Laboratório de Física 1. Considerações iniciais

1

Prof. Marcos Roberto Rossini

Laboratório de Física 1. Considerações iniciais Galileu é conhecido como o pai da Física Experimental. Este grande cientista foi o primeiro a questionar paradigmas e verificar EXPERIMENTALMENTE sua veracidade. Assim, Galileu conseguiu derrubar de intocáveis pedestais alguns conceitos científicos aceitos pela sociedade científica. Eu destaco, particularmente, a experiência que derrubou a crença de que corpos mais pesados caem primeiro.

Com este espírito, nasce uma nova ciência. Hoje, ninguém que se diga cientista pode

ser capaz de fazer ciência sem aceitar a validação da experiência. O laboratório deve ser o elemento que elimina as falsas teorias e mostra as limitações de outras. Esta nova ciência sofreu um enorme desenvolvimento no final do século XIX, tornando-se muito mais sofisticada, exigindo técnicas mais apuradas de medições e análise de dados obtidos.

O Positivismo, conceito introduzido por Augusto Conte (1798-1857), influenciou

fortemente a metodologia científica, e ainda hoje permeia o pensamento de muitos

pesquisadores. Em essência, segundo este pensamento, a ciência adquire um aspecto bastante pragmático: a experiência permite que uma tese seja provada ou reprovada. Hoje concordamos que a ciência pode reprovar uma tese, mas não pode comprová-la.

Há diversas questões filosóficas envolvendo o problema. Em primeiro lugar, a ciência lida

com alguns casos e pretende generalizar suas conclusões para todo o universo. Quando Newton propõe a Lei da Gravitação Universal, ele não analisou todo o universo, mas apenas

uma porção do sistema solar. A partir desta observação e posterior análise, ele formulou a Lei da Gravitação Universal, que se propõe válida para todos os corpos do universo. Outro problema intrínseco está no fato da ciência crer que uma lei validada ontem será válida amanhã e também no futuro... Se você tiver maior interesse sobre o tema, leia o belíssimo livro “Filosofia da Ciência, introdução ao jogo e suas regras”, do professor Rubens Alves (Editora Brasiliense).

O processo de medição em si mesmo é outro elemento que merece muita atenção quando estamos no laboratório. Oras, se medimos é porque não conhecemos o valor verdadeiro da grandeza. Qualquer instrumento de medição está limitado a uma determinada precisão, isto significa dizer que nunca saberemos qual é o valor verdadeiro da grandeza medida, caso ele exista. Além disso, o erro da medida, que é a diferença entre o valor verdadeiro e o valor medido, também é desconhecido!

Sob esta óptica iniciaremos o nosso trabalho. Paulatinamente iremos apresentar os fundamentos estatísticos para que possamos tratar de modo adequado os dados obtidos no Laboratório de Física. Falaremos sobre as medidas, sobre os erros e os desvios associados. Depois estudaremos como estes desvios propagam-se durante os cálculos, e finalmente, como tratar estatisticamente estes dados para apresentarmos um resultado coerente.

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Cornélio Procópio


2


2. Algarismos significativos (AS) e precisão.

Para que você compreenda o que são os algarismos significativos, iremos começar com algo

bastante simples: a medição do comprimento de um palito de fósforo em miniatura. Usemos a escala da figura 2 para apresentarmos as nossas medidas.

Figura 2: Medida do comprimento de um palito com uma régua graduada em centímetros.

Com a escala da figura 2 vamos apresentar cinco medidas possíveis para o comprimento (L) do palito e analisá-las: L1 = 1,35 cm; L2 = 1,3 cm;

L3 = 1,30 cm L4 = 1,4 cm; L5 = 1,7 cm. Qual destas medidas está correta? Qual apresenta algarismos significativos? Comecemos com L1: está errada porque o instrumento de medida não garante precisão de milímetros (0,1 cm), muito menos de décimos de milímetros (0,01 cm). Então, 0,3 cm é um valor duvidoso, mas pode ser estimado por um ser humano, mas 0,05 cm não pode ser estimado com a escala da figura 2. O primeiro algarismo duvidoso é considerado um algarismo significativo, mas o segundo e os demais duvidosos não são significativos e por isto não devem aparecer na leitura. A segunda leitura, L2, está correta. Apresenta apenas um algarismo duvidoso, mas a terceira está errada. A quarta está correta. A quinta leitura, embora apresente apenas um

algarismo duvidoso, foi feita por alguém que esteja distraído ou que precise de óculos. Veja como seria diferente se nós empregássemos um instrumento de medida mais preciso, representado na figura 3.

0 1 cm 2 cm0 1 cm 2 cm

0 1 cm0 1 cm

3


Figura 3: Medida do comprimento de um palito com uma régua graduada em milímetros. Com a escala da figura 3, décimos de centímetro (ou milímetros) não são mais algarismos

duvidosos. Consequentemente, centésimos de centímetros, ou décimos de milímetros (0,01 cm = 0,1mm) são os primeiros algarismos duvidosos, e por isto passam a ser significativos e devem ser escritos na medida. Com esta escala poderíamos dizer que o comprimento do palito é L6 = 1,37cm, mas 1,38 também seria uma boa leitura. Temos aqui, na leitura L7 = 1,37cm, três algarismos significativos, sendo dois corretos (1 e 3) e um duvidoso (7). Anteriormente, na leitura L2 = 1,3cm, havia apenas dois algarismos significativos, apenas um correto (algarismos 1) e um duvidoso (algarismo 3). Portanto, os algarismos significativos são

todos os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso. A leitura correta do instrumento de medida revelará a precisão do instrumento. Será o

instrumento de medida quem definirá quais são os algarismos significativos. Para finalizar, vamos assumir que se não soubermos qual é a incerteza da medida, assumiremos como sendo igual a metade do menor intervalo de medida do instrumento. No caso do instrumento da figura 1 a incerteza será 0,5cm e no instrumento da figura 2 será 0,05cm, de modo que

poderíamos escrever L4 = (1,4 0,5) cm,

e para o instrumento da figura3:

L7 = (1,37 0,05) cm.

Chamamos a sua atenção para ainda mais algumas considerações acerca dos “AS”. Zero a

direita é algarismo significativo, mas zero a esquerda não é algarismo significativo. Observe que no exemplo abaixo todas as medidas foram escritas com três AS:

147m = 0,147km,

2,00 min = 120s

De modo análogo, potência de base 10 também não é AS:

147m = 1,47.102m = 1,47.105mm = 1,47.10-1km,

120s = 1,20.102s = 1,20.105ms.

Em qualquer caso, o número de algarismos significativos deve ser o mesmo porque trata do

mesmo instrumento de medida. Apenas estamos mudando o modo de escrever o número. AS não é a mesma coisa que casa decimal. Observe que a leitura 1000 litros significa um volume entre 995L e 1005L, considerando, a priori, um erro de 5 litros, porque se a leitura é correta, em 1000 litros, temos quatro AS, sendo o último zero um algarismo duvidoso, de maneira que a menor divisão da escala de medidas é decalitros (10 litros), e a metade desta divisão é 5 litros.

4


2. Erros e incertezas, exatidão e precisão.

Uma experiência pode ter como enfoque apenas o aspecto conceitual, como, por

exemplo, ilustrar o princípio de Bernoulli: sopre entre duas folhas de papel e observe que elas não se afastam, mas se aproximam. Sem cálculo algum. Mas, outras práticas estarão relacionadas com medição e cálculos. Então vamo-nos deter por alguns instantes e analisar estes procedimentos e os erros envolvidos.

