1

1

KRIGAGEM UNIVERSAL (Metodologia geoestatística para dados não estacionários)

Para a obtenção de um variograma é suposto que a variável regionalizada tenha um comportamento fracamente estacionário, onde os valores esperados, assim como sua covariância espacial, sejam os mesmos por uma determinada área.

Assume-se, desse modo, que os valores dentro da área de interesse não apresentem tendência (trend ou drift) que possam afetar os resultados.

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3

O variograma é utilizado para calcular os valores de variância, para uma dada distância, os quais são necessários para a organização do sistema de equações da krigagem.

4

2

Efeito pepita puro. Não há covariância espacial entre os valores.

A Geoestatística não se aplica

5

Variograma indica tendência nos valores

6

A variável regionalizada não é estacionária mas apresentam uma tendência e seus resíduos contém a hipótese intrínseca.

Uma variável regionalizada não estacionária pode ser considerada como constituída por dois componentes: o trend que consiste no valor médio ou esperado dessa variável dentro de uma certa vizinhança e que varia sistematicamente, e o resíduo que é a diferença entre os valores reais e o trend.

Se o trend for removido os resíduos poderiam ser estacionários e a krigagem poderia ser aplicada. 7 8

3

Krigagem universal Krigagem dos resíduos

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•Krigagem Universal •Define-se a tendência em função das coordenadas dos pontos de controle, adotando-se geralmente polinômios de baixo grau, ou seja, de primeira ou de segunda ordem. •Se xi e yi forem as coordenadas dos pontos de controle de uma certa vizinhança estabelecida pela análise variográfica, a tendência T em um certo ponto P desconhecido será: Tp1 = a1xi + a2yi, para uma tendência de 1ª ordem Tp2 = a1xi + a2yi + a3xi + a4xiyi + a5yi , para uma tendência de 2ª ordem •Os desconhecidos ponderadores λs, assim como o coeficiente de Lagrange () e os coeficientes a's, são encontrados pela solução de um sistema de equações lineares cujo resultado fornece o melhor estimador e a mínima variância associada.

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Sendo g(xi,xj) variâncias entre pontos estimadores; g(xi,x0) variâncias entre o ponto i estimador e o ponto a ser estimado; xi e yi as coordenadas dos pontos

A estimativa pontual (Z) em zi, na presença de tendência de grau 1 dos dados, requer para sua solução um conjunto de equações normais simultâneas para a determinação dos i ponderadores; do multiplicador de Lagrange, , introduzido para equilibrar a restrição no sistema; e dos coeficientes i da tendência.

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2

1

2

1

0,

0,2

0,1

21

21

,,1,

22,22,21,2

11,12,11,1

1

)(

)(

)(

000

000

000111

1)()()(

1)()()(

1)()()(

][

g

g

g

ggg

ggg

ggg

n

p

p

n

n

n

nnnnnnn

n

n

y

x

xx

xx

xx

yyy

xxx

yxxxxxxx

yxxxxxxx

yxxxxxxx

Ku

[] = [A]-1[B] 12

4

13

Existem críticas com relação à aplicação da Krigagem Universal, pois embora seja matematicamente correta, surgem dificuldades para separar o fenômeno em duas componentes, ou seja, uma tendência determinística e uma flutuação casual baseada apenas na diferença entre distâncias Opção, então, é pela Krigagem dos Resíduos.

Krigagem dos Resíduos: a) estimação linear do trend e sua remoção; b) krigagem dos resíduos estacionários para a obtenção das estimativas necessárias; c) resíduos estimados são combinados com o trend para a obtenção da estimação da superfície real.

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15

• Existem algumas diferenças entre a Krigagem Universal e a Krigagem dos Resíduos.

• A KU apresenta estimativas tanto referente à tendência como aos resíduos ao mesmo tempo. Isso significa que se esta ajustando a tendência cada vez que a krigagem é efetuada num ponto e não ajustando uma superfície global ao conjunto de dados.

• A outra diferença é que a variância da krigagem universal inclui tanto a estimativa devida à tendência como aquela resultante dos resíduos.

