuma des rição dada da seguinte maneira:Fixemos um e0 em E, e x0 = π(e0) ∈ X . Dado f ∈ G(E, π,X), seja α : I → E um aminho tal que α(0) = e0 e α(1) = f(e0). Denimos o aminho α = π α. Entãox0 = α(0) = π α(0) = π(e0) = π f(e0) = π α(1) = α(1)ou seja, α é um aminho fe hado em X om α(0) = α(1) = x0.Denamos ϕ : G(E, π,X) → π1(X, x0) dada por ϕ(f) = [α] ∈ π1(X, x0), onde α é omo a ima. Da Proposição 1.3 e do fato de E ser simplesmente onexo, segue que ϕ estábem denida. Mais pre isamente:Teorema 1.5 ([7). Se E é o re obrimento universal de X, e0 ∈ E, x0 = π(e0) e

ϕ : G(E, π,X) → π1(X, x0) é omo a ima, então ϕ é um isomorsmo de grupos. Alémdisto, dado e1 ∈ π−1(x0), existe um úni o automorsmo f ∈ G(E, π,X) tal que f(e0) = e1.Em parti ular, o teorema anterior também nos garante que o úni o automorsmo dore obrimento Eπ

// X que tem ponto xo é a identidade.A seguir mostramos um teorema que nos dá a relação entre automorsmos do re o-brimento asso iados a dois aminho livremente homotópi os.Teorema 1.6. Sejam c, α : I → X dois aminhos fe hados em X, e f o automorsmodo re obrimento asso iado a [α]. Se c é livremente homotópi o a α, então f também é oautomorsmo do re obrimento asso iado a [c].Prova: Dizer que c é livremente homotópi o a α signi a que existe uma homotopiaF : I × I → X om

F (s, 0) = α(s), F (s, 1) = c(s), F (0, t) = F (1, t), ∀ s, t ∈ I.

1. Preliminares 7Seja α(0) = x0 e xemos um ponto e0 ∈ E tal que π(e0) = x0. Seja α : I → E umlevantamento de α om α(0) = e0. Como f é o automorsmo do re obrimento asso iadoà lasse de α, temos que f(α(0)) = α(1).O nosso objetivo é mostrar que f também é o automorsmo asso iado à lasse de c,isto é, que f(c(0)) = c(1) para um levantamento c de c.Pelo Teorema do levantamento de homotopias (Teorema 1.2) existe uma úni a homo-topia F : I × I → E tal que F (s, 0) = α(s) para todo s ∈ I e π F = F .Denimos o aminho b : I → M por b(t) = F (0, t), b(0) = F (0, 0) = α(0) e b(1) =F (0, 1) = c(0). E agora denimos os aminhos c, b, β por (veja a Figura 1.1)

c(s) = F (s, 1), b(t) = F (0, t), β(t) = F (1, t).Já sabemos que α é um levantamento de α om F (s, 0) = α(s) e omo π F = F podemosnotar que c é um levantamento de c; b e β são dois levantamentos de b, poisπ c(s) = π F (s, 1) = F (s, 1) = c(s)

π b(t) = π F (0, t) = F (0, t) = b(t)

π β(t) = π F (1, t) = F (1, t) = F (0, t) = b(t)

PSfrag repla ements c

b

α

β

Figura 1.1: Levantamentos dos aminhos α, c, b, β.Usando a propriedade da denição de automorsmos do re obrimento temos queπ f (b) = π(b) = b,logo, f (b) é um levantamento de b om

f (b(0)) = f(α(0)) = α(1)e omo sabemos pelo Teorema do levantamento de aminhos (teorema 1.1) que existe umúni o levantamento de b que omeça em α(1) = β(0), temos que f (b) = β. Portantof(c(0)) = f (b(1)) = β(1) = c(1).Mostramos que f(c(0)) = c(1), omo queríamos.

8 1. Preliminares1.2 FolheaçõesUsaremos as denições e alguns resultados que podem ser en ontrados em [7. Umafolheação de dimensão n de uma variedade diferen iável M de dimensão m é, a grossomodo, uma de omposição de M em subvariedades onexas de dimensão n, hamadasfolhas, que se aglomeram lo almente omo os sub onjuntos de Rm = Rn × Rm−n omsegunda oordenada onstante. Vejamos a denição formal.Denição 1.7. Seja M uma variedade de dimensão m e lasse C∞. Uma folheação de lasse Cr e dimensão n de M , é um atlas máximo F de lasse Cr em M om as seguintespropriedades:(i) Se (U, ϕ) ∈ F então ϕ(U) = U1 × U2 ⊂ Rn ×Rm−n onde U1 e U2 são dis os abertosde Rn e Rm−n respe tivamente.(ii) Se (U, ϕ), (V, ψ) ∈ F são tais que U ∩ V 6= ∅ então a mudança de oordenadas

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V ) é da formah(x, y) = (h1(x, y), h2(y)), ∀(x, y) ∈ R

n × Rm−n.Dizemos também que M é folheada por F . E que esta folheação tem odimensão m− n.As artas (U, ϕ) ∈ F são também hamadas de artas trivializadoras de F .Consideremos uma arta trivializadora (U, ϕ) de F tal que ϕ(U) = U1 × U2 ⊂ Rn ×

Rm−n. Os onjuntos da forma ϕ−1(U1 ×c), c ∈ U2 são hamados pla as de U , ou pla asde F . Fixando um c ∈ U2, a apli ação f = ϕ−1|U1×c : U1 × c → U é um mergulho de lasse Cr, portanto as pla as são subvariedades onexas de dimensão n e lasse Cr de M .Um aminho de pla as de F é uma sequên ia α1, . . . , αk de pla as de F tal que αj ∩

αj+1 6= ∅ para todo j ∈ 1, . . . , k − 1. Como M é re oberta pelas pla as de F , podemosdenir em M a seguinte relação de equivalên ia: p ∼ q se existe um aminho de pla asα1, . . . , αk om p ∈ α1 e q ∈ αk.Denição 1.8. As lasses de equivalên ia da relação itada a ima são hamadas folhasde F .Teorema 1.9 ([7). Seja M uma variedade folheada por uma folheação F de dimensão ne lasse Cr. Toda folha F de F possui uma estrutura de variedade Cr de dimensão n, talque os domínios das artas lo ais são pla as de F . A apli ação i : F → M denida pori(p) = p é uma imersão biunívo a de lasse Cr, quando em F onsideramos a estruturade variedade intrínse a. Além disto F é uma subvariedade Cr de M se, e somente se, ié um mergulho.Há uma outra denição de folheações que pode ser en ontrada em algumas referên ias( omo em [26), mas ambas são equivalentes. Vejamos essa outra denição.

1. Preliminares 9Denição 1.10. Uma folheação F de odimensão s e lasse Cr, r ≥ 1 de M está denidapor uma oleção máxima de pares (Ui, fi), i ∈ I, onde os Ui são abertos me M e asfi : Ui → Rs são submersões satisfazendo:(i) ⋃

i∈I

Ui =M ;(ii) Se Ui∩Uj 6= ∅, existe um difeomorsmo lo al gij de lasse Cr de Rs tal que fi = gijfjem Ui ∩ Uj .As fi são hamadas apli ações distinguidas de F .Nesta denição as pla as de F em Ui são as omponentes onexas dos onjuntosf−1i (c), c ∈ Rs.A veri ação da equivalên ia entre as duas denições de folheação pode ser feita oma utilização do lema seguinte:Lema 1.11 ([7). Seja F uma folheação de uma variedade M . Existe uma oberturaC = Ui|i ∈ I de M por domínios de artas lo ais de F tal que se Ui ∩ Uj 6= ∅ entãoUi ∪ Uj está ontido num domínio de uma arta lo al de F .1.2.1 Espaço e topologia das folhasComo vimos no Teorema 1.9 as folhas de uma folheação em uma variedade em Mherdam uma estrutura de variedade diferen iável imersa. Veremos propriedades dessasimersões e da topologia das folhas.Estaremos onsiderando uma variedadeM de dimensãom folheada por uma folheaçãoF de dimensão n < m e lasse Cr.Denição 1.12. O espaço das folhas de F , denotado por M/F , é o espaço quo ientede M pela relação de equivalên ia ∼ que identi a dois pontos de M se eles estão numamesma folha de F .Em M/F onsideramos a topologia quo iente, que pode não ser tão simples, podendoM/F não ser nem mesmo Hausdor, omo veremos futuramente om as folheações dadaspor uma ação Anosov.Denição 1.13. Dado um sub onjunto A de M , o saturado de A por F é o onjunto

F(A) = x ∈M |x ∼ y para algum y ∈ ASe denotamos por ℘ : M → M/F à projeção quo iente e por Fx à folha de F que ontém x, temos queF(A) = ℘−1(℘(A)) =

⋃

x∈A

Fx.

10 1. PreliminaresTeorema 1.14 ([7). A apli ação ℘ é uma apli ação aberta, ou seja, o saturado F(A) deum sub onjunto A aberto de M é aberto.Seja Σ uma subvariedade de M . Dizemos que Σ é transversal a F quando Σ é trans-versal a todas as folhas de F que ela en ontra. Quandodim(Σ) + dim(F) = dim(M)dizemos que Σ é uma seção transversal de F .Teorema 1.15 (Uniformidade transversal de F , [7). Seja F uma folha da folheação F .Dados q1, q2 em F , existem seções transversais de F ,Σ1,Σ2 om q1 ∈ Σ1 e q2 ∈ Σ2 e umdifeomorsmo Cr, f : Σ1 → Σ2 tais que, para qualquer folha F ′ de F tem-se f(F ′∩Σ1) =

F ′ ∩ Σ2.PSfrag repla ementsp

q1q2

f(p)

Σ1Σ2

F

F ′

Figura 1.2: Uniformidade transversal.A Figura 1.2 ilustra o Teorema da uniformidade transversal, e omo onsequên ia deletemos outros dois teoremas que dizem respeito à topologia das folhas.Teorema 1.16 ([7). Sejam F uma folheação em M , F uma folha de F e Σ uma seçãotransversal de F tal que Σ ∩ F 6= ∅. Temos três possibilidades:(i) Σ ∩ F é dis reto e neste aso F é uma folha mergulhada.(ii) O fe ho de Σ ∩ F em Σ ontém um aberto. Isto o orre se, e somente se, o fe ho Ftem interior não vazio e int(F ) = F − ∂F é um aberto que ontém F .(iii) Σ ∩ F é um onjunto sem pontos isolados om interior vazio.Para ilustrar um aso em que este teorema pode ser usado, Cama ho [7 mostra oseguinte exemplo:Observe a subvariedade F imersa em R2 visualizando a Figura 1.3. Ela não podeser folha de nenhuma folheação denida num aberto de R2. De fato, se tomarmos umaseção transversal Σ passando pelo ponto x veremos que x é um ponto de a umulação dainterseção Σ∩F enquanto que a interseção de uma seção transversal passando por y temuma estrutura topológi a diferente, e neste momento podemos usar o teorema anteriorpara on luir a nossa armação do iní io deste parágrafo.

1. Preliminares 11PSfrag repla ements x

y

FFigura 1.3: Variedade imersa que não é uma folha.Teorema 1.17 ([7). Seja F uma folha de uma folheação F . As armações abaixo sãoequivalentes:(i) F é uma folha fe hada.(ii) Se (U, ϕ) é uma arta trivializadora de F tal que U é ompa to, então U ∩F ontémum número nito de pla as de U .(iii) A imersão i : F →M, i(x) = x é própria, ou seja, para qualquer ompa to K ⊂Ma imagem inversa i−1(K) é ompa to.Em parti ular, se F é fe hada então F é uma folha mergulhada.1.2.2 HolonomiaNesta subseção, F denota uma folheação de odimensão n e lasse Cr, r ≥ 1 de umavariedade M de dimensão m.Sejam F uma folha de F , γ : [0, 1] → F um aminho e Σ0,Σ1 pequenas seçõestransversais a F de dimensão n passando por p0 = γ(0) e p1 = γ(1) respe tivamente.Deniremos uma transformação lo al entre Σ0 e Σ1 ao longo das folhas de F sobre o aminho γ levando p0 em p1.Do Lema 1.11 segue que existe uma sequên ia de artas lo ais (Ui)ki=0 e uma partiçãode [0, 1], 0 = t0 < · · · < tk+1 = 1 tais que:(i) Se Ui ∩ Uj 6= ∅ então Ui ∪ Uj está ontido numa arta lo al de F ;(ii) γ([ti, ti+1]) ⊂ Ui para todo 0 ≤ i ≤ k.Dizemos que (Ui)

ki=0 é uma adeia subordinada a γ.Para ada 0 ≤ i ≤ k xemos uma seção transversal a F , D(ti) ⊂ Ui−1∩Ui homeomorfaa um dis o de dimensão n passando por γ(ti). Consideremos D(0) = Σ0 e D(1) = Σ1.