Já que estamos falando sobre medir, é conveniente perguntarmo-nos “o que é medição?” Medição, essencialmente é o ato de comparar uma grandeza física com um valor de referência,

denominado unidade. Se você usar os seus pés para a medição do comprimento de uma sala, poderá dizer que o comprimento é de 20 pés, mas deverá deixar claro que a unidade “pés”, neste caso, refere-se ao comprimento dos seus pés. Isto pode gerar um problema, porque o comprimento do seu pé provavelmente não é igual ao comprimento do pé da outra pessoa. Por isto é que nós desenvolvemos padrões de medições universalmente aceitas, as quais denominamos unidades do sistema internacional.

Antes de prosseguirmos, vamos adotar a sugestão do professor Vuolo1 quanto a

terminologia:

“ Medição ( Measurement) A palavra “medição” é a recomendada na versão brasileira do VIM, aqui chamada de VIM-BR

[10]. Esta é a palavra correta para se referir ao ato de medir",conforme dicionário. A palavra “medida” é extensivamente usada com o sentido de “medição". Entretanto, isto deveria ser evitado porque não é muito correto e também por que “medida” tem vários outros significados, tais como em o desvio padrão uma medida (measure) de “dispersão” ou “a altura já foi medida” ou ainda “a última medida ( resultado ) é a melhor.

Acurácia ou exatidão ( accuracy )

A acurácia ( ou exatidão ) indica a qualidade do resultado da medição no que se refere a incerteza final. A tradução recomendada no VIM-BR é “exatidão". Entretanto,os adjetivos correspondentes ( exato, exata )são muito fortes e tem um significado bem definido, que é o indicado no dicionário e correspondente a palavra inglesa “exact”. Alem disso, a palavra acurácia já tem sido usada em outros textos [ 12, 13 ]. Outra vantagem de “acurácia” é a similaridade com “accuracy". Por estes motivos, a tradução recomendada no VIM-BR deveria ser revisada, pelo menos deixando “acurácia" como alternativa.

Precisão ( precision)

A precisão é uma indicação parcial da qualidade da medição, que se refere apenas a flutuações aleatórias. Alem de boa precisão, é necessário que os efeitos sistemáticos sejam pequenos para se ter boa acurácia. A palavra “precisão" ( precision ) é universalmente aceita com este significado. Por isso, embora exista controvérsia entre os termos “acurácia" e “exatidão", é inadmissível traduzir “accuracy" como “precisão" ou usar esta palavra para indicar a qualidade da incerteza final de um resultado, o que infelizmente tem ocorrido com frequencia em manuais técnicos e até mesmo em textos científicos.

Mensurando (measurand)

Mensurando é definido no VIM como “a grandeza específica submetida a medição".

Entretanto, a definição do mensurando numa medição específica é uma questão um pouco delicada. Ocorre que, em geral, o nível de detalhamento da definição depende da acurácia permitida pelo próprio processo de medição. Por exemplo, “o índice de refração do ar" pode ser um mensurando bem definido para uma experiência simples. Numa medição mais elaborada devem ser especificados comprimento de

5


onda, temperatura e pressão atmosférica na definição do mensurando. Melhorando mais ainda a acurácia, deve-se especificar também a composição da amostra de ar ( inclusive impurezas ) e assim por diante.

No formalismo para avaliação de incerteza, o valor ( verdadeiro ) do mensurando é uma quantidade desconhecida e desconhecível ( que não pode ser conhecida). Deve ser observado que a palavra “verdadeiro" é redundante na expressão “valor verdadeiro do mensurando" e pode-se usar apenas “valor do mensurando", como recomendado no GUM. Entretanto, em certas circunstâncias, especialmente para fins didáticos, pode ser útil ou importante enfatizar que se trata do valor verdadeiro.

Erro ( error ) O erro é a diferença entre o resultado y da medição e o valor do mensurando yv :

= y - yv (1)

Uma vez que o valor do mensurando é uma quantidade desconhecida e desconhecível, resulta que

o erro de medição também é uma quantidade desconhecida e desconhecível, no formalismo para avaliação de incertezas.

Incerteza ( uncertainty)

Incerteza é um conceito qualitativo definido no VIM como “parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão de valores que pode ser fundamentadamente atribuídos ao mensurando". A incerteza, como conceito quantitativo, deve ser devidamente qualificada com adjetivo conveniente. Como pode ser visto, “erro" e “incerteza" são conceitos bastante diferentes, que devem ser escrupulosamente distinguidos, especialmente para fins didáticos.

A incerteza padrão ( standard uncertainty) é a incerteza dada na forma de desvio padrão. A

incerteza tipo A é a incerteza avaliada a partir da análise de uma série de observações, realizada conforme os métodos da estatística clássica.

A incerteza tipo B é a incerteza avaliada por quaisquer outros métodos, que não os métodos estatísticos clássicos. Em geral, para estimar a incerteza tipo B, os métodos empregados correspondem “a estatística bayesiana [ 2, 14, 15 ]””.

Considerando a definição que foi dada na equação (1), você deve concordar que é

bastante razoável admitir que toda medição esteja sujeita a erro. Quanto aos erros, a maioria dos pesquisadores aceita que, essencialmente, os erros experimentais que encontramos são: erros sistemáticos, erros aleatórios e erros grosseiros. Falemos um pouco sobre cada erro.

Os erros sistemáticos podem ser causados por fontes ambientais, ou pelo instrumento de medida, ou ainda, por uma hipótese ruim na modelagem matemática

do problema.

Tais erros desviam sistematicamente as medidas para um valor acima ou abaixo do valor verdadeiro, e por isto prejudicam a exatidão (acurácia) da medida. Com um pouco de esforço e sabedoria estes erros podem ser eliminados. Veja algumas causas prováveis de erros sistemáticos:

· devidos ao instrumento que foi utilizado: empregou-se um relógio que atrasa para se medir intervalos de tempo;

6


· devidos ao método de observação: por exemplo, medir a distância do ouvinte ao local onde ocorreu o relâmpago empregando o ruído do trovão;

· devidos a efeitos ambientais: a medida de freqüência da luz emitida por um laser pode depender ligeiramente da temperatura ambiente;

· devidos a simplificações do modelo teórico: quando não se inclui o efeito da resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida do tempo de queda.

Os erros aleatórios são flutuações que ocorrem aleatoriamente para cima ou para baixo. Isto altera a precisão da medida porque dispersa o conjunto de dados, uma vez que afasta ainda mais cada medida da média.

Exemplifiquemos algumas causas de erros aleatórios: ·O método de observação: fazer uma leitura com precisão maior que aquela oferecida

pelo instrumento de media; ·As flutuações ambientais: mudanças não previsíveis na temperatura, tensão na rede

elétrica que alimenta o instrumento de medida, ou ainda vibrações próximas ao instrumento; Com métodos estatísticos adequados, os erros sistemáticos podem ser eliminados ou

compensados.

Os erros grosseiros são aqueles que ocorrem por descuidos, enganos ou ainda por falta de habilidade do experimentador, que leva ao uso inadequado de instrumentos. Alguns estudiosos não classificam os erros grosseiros como pertencentes ao objeto de estudo.

