1. a) (1,5 ponto) Esboce a imagem da curva "(: IR ~ IR2 dada por

A"((t) = (sen4t + 2cos2t - 2, sen2 t - 1).

b) (1,5 ponto) Considere F(x,y) = 10~2 - ;Y. Determine o domínio de F ex +y

esboce as curvas de nível dos níveis c = O,c = 1 e c = 10.

Q)Y

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X -=: ~'-1-t + 2.(~j) ::: ('1+.1J'Z-'t..y -+J') = 'f~ 1

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1. a) (1,5 ponto) Esboce a imagem da curva 'Y: JR-* JR2 dada por b

10y2 - 2xb) (1,5 ponto) Considere F(x, y) = 2 2' Determine o domínio de F ex +y

esboce as curvas de nível dos níveis c = O, c = 1 e c = 10.

q')Y = lOS?'\:-1 (-i S~ÇO)

X = cos.4l -+ 2. (1-WS2t) -5 :: (~

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2. a) (1,5 ponto) Seja f : [0,21f] -+ IR2 a curva dada por fet)= (x(t), sen t, 1+cos t).

2Sabend.o que a imagem de f está contida na superfície de equação (Z-1)2-~ = x, Âdetermme x(t) e a encontre uma equação para a reta tangente a r em r(1f/3).

b) Seja S a superfície de equação _2x2+ (y

_ 1)2+ z2 = 1.

b 1) (1,0 ponto) Estude a intersecção de S com cada plano x = k e com o planoy = 1. Esboce S.

b2) (1,5 ponto) Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano2x + y = 2.

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2. a) (1,5 ponto) Seja r: [O,21fJ~ R2 a c d.

Sabendo u . ,urva adaporr(t)= (sent,y{t),l+cost).

det.

q e

(a)

Imagem de r esta co

.

ntida na superfície de equação (z-1)2- x2 _ermme y t e a encontre uma e u - 9 - y,

q açao para a reta tangente a r em r(1f/6).

b) Seja S a superfície de equação (x -1 )2 _ 2 2 2 _Y +z -1.

1>1)(1,0 ponto) Estude a intersecção de S com dx = 1. Esboce S.

ca a plano y = k e com o plano

b2) (1,5 ponto) Encontre uma par t' - .2y + x = 2.

ame nzaçao para a mtersecção de S com o plano

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8

-

-A-3. Calcule ou mostre que nao existe.

a) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)

x3

x4 + y2sen(x2 + y2)

b) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)

ex2y − 1

y3

a) lim(x,y)→(0,0)

x3

x4 + y2sen(x2 + y2)

= lim(x,y)→(0,0)

x3(x2 + y2)

x4 + y2sen(x2 + y2)

(x2 + y2)

= lim(x,y)→(0,0)

x5 + x3y2

x4 + y2sen(x2 + y2)

(x2 + y2)

= lim(x,y)→(0,0)

( →0︷︸︸︷x ·

limitado︷ ︸︸ ︷x4

x4 + y2+

→0︷︸︸︷x3 ·

limitado︷ ︸︸ ︷y2

x4 + y2

)sen(x2 + y2)

(x2 + y2)

= (0 + 0) · 1 = 0,

pois lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)

(x2 + y2)= lim

u→0+

senu

u= 1.

b) Seja g(x, y) =ex

2y − 1

y3. Por um lado

limt→0

g(0, t) = limt→0

0

t3= lim

t→00 = 0.

Por outro

limt→0

g(t, t) = limt→0

et3 − 1

t3= lim

u→0

eu − 1

u= 1.

Logo, tal limite nao existe.

-B-3. Calcule ou mostre que nao existe.

a) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y4sen(x2 + y2)

b) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)

exy2 − 1

x3

a) lim(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y4sen(x2 + y2)

= lim(x,y)→(0,0)

y3(x2 + y2)

x2 + y4sen(x2 + y2)

(x2 + y2)

= lim(x,y)→(0,0)

y3x2 + y5

x2 + y4sen(x2 + y2)

(x2 + y2)

= lim(x,y)→(0,0)

( →0︷︸︸︷y3 ·

limitado︷ ︸︸ ︷x2

x2 + y4+

→0︷︸︸︷y ·

limitado︷ ︸︸ ︷y4

x2 + y4

)sen(x2 + y2)

(x2 + y2)

= (0 + 0) · 1 = 0,

pois lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)

(x2 + y2)= lim

u→0+

senu

u= 1.

b) Seja g(x, y) =exy

2 − 1

x3. Por um lado

limt→0

g(t, 0) = limt→0

0

t3= lim

t→00 = 0.

Por outro

limt→0

g(t, t) = limt→0

et3 − 1

t3= lim

u→0

eu − 1

u= 1.

Logo, tal limite nao existe.