12 1. PreliminaresDeste modo, para ada x ∈ D(ti) su ientemente próximo de γ(ti) a pla a de Ui que passapor x inter epta D(ti+1) num úni o ponto fi(x) (veja a Figura 1.4).PSfrag repla ementsx

fi(x)

F

Ui−1

Ui

Ui+1

D(ti) D(ti+1)

γ(ti)γ(ti+1)

Figura 1.4: As seções transversais D(ti) e D(ti+1).O domínio da apli ação fi ontém um dis o D′i ⊂ D(ti) ontendo γ(ti). Daí podemosfazer a omposição

fγ = fk fk−1 · · · f0que está bem denida de uma vizinhança de p0 em Σ0 em Σ1. Chamaremos fγ de apli açãode holonomia asso iada a γ.Lema 1.18 ([7). A apli ação fγ independe dos dis os (D(ti))ki=1 e da adeia subordinada,isto é, se fγ e fγ são duas apli ações de holonomia asso iadas ao mesmo aminho, então

fγ e fγ oin idem na interseção dos seus domínios.Observação 1.19. Da maneira omo a apli ação fγ é denida temos o seguinte:(i) fγ(p0) = p1.(ii) Se γ−1 = γ(1− t), então fγ−1 = (fγ)−1(iii) Sendo F de lasse Cr(r ≥ 1) as apli ações intermediárias fi(0 ≤ i ≤ k) são Cr, logo

fγ é Cr. Como fγ possui uma inversa fγ−1 também Cr, fγ é um difeomorsmo de lasse Cr.Denição 1.20. Sejam X, Y espaços topológi os e x ∈ X . No onjunto de apli açõesf : V → Y , onde V ⊂ X é uma vizinhança de x, introduzimos a relação de equivalên ia∼, onde f ∼ g se, e somente se, existe uma vizinhança W de x tal que f |W = g|W .A lasse de equivalên ia de f é denominada germe de f em x.Quando X = Y , o onjunto G(X, x) de germes de homeomorsmos lo ais que xamx é um grupo om a multipli ação

germe(f) germe(g) = germe(f g)

1. Preliminares 13sendo que o domínio de f g é a interseção do domínio de g om g−1(D), sendo D odomínio de f .Teorema 1.21 ([7). Sejam γi : I → M, i = 0, 1, aminhos ontidos numa folha F de Ftais que γi(0) = p0, γi(1) = p1, i = 0, 1. Sejam Σ0,Σ1 seções transversais a F em p0 e p1respe tivamente. Di ⊂ Σ0 e fγi : Di → Σ1 apli ações de holonomia asso iadas a γi, e ϕγio germe de fγi em p0.(i) Se γ0 ≃ γ1 rel(0, 1) então ϕγ0 = ϕγ1.(ii) Se p0 = p1 e Σ0 = Σ1, então a transformação γ → ϕγ−1 induz um homomorsmoΦ : π1(F, p0) → G(Σ0, p0), Φ([γ]) = ϕγ−1do grupo fundamental de F em p0 no grupo de germes de difeomorsmos Cr de Σ0que deixam p0 xo.Denição 1.22. O subgrupo Hol(F, p0) = Φ(π1(F, p0)) de G(Σ0, p0) é hamado grupo deholonomia de F em p0.Dados p0, p1 ∈ F , qualquer aminho α : I → F om α(0) = p0 e α(1) = p1 induz umisomorsmo

α∗ : Hol(F, p0) → Hol(F, p1) om α∗(Φ([µ])) = ϕα Φ([µ])ϕα−1. Desta maneira podemos falar do grupo de holonomiade F omo sendo qualquer grupo isomorfo a Hol(F, p0).Esta noção foi introduzida por Ehresmann em [8.1.2.3 Folheações orientáveis e transversalmente orientáveisUm ampo de vetores de lasse Cr emM é uma apli ação de lasse Cr, X :M → TM ,tal que ℘ X é a identidade de M sendo ℘ : TM → M a projeção natural do bradotangente. Em outras palavras um ampo de vetoresX emM é uma apli ação que asso ia a ada ponto x ∈M um vetor do espaço tangente aM em x. Uma urva C1, γ : (a, b) →Mque satisfaz γ′(t) = X(γ(t)) om γ(0) = x é hamada órbita ou urva integral de X porx. Um ampo de k-planos em uma variedade diferen iável M é uma apli ação P queasso ia a ada ponto q ∈ M um subespaço vetorial de dimensão k de TqM . Dizemosque P é de lasse Cr se para todo q ∈ M existem k ampos de vetores Cr, X1, . . . , Xk,denidos numa vizinhança V de q tais que para todo x ∈ V, X1(x), . . . , Xk(x) é umabase de P (x).Proposição 1.23 ([7). Toda folheação F de dimensão k e lasse Cr, r ≥ 1, em M, deneum ampo de k-planos de lasse Cr−1 em M.

14 1. PreliminaresDado um espaço vetorial E de dimensão n ≥ 1, dizemos que duas bases ordenadas deE,B = u1, . . . , un,B

′ = v1, . . . , vn denem a mesma orientação em E se a matriz demudança de base A = (aij)1≤i,j≤n denida por vi = n∑

j=1

aijuj, tem determinante positivo.Se B é o onjunto das bases ordenadas de E, a relação ∼, em que B ∼ B′ se B e B′denem a mesma orientação em E, é uma relação de equivalên ia em B, a qual possuiduas lasses de equivalên ia hamadas orientações de E.Seja P um ampo de k-planos ontínuo em M . Diremos que P é orientável se para ada x ∈M for possível es olher uma orientação O(x) em P (x) de forma que a apli açãox 7→ O(x) seja ontínua no seguinte sentido: Consideremos uma obertura de M porabertos (Ui)i∈I tal que para ada i ∈ I a restrição P |Ui

é denida por k ampos devetores ontínuos X1i , . . . , X

ki . Para ada x ∈ Ui, as bases B(x) = X1

i (x), . . . , Xki (x)e B′(x) = −X1

i (x), . . . , Xki (x) denem duas orientações distintas em P (x), digamos

O+i (x) e O−

i (x). Dizemos que a es olha de O é ontínua se O|Ui= O+

i para todo i esempre que Ui ∩ Uj 6= ∅ temos que O+i = O+

j na interseção.Se k = dim(M) e P (x) = TxM dizemos que M é orientável.Proposição 1.24 ([7). Se M é simplesmente onexa, então todo ampo de k-planos(1 ≤ k ≤ dim(M)) é orientável. Em parti ular, M é orientável.Vejamos agora as noções de orientabilidade e orientabilidade transversal na teoria defolheações.Seja P um ampo de k-planos em M . Dizemos que P é um ampo omplementar a Pou transversal a P , se para todo x em M tivermos

P (x) + P (x) = TxM e P (x) ∩ P (x) = 0.Da denição a laro que P é um ampo de planos de odimensão k.Denição 1.25. Seja P um ampo ontínuo de k-planos. Dizemos que P é transversal-mente orientável se existe um ampo omplementar a P ontínuo e orientável.Proposição 1.26 ([7). Se P é transversalmente orientável, qualquer ampo de planos ontínuos e omplementar a P é orientável.Teorema 1.27 ([7). Seja P um ampo de k-planos de lasse Cr em M. Valem as seguintespropriedades:(i) Se P é orientável e transversalmente orientável, então M é orientável;(ii) Se M é orientável, então P é orientável se e somente se é transversalmente orien-tável.

1. Preliminares 15Denição 1.28. Uma folheação F de lasse Cr(r ≥ 1) é orientável se o ampo de planostangente a F é orientável. De maneira análoga, F é transversalmente orientável se o ampo de planos tangentes a F é transversalmente orientável. Denotamos o ampo deplanos tangentes a F por TF .Considerando uma folheação omo a ima, em ada ponto x ∈ M o espaço tangenteà folha que ontém x em x é um subespaço do espaço tangente TxM . Isto dene umsubbrado de TM de lasse Cr ujas bras têm a mesma dimensão da folheação F , estebrado é o TF da denição a ima e o hamamos de brado tangente de F .Denição 1.29. Quando um subbrado E de TM é o brado tangente de uma folheação,dizemos que E é integrável.1.3 Ação de RkTemos a denição mais geral de uma ação de uma grupo de Lie G em uma variedadeM , mas nos on entraremos no aso que mais nos interessa, ações de Rk em M .Denição 1.30. Uma ação de lasse Cr de Rk em M é uma apli ação φ : Rk ×M →Mde lasse Cr, que satisfaz as seguintes propriedades:(i) φ(0, x) = x para todo x ∈M .(ii) φ(u, φ(v, x)) = φ(u+ v, x) para quaisquer u, v ∈ Rk e x ∈M .Dado um v ∈ Rk, ao denotarmos por φv : M → M à apli ação denida por φv(x) =

φ(v, x), da denição de uma ação de Rk emM segue que φ−v = (φv)−1 e onsequentementeφv é um difeomorsmo de lasse Cr.A órbita de um ponto x ∈M pela ação φ é o onjunto

Ox(φ) = φ(v, x)|v ∈ Rke o grupo de isotropia de x ∈M pela ação φ é o subgrupo de Rk denido porΓx = Γx(φ) = v ∈ Rk|φ(v, x) = x.Dizemos que φ : Rk ×M → M é uma ação folheada se para todo x ∈ M o espaçotangente à órbita de φ passando po x tem dimensão s xa, ou seja, a dimensão da órbita

Ox(φ) é s para qualquer x ∈ M . Quando s = k dizemos que φ é lo almente livre.Proposição 1.31 ([7). As órbitas de uma ação folheada denem as folhas de uma fo-lheação.Observação 1.32. Dizer que φ é lo almente livre é equivalente a dizer que o grupo deisotropia de qualquer ponto x ∈ M é dis reto. E quando isto a onte e as órbitas sãodifeomorfas a Rl × Tk−l, 0 ≤ l ≤ k.

16 1. PreliminaresDenição 1.33. Um uxo de lasse Cr em M é uma ação φ : R×M →M de lasse Cr.Quando um uxo é uma ação lo almente livre nós o hamamos de uxo não-singular.A um uxo φ em M de lasse Cr está asso iado um ampo de vetores de lasse Cr−1dado porX(x) =

d

dtφ(t, x)|t=0.Da maneira omo denimos o ampo de vetores X , a urva t 7→ φ(t, x) é a órbita de Xque passa por x, o que podemos omprovar observando que

d

dtφ(t, x) =

d

dsφ(s+ t, x)|s=0 =

d

dsφ(s, φ(t, x))|s=0 = X(φ(t, x)).Re ipro amente, se um ampo de vetores X de lasse Cr em M tem todas as suasórbitas denidas em R, existe um úni o uxo φ : R ×M → M , de lasse Cr, tal que a urva t 7→ φ(t, x) é a órbita de X em x = φ(0, x) (Teorema de Pi ard).Quando X é um ampo de vetores de lasse Cr e M é uma variedade ompa ta épossível mostrar (vide [27) que o uxo asso iado a X está denido de R×M em M .Observação 1.34. Quando temos uma ação φ : Rk ×M → M , em algumas situações,xado um v ∈ Rk, usamos a notação φtv para indi ar o uxo dado por φtv(x) = φ(tv, x), om t ∈ R.

Capítulo 2Ações Anosov de Rk: algumaspropriedades geraisNa Seção 2.1 daremos as noções e alguns resultados importantes relativos a difeo-morsmos, uxos e ações Anosov. Falaremos rapidamente sobre difeomorsmos e uxosAnosov: as noções desses dois sistemas foram introduzidas por Anosov em [1. O fo oprin ipal será dado às ações Anosov de Rk em uma variedade M , ver Denição 2.10, queé o tema de maior interesse deste trabalho.Na Seção 2.2 apresentamos algumas propriedades gerais para ações Anosov de odi-mensão um irredutíveis, estes resultados, em sua maioria, foram obtidos por Barbot eMaquera em [24.Finalmente, na Seção 2.3, onsiderando a ação dos automorsmos do re obrimentouniversal apresentamos algumas propriedades importantes sobre órbitas e folhas (no re- obrimento universal) que são preservadas por estes automorsmos. Isto será importantepara mostrar os nossos resultados prin ipais da tese.2.1 Sistemas AnosovNo que resta deste apítulo M denotará uma variedade fe hada e de lasse C∞.2.1.1 Difeomorsmo AnosovSeja f :M →M um difeomorsmo de lasse Cr om 1 ≤ r ≤ ∞.Denição 2.1. Dizemos que f é um difeomorsmo Anosov se existe uma de omposição ontínua do brado tangente TM = Es ⊕ Eu tal que1. Ambos Es e Eu são invariantes pela derivada Df,2. Existem onstantes c > 0, 0 < λ < 1 tais que‖(Dfn)x(v)‖ ≤ cλn‖v‖, ∀ v ∈ Es

x, ∀ n > 0,17

18 2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades gerais‖(Df−n)x(v)‖ ≤ cλn‖v‖, ∀ v ∈ Eu

x , ∀ n > 0.Os subbrados Es e Eu são integráveis om folhas de lasse Cr, ou seja, existemfolheações F s,Fu asso iadas a Es, Eu hamadas folheação estável e folheação instávelrespe tivamente. Além disto, ambas as folheações são invariantes por f , isto é, f levauma folha de F s (respe tivamente de Fu) em outra folha de F s (respe tivamente de Fu)(isto pode ser onsultado em [32).Dado f um difeomorsmo denido em M , dizemos que f é Cr-estruturalmente estávelse existe uma vizinhança U ⊂ Diff r(M) de f no grupo dos difeomorsmos de lasse Crem M , provido da topologia Cr, tal que todo g ∈ U é topologi amente onjugado a f , ouseja, para todo g ∈ U existe um homeomorsmo h de M tal que g = h f h−1.Ainda onsiderando um difeomorsmo f : M → M , o onjunto errante de f é o onjunto formado por ada ponto x deM que tem uma vizinhança Ux ⊂ M om fn(Ux)∩

fm(Ux) = ∅ para todo n 6= m. O omplementar do onjunto errante é o onjunto não-errante, que denotamos por Ω(f).O dois teoremas seguintes também podem ser en ontrados em [32].Teorema 2.2 (Anosov). Seja f um difeomorsmo Anosov de lasse Cr(r ≥ 1) denido emuma variedade fe hada M . Então f é Cr-estruturalmente estável. Além disto, o onjuntodos difeomorsmos Anosov é um aberto, na topologia Cr, do grupo dos difeomorsmos de lasse Cr de M .Teorema 2.3 (Anosov). Seja f um difeomorsmo Anosov denido em uma variedadefe hada M . Se o onjunto não-errante de f é igual a M , então os pontos periódi os de fsão densos em M .O seguinte exemplo que des revemos a seguir pode ser en ontrado em [26. SejaSL(n,Z) o grupo das matrizes quadradas de ordem n om entradas inteiras e determinanteigual a 1. Consideremos um matriz A ∈ SL(n,Z) om autovalores de módulo diferentede 1, A é hamada de matriz hiperbóli a. Denotamos por Es a soma dos autoespaçosasso iados aos autovalores de módulo menor que 1 e por Eu a soma dos autoespaçosasso iados aos autovalores de módulo maior que 1. Os espaços Es e Eu são invariantespor A, Rn = Es ⊕ Eu, e existem c > 0 e 0 < λ < 1 tais que

‖Am(v)‖ ≤ cλm‖v‖, ∀v ∈ Es, ∀ m > 0

‖A−m(v)‖ ≤ cλm‖v‖, ∀v ∈ Eu, ∀ m > 0.Isto signi a que A : Rn → Rn é um difeomorsmo Anosov, mas o que nós queremos éum difeomorsmo Anosov denido em uma variedade fe hada.Como A é uma matriz de determinante igual a 1 e entradas inteiras, então A(Zn) = Zn.Logo A induz um difeomorsmo fA no n-toro Tn = Rn/Zn.Proposição 2.4. O difeomorsmo fA : Tn → Tn é Anosov.

2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades gerais 192.1.2 Fluxo AnosovDenição 2.5 (Fluxo Anosov). Dizemos que um uxo não-singular φt : M → M de lasse Cr(r ≥ 1) é um uxo Anosov se existe uma de omposição ontínua do bradotangente TM = Ess ⊕ E0 ⊕ Euu tal que1. E0 tem dimensão um e é tangente ao uxo;2. Euu e Ess são invariantes por Dφt, para qualquer t;3. Existem onstantes c > 0 e 0 < λ < 1 tais que‖Dφt(v)‖ ≤ cλt‖v‖, ∀ v ∈ Ess, ∀ t ≥ 0,

‖Dφ−t(v)‖ ≤ cλt‖v‖, ∀ v ∈ Euu, ∀ t ≥ 0.Os subbrados Ess e Euu são integráveis, om as folheações F ss e Fuu, estável forte einstável forte respe tivamente. Além disto, os brados E0 ⊕Ess e E0 ⊕Euu também sãointegráveis (Pugh-Shub [30), gerando as folheações F s estável fra a e Fu instável fra a.Existe no máximo uma órbita fe hada de φ em ada folha de F s ou Fu.Dizemos que um uxo Anosov é de odimensão um se a dimensão de Ess ou a dimensãode Euu é igual a 1.Denição 2.6. Um ponto x ∈ M é hamado não-errante do uxo φ, se para qualquervizinhança U ⊂M de x e qualquer T > 0, existe t > T tal que φt(U)∩U 6= ∅. O onjuntode todos os pontos não-errantes de φ é hamado onjunto não-errante de φ e denotamospor Ω(φ).O teorema seguinte pode ser onsultado em [26.Teorema 2.7. As ondições seguintes são equivalentes(φ um uxo Anosov):(i) O onjunto não-errante Ω(φ) é toda a variedade M .(ii) O onjunto dos pontos periódi os é denso em M .(iii) Existe um ponto x ∈M tal que sua órbita Ox(φ) é densa em M .(iv) Todas as folhas da folheação instável fra a são densas em M .(v) Todas as folhas da folheação estável fra a são densas em M .Denição 2.8. Dizemos que um uxo é topologi amente transitivo se ele admite umaórbita densa.