Caso você ainda não tenha entendido a diferença entre erro e precisão, fundamentalmente, o erro é a diferença entre o valor obtido na medição e o valor verdadeiro, e por isto mesmo nunca o conheceremos. A incerteza, por sua vez, pode ser avaliada estatisticamente, e está relacionada com a qualidade da medição.

A exatidão refere-se ao grau de proximidade entre um grupo de medidas do valor verdadeiro. A exatidão pressupõe que exista um valor verdadeiro e que possamos comparar as nossas medidas com este valor. Se pretendermos medir uma grandeza é porque não

conhecemos o seu valor, e se é assim, como poderemos comparar o valor obtido com o valor verdadeiro? Conseqüentemente, a exatidão é um conceito qualitativo, e via de regra, não pode ser quantificada.

A precisão refere-se ao grau de proximidade entre si de um grupo de medidas. Neste

caso, quantificamos a proximidade do grupo de medidas com um determinado valor que não é, necessariamente, o valor verdadeiro da medida. Na prática, o valor de comparação é a média dos valores, de modo que comparamos a proximidade dos dados com o valor médio.

Vamos exemplificar. Se quisermos encontrar a altura média de um homem brasileiro de 20 anos, não poderemos falar em exatidão porque não tem sentido pensarmos em valor verdadeiro para esta grandeza. Em valor médio há sentido. Por outro lado, quando um fabricante da indústria moveleira produz mesas, as chapas que serão cortadas para o tampo da mesa possuem dimensões exatamente definidas.

No caso da mesa, temos um valor teoricamente verdadeiro para os lados, e poderíamos

pensar em valor verdadeiro e em exatidão (acurácia). Contudo, ao efetuarmos as medidas de uma mesa, voltaríamos ao problema inicial porque, apesar do desejo de se conseguir uma mesa com a medida exata, jamais saberemos se tal ocorreu, de modo que o comprimento exato de qualquer mesa sempre será desconhecido. Entretanto, para uma dada mesa em particular, podemos admitir que exista um valor exato para suas dimensões, desde que especifiquemos a

temperatura, a pressão, a umidade...

7


O problema da medição estende-se a questões filosóficas ainda mais profundas, se

considerarmos que a mesa é constituída por átomos e não é possível dizer onde um átomo termina. Então não existe o valor verdadeiro, nem o erro! Essencialmente o universo tem um caráter estatístico, onde podemos pensar em valores mais prováveis.Contudo, para problemas de ordem tecnológica, precisamos ser mais pragmáticos, mais práticos, de modo que adotaremos um modelo de universo clássico, admitindo que o valor verdadeiro de uma grandeza exista.

Pratiquemos a idéia estudando as medições dos lados (arestas “a” e “b”) de um lote de

10 mesas. As cinco primeiras medições foram feitas por um operário que usou uma trena graduada em centímetros, e as últimas cinco foram feitas por outro operário, que usou uma

outra trena graduada em decímetros. Na tabela 1 apresentamos o resultado das medições. Acostume-se com a idéia de que o último algarismo da leitura é um algarismo duvidoso devido a imprecisão do instrumento, no caso a trena. Posteriormente falaremos mais sobre isto.

mesa 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10a

a(m) 1,013 1,038 0,995 0,986 1,037 1,04 1,05 1,06 1,03 1,06

b(m) 1,950 1,974 2,023 2,044 1,996 2,02 2,07 2,04 2,07 2,09

Tabela 1: medições das arestas, a e b, de tampos de mesas retangulares. Primeiro lote.

Com a tabela 1 fica evidente que os cinco primeiros pares de medidas são mais precisos. Isto ocorreu porque os instrumentos de medição possuem diferentes precisões. Imagine, agora, um segundo lote de mesas, medidas com a trena graduada em milímetros, conforme a tabela 2.

mesa 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10a

a(m) 1,1112 1,1351 1,0735 1,0452 1,0333 1,0848 1,0763 0,9565 0,8835 1,1317

b(m) 1,8525 1,8729 1,991 2,2054 1,8866 1,92643 1,973 2,1151 2,125 1,8951

Tabela 2: medições das arestas, a e b, de tampos de mesas retangulares. Segundo lote.

No segundo lote, o instrumento de medição é ainda mais preciso, mas o lote é de qualidade inferior. Você pode observar que as medidas do primeiro lote não se desviam muito do valor médio, ou seja, 1,0m para “a” e 2,0m para “b”. Como calcular corretamente este desvio será objeto de estudo posterior.

Consideremos outra situação, na qual foi realizado um procedimento experimental para

calcular-se o coeficiente de dilatação térmico linear de uma barra feita por certa liga de

alumínio. Suponha que o valor verdadeiro do mensurando fosse conhecido e igual a

V = 23.10-6/°C. Também suponha que a mesma experiência tenha sido realizada por quatro pesquisadores, A, B, C e D, que obtiveram, respectivamente, os seguintes resultados com suas respectivas incertezas padrão:

A = (15,04 ± 0,04).10-6/°C; B = (23,05 ± 0,04).10-6/°C; C = (23 ± 1).10-6/°C; D = (15 ± 1).10-6/°C;

8


Entenda o significado de cada um dos valores apresentados: a) O pesquisador A garante que o valor mais provável do mensurando é 15,04.10-6/°C, e que a probabilidade de encontrar o valor verdadeiro no intervalo [15,00.10-6/°C; 15,08.10-6/°C] é cerca de 68%; b) O pesquisador B garante que o valor mais provável do mensurando é 23.10-6/°C, e que a probabilidade de encontrar o valor verdadeiro no intervalo [23,01.10-6/°C; 23,09.10-6/°C] é cerca de 68%; c) O pesquisador B garante que o valor mais provável do mensurando é 23.10-6/°C, e que a probabilidade de encontrar o valor verdadeiro no intervalo [22.10-6/°C; 24.10-6/°C] é cerca de

68%; e) O pesquisador B garante que o valor mais provável do mensurando é 15.10-6/°C, e que a probabilidade de encontrar o valor verdadeiro no intervalo [14.10-6/°C; 16.10-6/°C] é cerca de 68%; Por hora aceite a probabilidade 68%. Apenas adianto que este valor tem origem em

uma função desenvolvida pelo grande matemático Gauss, baseando-se em uma análise estatística bastante elegante e complexa, que analisaremos mais adiante. Por enquanto desejo que você aprenda a interpretar o resultado

<> ± (2);

onde <> representa o valor mais provável do mensurando, ou seja, do valor verdadeiro V, e representa o desvio padrão da média, de modo que a probabilidade do valor

verdadeiro estar no intervalo [<> - ; <> + ] é 68%.

Voltemos aos resultados dos quatro pesquisadores. De acordo com a definição dada em (1), seus erros foram, respectivamente:

A = 15,04.10-6/°C - 23.10-6/°C = -8.10-6/°C, ou seja, 34,8%. B = 23,05.10-6/°C - 23.10-6/°C = 0,05.10-6/°C, ou seja, 0,22%; C = 23.10-6/°C - 23.10-6/°C = 0, ou seja, NÃO HÁ ERRO: encontrou o valor exato;

D = 15.10-6/°C - 23.10-6/°C = 0,05.10-6/°C, ou seja, 0,22%; Partindo do conceito de exatidão, ou acurácia, o melhor valor foi obtido pelo pesquisador

“C”, mas esta conclusão é utópica porque é impossível conhecer o valor verdadeiro do coeficiente de dilatação. Do ponto de vista estatístico, o melhor resultado foi obtido pelo

observador “B” porque oferece um valor mais provável com maior precisão. De uma forma que facilite seu entendimento, o observador “B” oferece maior segurança em seu resultado: o intervalo no qual ele afirma que está o valor verdadeiro, com 68% de chance é muito menor.

