Probabilidade I

Lista 5 - Variveis Aleatrias Discretas

Exerccio 1. Das variveis abaixo descritas, decida quais so binomiais, e para essas d a funo de proba-

bilidade. Quando julgar que a varivel no binomial, aponte as razes de sua concluso.

a) De uma urna com dez bolas brancas e vinte pretas, vamos extrair, com reposio, cinco bolas. X onmero de bolas brancas nas cinco extraes.

b) Refaa o problema anterior, mas dessa vez as cinco extraes so sem reposio.

c) Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna. Suponha que Xseja o nmero de bolas brancas obtidas no nal.

d) Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um habitante de cada

uma delas e classicando-o em pr ou contra um certo projeto federal. Suponha de X seja o nmerode indivduos contra o projeto no nal da pesquisa.

e) Em uma indstria existem 100 mquinas que fabricam determinada pea. Cada pea classicada

como boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante de tempo e vericamos uma pea de cada

uma das mquinas. Suponha que X seja o nmero de peas defeituosas.

Exerccio 2. Uma moeda lanada quatro vezes. Seja Y o nmero de caras obtidas. (a) Considerandoque a moeda seja honesta, determine a distribuio de probabilidade de Y . (b) Considerando que a moedaseja viciada, com probabilidade de dar cara igual a p, 0 < p < 1, p 6= 1/2, determine a distribuio deprobabilidade de Y . (c) Generalize o item (b) para n lanamentos da moeda. Respostas: (a) P (Y = y) =(4y

)(1/2)y(1/2)4y, y = 0, 1, 2, 3, 4 (b) P (Y = y) =

(4y

)py(1 p)4y, y = 0, 1, 2, 3, 4 (c) P (Y = y) =(

ny

)py(1 p)ny, y = 0, 1, 2, . . . , n.Exerccio 3. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com pro-

babilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por

R$50.000,00 (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valortotal de vendas dirias desse vendedor, escreva a funo de probabilidade de Y e calcule o valor total esperadode vendas dirias. Respostas: P (Y = 0) = 252/300, P (Y = 50.000) = 46/300, P (Y = 100.000) = 2/300 eE(Y ) = 8333, 33.

Exerccio 4. O tempo T , em minutos, necessrio para um operrio processar certa pea uma v.a. com aseguinte distribuio de probabilidade:

t 2 3 4 5 6 7

p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1

(a) Calcule o tempo mdio de processamento. (b) Para cada pea processada, o operrio ganha um

xo de R$2,00, mas se ele processa a pea em menos de seis minutos, ganha R$0,50 em cada minuto

poupado. Encontre a distribuio, a mdia e a varincia da v.a. G = quantia ganha por pea. Respostas: (a)E(T ) = 4, 6 (b) P (G = 2) = 0, 3, P (G = 2, 5) = 0, 2, P (G = 3) = 0, 3, P (G = 3, 5) = 0, 1, P (G = 4) = 0, 1,E(G) = 2, 75 e V ar(G) = 0, 4125.

Exerccio 5. Num teste do tipo certo/errado, com 50 questes, qual a probabilidade de que um aluno acerte

80% das questes, supondo que ele as responda ao acaso? E se forem cinco alternativas em cada questo?

Respostas: 9 106 e 1, 21 1019.

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Exerccio 6. O nmero de petroleiros que chegam a uma renaria em cada dia ocorre segundo uma distri-

buio de Poisson, com = 2. As atuais instalaes podem atender, no mximo, a trs petroleiros por dia.Se mais de trs aportarem num dia, o excesso enviado a outro porto. (a) Em um dia, qual a probabilidade

de se enviar petroleiros para outro porto? (b) De quanto devero ser aumentadas as instalaes para permitir

atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? (c) Qual o nmero mdio de petroleiros

que chegam por dia? Respostas: (a) 0,1428 (b) 2 navios (c) 2 navios.

Exerccio 7. Determinado tipo de parafuso vendido em caixas com 1000 peas. uma caracterstica da

fabricao produzir 10% com defeito. Normalmente, cada caixa vendida por R$13,50. Um comprador faz a

seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra com reposio de 20 peas; se a amostra no tiver

parafusos defeituosos, ele paga R$20,00; um ou dois defeituosos, ele paga R$10,00; trs ou mais defeituosos,

ele paga R$8,00. Qual alternativa a mais vantajosa para o fabricante? Justique. Resposta: Vender a

caixa a R$13,50.

Exerccio 8. Uma indstria fabrica peas, das quais 1/5 so defeituosas. Dois compradores A e B classi-

caram as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando R$1,20 e R$0,80 respectivamente do seguinte

modo:

Comprador A: retira uma amostra com reposio de cinco peas; se encontrar mais que uma defei-

tuosa, classica como II.