20 2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades geraisSe valem as ondições do teorema anterior, então o uxo Anosov é topologi amentetransitivo.Franks e Williams, em [14, onstruíram um exemplo em dimensão três de um uxoAnosov que não é topologi amente transitivo. Já Verjovsky em [31 mostrou o seguinteresultado:Teorema 2.9. Um uxo Anosov de odimensão um em uma variedade de dimensão maiorque três é transitivo.2.1.3 Ação AnosovA noção de ação Anosov foi introduzida por Pugh e Shub em [30. Alguns dos re-sultados que men ionaremos nesta seção podem ser onsultados no trabalho de Barbot eMaquera em [24.Denição 2.10 (Ação Anosov). Seja φ uma ação lo almente livre de lasse C2 de Rk emM . Denotamos por Tφ o subbrado k-dimensional de TM que é tangente às órbitas deφ. 1. Dizemos que a ∈ Rk é um elemento Anosov para φ, se g = φ(a, ·) age de formanormalmente hiperbóli a em relação à folheação das órbitas, ou seja, existem núme-ros reais c > 0, 0 < λ < 1 e uma de omposição ontínua Dg-invariante do bradotangente

TM = Essa ⊕ Tφ⊕Euu

atais que‖Dgn(v)‖ ≤ cλn‖v‖, ∀ v ∈ Ess

a , ∀ n ≥ 0,

‖Dg−n(v)‖ ≤ cλn‖v‖, ∀ v ∈ Euua , ∀ n ≥ 0.2. Dizemos que φ é uma ação Anosov se algum a ∈ Rk é um elemento Anosov para φ.Os subbrados Ess

a , Euua , Tφ ⊕ Ess

a , Tφ ⊕ Euua são integráveis (Hirs h, Pugh, Shub[16), om as folheações orrespondentes F ss

a , Fuua , F s

a , Fua hamadas de folheação es-tável forte, folheação instável forte, folheação estável fra a, e folheação instável fra a,respe tivamente.Observação 2.11. Seja A = A(φ) o onjunto dos elementos Anosov de φ.(i) A é um sub onjunto aberto de Rk.(ii) Cada omponente onexa de A é um one onvexo aberto de Rk.Qualquer one onvexo aberto ontido em uma omponente onexa de A é hamadosub one regular.

2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades gerais 21(iii) SeAa é a omponente onexa deA que ontém a, então F ssa = F ss

b ,Fuua = Fuu

b ,F sa =

F sb ,F

ua = Fu

b para todo b ∈ Aa.Fixando um one Anosov, por prati idade, sempre que possível, vamos omitir o ele-mento Anosov na notação dos brados e das folheações e denotaremos apenas F ss, Fuu,

F s, Fu.Proposição 2.12. Qualquer órbita de φ ujo grupo de isotropia ontém um elementoAnosov é ompa ta.Proposição 2.13. Dado um sub one regular C, o grupo de isotropia de qualquer órbita ompa ta tem um elemento em C.Denição 2.14. Diremos que uma ação Anosov tem odimensão um quando a dimensãode Euu for igual a 1.Como havíamos denido para o aso de uxo, dizemos que uma ação Anosov é topo-logi amente transitiva se ela admite uma órbita densa.Os resultados anteriores podem ser vistos em [24 no mesmo trabalho em que Barbote Maquera mostraram o próximo teorema, que é uma generalização do Teorema 2.9 deVerjovsky, para ações Anosov.Teorema 2.15. Toda ação Anosov de odimensão um de Rk em uma variedade fe hadade dimensão maior que k + 2 é topologi amente transitiva.2.2 Algumas propriedades gerais de ações Anosov de odimensão um irredutíveisDaremos a noção de ação Anosov de odimensão um irredutível, e a partir de entãoestaremos sempre onsiderando ações desse tipo, pois elas nos possibilitam um maior onhe imento em relação às folheações obtidas no espaço de re obrimento universal deM , através do trabalho de Barbot e Maquera em [24.Seja π : M → M o re obrimento universal de M . As folheações Fuu,F ss,Fu e F s sãolevantadas para as folheações Fuu, F ss, Fu, F s em M respe tivamente, e φ é levantadapara φ em M .Vamos denotar por W s(x) a folha de F s ontendo o ponto x ∈ M , e de modo se-melhante, para um ponto x ∈ M , denimos W u(x), W ss(x), W uu(x), W s(x), W u(x),W ss(x), W uu(x).Denição 2.16. Uma ação Anosov de odimensão um é dita irredutível se, para quaisquerv ∈ Rk−0 e x ∈M om φv(x) = x temos que, a holonomia ao longo de γ = φtv(x)|t ∈

[0, 1] de W s(x) é uma ontração ou expansão topológi a.

22 2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades geraisDenição 2.17. Uma variedade mergulhada em M é dita in ompressível se o mergulhoinduz um homomorsmo injetivo entre grupos fundamentais.Proposição 2.18 ([24). Se φ é uma ação Anosov de odimensão um irredutível em M ,então qualquer órbita de φ é in ompressível.Dizemos que uma folheação é por planos fe hados se todas as folhas são fe hadas eimagens de mergulhos de Rn.Proposição 2.19 ([24). Seja φ uma ação Anosov de odimensão um irredutível em M .As folheações Fuu, F ss, Fu, F s e a folheação denida pelas órbitas de φ são folheações porplanos fe hados. A interse ção entre uma folha de Fu e uma folha de F s é no máximouma órbita de φ. Cada órbita de φ en ontra uma folha de Fuu ou F ss no máximo umavez.Da proposição anterior sabemos que as folhas de F s e Fu são planos topológi os,portanto, por um resultado de Palmeira em [29, M é homeomorfo a Rn, onde n =

dim(M).O resultado seguinte nos garante que as órbitas de uma ação Anosov φ de odimensãoum irredutível são toros Tk ou planos.Proposição 2.20 ([24). Seja φ : Rk ×M → M uma ação Anosov de odimensão um,irredutível. Qualquer órbita não ompa ta de φ é um plano.Já o orolário abaixo também nos des reve omo são as órbitas de uma ação Anosovde odimensão um mesmo que ele não seja irredutível.Corolário 2.21 ([24). Seja φ : Rk ×M →M uma ação Anosov de odimensão um, nãone essariamente irredutível. Qualquer órbita não ompa ta de φ é difeomorfa a Tl×Rk−l.Outro resultado importante obtido por Barbot e Maquera em [24 é o seguinte.Teorema 2.22. Se φ é uma ação Anosov de odimensão um, irredutível de Rk em M om dim(M) = n, então o espaço das órbitas de φ é homeomorfo a Rn−k.2.3 Folhas e órbitas periódi as para automorsmos dore obrimento universalComo o grupo fundamental π1(M) é isomorfo ao grupo dos automorsmos do re obri-mento π : M → M (Teorema 1.5), identi aremos um automorsmo g om um elementog ∈ π1(M).Denição 2.23. Dado um automorsmo g ∈ π1(M) dizemos que g é indivisível em π1(M)se sempre que es revermos g = hn para h ∈ π1(M) e n ∈ Z tivermos que n = 1 e h = gou n = −1 e h = g−1.

2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades gerais 23Denição 2.24. Dizemos que g ∈ π1(M) deixa uma folha F de F s (ou de Fu) quaseinvariante se F e g(F ) não são separados no respe tivo espaço das folhas. Equivalente-mente, F e g(F ) não têm vizinhanças saturadas disjuntas em M .Uma órbita O de φ é dita periódi a se existe um automorsmo do re obrimento g não-trivial, om g(O) = O. De maneira análoga, dizemos que uma folha F de F s (ou de Fu)é periódi a se existe g ∈ π1(M) om g(F ) = F, g 6= id.Usaremos O para denotar uma órbita de φ ou de φ desde que, na o asião, não haja apossibilidade de onfusão.Proposição 2.25. Uma órbita O de φ é periódi a se, e somente se, O = π(O) é umaórbita ompa ta de φ.Prova: Fixemos x0 ∈ M e x0 ∈ M om π(x0) = x0, e seja O = φ(v, x0)|v ∈ Rk umaórbita de φ. Sabemos que π(φ(v, x0)) = φ(v, x0), logo O = π(O) = φ(v, x0)|v ∈ Rk.(1) Suponhamos que O seja uma órbita periódi a de φ, ou seja, existe um automorsmo

g ∈ π1(M)\id tal que g(O) = O, (lembre-se que o úni o automorsmo do re obrimentoque tem ponto xo é a identidade) logo, existe um v0 ∈ Rk − 0 tal que

g(x0) = g(φ(0, x0)) = φ(v0, x0).Com isto e om a propriedade dos automorsmos do re obrimento, temos queφ(0, x0) = π(φ(0, x0)) = π g(φ(0, x0)) = π(φ(v0, x0)) = φ(v0, x0).Isto, junto om a Proposição 2.20, nos mostra que O é uma órbita ompa ta de φ.(2) Agora, se temos omo hipótese que O é uma órbita ompa ta de φ, existe um

v0 ∈ Rk − 0 om φ(v0, x0) = x0, tomamos t0 = mint > 0|φ(tv0, x0) = x0 e de-nimos o aminho α : [0, t0] → M por α(t) = φ(tv0, x0), α(0) = α(t0) = x0, existe umúni o aminho ontínuo α : [0, t0] → M om α(0) = x0 que é um levantamento de α. Sejaβ : [0, t0] → M o aminho denido por β(t) = φ(tv0, x0), β(0) = x0 e

π β(t) = π(φ(tv0, x0)) = φ(tv0, x0) = α(t), ∀ t ∈ [0, t0],logo, β = α. α(t0) = y0 ∈ π−1(x0) e existe um úni o automorsmo do re obrimentog ∈ π1(M) tal que g(x0) = y0.Como x0 = φ(0, x0) 6= φ(t0v0, x0) = y0, temos que g 6= id e sendo g(x0) = y0 ∈ O, on luímos que g(O) = O.Observe que tanto o automorsmo g quanto a órbita O são determinados quando nóses olhemos o x0 ∈ π−1(x0). Proposição 2.26. Uma folha F ∈ F s (ou F ∈ Fu) é periódi a se, e somente se, π(F ) ontém uma órbita ompa ta de φ.

24 2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades geraisProva: Se F é periódi a, então existe um g ∈ π1(M)\id om g(F ) = F . Fixamos umx0 ∈ F e tomamos um aminho α : I → F om α(0) = x0 e α(1) = g(x0). Denindoα : I → M por α = π α, α é um levantamento de α e [α] é a lasse asso iadaao automorsmo do re obrimento g 6= id, logo [α] não é trivial, e omo α(I) ⊂ π(F ) on luímos que π(F ) não é simplesmente onexa, logo existe uma órbita ompa ta O deφ ontida em π(F ).Se supomos que π(F ) ontém uma órbita ompa ta O de φ, pelo que vimos na provada Proposição 2.25 um levantamento O ⊂ F de O satisfaz g(O) = O para algum g ∈

π1(M)\id, omo g leva a folha estável F em uma folha da folheação estável F s e O ⊂ F ,segue que g(F ) = F. Denição 2.27. O estabilizador de uma folha F de F s (ou F de Fu) éStab(F ) = g ∈ π1(M)| g(F ) = F.Observação 2.28. É imediata a observação de que o estabilizador de F, Stab(F ), é não-trivial se, e somente se, F é uma folha periódi a.Proposição 2.29. Seja φ : Rk×M →M uma ação Anosov de odimensão um irredutível.Se o estabilizador de uma folha F de F s (ou F de Fu) não é trivial então Stab(F ) é umgrupo livre de torção om k geradores.Prova: Se o estabilizador Stab(F ) é não-trivial então F é periódi a, e das Proposições2.25 e 2.26 vemos que existe uma órbita periódi a O ⊂ F . Fixemos um x0 ∈ F tal que

O = φ(v, x0)|v ∈ Rk, e seja x0 = π(x0). Sabemos da Proposição 2.25 que π(O) é umaórbita ompa ta de φ, logo o grupo de isotropia de x0 ∈ π(O) é Zk. Tomemos v1, v2 . . . , vkgeradores do grupo de isotropia de x0.Sejam yi = φ(vi, x0) e αi : I → F o aminho dado por αi(t) = φ(tvi, x0) que vai de x0 ayi, para 1 ≤ i ≤ k. Observemos que yi ∈ π−1(x0), pois π(yi) = π(φ(vi, x0)) = φ(vi, x0) =

x0, e tomemos gi ∈ π1(M) om gi(x0) = yi o automorsmo do re obrimento, não-trivial,asso iado à lasse do aminho αi : I → π(F ) dado porαi(t) = π αi(t) = π(φ(tvi, x0)) = φ(tvi, x0).Como gi leva órbita em órbita, e gi(x0) = yi = φ(vi, x0) temos que gi(O) = O ⊂ F , logo

gi(F ) = F , e on luímos queZk ∼= gn1

1 gn2

2 · · · gnk

k |n1, n2, . . . , nk ∈ Z ⊂ Stab(F ).Agora, dado h ∈ Stab(F ), digamos que Q = φ(v, z0)|v ∈ Rk om z0 ∈ π−1(x0) seja aórbita de φ que está ontida em F e é invariante por h. Sabemos que π(Q) = π(O) ⊂ π(F ),pois ada folha de F s tem no máximo uma órbita ompa ta.Para algum vetor v0 ∈ Rk, diferente do vetor nulo, h(z0) = φ(v0, z0). Denimos o aminho α : I → Q de z0 a h(z0) dado por α(t) = φ(tv0, z0). h é o automorsmo do

2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades gerais 25re obrimento asso iado à lasse do aminho α : I → π(O) dado por α(t) = φ(tv0, x0)porque α = π α. Com isto nós temos que α(1) = x0, ou seja, φ(v0, x0) = x0, mostrandoque v0 perten e ao grupo de isotropia de x0, logo v0 = n01v1 + · · · + n0

kvk om n0i ∈ Z.Portanto, a lasse de homotopia do aminho α é a mesma lasse de homotopia do aminho

αn0

1

1 ∗ · · · ∗ αn0

k

k . De maneira mais objetiva on luímos que h = gn0

1

1 · · · gn0

k

k . Com istopodemos observar queStab(F ) = gn1

1 gn2

2 · · · gnk

k |n1, n2, . . . , nk ∈ Z.