Então, poderíamos classificar os resultados obtidos pelos pesquisadores A, B, C e D,

respectivamente como, preciso e inexato, preciso e exato, impreciso e exato, impreciso e inexato. Na figura 1 comparamos os resultados obtidos por cada pesquisador com os tiros em

9


quatro alvos. Pense que a porção central de cada alvo seja o valor verdadeiro da grandeza, e que cada conjunto de tiros seja o resultado de cada pesquisador.

Figura 1: Representação ilustrativa entre os conceitos de precisão e exatidão: os tiros em cada alvo representam os resultados obtidos pelos pesquisadores A, B, C e D, respectivamente. A parte central do alvo equivale ao valor verdadeiro.

Resultado de A: preciso e não exato

(sem acurácia)

Resultado de B: preciso e exato

(com acurácia)

Resultado de C: impreciso e exato

(com acurácia)

Resultado de D: impreciso e inexato

(sem acurácia)

10


3. Tratamento estatístico de dados.

3.1 Médias

A média de um conjunto de medidas é muito importante. Se você deseja fabricar um automóvel e vendê-lo para uma família, você precisará saber qual é a média de pessoas em uma família da classe social para a qual o veículo será vendido. Além disso, qual é a altura

média destas pessoas para poder dimensionar o espaço interno. Analise outro caso: um fabricante de molas precisa definir qual é a constante elástica para uma determinada mola que pretende colocar no mercado. Ele precisa tomar, ao acaso, “um bom número” destas molas, medir a constante elástica de cada mola e encontrar o valor médio. Você pode extrapolar este princípio para diversas situações (cálculo de densidade, calor específico, viscosidade, velocidade, volume ...).

O cálculo da média também é precioso quando o pesquisador crê que o valor

médio é o valor mais provável do valor verdadeiro da grandeza! Pode lhe parecer estranho, mas a ciência está repleta de “pequeninos atos de fé”, que ficam disfarçados nas hipóteses do problema.

A média aritmética, XMED, de um conjunto de N variáveis, {X1, X2... XN} é definida como

XMED = {X1 + X2... + XN} / N (1)

A partir de agora, toda vez que aparecer a expressão N Xi , estaremos abreviando a somatória X1 + X2... + XN, então a equação (1) pode ser abreviada:

XMED = {N Xi } / N (2)

Observe que a média poderá nos fornecer o valor mais provável da grandeza, mesmo

que haja desvios aleatórios, afastando os dados da média. A média entre 5 e 7 é igual a média entre 2 e 10. O primeiro conjunto, 5 e 7, está mais concentrado em torno da média, é mais preciso, porém a média é 6, para os dois conjuntos.

11


3.2 Desvio médio

Retomemos o exemplo do fabricante de veículos. Ele descobriu que a altura média dos

compradores era 1,72m, mas descobriu que há outro problema: apesar de conhecer a média, será que há muitos compradores cujas alturas se afastam consideravelmente da média? Será que seu veículo terá flexibilidade para atender pelo menos 80% dos compradores?

Outro caso pode ser exemplificado pelo fabricante de molas. Quando ele afirma que a

constante elástica média de um lote de molas é 1230N/m, o que ele realmente está garantindo? Você compraria tal produto sabendo que num lote, tomado ao acaso, 70% das molas possuem

uma constante que desvia mais de 40% do valor acima? Talvez comprasse para vender como sucata, se fosse bem baratinho.

De modo geral, se desejamos determinar a precisão de um conjunto de dados, como os

valores das constantes elásticas de duzentas molas, primeiramente devemos entender o que é desvio da média, Xi, de uma medida Xi:

Xi = XMED – Xi. (3)

Na equação (3), Xi representa uma grandeza qualquer, como por exemplo, a constante

elástica da “i-ésima” mola. A idéia do desvio ficará bastante clara se analisarmos o problema das molas. Na tabela 3 apresentamos as constantes elásticas de dez molas, além do valor médio da constante elástica, e ainda o desvio referente a cada constante.

i Ki (N/m) Ki- K MED

(N/m) Módulo de (Ki – K MED)

(N/m)

1 1210 -7,4 7,4

2 1220 -17,4 17,4

3 1190 12,6 12,6

4 1198 4,6 4,6

5 1206 -3,4 3,4

6 1208 -5,4 5,4

7 1198 4,6 4,6

8 1202 0,6 0,6

9 1204 -1,4 1,4

10 1190 12,6 12,6

SOMA = 12026 0 70

MÉDIA = 1202,6 0 7 Tabela 3: Medida da constante elástica de 10 molas, tomadas ao acaso, de um lote. A soma dos desvios sempre será nula. O desvio k1 = k1 – kMED = - 7,4N/m indica que k1 = 1210N/m está abaixo da média em 7,4 unidades.

Curiosamente, quando calculamos a média dos desvios, obtemos o valor zero. Isto faz muito sentido porque a média está situada em uma posição que separa o conjunto de dados “ao meio”. É bastante simples: digamos que se tenha um conjunto com apenas dois elementos, digamos {2; 4}. A média deste conjunto é (2 + 4)/2 = 3, e o dado X1 = 2 está uma unidade abaixo da média (seu desvio é -1) enquanto que X2 = 4 está uma unidade acima da média (seu desvio é +1). A soma dos desvios é zero. Como exercício, mostre que este

resultado sempre é verdadeiro, para qualquer conjunto de dados.

12


Uma vez que a soma dos desvios é nula, a maneira de obtermos o desvio médio é tomarmos a média dos módulos dos desvios:

XMED = { l Xi l } / N. (4)

Com o desvio médio em mãos, poderemos expressar a grandeza X de um modo bastante interessante:

X = XMED XMED, (5) contudo, falta-nos uma interpretação estatística mais profunda: conhecer a probabilidade de se encontrar um valor Xi no intervalo [XMED - XMED; XMED - XMED]. Ou ainda, se XMED for o valor mais provável do valor verdadeiro, qual é a probabilidade de que o valor verdadeiro esteja contido no intervalo [XMED - XMED; XMED - XMED]?

No caso do exemplo da tabela 3, a constante elástica daquele conjunto seria

k = (1203 7) N/m. Ainda há outra questão bastante relevante: quanto realizamos uma pesquisa, igual àquela feita pelo fabricante de molas, nós não analisamos todo o espaço amostral, ou seja, nós não analisamos todas as molas fabricadas com aquelas mesmas características. O fabricante produz milhares de molas a partir de um mesmo fio de aço, com o mesmo comprimento e diâmetro. É impraticável analisar-se mola por mola. . Na verdade, escolhe-se aleatoriamente um lote, um subconjunto do espaço amostral, e encontram-se o valor médio do lote e o desvio da média. Então nos resta saber se o valor médio do lote pode representar o valor médio de todo o espaço amostral, ou seja, daquelas milhares de molas, e como o desvio da amostra

(lote) relaciona-se com o desvio de todo o espaço amostral.