Comprador B: retira uma amostra com reposio de dez peas; se encontrar mais que duas defeituosas,

classica como II.

Em mdia, qual comprador oferece maior lucro? Resposta: O comprador A.

Exerccio 9. Uma v.a. X tem a seguinte funo de distribuio:

F (x) =

0, x < 1

0, 1, 1 x < 20, 3, 2 x < 30, 7, 3 x < 40, 9, 4 x < 51, x 5(a) Esboce o seu grco (b) Calcule o seu valor mdio e sua varincia (c) Calcule a sua moda e a sua

mediana.

Exerccio 10. Sabe-se que determinada moeda apresenta cara trs vezes mais frequentemente que coroa. Essa

moeda jogada trs vezes. Seja X o nmero de caras que aparece. Estabelea a distribuio de probabilidadede X e tambm a funo de distribuio. Faa um esboo do grco de ambas. Resposta: P (X = k) =(3k

)(3/4)k(1/4)3k, k = 0, 1, 2, 3.

Exerccio 11. De um lote que contm 25 peas, das quais 5 so defeituosas, so escolhidas 4 ao acaso.

Seja X o nmero de peas defeituosas encontradas. Estabelea a distribuio de probabilidade de X, quando(a) as peas forem escolhidas com reposio (b) as peas forem escolhidas sem reposio. Respostas: (a)

P (X = k) =(4k

)(1/5)k(4/5)4k, k = 0, 1, 2, 3, 4 (b) P (X = k) = (

5k)(

204k)

(254 ), k = 0, 1, 2, 3, 4.

Exerccio 12. Considere uma v.a. X com funo de probabilidade P (X = j) = (1a)aj, j = 0, 1, 2, . . . (a)Para que valores de a este modelo tem sentido? (b) Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e t,P (X > s+ t|X > s) = P (X t). Resposta: (a) 0 < a < 1.

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Exerccio 13. Ao operar determinada mquina, existe alguma probabilidade de que o operador da m-

quina cometa um erro. Pode-se admitir, razoavelmente, que o operador aprenda, no sentido de que de-

cresa a probabilidade de cometer um erro, se ele usar repetidamente a mquina. Suponha que o ope-

rador faa n tentativas e que as n repeties sejam independentes. Suponhamos, especicamente, queP (Um erro ser cometido na i-sima repetio) = 11+i , i = 1, 2, . . . , n. Admitamos que se pretendam 4 tenta-tivas e denamos a v.a. X como o nmero de operaes da mquina, executadas sem erro. (a) A v.a. X binomial? Justique (b) Calcule P (X = 3). Resposta: 5/12.

Exerccio 14. Suponha que a v.a X assuma os valores 1, 2, 3, . . . e que P (X = k) = (1)k1, 0 < < 1.(a) Determine a constante . (b) Ache a moda desta distribuio. Respostas: (a) = (b) k = 1.

Exerccio 15. Uma mquina impressora tem uma probabilidade constante de 0,05 de entrar em pane, em um

dia qualquer. Se a mquina no apresentar panes durante a semana (5 dias), um lucro de R$1.000,00 ser

obtido. Se 1 ou 2 panes ocorrerem, um lucro de R$ 200,00 ser alcanado. Se 3 ou mais panes ocorrerem,

um lucro de -R$500,00 ser obtido. Supomos tambm, que se a mquina entrar em pane em qualquer dia,

ela permanecer parada durante o resto do dia. Calcule o lucro mdio que essa impressora proporciona.

Exerccio 16. Suponha que tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p, 0 < p < 1,sejam realizadas at que ocorra um sucesso. Se X o nmero de tentativas necessrias para que isso ocorra,dizemos que X uma v.a. geomtrica de parmetro p e usaremos a notao X Geo(p). (a) Mostreque P (X = n) = (1 p)n1p, n = 1, 2, . . . (b) Mostre que E(X) = 1/p (c) Mostre que V ar(X) = 1p

p2.

Exerccio 17. Uma urna contm N bolas brancas e M bolas pretas. As bolas so selecionadas aleatoriamente,

uma de cada vez, com reposio, at que uma bola preta seja escolhida. Qual a probabilidade de que sejam

necessrias (a) exatamente k retiradas? (b) pelo menos k retiradas?

Exerccio 18 (Desao 1). Seja X Bin(n, p). Que valor de p maximiza P (X = k), k = 1, 2, . . . , n? Este um exemplo de mtodo estatstico usado para estimar p quando n conhecido e X assume o valor k. Este

mtodo conhecido como mtodo de estimao por mxima verossimilhana.

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