Denição 2.30. Dado um x ∈M seja Γx o grupo de isotropia de x. Para v ∈ Γx dizemosque v é indivisível em Γx se sempre que es revermos v = nu para u ∈ Γx e n ∈ Z tivermosque n = 1 e u = v ou n = −1 e u = −v.Observação 2.31. Quando temos uma órbita ompa ta O de φ, falar em grupo deisotropia de O é o mesmo que falar do grupo de isotropia de qualquer x ∈ O.Dado um aminho fe hado γ emM denotamos por hγ o automorsmo do re obrimentoπ : M → M asso iado à lasse do aminho γ. Dado um v ∈ Rk denimos o onjunto

G(v) = hγ|γ é uma órbita periódi a do uxo φtve om isto fazemos a seguinte denição.Denição 2.32. Seja F uma folha de F s (ou de Fu), hamamos de estabilizador de Frelativo ao vetor v, o onjuntoStabv(F ) = g ∈ G(v)|g(F ) = F.Proposição 2.33. Seja φ : Rk×M →M uma ação Anosov de odimensão um irredutível.Se o estabilizador de uma folha F de F s (ou de Fu) relativo a um vetor v não é trivial,então Stabv(F ) é um grupo í li o innito.Prova: Como já vimos anteriormente, na prova da Proposição 2.29, existe uma órbita ompa ta O de φ om π−1(O) ⊂ F tal que v perten e ao grupo de isotropia da órbita O.Podemos supor que v é indivisível no grupo de isotropia de O. Sendo assim, denimos o aminho α : I → M dado por α(t) = φ(tv, x0) para algum x0 ∈ O. Se denotamos por hαo automorsmo asso iado à lasse de α, omo a ima, pela própria denição do onjunto

G(v) podemos notar que qualquer elemento de Stabv(F ) será uma potên ia de hα, ouseja,Stabv(F ) = hnα|n ∈ Z

26 2. Ações Anosov de Rk: algumas propriedades gerais

Capítulo 3Losangos para ações Anosov de Rksobre variedades de dimensão k + 2Na Seção 3.1 generalizamos a noção de losango, que foi introduzida por Fenley em[12 para um uxo Anosov em uma variedade de dimensão três, para ações Anosov deRk em M om dim(M) = k + 2. Para que possamos generalizar essa denição para umaação Anosov pre isamos que ambas as folheações estável fra a e instável fra a tenham odimensão um, o que equivale a termos dim(Ess) = dim(Euu) = 1. Por isto nós teremossempre uma ação Anosov de Rk em M om dim(M) = k + 2.Na Seção 3.2 no Teorema 3.5 damos ondições su ientes que garantem a existên ia deuma adeia de losangos. Este resultado é uma generalização de um resultado obtido porFenley [11. Além disso, na Proposição 3.7 mostramos que esta adeia pode ser es olhidade tal maneira que ela seja minimal.Finalmente na Seção 3.3, omo onsequên ia dos resultados da seção anterior, naProposição 3.9 mostramos que, no nível do re obrimento universal, se um automorsmo dere obrimento da forma gn perten e ao estabilizador de uma folha, então ne essariamenteg deve perten er ao estabilizador.3.1 Orientação transversal e losangosComo M é simplesmente onexa, F s e Fu sempre são transversalmente orientáveis(veja as Proposições 1.23 e 1.24, e o Teorema 1.27) e assumimos uma orientação dea ordo om os levantamentos das orientações transversais de F s,Fu se alguma delas fortransversalmente orientável.Outro fato importante que segue de M ser simplesmente onexa é que as folhas de F se Fu separam M . Com isto, e sabendo que estas duas folheações têm odimensão um,temos a seguinte denição.Denição 3.1. O lado positivo de uma folha F de F s (ou de Fu) é a omponente onexade M − F denida pela orientação transversal positiva para F (veja a Figura 3.1). De27

28 3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2maneira análoga denimos o lado negativo de F .PSfrag repla ements

+

−

F

Figura 3.1: Lados positivo e negativo da folha F .Para qualquer x ∈ M seja W s+(x) a omponente onexa de W s(x) − Ox(φ) ontidano lado positivo de W u(x) e W ss

+ (x) = W ss(x) ∩ W s+(x). De maneira similar denimos

W s−(x), W u

+(x), W u−(x), W ss

− (x), W uu+ (x), W uu

− (x). Poderemos hamar W s+(x) de semifolhapositiva. Dada uma órbita O de φ também podemos denotar W s(O) om o mesmosigni ado a ima.Denição 3.2. Dado p ∈ M , seja

J u+(p) = F ∈ F s|F ∩ W u

+(p) 6= ∅.Note que a folha W s(p) /∈ J u+(p). De maneira semelhante denimos J u

−(p),Js+(p),J

s−(p)(vejaa Figura 3.2).

PSfrag repla ements p

J u+(p)

W u+(p)

W u−(p)

Figura 3.2: J u+(p), om representação em dimensões reduzidas.

3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2 29Denição 3.3 (Losango). Suponha que p, q ∈ M, p /∈ W s(q), p /∈ W u(q) e satisfazemJ u

+(p) ∩ J s+(p) = J u

−(q) ∩ J s−(q) (i).Então dizemos que esta interseção é um losango B em M om vérti e p (+,+) (ou Op(φ)(+,+)) e vérti e q (−,−) (veja a Figura 3.3). Note que a equação (i) impli a que J u

+(p) =

J u−(q) e J s

+(p) = J s−(q). Se de outro modo p e q satisfazem

J s+(p) ∩ J u

−(p) = J s−(q) ∩ J u

+(q) (ii).Então esta interseção é um losango B om vérti e p (+,−) e vérti e q (−,+). O losango éum onjunto aberto em M . As semifolhas W s+(p), W

u+(p), W

s−(q) e W u

−(q) no aso (i) nãoestão em B mas estão ontidos em ∂B. O mesmo a onte e no aso (ii).PSfrag repla ements

p

E

qW s−(q)

W s+(p)

W u−(q)

W u+(p)

Figura 3.3: Losango em M .Uma sequên ia de losangos Zii∈I forma uma adeia se, para ada i ∈ I, Zi e Zi+1 ompartilham de um mesmo vérti e. O omprimento da adeia é a ardinalidade de I ⊂ Z,sendo que I pode ser nito ou não.Denição 3.4 (Losangos Adja entes). Dois losangos são adja entes se ompartilham umvérti e e existe uma folha estável ou instável interse tando ambos.3.2 Existên ia de losangos e adeia de losangosO resultado seguinte nos mostra em que ondições podemos garantir a existên ia delosangos, mais que isso, nos mostra a existên ia de adeias de losangos. Tal resultadofoi originalmente obtido por Fenley em [11 para um uxo Anosov em uma variedade dedimensão três e se adapta perfeitamente ao nosso aso.Teorema 3.5 (Teorema A). Sejam φ uma ação Anosov de odimensão um irredutível, deRk em M, dim(M) = k + 2, g ∈ π1(M)\id, O0 e O, órbitas de φ invariantes por g.

30 3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2Então, O0 e O são one tadas por uma adeia nita de losangos, todos invariantes por g,assim omo os seus vérti es.Prova: Vamos onstruir uma adeia de losangos ligando O0 a O.Consideremos F0 = W s(O0), F = W s(O), E0 o lado de F0 que ontém F e J u∗ (O0) ⊂

E0 ⊂ M , onde ∗ indi a o lado de F0 que ontém F omo na Denição 3.2.Como g preserva orientações transversais, pois tem duas órbitas periódi as, g(J u∗ (O0)) =

J u∗ (O0). Pelo Teorema 2.22 o espaço das órbitas de φ é homeomorfo a R2, logo, o on-junto de órbitas em W u(O0) é homeomorfo a R e g induz uma ontração ou expansãoneste onjunto. Com isso, qualquer folha de F s ontida em J u

∗ (O0) não é invariantepor g. Logo F 6⊂ J u∗ (O0). J u

∗ (O0) é um sub onjunto próprio de M , aberto, onexo esaturado por F s. Portanto, sua fronteira é uma união não vazia de folhas de F s. ComoF ∩J u

∗ (O0) = ∅, F ⊂ ∂J u∗ (O0) ou existe uma úni a folha F1 ⊂ ∂J u

∗ (O0) que separa F deJ u

∗ (O0) (veja a Figura 3.4). Considerando o segundo aso, omo g(J u∗ (O0)) = J u

∗ (O0), é laro que g(F1) ⊂ ∂J u∗ (O0), logo, se g(F1) 6= F1, então g(F1) não separa F0 de F , o queé um ontradição om o fato de g deixar ambas F0 e F invariantes. Ou seja, g(F1) = F1.

PSfrag repla ements F

F1

F0O0

O1

O

J u∗ (O0)

Figura 3.4: Folha F1 na fronteira de J u∗ (O0).Tomamos F1 ⊂ ∂J u

∗ (O0) omo antes, g(F1) = F1, om isto sabemos que existe umaórbita O1 ⊂ F1 de φ om g(O1) = O1. Ou F1 = F se F ⊂ ∂J u∗ (O0). Se F1 6= F demaneira indutiva en ontramos Fi e Oi, i = 1, 2, . . .Armação (1): Para algum i, Fi = F e onsequentemente Oi = O.Suponhamos que a armação seja falsa. E seja Ci o lado de Fi ontendo Fi−1. Destemodo, ∂Ci = Fi e Ci ⊂ Ci+1. Para qualquer i, F 6⊂ Ci, então

F 6⊂ C =⋃

i∈N

Ci.

3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2 31C é um sub onjunto aberto próprio de M , saturado por F s e g(C) = C. Usando oargumento anterior, seja L ∈ F s, L ⊂ ∂C om L = F se F ⊂ ∂C ou L sendo a úni a folhaestável ontida no bordo de C que separa F de todos os Ci. Portanto g(L) = L. Seja O∗a úni a órbita em L om g(O∗) = O∗. Como L ⊂ ∂C, as folhas Fi = W s(Oi) estão todaslimitadas por L, logo, para i su ientemente grande (veja a Figura 3.5),

∅ 6= W u(O∗) ∩ W s(Oi) = Qi.PSfrag repla ementsL O∗

Qi

W u(O∗)

W s(Oi)Figura 3.5: Folha W s(Oi) próxima de L.Como g deixa W u(O∗) e W s(Oi) invariantes, g(Qi) = Qi, o que ontradiz o fato deO∗ ser a úni a órbita em W u(O∗) om tal propriedade. Assim provamos a Armação (1).Observe que, omo W s(O1) ⊂ ∂J u

∗ (O0), existe uma folha estável P omP ∩ W u(O0) 6= ∅ e P ∩ W u(O1) 6= ∅.

• Agora nós mostraremos que as órbitas O0 e O1 são one tadas por uma adeia delosangos, todos interse tando uma mesma folha estável.Podemos supor, sem perda de generalidade, que O1 está no lado positivo de W s(O0)e no lado negativo de W u(O0) (veja a Figura 3.6). Seja J s−(O0) omo na Denição 3.2,então g(J s

−(O0)) = J s−(O0) e W u(O1) ∩ J s

−(O0) = ∅. Como antes, existe uma úni afolha instável H1 ⊂ ∂J s−(O0) que separa W u(O1) de W u(O0), ou H1 = W u(O1). Vi-mos que g(H1) = H1. Seja Q1 a úni a órbita em H1 om g(Q1) = Q1. Note que

W u(Q1) ∩ W s(O0) = ∅, e isto impli a que Q1 está no lado positivo de W s(O0) (veja aFigura 3.6).Armação (2): W u−(Q1), W

s+(Q1), W

u+(O0) e W s

−(O0) formam um losango.Observe que, omo W u(Q1) ⊂ ∂J s−(O0), existe uma folha S ∈ Fu, om

a ∈ S ∩ W s−(O0) 6= ∅ e b ∈ S ∩ W s(Q1) 6= ∅. (3.1)Primeiro vejamos que O0 está no lado negativo de W s(Q1). A orientação transversalde F s induz uma orientação em S. Se a órbita O0 estivesse no lado positivo da folha

W s(Q1), haveria uma ontradição na orientação de S em a e b (veja a Figura 3.6).

32 3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2PSfrag repla ements

W s(O0)

W u(O0)

S

W s(Q1)

W u(Q1)

O0

a

bQ1

O1

W u(O1)

Figura 3.6: Formação do losango de lados W u−(Q1), W

s+(Q1), W

u+(O0) e W s

−(O0).Armação (3): S ∩ W s+(Q1) 6= ∅.Suponhamos que a armação (3) seja falsa, ou seja, que S ∩ W s

−(Q1) 6= ∅ (veja aFigura 3.7).PSfrag repla ements

W s(O0)

W u(O0)

S

W s(Q1)

W u(Q1)

O0

Q1

L

Figura 3.7: Folha L na fronteira de J u∗ (O0).Tomando a inversa de g se ne essário, assumimos que g induz uma ontração no on-junto de órbitas de φ em W s(O0). Como S separa M , g também induz uma ontraçãono onjunto de órbitas em W s(Q1). Em onsequên ia, g induz uma expansão no on-junto de órbitas em W u(O0) e W u(Q1). Logo, existe uma folha L ∈ F s om L ∩ S 6= ∅,que é invariante por g e L ⊂ ∂J u

∗ (O0). Mas L separa W u(Q1) de O0 e onsequente-mente também separa W u(O1) de O0, e portanto L separa W s(O1) de O0. Mas omoW s(O1) ⊂ ∂J u

∗ (O0), as úni as folhas estáveis que podem separar W s(O1) de O0 estão

3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2 33 ontidas em J u∗ (O0). Con luímos que L ⊂ J u

∗ (O0) e isso impli a que g(L) 6= L. Assim hegamos a uma ontradição. Mostrando que S ∩ W s+(Q1) 6= ∅, a Armação (3).Usando (3.1), a Armação (3), a invariân ia dos onjuntos W s

+(Q1), Ws−(O0) e J s

−(O0)por g, e o fato de J s−(O0) ser onexo, segue que

J s−(O0) = J s

+(Q1) (3.2)Como O1 ⊂ ∂J u∗ (O0), existe uma folha S ′ ∈ F s om S ′ ∩ W u

+(O0) 6= ∅ e S ′ ∩

W u(O1) 6= ∅. Se O1 6= Q1, lembrando que W u(Q1) separa W u(O1) de W u(O0), temos queS ′∩W u(Q1) 6= ∅, e omo O0 está no lado negativo de W s(Q1), segue que S ′∩W u

−(Q1) 6= ∅.E do mesmo modo que anteriormente on luímos queJ u

+(O0) = J u−(Q1) (3.3)Com (3.2) e (3.3) on luímos que O0 e Q1 são vérti es de um losango, e isto onrmaa Armação (2).Se H1 ∩ F1 6= ∅, então H1 ∩ F1 = Q1 é a órbita periódi a em F1, logo Q1 = O1 etemos uma adeia de losangos de F0 a F1. Caso ontrário, omeçamos om Q1 e O1 e ontinuamos omo anteriormente. Repetindo esse pro esso um determinado número devezes, en ontramos uma adeia nita de losangos ligandoO0 a O1. Além disso, os losangosnessa adeia são dois a dois adja entes, todos têm interseção om uma folha estável e sãoinvariantes por g assim omo ada vérti e.O mesmo pro esso pode ser repetido para ada Oi e Oi+1. Após repetir esse pro essoum determinado número de vezes vamos obter uma úni a adeia nita de losangos one -tando as órbitas O0 e O, sendo que todos os losangos e os seus vérti es são invariantespor g. Pre isaremos de uma adeia de losangos espe í a ligando duas órbitas invariantespor um mesmo automorsmo do re obrimento não trivial, e é esse tipo de adeia quedeniremos agora.Denição 3.6 (Cadeia minimal). Dizemos que uma adeia éminimal se todos os losangossão diferentes e eles não estão ontidos propriamente em outra adeia ligando os vérti esini ial e nal.O resultado seguinte, que garante a existên ia de uma adeia minimal de losangos,foi mostrado por Fenley para uxo Anosov em uma variedade de dimensão três, e damosaqui uma versão para uma ação Anosov.Proposição 3.7. Seja φ : Rk×M →M uma ação Anosov de odimensão um irredutível, om dim(M) = k + 2. Dadas duas órbitas O e O′ de φ ambas invariantes por umautomorsmo g ∈ π1(M) − id. Existe uma úni a adeia minimal de losangos ligando

O a O′.