13


3.3 Dispersão e desvio padrão

Há basicamente duas classes de problemas que estudaremos: uma ocorre quando não existe o valor verdadeiro da grandeza, e estamos desejando encontrar o valor médio, como foi o estudo do lote de molas, o outro ocorre quando cremos que o valor verdadeiro da grandeza existe, e acreditamos que o valor médio seja o valor mais provável do valor verdadeiro. No primeiro caso, quando o número de elementos a serem medidos é muito grande, não medimos todos os elementos, mas tomamos uma amostra, com alguns elementos, e encontramos a média da grandeza para esta amostragem. No segundo caso, quando cremos que há um valor verdadeiro para a grandeza, também realizamos um número finito de experiências, e

pretendemos generalizar nosso resultado para todos os casos. Como os resultados obtidos para alguns casos podem ser generalizados para todos os casos? Qual é o grau de confiabilidade deste procedimento? É disto que passaremos a estudar de agora em diante.

Por diversas razões, que fogem ao escopo deste nosso estudo, é preferível usarmos o

quadrado do desvio, ao invés do seu módulo, como definido na equação (4), para avaliarmos a

dispersão dos dados em torno de uma média. Então para um conjunto com “N” elementos, definimos a dispersão (²) dos dados de uma medida como

2 = [N ( XMED – Xi)

2 ] / (N – 1). (6)

Algumas vezes a dispersão, como definida na equação (6), é conhecida como variância

amostral corrigida. A raiz quadrada da dispersão, = ( 2 ), também é usada para se medir a dispersão dos dados em torno do valor médio.

Teoricamente, caso conhecêssemos todos os casos possíveis, poderíamos encontrar

a variância, (0) 2. Nesta situação, 0 = (0) 2, é denominado desvio padrão. Quando a grandeza possui um valor verdadeiro, o desvio padrão é uma informação da precisão da experiência. Quando não há sentido em se falar de valor verdadeiro, o desvio padrão informa-nos como os dados estão concentrados em torno da média. A raiz quadrada da dispersão

definida na equação (6), , é uma estimativa do desvio padrão.

O significado do desvio padrão e da variância ficará mais claro para você após um pequeno estudo sobre histograma e sobre a distribuição normal (ou distribuição de Gauss). Voltemos a história do fabricante de carros. È conveniente que ele tenha em mãos um gráfico que informe a quantidade de compradores com alturas entre xi e xi+Δx. Para que fique mais claro, vamos apresentar tal gráfico na figura 4.

14


Figura 4: Histograma da altura dos prováveis compradores de um veículo.

Analisando o histograma acima, podemos ver que na faixa de alturas compreendidas entre 1,60m a 1,70m está a maioria dos compradores, 90 deles na verdade. Por isto é que dizemos que a altura 1,65m é a moda. Você também vê que no intervalo 1,30m a 1,40m há apenas 10 pessoas, segundo o histograma. A título de exercício, vamos calcular a altura média baseados neste histograma. Isto será feito empregando-se a média ponderada: dado o conjunto de dados (x1, x2... xN), sendo mi o número de dados cujo valor é xi. Então, o número total de dados será M, tal que

M = N mi, (7) e o valor médio do conjunto (x1, x2... xN) será

XMED = {N mi.xi } / M, (8)

sendo que mi também é conhecido como peso da medida xi. Falando em linguagem de físicos e engenheiros, perceba que a média ponderada pode ser comparada com a posição do centro de massa de um conjunto de N partículas, cada qual tendo posição xi e massa mi.

Neste caso em estudo, a média é 1,69m. Com o emprego da tabela 4, a organização dos dados é melhor e fica mais fácil explicarmos como a média foi obtida.

15


i xi (m) mi xi.mi (m)

1 1,35 10 13,5

2 1,45 30 43,5

3 1,55 60 93

4 1,65 90 148,5

5 1,75 70 122,5

6 1,85 50 92,5

7 1,95 20 39

8 2,05 10 20,5

340 573

XMÉD = 573m / 340 = 1,69 m

Tabela 4: Cálculo da altura média a partir dos dados do histograma da figura 4. Uma vez que nos familiarizamos com o histograma, passemos para o estudo da distribuição normal, ou gaussiana. Imagine que ao invés de dividirmos os intervalos das alturas de 10cm em 10cm, dividamos em milímetros. Cada retângulo da figura 4 teria sua base reduzida para a décima parte. Imagine ainda que os intervalos tenham largura dx, então dm será o número de pessoas com alturas no intervalo [x, x+dx]. Isto pode não fazer muito sentido para pessoas, mas fará sentido para um conjunto de moléculas, com velocidades no intervalo [V, V+dV], visto que temos cerca de 10²³ delas em 1m³ de ar.

O importante aqui é enfatizarmos que se pintarmos de preto cada retângulo da figura 4 e visualizarmos apenas a forma superior de cada retângulo, teremos a situação mostrada na figura 5.

Figura 5: Contorno do histograma. Diminuindo-se as bases dos retângulos, ou seja, fazendo-se

x tender a zero, Δx 0, o número de dados tenderá a infinito, e a forma superior da figura 5 aproxima-se da curva vermelha.

Existe um caso muito especial de distribuições, a distribuição normal, ou gaussiana,

desenvolvida por Gauss:

Y(x) = {1/ [(2)0 ]} . e-, (9) onde

= (x - x0)2/2.0² , (10)

para - < x < , sendo que x0 é o valor verdadeiro e 0² é o desvio padrão.

16


Esta distribuição tem a forma esboçada na figura 5. Para entendê-la com maior profundidade, o estudante interessado poderá consultar um bom livro de estatística(3), mas aqui ainda vale a pena um pequeno esforço. Primeiro vamos entender que a distribuição normal está normalizada. A função Y(x), dada na equação (9), é uma densidade de probabilidade: o produto Y(x).dx é a probabilidade de se encontrar um valor da grandeza no intervalo [x; x+ dx]. E como a probabilidade de se encontrar um valor da grandeza no intervalo ]-; +[ é 100%,

Falemos um pouco mais sobre probabilidade. Se dividirmos o número de dados, mi, da

tabela 4, pelo número total de dados, M, encontraremos a probabilidade de se ter uma

determinada altura:

pi = mi/M, (11)

é a probabilidade de se encontrar uma pessoa com altura xi entre todas as pessoas. Na tabela 5 apresentamos estas probabilidades.

i xi (m) mi pi = mi/mi

1 1,35 10 0,0294

2 1,45 30 0,0882

3 1,55 60 0,1765

4 1,65 90 0,2647

5 1,75 70 0,2059

6 1,85 50 0,1471

7 1,95 20 0,0588

8 2,05 10 0,0294

340 1

Tabela 5: Probabilidade, pi, de se encontrar uma altura xi. O número de dados é M = 340. Observe que a soma de todas as probabilidades é um (100%).

Como já dissemos, a distribuição de Gauss, Y(x), dada na equação (9) é uma densidade de probabilidade. Vamos explicar com mais detalhes: Y(x).dx é a área sob o gráfico de Y(x), entre x e x+dx, e também é a probabilidade de se encontrar uma medida no intervalo [x, x+ dx], veja a figura 6.

17


Figura 6: Distribuição normal. Em destaque um elemento de área que é igual a probabilidade de se obter um dado no intervalo [x, x+dx]. Finalmente, empregando a distribuição normal, a probabilidade de se encontram um valor x no intervalo [a, b] será dado por

P(a,b) = a b Y(x).dx, (12)

Vistas estas coisas, entender o significado do desvio padrão é mais fácil. Analisemos a figura 7.