• Por outro lado, a krigagem dos resíduos, com posterior correção pela adição da tendência, assume que não haveria erro nessa operação.

A Krigagem Ordinária é um caso especial quando não ocorre uma mudança constante na tendência.

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Exemplo Seja uma situação, apresentada por Davis (1986:394-402), em que se quer estimar a cota altimétrica de um determinado ponto “p” do nível estático de um aqüífero a partir de dados obtidos em 3 poços. Preliminarmente, supor que essa variável não apresenta deriva e desse modo o método a ser utilizado é o da krigagem pontual. A análise estrutural, previamente feita, produziu um semivariograma do tipo linear com uma inclinação de 4.0m/km dentro de uma vizinhança de 20 km

5

4

3

2

1

1

0

0 2 3 4 5 6 7

1

2

3

120

142

115

p +

5

17

As coordenadas espaciais dos poços são as seguintes:

Poços Xi Yi Zi

1 3,0 4,0 120

2 6,3 2,4 115

3 2,0 1,3 142

p 3,0 3,0 ?

Dispondo esses valores num sistema de equações normais com 4 incógnitas e resolvendo-o para os i e , obtém-se os valores: 1 = 0,595; 2 = 0,097; 3 = 0,307; = -0,730 A cota do aqüífero no ponto "p" é: Z(p)= 0,595(120)+0,097(103)+0,307(142) = 125,1m O desvio padrão associado a tal estimativa é: Sk = 2,3 m Assumindo uma distribuição gaussiana para esses dados, pode-se supor que o valor estimado é da ordem de 125,1 4,6 m, com uma chance de erro de 5%.

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Em seguida, uma outra situação na qual a hipótese é que os dados apresentam uma tendência e, portanto, o método a ser utilizado é o da krigagem universal; além disso, neste caso, para a determinação do mesmo ponto anterior são adicionados mais dois valores obtidos a partir dos poços 4 e 5:

Poços Xi Yi Zi

4 3,8 2,4 103

5 1,0 3,0 148

5

4

3

2

1

1

0

0 2 3 4 5 6 7

1

2

3

120

142

115

p +

5

4

148

103

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Deslocando a origem do sistema para o ponto a ser estimado e dispondo esses valores em matrizes para a solução dos i e dos i:

1 = 0,412; 2 = -0,014; 3 = 0,093; 4 = 0,413; 5 = 0,096 = -0,725; 1 = 0,066 2 = 0,023 O valor estimado em p é: Z(p)=0,412(120)-0,014(103)+0,093(142)+0,413(115)+0,096(148)=122,90m Sk = 2,85m 20

• A diferença entre o valor encontrado por KU, da ordem de 122,9m, e o obtido por KO, 125,3m, não é muito grande e isso é devido ao arranjo espacial dos poços em relação a “p”, o qual localiza-se numa posição interna aos pontos conhecidos de controle.

• A aplicação da krigagem universal torna-se evidente, porém, quando é necessário que a estimativa deva ser feita, por extrapolação, em uma situação externa e distante dos pontos de controle.

• No presente caso, o nível estático mergulha de oeste para leste, caindo por volta de 40m entre os poços 2 e 3 e se a superfície mantiver essa tendência, ou deriva, é de se esperar valores mais altos que 142m a oeste de "3" e valores menores que 103 a leste de "2".

• Seja, portanto, a estimativa de um valor situado na origem do sistema de coordenadas, isto é, z(0,0) .

Nesta situação obtém-se, por krigagem pontual: 1 = -0,122; 2 = 0,011; 3 = 0,752; 4 = -0,031; 5 = 0,389; = 7,911 Z(0,0) = -0,122(120)+0,011(103)+0,752(142)-0,031(115)+0,389(148) = 147m Sk

2 = 17,31m2 ; Sk = 4,16m

6

21

Assumindo, em seguida, uma tendência de 1º grau, os coeficientes i, e i encontrados pela krigagem universal são: 1 = -0,5594; 2 = -0,3020; 3 = 1,3133; 4 = 0,1451; 5 = 0,4030 = 26,3832; 1 = -1,7940; 2 = -4,1795 Z(0,0) = 164,6m Sk

2 = 26,8m; Sk = 5,17m Neste caso as diferenças obtidas segundo os dois métodos é bem maior (147,4 e 164,6), pois para a estimativa foi levado em consideração a tendência do mergulho da superfície dentro dos pontos de controle, a qual foi projetada para o ponto z(0,0). Também o erro associado a tal estimativa é maior, pois o valor encontrado incorpora tanto a incerteza da estimativa como a própria estimativa da tendência.