34 3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2Prova: O Teorema 3.5 nos garante que existe uma adeia de losangos C = Bi, om1 ≤ i ≤ n, de O a O′, sendo todos os losangos e seus vérti e invariantes por g. SejaQ0 = O e de maneira indutiva denimos omo Qi o outro vérti e de Bi. Consideremoso onjunto A sendo a omponente onexa de M − (W u(O) ∪ W s(O)) que ontém O′. SeQ1 = O′, a prova está on luída. Caso ontrário, omo O′ ∈ A existe o menor i tal queQi ∈ A.• Vejamos que Qi−1 = O.Se Qi−1 6= O então Qi−1 6∈ W u(O) ∪ W s(O) porque Qi−1 é invariante por g e O é aúni a órbita invariante por g nesta união. Como Qi−1 também não está em A, existe umafolha estável da fronteira de Bi interse tando W u(O) ou uma folha instável da fronteirade Bi que interse ta W s(O). Assumamos que o primeiro aso o orre, e seja Fi a folhaestável da fronteira de Bi que tem interseção om W u(O) (veja a Figura 3.8),PSfrag repla ements

O

FiQi−1

Qi

W s(O)

W u(O)Figura 3.8: Fi ⊂ ∂Bi om Fi ∩ Wu(O) 6= ∅.

g(W u(O)) = W u(O), g(Fi) = Fi, portanto g(Wu(O) ∩ Fi) = W u(O) ∩ Fi.Mas O 6= W u(O) ∩ Fi, e ambas são órbitas em W u(O) que são invariantes por g, o queé uma ontradição. Logo Qi−1 = O. Portanto, Bi tem um vérti e que é exatamente aórbita O e outro que está em A. Denimos C1 = Bi.Seja O1 = Qi. Existe uma sub adeia de C omeçando om Bi+1 de O1 = O′ e esta tem omprimento menor que o omprimento da adeia C. Agora reini iamos o pro edimentoanterior om essa sub adeia en ontrada. Após um número nito de vezes obtemos uma adeia de O a O′ de modo que os losangos são indutivamente denidos pela seguinte ondição:

Ci+1 é o úni o losango que tem um vérti e em Oi e está ontido na omponente onexade M − (W u(Oi) ∪ Ws(Oi)) que também ontém O′. Além disto, qualquer adeia de Oa O′ onterá o losango C1, e mais uma vez de maneira indutiva, podemos ver que essa adeia onterá ada Ci.

3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2 353.3 Uma onsequên ia fundamentalDenição 3.8. Dada uma órbita O de φ denotamos por S+(O) o lado positivo da folhaestável W s(O) e por U+(O) o lado positivo da folha instável W u(O). De maneira análogadenimos S−(O) e U−(O).A seguir veremos um resultado para uma ação Anosov φ : Rk ×M → M que foi origi-nalmente dado por Fenley apenas para um uxo Anosov em uma variedade de dimensãotrês. Observe que o teorema é enun iado para uma folha F de F s, mas não muda emnada se onsiderarmos uma folha F de Fu.Proposição 3.9. Sejam φ uma ação Anosov de odimensão um irredutível, de Rk emMk+2 e g um automorsmo não trivial do re obrimento π : M → M que preserva orien-tações transversais de F s e Fu. Seja F uma folha de F s tal que, existe um n ∈ Z∗ omgn 6= id e gn(F ) = F . Então g(F ) = F .Prova: Assumimos que n > 0. Sabemos, pela hipótese, que gn é um automorsmo nãotrivial do re obrimento π : M →M . Além disto,

gn(g(F )) = g(gn(F )) = g(F )portanto gn deixa invariantes F e g(F ). Como F é periódi a, existe uma órbita ompa taO de φ em π(F ). Seja O o levantamento de O em F om gn(O) = O. Do mesmo modoa órbita O′ = g(O) ⊂ g(F ) de φ satisfaz que gn(O′) = O′.Faremos a prova por ontradição. Se supomos que g(F ) 6= F , do Teorema 3.5 e daProposição 3.7, existe uma úni a adeia minimal B = Bi|1 ≤ i ≤ p de losangos de O aO′. Seja O0 = O, e de maneira indutiva denimos Oi (1 ≤ i ≤ p) o outro vérti e de Bi.Claramente devemos ter que Op = O′.PSfrag repla ements

O

O1

O′

B1

Bp

W s(O)

W u(O)

W s(O′)

W u(O′)

Figura 3.9: A adeia one tando as duas órbitas.

36 3. Losangos para ações Anosov de Rk sobre variedades de dimensão k + 2Assumimos, sem perda de generalidade, que O′ está no lado positivo de F = W s(O)e no lado positivo de W u(O).Armação: A órbita O está no lado positivo da folha W s(O′) e no lado positivo da folhaW u(O′).Como g preserva orientações transversais, o lado positivo da folha W s(O), S+(O), élevado no lado positivo da folha W s(O′), S+(O

′). Suponhamos que a armação estejaerrada em relação a W s(O′), ou seja, que a órbita O está no lado negativo da folhaW s(O′). Com isto temos que S+(O

′) S+(O), e onsequentementeg(S+(O)) = S+(O

′) S+(O).E também teremos quegn(S+(O)) S+(O).Portanto e gn não deixa F invariante, o que é uma ontradição. Consequentemente O estáno lado positivo de W s(O′), e do mesmo modo on luímos que O está no lado positivode W u(O′), onrmando a armação.Como B é uma adeia minimal ligando O a O′, a Proposição 3.7 impli a que B1 estáno lado positivo de W s(O) e W u(O). Pela mesma razão Bp está no lado positivo de

W s(O′) e W u(O′). Isto impli a que g(B1) = Bp, portanto g(O1) = Op−1. Além distogn(O1) = O1 e gn(Op−1) = Op−1.Se p = 1, então somente temos um losango B1 e, além disso g(O′) = O0 e g(B1) = B1.Neste aso hegamos a uma ontradição pelo fato de g preservar orientações transversais.Vamos supor agora que p > 1. Por denição, a adeia minimal de O1 a Op−1 éexatamente B− B1, Bp. Podemos apli ar o mesmo argumento a ima omeçando omO1, Op−1 e B− B1, Bp. Cada apli ação desse pro edimento elimina dois losangos da adeia. Por indução nós hegamos a uma adeia de omprimento 0 ou 1. No primeiro aso a adeia é reduzida a Op/2 e segue que g(Op/2) = Op/2. Como g preserva orientaçõestransversais isto impli a que g deixa invariantes os vérti es O(p/2)−1 e O(p/2)+1 e assim su- essivamente, ou seja, g deixa invariantes todos os vérti es da adeia minimalB, portantog(F ) = F , ontrariando a nossa suposição.Portanto, podemos on luir que g(F ) = F .

Capítulo 4Posição ótima de um 2-toroin ompressívelContinuamos om uma ação Anosov φ : Rk ×Mk+2 → Mk+2 de lasse C1 de odi-mensão um irredutível. Além disto, a menos de re obrimento nito, assumiremos queM e as folheações fra as e fortes da ação Anosov são orientáveis (para isto é su ientetomar re obrimentos duplos orientáveis). E om isto teremos que todo automorsmo dore obrimento π : M → M preserva as orientações transversais das folheações F s e Fu.Também vamos supor queM não admite um mergulho in ompressível da garrafa de Klein(veja a Denição 2.17). O objetivo deste apítulo é provar o Teorema B. Isto será feitona Seção 4.4.As folheações F s e Fu em M induzem duas folheações Gs e Gu em Qφ, o espaço dasórbitas de φ. Na Seção 4.1 veremos resultados envolvendo os espaços destas folheaçõese a ação do π1(M) sobre Qφ (resultados análogos foram obtidos por Barbot em [2 e [5para um uxo Anosov).Na Seção 4.2 veremos a noção de losango denido no espaço das órbitas de φ. Esse on eito foi dado por Barbot onsiderando um uxo Anosov. Com isto, veremos umresultado (Proposição 4.12) que nos diz omo dois losangos onse utivos em uma adeiapodem se posi ionar um em relação ao outro sob ertas ondições.Na Seção 4.3 damos a denição de anel de Birkho em M , que está rela ionado omórbitas ompa tas da ação φ e vemos o Teorema 4.18 que rela iona diretamente umdeterminado tipo de losango em Qφ om um anel de Birkho em M .Finalmente, na Seção 4.4 damos a prova do Teorema B, na qual usamos resultadosdados nas seções anteriores.4.1 A ação de π1(M) no espaço das órbitas QφSabemos que Qφ, o espaço das órbitas de φ, é homeomorfo ao plano R2 (Teorema2.22). Denotemos por πφ : M → Qφ a projeção anni a.37

38 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressívelObservação 4.1. A ação de π1(M) sobre M por automorsmos de re obrimento induz,via πφ, uma ação de π1(M) sobre Qφ. Portanto, dado g uma automorsmo do re obri-mento vamos, a partir de agora, onsiderar g também omo um homeomorsmo do espaçoQφ o qual preserva as folheações Gs e Gu. Além disso, observando que as folheações Gs eGu têm mesma dimensão e têm odimensão um, exatamente omo no aso das folheaçõesestável fra a F s e instável fra a Fu, vários dos resultados que nós vimos no apítulo an-terior envolvendo as folheações F s e Fu também são válidos para as folheações Gs e Gu,bem omo as denições de losango, adeias de losangos e os resultados que envolvem esse on eito.As folheações F s e Fu em M são projetadas por πφ em folheações Gs e Gu em Qφ,respe tivamente. Para ada σ = s, u, denotamos por

• Qσ o espaço das folhas de Gσ, e• pσ : Qφ → Qσ a apli ação quo iente.As folheações Gs e Gu são transversalmente orientáveis, e do mesmo modo que zemospara um folha W σ(x) em M , dado um x ∈ Qφ denotamos por wσ(x) a folha de Gσ que ontém x, e temos o lado positivo de ws(x) que é a omponente onexa de Qφ − ws(x)denida pela orientação transversal positiva de ws(x) ( omo na Denição 3.1) e o ladonegativo da folha ws(x) sendo a outra omponente onexa de Qφ −ws(x) (o que tambémvale para um folha wu(x)). O lado positivo da folha ws(x) denotamos por S+(x), e ladonegativo da folha ws(x) indi aremos por S−(x), e de maneira análoga, para a folha wu(x)temos U+(x) e U−(x).Também denimos as semifolhas ws

+(x) = ws(x) ∩ U+(x), ws−(x) = ws(x) ∩ U−(x),

wu+(x) = wu(x) ∩ S+(x) e wu

−(x) = wu(x) ∩ S−(x).Observação 4.2. Seja Ω um aberto onexo de Qσ ( om σ = s ou σ = u). Qualquerelemento x de ∂Ω separa Qσ em duas omponentes onexas uma das quais ontém Ω. O omplemento em Qσ dessa omponente denotamos por xc.O resultado a seguir é dado e demonstrado por Barbot em [2 e também pode ser vistoem [5.Proposição 4.3. Para x per orrendo a fronteira ∂Ω de Ω, os onjuntos xc são dois adois disjuntos. Estes onjuntos são exatamente as omponentes onexas de Qσ\Ω.Como para σ = s, u, a ação de qualquer h ∈ π1(M) preserva a folheação Gσ, entãotambém podemos olhar h omo um homeomorsmo em Qσ. Dado um h ∈ π1(M) omum ponto xo em Qs, denotamos por Λsh à união das imagens por ps das folhas de Gu quesão invariantes por h.Lema 4.4 ([5). Λs

h é um aberto onexo de Qs.

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 39Observação 4.5. Se s = ps(ws(x)) para algum x ∈ Qφ então s+ = ps(S+(x)). Umresultado análogo do lema seguinte também é válido para um elemento u de Qu, sendosua prova também análoga.Lema 4.6. Seja h um elemento de π1(M) admitindo pelo menos um ponto xo em Qs.Seja s um elemento de Qs omh(s+) ⊂ s+.Então existe um ponto xo y de h em Qφ om a folha instável wu(y) interse tando a folhaestável (ps)−1(s).Prova: Mostraremos que ada elemento s satisfazendo a hipótese do lema perten e a

Λsh. Pois, se s ∈ Λs

h então, da própria denição do onjunto Λsh, existe uma folha instável

F om h(F ) = F e um ponto x ∈ F tal que ps(x) = s. Como ps é onstante ao longodas folhas estáveis, ps(ws(x)) = s e ws(x) = (ps)−1(s), logo F ∩ (ps)−1(s) 6= ∅. Sendoh(F ) = F sabemos que existe um ponto y ∈ F que é xado por h e temos F = wu(y) om wu(y) ∩ ws(x) 6= ∅ (veja a Figura 4.1).