Figura 7: Distribuição normal, ou gaussiana. A área total sob a curva, -∞<x<+∞, é igual a 1

(100%), pois é a probabilidade de se encontrar um valor qualquer de x neste intervalo. A área sob a curva, no intervalo -1 a +1 é aproximadamente 0,6827 (68,27%):

18


Se considerarmos que a média da distribuição normal é zero, isto quer dizer que a probabilidade de se encontrar x no intervalo centrado no valor médio, Xmed, com amplitude é 68,27%. Com a distribuição normal aprendemos que ao escrevermos a grandeza x como

x = xMED (13)

estamos dizendo que o valor mais provável da grandeza x é xMED, sendo que 68,27% dos valores possíveis de x estarão contidos no intervalo [x-, x+].

3.4 Desvio padrão da média

Como já dissemos, geralmente não conhecemos todos os dados do espaço amostral.

Durante uma eleição, as pesquisas de intenção de voto não se baseiam na opinião de todos os eleitores, mas na opinião de um pequeno grupo tomado ao acaso desta população. Assim sendo, o cálculo da média e do desvio padrão de todo o espaço amostral não é conhecido, mas podemos calcular a média da amostra de dados, que continua sendo dada pela equação (6), mas a como poderemos encontrar o desvio padrão, 0, a partir de = ², de modo que tenhamos o valor verdadeiro no intervalo [XMÉDIO - m0; XMÉDIO - m0], com probabilidade de 68%, e quem é o desvio m0?

A resposta a esta questão só pode ser obtida com alguns cálculos que fogem ao nosso

objetivo(2), mas a resposta é a seguinte: considere que o número de termos da nossa amostra

seja N e que desta amostra seja dado pela equação (6). Então o desvio padrão da média corrigido será

m0 = . /(N), (14)

sendo que o fator de correção depende do número de dados da amostra, e está tabelado nas tabelas 6 e 7. Vale a pena observar que a precisão da média aumenta com N, ou seja, se o número de dados aumentar 10 vezes, a precisão aumentará 10 vezes, visto que na equação (11), o valor de m0 é inversamente proporcional a N.

N 2 3 4 5 10 20 N

1,84 1,32 1,20 1,14 1,06 1,03 1

Tabela 6: valores do fator de correção para que se encontre o valor verdadeiro de X no intervalo [XMÉDIO - m0; XMÉDIO - m0], com uma probabilidade de 68,3%, sendo N o número de dados da amostra.

N 2 3 4 5 10 20 N

14,0 4,53 3,31 2,87 2,32 2,14 2

Tabela 7: valores do fator de correção para que se encontre o valor verdadeiro de X no intervalo [XMÉDIO - m0; XMÉDIO - m0], com uma probabilidade de 68,3%, sendo N o número de

dados da amostra.

19


Vamos exemplificar usando os dados da tabela 8, onde pretendemos determinar a densidade de uma determinada liga metálica, a 20°C, após terem sido realizadas 10 medições.

Tabela 8: Densidade de oito amostras de uma determinada liga metálica. Ao lado encontramos o valor médio da densidade, XMÉDIO, assim como o desvio padrão da média corrigido, obtido com a equação 14 e com a tabela 6. Concluímos dizendo que o valor mais provável da densidade da liga é 2300,0kg/m³, sendo que há uma chance de 68% de encontrarmos o valor verdadeiro no intervalo [2988,5kg/m³; 2301,5kg/m³]. Outra forma de expressarmos este resultado é: = (2300,0 ± 1,5)kg/m³.

i (kg/m³)

X MÉDIO = 2300,0

1 2300

= 4,6

2 2298

N = 10

3 2296

(68%) = 1,06

4 2305

m0 = 1,5

5 2297

6 2302

7 2309

8 2301

9 2293

10 2299

20


4. Propagação de desvios

Quando uma grandeza não é obtida diretamente a partir da leitura de instrumentos, mas é

obtida empregando-se equações, o desvio na medida de cada termo da equação irá afetar a precisão do resultado. Exemplifiquemos com um cálculo simples: obter o volume de um cubo de aresta x =(10,0 0,2)cm. Como o valor mais provável da aresta é x 0

= 10,0cm, o valor mais provável do volume será

V0 = x0³ = 10,0cm³ = 1000cm³,

mas qual será o desvio padrão do volume?

Em primeiro lugar entenda que, considerando a probabilidade de 68%, o menor valor da

aresta x é xMÍN = 9,8cm e o maior é xMÁX = 10,2cm. VMÍN = xMÍN³ = (9,8cm)³ = 941,192cm³,

e o maior valor seja VMÁX = xMÁX³ = (10,2cm)³ = 1061,208cm³. Entenda o que aconteceu: o intervalo de valores para o volume não está mais centrado no

valor médio porque V0 - VMÍN = 1000cm³ - 941,192cm³ = 58,808cm³,

e

VMÁX - V0 = 1061,208cm³ - 1000cm³ = 61,208cm³.

Fica então a pergunta: como encontrar o desvio padrão do volume, V, de modo que o valor mais provável do volume seja V0 = x0³, de tal forma que haja 68% de chance de se encontrar o volume no intervalo [V0 - V, V0 + V]? Ou ainda, para que possamos escrever V = V0 ± V?

Para esta situação particular, novamente peço um voto de confiança, solicitando que você ainda não se preocupe com a origem da equação (15), mas a resposta é a seguinte: o desvio padrão do volume será obtido a partir da expressão

V (dV/dx). x = 3.x². x , (15)

ou reorganizando a equação:

V 3.x³. (x/x) V 3. V0 . (x/x)

V / V0 3. (x/x) (16)

Deixe-me analisar o significado da equação 16. No primeiro membro temos V / V0, que é o desvio relativo no volume, ou seja, é uma medida do desvio em termos percentuais. Assim também, x/x é o desvio relativo no valor da aresta. Em termos percentuais,

21


observamos que o desvio da aresta propagou-se durante os cálculos, e em termos percentuais, aumentou três vezes:

x/x = 0,2cm/10,0cm = 0,02 = 2%,

e V / V0 3. 0,02 = 0,06 = 6%,

significando que durante as operações estamos perdendo precisão. Em termos absolutos, o desvio padrão do volume será

V / V0 0,06

V V0 . 0,06 V 1000cm³ . 0,06 V 60cm³ ,

e finalmente V = (1000 ± 60)cm³, significando que o valor mais provável do volume é 1000cm³, com probabilidade de 68% de ser encontrado no intervalo [940cm³; 1060cm³]. Compare este resultado com aqueles que

obtivemos no início do capítulo. Observe também que o desvio padrão foi apresentado com dois algarismos significativos,

e manteremos este procedimento. Neste exemplo não houve necessidade de arredondamento no valor mais provável da grandeza, mas caso isto ocorra, devemos ser coerentes com o desvio padrão: é ele quem define os algarismos significativos do valor mais provável da grandeza. Observe como o último resultado deve ser apresentado caso mudemos de unidade ou apresentemos o resultado em notação científica:

V = (1,000 ± 0,060).10³cm³ = (1,000 ± 0,060)L = (1,000 ± 0,060).10-3m³.

Nós apresentamos uma situação em que a o valor verdadeiro da grandeza, no caso o

volume do cubo, dependia de uma única variável, no caso a aresta. Este foi um caso bastante simples porque, em geral, a grandeza pode depender de mais de uma variável. Por exemplo, se quisermos calcular o volume do paralelepípedo cujas arestas são

x =(20,0 0,5)cm, y=(50,0 0,5)cm e z =(100,0 0,5)cm.