Exemplo: 327 poços provenientes do aqüífero “High Plains”

no Estado norte-americano do Kansas.

Aqüífero constituído por areias aluviais e eólicas associadas a depósitos de preenchimento de vales de uma drenagem que se dirige de oeste para leste a partir das Montanhas Rochosas.

Nesses poços foram obtidas as coordenadas X e Y (milhas) e a variável WTE (water table elevation)/cota do nível piezométrico (pés)

(Olea, R.A. (1999) – Geostatistics for Engineers and Earth Scientists: Kluwer Academic Publishers)

22

23

Cotas do nível piezométrico

Variograma indicando tendência

24

7

20 40 60 80 100 120 140

160

180

200

Superfície de tendência linear

25

20 40 60 80 100 120 140

160

180

200

-240

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Resíduos positivos e negativos

26

Histogramas

27

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Distância h

0

500

1000

1500

2000

2500

Va

rio

gra

ma

Direction: 0.0 Tolerance: 90.0Resíduos

Variograma dos resíduos

28

8

Variograma modelado

29

Mapa dos resíduos obtido pela krigagem ordinária

20 40 60 80 100 120 140

160

180

200

-24

0

-22

0

-20

0

-18

0

-16

0

-14

0

-12

0

-10

0

-80

-60

-40

-20

020

40

60

80

10

0

30

Mapa dos desvios padrão da krigagem ordinária dos resíduos

20 40 60 80 100 120 140

160

180

200

04812

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

31

Estes resultados dizem respeito aos valores residuais, havendo necessidade de uma correção.

Isso pode ser feito acrescentando ao mapa de krigagem o mapa de tendência linear anteriormente obtido.

Para a obtenção desse mapa corrigido utilizar o SURFER.

Deve-se entrar em Grid e, em seguida, em Math e atribuir ao input grid file A o arquivo que contém o mapa com os valores krigados e atribuir ao input grid file B o arquivo que contém o mapa de tendência.

Para a função C = f(A, B) estabelecer C = A + B, que origina o arquivo com o mapa corrigido.

As dimensões dos arquivos A e B devem ser exatamente as mesmas.

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9

Mapa da configuração do nível piezométrico obtido pela krigagem ordinária, após correção

20 40 60 80 100 120 140

160

180

200

20

00

21

00

22

00

23

00

24

00

25

00

26

00

27

00

28

00

29

00

30

00

31

00

32

00

33

00

34

00

35

00

36

00

37

00

38

00

39

00

33

Indício de tendência nos dados

SURFER

34

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Distancia h

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

200000

220000

V a

r i o

g r a

m a

Direction: 0.0 Tolerance: 90.0 WTE

Krigagem universal

Tendência linear

35

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Distancia h

0

500

1000

1500

2000

2500

V a

r i o

g r a

m a

Direction: 0.0 Tolerance: 90.0 WTE

Mapa: valores estimados por krigagem universal

36

10

Desvios-padrão da krigagem universal

37 38

EXERCÍCIO 04: Regressão polinomial Com o auxílio do SURFER© aplicar o algoritmo Polynomial Regression/Regressão polinomial aos dados do Exercício 01. Calcular superfície de tendência linear e respectivo mapa de resíduos para os tres metais pesados (cádmio, cobre, chumbo). Os mapas de resíduos deverão ser obtidos pelo algoritmos Inverse Distance to a Power/Inverso do Quadrado da Distância e Natural Neighbor/Vizinho Natural. Verificar as zonas de resíduos positivos de cada elemento e comparar com os respectivos mapas de localização das amostras, com valores proporcionais às magnitudes, obtidos no exercício 01.