PSfrag repla ements wu(y)

ws(x) s

ps−→

Λsh

Figura 4.1: A projeção ps.Façamos por ontradição: suponhamos que um s /∈ Λsh satisfaz a hipótese do lema.Então, existe um elemento s0 de ∂Λs

h tal que sc0 ontém s. Logo, sc0 ontém s+ ou s−.Note queh(s+) ⊂ s+ ⇒ h−1(s−) ⊂ s−.Vamos assumir que sc0 ontém s+ ( aso ontrário usamos h−1(s−) ⊂ s−). Com isto,

(h(s0))c = h(sc0) ontém h(s+) e omo h(s+) ⊂ s+ ⊂ sc0, segue que (h(s0))

c ∩ sc0 6= ∅ e daProposição 4.3 temos que h(s0) = s0. Esta é uma ontradição, pois os pontos xos de hestão todos no aberto Λsh, logo ∂Λs

h não tem ponto xo de h. 4.2 Losangos em QφA diferença bási a da estrutura do losango em M que nós vimos no apítulo anteriorpara o losango em Qφ é que no segundo aso in luiremos os vérti es ao losango. Porém,

40 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressívelos resultados en ontrados anteriormente poderão ser usados sem problemas.Lembremos da Denição 1.13 que dado um sub onjunto A de Qφ o saturado de A pelafolheação Gs é indi ado por Gs(A).Denição 4.7. Dado um ponto x ∈ Qφ denimos os seguintes abertos em Qφ:L++(x) = Gs(wu

+(x)) ∩ Gu(ws+(x))

L+−(x) = Gs(wu+(x)) ∩ Gu(ws

−(x))

L−+(x) = Gs(wu−(x)) ∩ Gu(ws

+(x))

L−−(x) = Gs(wu−(x)) ∩ Gu(ws

−(x))Denição 4.8. Sejam g ∈ π1(M) e L uma aberto de Qφ.(i) Dizemos que L é uma g-losango aberto direto se existem dois pontos xos x e y deg tais que:

L = L++(x) = L−−(y).(ii) Dizemos que L é uma g-losango aberto indireto se existem dois pontos xos x e yde g tais que:L = L+−(x) = L−+(y).Em ambos os asos os pontos xos x e y são hamados de vérti es do losango aberto L.Como os vérti es de um g-losango aberto L (direto ou indireto) são pontos xos de g,segue que g(L) = L.Observação 4.9. Seja L = L++(x) = L−−(y) um g-losango de vérti es x, y. O automor-smo g age sobre wu(x) omo uma ontração ou expansão. Suponhamos que x seja umponto xo atrator de g sobre wu(x), então x é um ponto xo repulsor de g sobre ws(x).Dada uma folha F de Gs om F ∩ wu

+(x) 6= ∅, a imagem de F por g é uma folha g(F )mais próxima da folha ws(x) do que a folha F . E omo sabemos que F ∩wu−(y) 6= ∅ (peladenição do losango) podemos observar que y é um ponto xo repulsor de g sobre wu(y)e um ponto xo atrator de g sobre ws(y) (veja a Figura 4.2). Dada uma folha L de Gu om L ∩ws

−(y) 6= ∅, a imagem de L por g é uma folha g(L) mais próxima da folha ws(x)do que a folha L. Isto nos dá uma ideia de omo g age num g-losango.Denimos um losango (direto ou indireto) omo sendo a união de um losango aberto om os seus vérti es. Dizemos que um losango é simples se as órbitas de ada vérti e pelaação de π1(M) não ontém nenhum ponto do interior do losango.Como feito no apítulo anterior, dizemos que uma sequên ia de losangos Lii∈I formauma adeia se, para ada i ∈ I, Li e Li+1 ompartilham de um mesmo vérti e. O omprimento da adeia é a ardinalidade de I ⊂ Z, sendo que I pode ser nito ou não.Denição 4.10. Sejam L1 e L2 dois losangos em Qφ que têm um vérti e em omum.(i) Dizemos que L1,L2 estão em posição direta se L1 ∩ L2 = x1, sendo x1 vérti e deambos (veja a Figura 4.3).

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 41PSfrag repla ements

x

y

ws+(x)

Fg(F )

L

g(L)

ws−(y)

wu+(x)

wu−(y)

Figura 4.2: A ação do automorsmo g sobre um g-losango.(ii) Dizemos que L1,L2 estão em posição indireta se L1 ∩L2 = H ∪ x1, sendo H umasemifolha na fronteira de ambos os losangos, e x1 o vérti e omum entre L1 e L2(veja a Figura 4.4).PSfrag repla ementsL1

L2

x0

x1

x2

Figura 4.3: L1 e L2 emposição direta.PSfrag repla ements

L1 L2x0

x1

x2Figura 4.4: L1 e L2 emposição indireta.Seja L1, . . . ,Ln uma adeia de losangos de vérti es x0, . . . , xn. Para ada índi e 1 ≤

i ≤ n − 1, se Li e Li+1 estão em posição direta, indi amos por Hi = xi o vérti e em omum, se Li e Li+1 estão em posição indireta indi amos por Hi a semifolha na fronteirade ambos os losangos omo na denição anterior. E om esta notação fazemos a próximadenição.Denição 4.11. Denimos o suporte de uma adeia de losangos omo sendo a união entrex0, xn, os Hi e os interiores dos losangos. Se tivermos uma adeia innita, dizemos queo suporte dessa adeia é a união entre os Hi e os interiores dos losangos.A proposição seguinte foi demonstrada por Barbot para uxo Anosov em uma varie-dade de dimensão três e se apli a no nosso aso de uma ação Anosov sem a ne essidadede adaptações.Proposição 4.12. Seja g um elemento de π1(M) que admite um g-losango não-simples.Então, nenhum g-losango é simples e todos os g-losangos estão em posição direta.

42 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressívelProva: Seja L um g-losango não-simples. Denotamos por x0 e x1 os vérti es de L. ComoL é não-simples podemos supor que existe um h ∈ π1(M) tal que h(x0) está no interiorde L. Também podemos supor, sem perda de generalidade, que

L = L++(x0) = L−−(x1)Na armação seguinte vemos que todos os g-losangos estão em posição direta.Armação: Nenhum dos abertos L+−(x0),L−+(x0),L

+−(x1) e L−+(x1) é um losango.Mostraremos por absurdo que L+−(x1) não é um losango. Os outros três asos seguemde maneira análoga.Suponhamos que L+−(x1) seja um losango, e x′0 o seu segundo vérti e (veja a Figura4.5). Como h(x0) está no interior de L, pela denição de losangos h(wu+(x0)) = wu

+(h(x0))en ontra ws−(x1) e onsequentemente en ontra ws

+(x′0). h(L) = L++(h(x0)) é um losangode vérti es h(x0) e h(x1). Pela estrutura dos losangos, se h(x1) estivesse em S−(x

′0), omoas semi-folhas ws

−(h(x1)) e wu+(h(x0)) são assintóti as e wu

+(h(x0)) ∩ ws+(x

′0) 6= ∅, e omoa folha ws(x′0) separa Qφ em duas omponentes onexas, teríamos obrigatoriamente que

ws−(h(x1))∩w

s+(x

′0) 6= ∅, o que é um absurdo, pois duas folhas estáveis não se interse tam(veja a Figura 4.5). Logo,

PSfrag repla ementsx0

x1

x′0

h(x0)

ws+(x

′0)

wu+(h(x0))

ws−(h(x1))

Figura 4.5: L e L+−(x1) em posição indireta.h(x1) ∈ S+(x

′0).De maneira análoga nós on luímos que

h(x1) ∈ U+(x1).O que é um absurdo pois S+(x′0) ∩ U+(x1) = ∅. Chegamos a este absurdo por supor que

L+−(x1) fosse um losango. E omprovamos a armação.

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 43Seja L′ um g-losango subsequente a L. Da armação anterior podemos garantir queL′ e L estão em posição direta. Podemos supor que L′ seja L++(x1) pois o outro aso éanálogo.Vejamos que h(x1) está no interior de L++(x1): seguindo om um ra io ínio pare idoao da armação anterior sabemos que ws

+(h(x0))∩wu−(x1) 6= ∅ e wu

+(h(x0))∩ws−(x1) 6= ∅.Exatamente omo antes (na armação), sendo ws

+(h(x0)) e wu−(h(x1)) assintóti as temosque wu(h(x1)) ⊂ U+(x1), ou seja, h(x1) ∈ U+(x1) e do mesmo modo h(x1) ∈ S+(x1).Logo,

h(x1) ∈ Gs(wu+(x1)) ∩ Gu(ws

+(x1)) = L++(x1).Com este último argumento mostramos que nenhum g-losango é simples. Observação 4.13. Tanto na armação anterior quanto na on lusão da prova da pro-posição anterior, podemos armar que os resultados são válidos para todos os g-losangosporque sabemos que qualquer g-losango pode ser ligado ao losango L da prova por uma adeia nita de g-losangos (pelo Teorema 3.5).4.3 Anel de BirkhoBarbot usa o on eito de anel de Birkho para um uxo Anosov em uma variedadede dimensão três. Daremos uma generalização desse on eito para uma ação Anosov deRk em Mk+2.Denição 4.14 (Anel de Birkho). Um anel de Birkho é qualquer anel mergulhado emM om interior transverso a φ ujo bordo onsiste de duas órbitas fe hadas do uxo φtvpara algum elemento Anosov v em Rk.Num anel de Birkho há duas folheações transversais de dimensão um induzidas pelasfolheações fra as, elas são tangentes ao bordo do anel e as denotaremos por f s e fu.Quando essas duas folheações não têm omponente de Reeb e só são ompa tas as folhasque onstituem o bordo, o anel é hamado de anel de Birkho elementar.Observação 4.15. Dado um anel de Birkho A ujas omponentes de bordo são θ0 e θ1, hamamos de omponente de A a qualquer sub-anel de A em que ada omponente debordo é uma folha ompa ta de f s ou de fu e ujo interior não ontém folhas ompa tasde f s nem de fu. Como as folhas de f s e fu têm holonomia hiperbóli a, existe umnúmero nito de folhas ompa tas em A. E onsequentemente, A tem um número nitode omponentes. Denotemos por A0, . . . ,An todas as omponentes de A tais que (veja aFigura 4.6):

• θ0 perten e ao bordo de A0 e θ1 perten e ao bordo de An;• A é a união dos Ai;

44 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível• Para 0 ≤ i ≤ n− 1, Ai ∩Ai+1 é uma folha ompa ta de f s ou de fu nos bordos deAi e Ai+1, e Ai ∩Aj = ∅ se |i− j| 6= 1.Denição 4.16. Se S é uma superfí ie mergulhada emM , hamamos de traço transversode S a qualquer πφ-projeção em Qφ para qualquer levantamento de S em M .Proposição 4.17. O traço transverso de um anel de Birkho é o suporte de uma adeianita de losangos. Um anel de Birkho é elementar, se e somente se, seu traço transversoé um losango. Este losango é simples.Prova: Seja A um anel de Birkho mergulhado em M e θ0, θ1 as duas órbitas periódi asdo uxo φtv, para algum v ∈ Rk, que formam o bordo de A. Ambas as folheações f s e fuinduzidas por F s e Fu em A, admitem θ0 e θ1 omo folhas ompa tas, e são transversaisfora destas duas folhas. Pela própria denição, o anel de Birkho A é elementar se, esomente se, θ0 e θ1 são as úni as folhas ompa tas de f s e fu.Vamos provar que o traço transverso de um anel de Birkho é o suporte de uma adeianita de losangos. A segunda parte da proposição segue da onstrução que será feita nestaprova.Sejam A0, . . . ,An todas as omponentes de A omo na Observação 4.15 (veja a Figura4.6). A seguir veremos que ada omponente orresponderá a um losango, todos esseslosangos formarão a adeia pro urada.

PSfrag repla ements AiFigura 4.6: As ompo-nentes do anel A.PSfrag repla ements Ai

Figura 4.7: As ompo-nentes de A.Seja A um levantamento de A em M . Este levantamento A é uma faixa transversa aφ em seu interior ujas omponentes de bordo são duas órbitas θ0 e θ1 do uxo φtv. Sejag = [θ0] elemento indivisível em π1(M) que preserva A, pois g deixa invariantes θ0 e θ1(veja a Armação (1)). Sejam f s e fu os traços de F s e Fu em A. Cada omponente Aié levantada numa omponente Ai de A (veja a Figura 4.7). Denotamos por ai e bi as omponentes de bordo de Ai, satisfazendo o seguinte:

a0 = θ0, bn = θ1 e para 0 ≤ i ≤ n− 1, bi = ai+1.

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 45Armação (1): Para ada 0 ≤ i ≤ n, ai e bi são invariantes por g.Denotemos por αi e βi os aminhos fe hados emM tais que αi e βi são as omponentesde bordo de Ai, sendo queα0 = θ0, βn = θ1 e para 0 ≤ i ≤ n− 1, βi = αi+1.Além disto, tomamos todos os aminhos αi, βi om a mesma orientação no anel A e dandoapenas uma volta. Com isto, estando todos eles no anel A, sabemos que αi é livrementehomotópi o a βj para quaisquer 0 ≤ i, j ≤ n, e pelo Teorema 1.6, g é o automorsmoasso iado à lasse de αi e ao mesmo tempo, também é o automorsmo asso iado à lassede βj, para quaisquer 0 ≤ i, j ≤ n.Se tomamos um αi levantamento de αi em ai, pela denição de automorsmo do re o-brimento temos que ai = gm(αi)|m ∈ Z. O mesmo vale para βi. E assim omprovamosa Armação (1).Sabendo que ai e bi são ambos invariantes por g e ada um está ontido em uma folhade F s ou de Fu on luímos que tal folha é invariante por g e ontém uma órbita de φ quetambém é g-invariante. Então, para ada índi e i existem xi e yi em Qφ invariantes por

g tais que:πφ(ai) ⊂ ws(xi) ou πφ(ai) ⊂ wu(xi)

πφ(bi) ⊂ ws(yi) ou πφ(bi) ⊂ wu(yi)Denotemos por f si e fu

i às restrições de f s e fu ao interior de Ai. Como o traçotransverso de A é a união dos traços transversos de suas omponentes, pre isamos apenas ara terizar os πφ(Ai). Vamos mostrar que πφ(Ai) é a união de um losango aberto devérti es xi e yi om πφ(ai) e πφ(bi). A menos de uma tro a entre as folheações F s eFu podemos distinguir quatro tipos possíveis de omponentes. Tais possibilidades sãoilustradas na Figura 4.8 om a omponente Ai e as folheações orrespondente f s

i e fui nointerior de Ai.Armação (2): Qualquer folha de f s

i en ontra ada folha de fui em um úni o ponto.Existe um aminho ci transverso às duas folheações f s

i e fui ligando ai a bi e disjunto deseus iterados por g.Cada folha de f s

i , ou de fui , é transversa ou assintóti a aos bordos de Ai sendo quefolhas de f s

i e fui podem ser ambas assintóti as a uma mesma omponente de bordo de Aimas não serão ambas transversas a uma mesma omponente de bordo. Isto nos garanteque duas folhas quaisquer de f s

i e fui sempre se interse tam, e o mesmo podemos dizer de

f si e fu

i . O fato de as folhas se interse tarem uma úni a vez é justi ado após a Armação(3). E tomando um aminho de ai a bi que interse ta ada folha de f si e fu

i no máximo

46 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível

PSfrag repla ements Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

Figura 4.8: As folheações nas omponentes do anel A e de A.uma vez, esse aminho será transverso a ambas as folheações. E assim omprovamos aArmação (2).Armação (3) A interseção de ada folha de F s (respe tivamente Fu) om Ai é nomáximo uma folha de f si (respe tivamente fu

i ).