O tratamento será análogo ao anterior. Em primeiro lugar, calcularemos o valor mais

provável do volume, admitindo que o mesmo é uma função de três variáveis independentes:

V = f(x,y,z) tal que V(x,y,z) = x.y.z (17)

22


e então, o valor mais provável do volume será o valor médio:

VMÉD = xMÉD . yMÉD . zMÉD (18)

de maneira que

VMÉD = 20,0cm.50,0cm.100,0cm = 100 000cm³. Quanto ao desvio padrão, também conto com seu voto de confiança para acreditar que

consideraremos o desvio pode ser encontrado com a seguinte relação:

V² [(V/x).x]²+ [(V/y).y]² + [(V/z).z]² (19)

sendo que o símbolo V/x indica a derivada parcial do volume em relação a variável x. Tecnicamente derivamos o volume como se apenas “x” fosse a variável e “y” e “z” constantes, veja o Apêndice 2, o que é muito simples:

V/x = y.z com um pouquinho de álgebra... V/x = x.y.z/x

V/x = V/x (20)

analogamente V/y = x.z

V/y = V/y (21)

e

V/z = x.y

V/y = V/z (22)

Substituindo-se as equações (20), (21) e (22) na equação (19):

V² [(V/x).x]²+ [(V/y).y]² + [(V/z).z]²

V² V². { (x /x)²+ (y /y)² + (z /z)² }

(V / V)² (x /x)²+ (y /y)² + (z /z)² (23)

O que podemos concluir com a equação (23)? Que em termos percentuais, o desvio relativo

do volume será dado por uma média quadrática dos desvios relativos de cada aresta. Veja também que ocorre algo bem interessante quando calculamos cada termo separadamente:

23


(x /x) = 0,5cm/20,0cm = 0,025 = 2,5% (x /x)² = 0,000625; (y /y) = 0,5cm/50,0cm = 0,010 = 1,0% (y /y)² = 0,000100;

(z /z) = 0,5cm/100,0cm = 0,005 = 0,5% (z /z)² = 0,000025;

e com a equação (23):

(V / V)² 0,000625 + 0,000100 + 0,000025 = = (625 + 100 + 25).10-6 = 750. 10-6 = 0,000750

(V / V) 0,000750

(V / V) 0,0273861 2,74%,

que é um resultado bastante interessante porque o desvio percentual do volume, cerca de 2,74%, deve-se essencialmente ao desvio da aresta x, 2,5%. Mas por que esta variável compromete tanto o desvio do volume e a variável z compromete tão pouco? É porque um erro de 0,5cm em 20,0cm é significativamente muito maior que um erro de 0,5cm em 100,0cm! O desvio padrão do volume do paralelepípedo será

V VMÉD . 0,0273861 = 100 000cm³.0,0273861 V 2738,6cm³ V 2,7.10³cm³,

sendo que esta última forma considera o princípio de se escrever o desvio padrão com apenas dois algarismos significativos. Finalmente escrevemos o volume do paralelepípedo como V = (100,0 ± 2,7).10³cm³, indicando que o valor mais provável do volume é 100,0.10³cm³, ou 100,0L, sendo que há 68%

de chance do valor verdadeiro encontrar-se no intervalo [97,3L; 102,7L]. Vamos generalizar o método de se obter o desvio padrão para funções com mais de uma variáveis independentes, considerando que a distribuição dos desvios seja gaussiana(2). Bem, na maioria dos casos que trataremos no laboratório assim será, mas estas hipóteses também deveriam ser verificadas, contudo fugiria do propósito de um curso de graduação. Admitindo válidas estas hipóteses, se pretendemos calcular a grandeza G, que depende das variáveis x1, x2, ...xn,

G = f(x1, x2, ...xn), (24)

onde

x1 = (x1MÉD + X1) (25) x2 = (x2MÉD + X2) (26)

xn = (xnMÉD + Xn) (27)

24


o valor mais provável da grandeza G será

GMÉD = f(x1MÉD, x2MÉD, ...xnMÉD), (28) e seu desvio padrão será dado por

G² [(G/x1).x1]²+ [(G/x2).x2]²+ ... + [(G/xn).xn]² ,

ou

(G)² n [(G/xi).xi]². (29)

Vamos aplicar as equações (28) e (29) com um outro exemplo: vamos calcular o módulo da aceleração da gravidade, “g”. Abandonando-se um corpo de uma altura “y” e medindo-se o tempo de queda, “t”. O valor teórico de “g”, desconsiderando-se o efeito da resistência do ar, será

g = 2y/t². (30)

Considere que

y = (2,00 0,01)cm, e que o tempo de queda seja

t = (0,638 0,005)s.

O valor mais provável de “g” seria

gMÉD = 2.2,00/(0,638)² = 9,83 m/s/s.

E o desvio, como encontraremos? Voltemo-nos a equação (30), a qual escreveremos

como

g = 2.y1.t-2 (31) e aplicaremos a equação (29):

g/y = 2. t-2 = g/y (32)

g/t = -2.2.y1.t-3 = -2.g/t (33)

logo,

(g)² [ (g/y).y ]² + [-2. (g/y).g ]² ,

ou (g / g) { (y /y)² + 4. (t /t)]² (34)

25


Há uma observação relevante acerca da equação (34): o desvio do tempo é significativamente mais impactante no caçulo do desvio da aceleração. O fator “4” é quem nos mostra isto. A precisão do valor de “g” é significativamente mais influenciado pela precisão do “t”. Isto ocorre porque o tempo, na equação (31) está elevado ao quadrado, enquanto “y” está na primeira potência. A influência do tempo é maior.

Finalizando os cálculos

y /yMÉD = 0,01m/2,00m = 0,005 e

t /tMÉD = 0,005s/0,638s = 0,00784 logo, g /gMÉD = [ (0,005)² + (2.0,00784)² ] = 0,0165 g = 0,0165. gMÉD g = 0,0165. 9,83 m/s/s

g = 0,16 m/s/s,

e finalmente

g = (9,83 0,16) m/s/s. Para finalizarmos, vamos enfatizar que:

a. Não há necessidade de se expressar o desvio padrão com mais de dois algarismos significativos. Mais do que isto é incoerência, é informar uma precisão de uma parte em mil no valor do desvio;

b. Também cuide para usar as unidades corretas: a unidade do desvio padrão, x, é a

mesma unidade da grandeza, x;

c. Também se lembre de que o desvio relativo não possui unidade!

26


5. Mínimos quadrados.

O método dos mínimos quadrados é excelente quando trabalhamos com funções do primeiro grau. Vamos exemplificar. Suponha que desejamos encontrar a massa específica (densidade absoluta) de um óleo e para isto, meçamos o volume (Vi) e a respectiva massa (mi) de diversas amostras deste óleo. Considerando que a massa específica é definida pela equação (35):

= m/V, (35)

podemos escrever a relação acima em termos da massa:

m = .V. (36)

A equação (36) faz parte do grupo das equações do primeiro grau, cuja forma geral pode ser expressa como

y(x) = a.x + b, (37)

sendo y(x) uma função da variável x. As constantes a e b são, respectivamente, os coeficientes angular e linear do gráfico de y(x) versus x, que é uma reta, como mostra a figura 8.

Figura 8: Gráfico da função y(x) = ax + b. Observando a equação (37) e o gráfico da figura 8, podemos ainda inferir que

a = dy/dx = tg , (38)

b = y(0). (39)

27


Se compararmos as equações (36) e (37), identificamos y = m, x = V, a = , e b = 0. Neste caso particular, em que o coeficiente linear é nulo, b = 0, a função denomina-se função linear, e seu gráfico passa pela origem do sistema cartesiano, como mostra a figura 9.