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 47Qualquer transversal a F s interse ta ada folha de F s em no máximo um ponto. Da-das duas folhas l1, l2 quaisquer de f si , tomando uma folha f de fu

i , f interse ta l1 e l2.Sejam L1, L2 as folhas em F s tais que l1 ⊂ L1 e l2 ⊂ L2. Como f é uma transversal aF s que tem interseção om L1 e L2, nós on luímos que L1 6= L2. O aso de Fu segue demaneira análoga. Comprovando a Armação (3).Consequên ia da Armação (3): Qualquer órbita de φ distinta das que ontém θ0 eθ1 interse ta Ai em no máximo um ponto.Seja ci = πφ(ci) a projeção de ci em Qφ, que é um aminho simples de Qφ transversoa Gs e Gu, e é disjunto de todos os seus iterados por g ex eto possivelmente nos extremosse θ0 ou θ1 perten erem a ∂Ai.A existên ia de ci também mostra que xi e yi são diferentes. Como xi e yi são pontosxos de g em φ, pelo Teorema 3.5, ou eles são vérti es de um mesmo losango ou existe uma adeia nita om pelo menos dois losangos ligando xi a yi, e neste último aso existe umz, ponto xo de g em Qφ, de forma que z é um vérti e de um dos losangos da adeia e umadas folhas ws(z) ou wu(z) des one ta xi de yi e interse ta o aminho ci. Da Armação (3),tal folha, que podemos supor ws(z), interse ta πφ(Ai) em uma omponente onexa queé invariante por g, e as úni as omponentes onexas de ws(z) que têm esta propriedadesão ws

+(z) e ws−(z). Assim temos que Ai tem uma folha ompa ta de f s em seu interior,o que é uma ontradição.Sabemos então, que xi e yi são vérti es de um mesmo losango, o qual podemos supor

L++(xi) = L−−(yi).Além disto, se ai = θ0 então πφ(ai) = xi, aso ontrário πφ(ai) é uma das semifolhaswu

+(xi), ws+(xi). De maneira análoga πφ(bi) = yi se bi = θ1, ou πφ(bi) é uma das semifolhas

wu−(yi), ws

−(yi).Como ci é diferente de seus iterados por g, ex eto possivelmente nos extremos, temosuma das situações ilustradas na Figura 4.9.Seja Di a região em Ai uja fronteira é formada por ci, g(ci) e os dois segmentos emai e bi ligando os extremos de ci aos de g(ci). Di é um domínio fundamental da ação de gsobre Ai e sua projeção em Qφ é um dis o bordado pela imagem de seu bordo. Pela açãode g sobre L++(xi) = L−−(yi) ( omo visto na Observação 4.9), on luímos a seguintearmação:Armação (4): πφ(Ai) é a união do losango aberto L++(xi) = L−−(yi) de vérti es xi eyi om πφ(ai) e πφ(bi).Esta última armação nos permite on luir que o traço transverso do anelA é o suporteda adeia nita de losangos en ontrada, a interseção de duas omponentes subsequentes

48 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível

PSfrag repla ementsci

ci

ci

ci

g(ci)

g(ci)

g(ci)

g(ci)

xi

xi

xi

xi

yi

yi

yi

yi

Figura 4.9: O losango L++(xi) = L−−(yi).Ai e Ai+1 é projetada na semifolha πφ(bi) = πφ(ai+1). Isto on lui a prova da primeiraparte da proposição.Pela onstrução feita segue que o anel de Birkho é elementar se, e somente se, o seutraço transverso é um losango, que por sua vez é simples. Teorema 4.18. Todo losango simples de Qφ é o traço transverso de um anel de Birkhoelementar.Prova: Seja L0 um g-losango simples de vérti es θ0 e θ1. Podemos supor que g é indivisívelem π1(M), e seja v o elemento Anosov em Rk asso iado a g ( omo na prova da Proposição2.29). Pelo que vimos na Observação 4.9 existe um aminho c0 em L0 de extremos θ0 eθ1 sem auto-interseção e disjunto de seus iterados por g (Figura 4.10). Seja c0 um levan-tamento, via πφ, de c0 em M om x0 e x1 sendo os pontos ini ial e nal respe tivamentedo aminho c0. Sejam c1 a imagem de c0 por g, y0 = g(x0) e y1 = g(x1) os extremosde c1. Consideremos I0 e I1 os intervalos [x0, y0] e [x1, y1] em ρ0 = φtv(x0)|t ∈ R ≃ Re ρ1 = φtv(x1)|t ∈ R ≃ R. Deste modo, I0 ∪ c0 ∪ I1 ∪ c1 borda um retângulo Rmergulhado em M transverso a φ fora de I0 e I1. No interior do retângulo as folhasfra as se en ontram no máximo em um ponto. Denotamos por A0 à união dos iteradosdo retângulo R por g. O onjunto A0 é uma faixa invariante por g, bordada por ρ0 e ρ1e transversa a φ em seu interior (Figura 4.11).Sejam M o quo iente M/<g> e π : M → M a apli ação de re obrimento natural. Aação φ é levantada, via π, para a ação φ, e A0 passa ao quo iente em um anel mergulhado

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 49PSfrag repla ements

θ0

θ1

c0

g(c0)

Figura 4.10: Caminhoc0 no losango L0.

PSfrag repla ementsx0

x1

y0y1

ρ0 ρ1

c0

c1

Figura 4.11: Faixa A0em M .

Figura 4.12: Curvas de auto-interseção om ponto duplo e triplo. Figura 4.13: Eliminando as auto-interseções.A0 transverso a φ em seu interior e bordado por duas órbitas periódi as θ0 e θ1 do uxoφtv. Como g é indivisível, as restrições de π a θ0 e θ1 são injetivas. Além disto, se estasduas órbitas periódi as de φtv têm a mesma imagem por π, existe em M um mergulhoin ompressível da garrafa de Klein, o que ontraria as hipóteses tomadas desde o iní iodeste apítulo. Portanto, existe uma vizinhança U0 de ∂A0 em M tal que π restrita aU0 é um mergulho. Como nós sabemos que L0 é um losango simples, podemos armarque as imagens por π de ∂A0 e intA0 são disjuntas. Diminuindo U0 podemos supor queU0 = π(U0) e π(A0 \ U0) são disjuntos. A restrição de π a A0 é uma imersão do anel emM . Nosso objetivo é mudar dessa imersão para um mergulho injetivo. Podemos assumir

50 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressívelque as auto-interseções de π(A0) estão em posição geral, ou seja, existe uma quantidadenita de urvas dadas pelas auto-interseções, e tais urvas têm pontos duplos ou triplos,sendo que o número de pontos triplos é nito (veja a Figura 4.12).Os pontos de auto-interseção estão fora de U0. Usando as té ni as de ut and paste(para mais detalhes sobre esta té ni a veja [15) obtemos uma superfí ie A mergulhadaem M , om bordo formado por θ0 ∪ θ1, transversa a φ em seu interior e oin idindo omπ(A0) em U0 (veja a Figura 4.13). Esta superfí ie é orientável (porque é transversalmenteorientável em seu interior, já que é transversa a φ), e seu interior é transverso a ada umadas folheações fra as. Essas folheações induzem duas folheações em A sem singularidadese tangentes ao bordo, A é um anel de Birkho de bordo θ0 ∪ θ1.

PSfrag repla ementsf1

θ0

θ1

Figura 4.14: Anel A2 om ∂A2 = θ1 ∪ f1.Mostraremos que, do anel A podemos obter um anel de Birkho ujo traço transversoé L0.Seja A um levantamento de A em M ontendo ρ0. Este A é uma faixa invariante porg. Denotemos por ρ′1 a outra omponente onexa de ∂A. Como ρ′1 e ρ1 são levantamentosde θ1 podemos armar, pelo Teorema 1.5, que existe um h ∈ π1(M) tal que ρ′1 = h(ρ1).Consideremos L a imagem de A por πφ. Da Proposição 4.17 L é o suporte de uma adeianita de losangos ligando θ0 = πφ(ρ0) a θ′1 = πφ(ρ′1). Além disto, omo A e A0 oin idemnuma vizinhança de ρ0 levantada de U0, o primeiro losango da adeia que ini ia em θ0 éexatamente L0. O mesmo argumento apli ado à vizinhança de ρ′1 mostra que o últimolosango da adeia, o qual tem θ′1 = h(θ1) omo vérti e, é h(L0). Seja A1 a omponente deA que ontém θ0. O bordo de A1 é formado por θ0 e uma folha ompa ta f1, que podemossupor da folheação f s induzida por F s sobre A (lembre-se da prova da Proposição 4.17). Otraço transverso de A1 é a união do interior de L0 om θ0 e ws

−(θ1) ( omo na Armação

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 51(4) da prova da Proposição 4.17). Segue que a folha F de F s que ontém f1 é a mesmaque ontém θ1. Como f1 é transverso a φ em F , f1 e θ1 são disjuntos, e seja A2 o anelbordado em F por f1 e θ1. Como A1 não ontém nenhuma folha ompa ta de f s que nãoseja θ0 ou f1, sua interseção om A2 se reduz a f1 (veja a Figura 4.14).Deformando A1 om interior transverso às órbitas de φ podemos supor que f1 estásu ientemente próximo de θ1. Deste modo podemos obter um anel bordado por θ0 e θ1,que será um Anel de Birkho elementar ujo traço transverso é o losango L0.4.4 Toro in ompressível em M: Prova do Teorema BAgora vamos mostrar o teorema prin ipal que a seguir enun iamos novamente.Teorema B. Seja T um toro de dimensão dois in ompressível em M e suponha queexistem dois aminhos fe hados c1 e c2 em T tais que:(i) c1 e c2 não são homólogos em T ;(ii) Para i = 1, 2, existem xi0 ∈M , e v um elemento Anosov dos grupos de isotropia de

x10 e de x20 indivisível em Γx1

0e em Γx2

0tais que ci é livremente homotópi o em Mao aminho αi : I →M dado por αi(s) = φ(sv, xi0).Então T é isotópi o a um toro transverso à ação φ.Prova: Seja H o subgrupo de π1(M) orrespondente a π1(T ) = H1(T ) = Z⊕ Z. Temosa seguinte armação.Armação (1): Os laços c1 e c2 orrespondem a dois elementos distintos h1 e h2 de Hque admitem pontos xos no espaço das órbitas de φ.De fato, o aminho fe hado ci : I → T é livremente homotópi o em M ao aminho

αi : I → M dado por αi(s) = φ(sv, xi0). Isto signi a que existe uma homotopia Fi :

I × I →M omFi(s, 0) = αi(s), Fi(s, 1) = ci(s), F (0, t) = F (1, t), ∀ s, t ∈ I.Fixemos um xi0 ∈ M tal que π(xi0) = xi0. Denindo αi : I → M por αi(s) = φ(sv, xi0),

αi é um levantamento de α, om αi(0) = xi0. Seja hi o automorsmo do re obrimentoπ : M → M asso iado à lasse de α, ou seja, o automorsmo hi om hi(αi(0)) = αi(1).O nosso objetivo é mostrar que hi também é o automorsmo asso iado à lasse de ci,e portanto hi ∈ H , para isto basta veri ar que hi(ci(0)) = ci(1) para um levantamento cide ci. O que resta para fazer tal veri ação segue exatamente omo na prova o Teorema1.6, pondo o índi e i nos aminhos envolvidos e onsiderando xi0,M, M, hi, no lugar dee0, X, E, f respe tivamente.

52 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressívelEntão temos h1 e h2 elementos de H asso iados a c1 e c2 respe tivamente, e sabemosque h1 e h2 são distintos pelo fato de c1 e c2 não serem homólogos.Como o aminho αi determina uma órbita fe hada do uxo φsv que está ontida numaórbita Oi de φ, sabemos que esta órbita Oi não é uma plano, logo, é ompa ta (Proposição2.20). Pelo que vimos na prova da Proposição 2.29 existe uma órbita Oi de φ que é umlevantamento de Oi e é invariante por hi. Com isto, πφ(Oi) é um ponto xo de hi omouma apli ação no espaço das órbitas de φ. O que omprova a Armação (1).Armação (2): h1 e h2 são indivisíveis em π1(M).De fato, vejamos para h1, o aso de h2 segue de maneira análoga. Como v é indivisívelem Γx1

0podemos en ontrar v1, . . . , vk geradores do grupo de isotropia de x10, om v = v1.Consideremos gj, 1 ≤ j ≤ k, o automorsmo do re obrimento π : M → M asso iado aoelemento vj do onjunto de geradores do grupo de isotropia itado a ima, omo feito naprova da Proposição 2.29.Seja g ∈ π1(M) tal que gn = h1 para algum n ∈ Z. Para on luir que h1 é indivisívelbasta veri ar que n = ±1.O automorsmo g tem ordem innita, pois se existisse um m ∈ Z∗ om gm = id,teríamos

id = idn = (gm)n = (gn)m = hm1e isto não a onte e, pois h1 tem ordem innita.Tomando uma folha F ∈ F s invariante por h1 sabemos também da prova da Propo-sição 2.29 que o estabilizador de F, Stab(F ) é gerado por g1, . . . , gk. Sendo gn = h1 eh1(F ) = F , temos gn(F ) = F , e omo g tem ordem innita, da Proposição 3.9 segue queg(F ) = F , ou seja, g ∈ Stab(F ). Então existem n1, . . . , nk ∈ Z tais que

g = gn1

1 · · · gnk

k .Como gn = h1 e h1 = g1,gnn1

1 · · · gnnk

k = g1logo, n2 = · · · = nk = 0 e gnn1

1 = g1, podemos ver então que nn1 = 1 e sendo n e n1números inteiros, sabemos que |n| = 1, omo queríamos. E omo dissemos anteriormente,a indivisibilidade de h2 em π1(M) segue do mesmo modo. Portanto, omprovamos a Ar-mação (2).Armação (3): h1 e h2 não têm ponto xo em omum em Qφ.De fato, suponhamos que h1 e h2 têm um mesmo ponto xo no espaço das órbitasde φ, ou seja, existe uma órbita O de φ que é invariante por h1 e h2, sendo assim, setomamos a folha F de F s que ontém O, então h1(F ) = F = h2(F ), h1 e h2 perten emao estabilizador de F . Mas h1 e h2 são automorsmos asso iados a aminhos que estão

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 53denidos sobre órbitas periódi as do uxo φsv, e por isto vemos que h1 e h2 perten emao estabilizador de F relativo a v, Stabv(F ) (lebre-se da Denição 2.32), e da Proposição2.33 sabemos que Stabv(F ) é um grupo í li o innito, logo existem m,n ∈ Z e um auto-morsmo g tais que h1 = gm e h2 = gn, e temos uma ontradição om o fato de h1 e h2serem indivisíveis e c1 e c2 não serem homólogos.Armação (4): Tro ando h1 por h2 se ne essário, podemos supor que h1 xa uma folhade Gs que interse ta uma folha de Gu xada por h2.Vejamos que esta armação é verdadeira. Seja x um ponto xo de h1 em Qφ. Destemodo,h1(h2(x)) = h2(h1(x)) = h2(x),

h2(x) 6= x também é ponto xo de h1. Seja L1, . . . ,Ln a adeia minimal ( omo na De-nição 3.6) de h1-losangos ligando x a h2(x). Podemos supor, sem perda de generalidade,que L1 = L++(x). Seja x1 o outro vérti e de L1: L1 = L−−(x1).Armação (4.1): Ln não é L++(h2(x)).De fato, se n = 1, então L1 = L−−(h2(x)). Supondo que n > 1 e Ln = L++(h2(x)), omo h2 preserva orientação transversal, leva o losango L1 de vérti es x e x1 no losango Lnde vérti es h2(x1) e h2(x), om isto e sabendo que a adeia é minimal, a adeia L2, . . . ,Ln−1liga x1 a h2(x1) e também é minimal, onsequentemente a adeia L3, . . . ,Ln−2 liga x2 ah2(x2) e é minimal, e assim seguimos sempre eliminando os losangos extremos da adeiaanterior:(i) se n for ímpar hegaremos a um úni o losango de vérti es xr e h2(xr) e invariantepor h2, mas omo h2 preserva orientação transversal, se ele deixa invariante umlosango então ele deixa xo ada um dos seus vérti es, logo h2(xr) = xr o que é uma ontradição;(ii) se n for par, após o término do pro esso de eliminação dos losangos extremos das adeias teremos que h2(xn/2) = xn/2 o que é uma ontradição, pois xn/2 é ponto xode h1, e h1 não tem ponto xo em omum om h2.Isto onrma a Armação (4.1).Como Ln não é L++(h2(x)), temos que x está em U−(h2(x)) ou S−(h2(x)) (x podeestar em ambos). Além disto, omo L1 = L++(x),

h2(x) ∈ U+(x) ∩ S+(x).Deste modo:

54 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível(i) Se x está em U−(h2(x)), omo h2(x) ∈ U+(x) segue que U+(h2(x)) está ontido emU+(x) (veja a Figura 4.15), omo h2 preserva orientações transversais U+(h2(x)) =

h2(U+(x)), logoh2(U+(x)) ⊂ U+(x).(ii) Se x está em S−(h2(x)), omo h2(x) ∈ S+(x) segue que S+(h2(x)) está ontido em

S+(x) (veja a Figura 4.16), omo h2 preserva orientações transversais S+(h2(x)) =

h2(S+(x)), logoh2(S+(x)) ⊂ S+(x).

PSfrag repla ements ++

−

x

h2(x)

Figura 4.15:h2(U+(x)) ⊂ U+(x)

PSfrag repla ements++ −

x h2(x)

Figura 4.16:h2(S+(x)) ⊂ S+(x)Do Lema 4.6, no primeiro aso existe uma folha de Gs xada por h2 que tem interseção om wu(x) e no segundo aso existe uma folha de Gu xada por h2 que tem interseção om ws(x). Portanto, a Armação (4) é verdadeira.Prosseguindo om a prova do teorema, sejam x0 e y0 pontos xados por h1 e h2respe tivamente em Qφ, tais que

ws(x0) ∩ wu(y0) = p.Podemos supor que:

p = ws+(x0) ∩ w

u+(y0).Invertendo h1 ou h2 se ne essário, também podemos assumir que x0 e y0 são pontos xosatratores em ws(x0) e wu(y0).

h1(h2(x0)) = h2(h1(x0)) = h2(x0) e h2(h1(y0)) = h1(h2(y0)) = h1(y0).Portanto, sejam x′ = h2(x0) e y′ = h1(y0), pontos xos de h1 e h2 que em ws(x′) e wu(y′)respe tivamente são ontrações.ws

+(x′) ∩ wu

+(y0) = h2(p), ws+(x0) ∩ w

u+(y

′) = h1(p) ews

+(x′) ∩ wu

+(y′) = h2(h1(p)) = h1(h2(p))

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 55Estas quatro órbitas determinam uma região ompa ta K no espaço das órbitas (vejaa Figura 4.17). K é um retângulo de ladosα = ∂K ∩ ws

+(x0) α′ = ∂K ∩ ws+(x

′)

β = ∂K ∩ wu+(y0) β ′ = ∂K ∩ wu

+(y′).

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

PSfrag repla ements

x0x′

y0

y′

K

p

h1(p)

h2(p)

h1(h2(p))

α′ α

β ′

β

Figura 4.17: O ompa to K.Qualquer folha de Gu que interse ta α também interse ta α′. De fato, seja t′ umelemento de α′. Parte da semifolha wu+(t

′) está ontida em K e omo K é ompa to, doitem (i) do Teorema 1.16, wu+(t

′) tem ne essariamente que en ontrar a fronteira ∂K. Comowu(t′) entra pela omponente α′ da fronteira, a qual só interse ta uma vez, e wu

+(t′) nãotem interseção om β nem β ′, a semifolha só pode sair de K pela omponente α dafronteira. Do mesmo modo, qualquer folha de Gs que interse ta β também interse ta β ′.Seja H : α′ → α a apli ação de holonomia induzida por Gu:

H(t′) = wu(t′) ∩ α.Seja f : α → α a apli ação que asso ia t a H(h2(t)). Consideremos α0 ⊂ α o onjuntodos elementos t de α tais que wu−(t) ∩ w

s−(y0) 6= ∅. O onjunto α0 é um aberto de α f -invariante, pois ws

−(y0) é invariante por h2 e α0 é a interseção do saturado de ws−(y0)por Gu, que é um aberto, om α. As propriedades topológi as de Qφ ≃ R2 mostram que

α0 é onexo: logo, temos um intervalo não vazio de ws−(p) da forma (p, t1). Como α0 éinvariante por f e h2(wu(p)) = wu(p), segue que p e t1 são pontos xos de f . O extremo

t1 é um ponto xo atrator de f, p é um ponto xo repulsor e f não admite ponto xo em(p, t1), pois se admitisse um ponto xo t0 neste intervalo, pela própria denição de f , afolha wu(t0) seria invariante por h2, mas a úni a folha instável invariante por h2 que tem

56 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressívelinterseção om ws(y0) é wu(y0). Sendo t1 um ponto xo de f , a folha wu(t1) é invariantepor h2, e por isto ela ontém um ponto xo y1 de h2. Se y1 estivesse em wu−(t1), então y1não seria ponto xo de h2, logo y1 ∈ wu

+(t1).PSfrag repla ements

x0x′

y0

y′

t′

t1

p

y1

ws−(y0)

ws+(y0)

wu(p)

wu+(t1)wu

−(t1)

Figura 4.18: Os pontos xos p e t1 de f e o ponto xo y1 de h2.Invertendo o pro edimento mostra-se que qualquer folha de Gu que tem interseção om ws+(y1) interse ta ws

−(y0) (veja a Figura 4.18). Como K é ompa to, repetindo oargumento a ima obtém-se uma sequên ia nitay0, y1, . . . , y2k = y′de pontos xos de h2 tais que

L+−(y2i) = L−+(y2i+1)

L−−(y2i−1) = L++(y2i).A união Zy destes losangos invariantes por h2 in luindo as fronteiras instáveis obre K.Seguindo o mesmo ra io ínio para β ′ obtemos uma sequên iax0, x1, . . . , x2l = x′de pontos xos de h1 tais que

L−+(x2i) = L+−(x2i+1)

L−−(x2i−1) = L++(x2i).A união Zx destes losangos invariantes por h1 in luindo as fronteiras estáveis obre K.

4. Posição ótima de um 2-toro in ompressível 57Para todo n = (2k)q + r om 0 ≤ r < 2k denimos Ln = hq1(L++(yr)) = L++(hq1(yr))se r é par, e Ln = hq1(L

−+(yr)) se r é ímpar. Os Ln formam uma adeia bi-innita delosangos invariantes por h2. Do mesmo modo, para todo n = (2l)q + r om 0 ≤ r < 2ldenimos L′n = hq2(L

++(xr)) se r é par e L′n = hq2(L

+−(xr)) se r é ímpar.Sejam Z o suporte da adeia innita (Ln) e Z ′ o suporte da adeia innita (L′n). Temos

K um domínio fundamental da ação de h2 sobre Z e também da ação de h1 sobre Z ′.Consideremos H ′ ⊂ H o subgrupo gerado por h1 e h2. Os onjuntos Z e Z ′ são abertosH ′-invariantes e K é um domínio fundamental de (Z,H ′) e (Z ′, H ′). Assim:

Z = Z ′ = H ′ ·K.Armação (5): Qualquer elemento g de π1(M) que omute om h1 e h2 preserva o on-junto dos losangos Ln.Para omprovar esta armação vejamos que g leva um h2-losango Ln em outro h2-losango do tipo Ln. Como g e h2 omutamh2(g(yi)) = g(h2(yi)) = g(yi).Basta veri armos que g(L0) é um Ln. Já sabemos que é um h2-losango, pois g leva o

h2-losango L0 de vérti es y0, y1 no losango aberto g(L0) de vérti es g(y0), g(y1) que peloque a abamos de ver são pontos xos de h2, logo g(L0) é um h2-losango. Pela Proposição3.7, existe uma úni a adeia minimal de losangos,L0 = L0,L1, . . . ,Lr = g(L0)ligando L0 a g(L0). Vejamos que g(L0) ⊂ ∩i∈ZU+(x2i). Para isto suponhamos que não,ou seja, que existe um i0 ∈ Z tal que g(y1) ∈ U−(x2i0), logo wu(x2i0) tem interseção omalum h2-losango da adeia minimal e qualquer folha instável em U+(x2i0) su ientementepróxima de wu(x2i0) tem interseção om tal losango, mas pela onstrução feita a ima esselosango ne essariamente será um Ln e tais losangos não têm interseção om wu(x2i0).Chegamos a uma ontradição.Repetindo o mesmo argumento e onsiderando também o h1-losango L′

0 vemos que,• g(L0) ⊂ (∩i∈ZU+(x2i)) ∩ (∩i∈ZU−(x2i+1));

• g(L′0) ⊂ (∩i∈ZS+(y2i)) ∩ (∩i∈ZS−(y2i+1)).Resta veri ar que g(L0) ⊂ (∩i∈ZS+(y2i)) ∩ (∩i∈ZS−(y2i+1)). Se supormos que g(L0) ⊂

S+(y2i0+1) para algum i0 ∈ Z, omo L′0 ∩ L0 6= ∅ teremos que g(L′

0) ⊂ S+(y2i0+1) o queé uma ontradição. E de maneira análogo on luiremos que g(L0) ⊂ (∩i∈ZS+(y2i)) ∩

(∩i∈ZS−(y2i+1)). Portanto, g(L0) é um Ln, e assim omprovamos a Armação (5).Em parti ular, a Armação (5) vale para qualquer elemento de H . Portanto, Z = Z ′é H-invariante. Lembre-se que h2 é indivisível. Existe um elemento h3 de H , tal que h2 e

58 4. Posição ótima de um 2-toro in ompressívelh3 geram H . Este h3 atua sobre os pontos xos y2i permutando-os. Portanto existe umu inteiro tal que:

h3(yi) = yi+2u.Existem m,n ∈ Z tais que h1 = hm2 hn3 , pois h1 ∈ H que é gerado por h2 e h3, logohn3 = h1 h

−m2 e

hn3 (y0) = h1(h−m2 (y0)) = h1(y0) = y2k.Por outro lado,

hn3 (y0) = y2nu,e temos que u divide k. Invertendo u se ne essário podemos supor que ele é positivo. Éum divisor de k e portanto menor que k. Todos os losangos Ln (0 ≤ n ≤ 2u − 1) sãosimples: de fato, basta observar que os h2-losangos L0 e L1 estão em posição indireta, om isto, através da Proposição 4.12 on luímos que os Ln são losangos simples. PeloTeorema 4.18 podemos onstruir anéis de Birkho elementares An (0 ≤ n ≤ 2u− 1) omtraço transverso Ln. Dois anéis su essivos admitem uma órbita omum e periódi a douxo φtv que perten e a seus bordos. A união dos anéis é a imagem da imersão de umtoro om quinas. Retomando o argumento da armação da prova da Proposição 4.12mostra-se que nenhum dos An en ontra no seu interior uma omponente de bordo de outroAi. Podemos fazer a homotopia ao longo da ação φ. A isotopia da união dos An é ummergulho topológi o do toro em M , transverso a φ ex eto num número nito de órbitas,e ujo traço transverso é a união dos Ln e das semifolhas omuns à fronteira de doislosangos subsequentes. Deformamos ada An em uma vizinhança de seu bordo de modoque união dos anéis perturbados formam a imagem de um toro suave T0 mergulhado emM transverso a φ ujo traço transverso é Z = Z ′. O grupo fundamental de T0 é injetadoem π1(M) no grupo < h2, h3 >= H . É portanto homotópi o a T em M . Os traços de F se Fu em T0 são onjugados às projeções de Gs e Gu em Z/H = Z ′

/H .

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Índi e RemissivoCr-estruturalmente estável, 18g-losango abertodireto, 40indireto, 40Órbita periódi a, 23AçãoAnosov, 20Anosov de odimensão um, 21Anosov de odimensão um irredutível,21de Rk, 15folheada, 15lo almente livre, 15topologi amente transitiva, 21Anel de Birkho, 43elementar, 43Apli açãode holonomia, 12distinguida, 9Automorsmodo re obrimento, 6indivisível, 22Cadeiade losangos em M , 29de losangos em Qφ, 40minimal, 33subordinada, 11Caminho de pla as, 8Campode k-planos, 13de vetores, 13Carta trivializadora, 8Componente de um anel de Birkho, 43

Comprimento de uma adeia em M , 29Comprimento de uma adeia em Qφ, 40Conjuntoerrante, 18não-errante, 18, 19Curva integral, 13Difeomorsmo Anosov, 17Elemento Anosov, 20Espaço das folhas, 9Estabilizador, 24Fluxo, 16Anosov, 19Anosov de odimensão um, 19não-singular, 16topologi amente transitivo, 19Folha, 8periódi a, 23quase invariante, 23Folheação, 8orientável, 15por planos fe hados, 22transversalmente orientável, 15Germe, 12Grupode holonomia, 13de isotropia, 15Integrável, 15Ladonegativo de uma folha, 28positivo de uma folha, 27Losango62

ÍNDICE REMISSIVO 63em M , 29em Qφ, 40simples, 40Losangos adja entes, 29Pla as, 8Ponto não-errante, 19Posiçãodireta, 40indireta, 41Saturado, 9Seção transversal, 10Semifolha positiva, 28Sub one regular, 20Suporte de uma adeia de losangos, 41Traço transverso, 44Vérti e, 40Variedadein ompressível, 22