Figura 9: Gráfico da função linear m = .V, dada na equação (36).

Com a idéia da equação (38), observamos que o coeficiente angular da equação (36) é

porque

a = dy/dx a = dm/dV

a = (40).

Voltando ao problema proposto no início deste tópico, apresentamos na tabela 9 os volumes

e as respectivas massas de oito amostras do líquido.

Xi Yi

i Vi (cm³) mi (g)

1 50,0 43,492

2 100,0 86,995

3 150,0 130,513

4 200,0 174,011

5 250,0 217,610

6 300,0 260,950

7 350,0 304,460

8 400,0 348,120 Tabela 9: Valores dos volumes e das respectivas massas de oito amostras de líquido. Cada volume, Vi, corresponde a uma variável genérica xi, enquanto a massa, mi, corresponde à variável dependente yi, da equação 37.

28


Imagine que o valor verdadeiro da densidade do líquido fosse 0,87g/cm³. Para cada valor do volume haverá o valor verdadeiro da massa, conforme a equação (36):

m(V) = 0,87.V. (41) Se substituirmos na equação (41) os volumes das amostras, dados na tabela 9, teremos os valores verdadeiros da massa de cada amostra, mostrados na tabela 10, e poderemos calcular os erros

ei = m(Vi) – mi, (42)

ou, substituindo a equação (41):

ei = 0,87.Vi – mi. (43)

Xi Y(Xi) Yi ei (g)

i Vi (cm³) m(Vi) = 0,87.Vi (g) mi (g) m(Vi) -mi ( g)

1 50,0 43,500 43,492 0,008

2 100,0 87,000 86,995 0,005

3 150,0 130,500 130,513 -0,013

4 200,0 174,000 174,0111 -0,011

5 250,0 217,500 217,61 -0,110

6 300,0 261,000 260,95 0,050

7 350,0 304,500 304,46 0,040

8 400,0 348,000 348,12 -0,120

Tabela 10: Valor verdadeiro da massa, m(Vi), e o erro experimental (ei).

De fato, jamais saberemos o valor dos erro, como mostrado na tabela 10. Ele foi apresentado apenas para um ensaio teórico e compreensão do conceito “erro”, que será utilizado no desenvolvimento do método dos mínimos quadrados. Então, vamos a ele! Considere que tenhamos um conjunto de N pares ordenados (xi, yi), como aqueles

apresentados na tabela 9. Suponha também que para cada valor xi, da variável x, exista um valor verdadeiro da grandeza y, dado por y(xi), definido na equação (37), de modo que o erro experimental de y é ei, veja a tabela 10, dado por

ei = y(xi) –yi (44) com a equação (37):

ei = (a.xi + b) –yi . (45)

29


Nosso objetivo é determinar os coeficientes a e b da equação (45), de tal forma que seja mínima a soma dos quadrados dos erros, ou seja, desejamos que

D(a,b) = N ( ei )²,

ou, em termos da equação (45), desejamos que a soma dos quadrados

D(a,b) = N [(a.xi + b) –yi ]². (46)

seja a menor possível.

Como determinar a e b dependerá de alguns conhecimentos básicos das propriedades das somatórias, inicialmente vamos estudar um pouquinho tais propriedades. Tudo decorre porque ela é um operador linear. A primeira propriedade que vamos estudar é que “a somatória da soma é igual à soma das somatórias”, pois

N (ui + zi) = (u1 + z1) + (u2 + z2) + ... + (uN + zN) N (ui + zi) = (u1 + u2 + ... + uN ) + (z1 + z2 + ... + zN)

N (ui + zi) = (N ui ) + (N zi ), (47)

A outra propriedade envolve o produto da somatória por uma constante :

N .(ui ) = . (u1) + .(u2) + ... + .(uN)

N .(ui ) = . (u1 + u2 + ... + uN )

N .(ui ) = .(N ui ) (48)

Como o operador derivada parcial Outra propriedade importante ocorre com a derivada

da somatória. Seja

F(a,b) = N f(a,b,xi,yi), (49) então

F(a,b)/a = [N f(a,b,xi,yi)]/a

[N f(a,b,xi,yi)]/a = [ f(a,b,x1,y1) + f(a,b,x2,y2) + ...+ f(a,b,xN,yN) ]/a

[N f(a,b,xi,yi)]/a = f(a,b,x1,y1) / a + f(a,b,x2,y2) / a + ...+ f(a,b,xN,yN) / a

30


[N f(a,b,xi,yi)]/a = N [ f(a,b,xi,yi) / a ] (50)

Voltemos para a equação (46), com o objetivo de encontrarmos a e b tais que a soma

dos quadrados dos erros seja mínima. Do Cálculo diferencial e integral aprendemos que a condição necessária (mas não suficiente) para que haja um mínimo local, deveremos impor que as derivadas parciais de D(a,b), em relação a “a” e em relação a “b”, sejam nulas:

D/a = 0, (51) e

D/b = 0. (52) Aplicaremos a equação (51) na (46) para impor a condição dos mínimos quadrados:

[N ( a.xi + b –yi )² ] / a = 0, com a propriedade vista na equação (50)

N 2 xi.( a.xi + b – yi ) = 0

N 2. ( a.xi² + b xi – xi.yi ) = 0 (53)

Se aplicarmos as propriedades desenvolvidas nas equações (51) e (52) na equação (53), teremos:

2. N ( a.xi² + b xi – xi.yi ) = 0

N ( a.xi² + b xi – xi.yi ) = 0

N ( a.xi²) + N (b xi ) – N ( xi.yi ) = 0

a.N ( xi²) + b.N (xi ) – N ( xi.yi ) = 0

a.N ( xi²) = N ( xi.yi ) - b.N (xi )

a = [ N ( xi.yi ) - b.N (xi ) ] / N ( xi²) (54)

31


De modo análogo, aplicando a equação (52) na (46), ou seja, impondo que a derivada

da somatória em relação a b seja nula:

[N ( a.xi + b –yi )² ] / b = 0

e seguindo os mesmos passos:

N 2.( a.xi + b – yi ) = 0

2. N ( a.xi + b – yi ) = 0

2. N ( a.xi + b – yi ) = 0

N ( a.xi) + N (b) – N ( yi ) = 0

a.N ( xi) + (b + b + .... +b) - N (yi ) = 0

a.N ( xi) + N.b = N (yi )

N.b = N (yi ) - a.N ( xi)

b = [ N (yi ) - a.N ( xi) ] / N (55) As equações (54) e (55) formam um sistema linearmente independente, possível de ser resolvido: basta substituirmos b, da equação (55), na equação (54):

a = [ N ( xi.yi ) - [ [ N (yi ) - a.N ( xi) ] / N] . N (xi ) ] / N ( xi²)

a. N ( xi²) = N ( xi.yi ) - [ [ N (yi ) - a.N ( xi) ] / N] ] . N (xi )

a. N ( xi²) = N ( xi.yi ) - [ [ N (yi ) - a.N ( xi) ] / N] ] . N (xi )

a. N ( xi²) = N ( xi.yi ) - [ N (yi ). N (xi )/N - a.N ( xi) N (xi )/N ]

32


a. N ( xi²) = N ( xi.yi ) - N (yi ). N (xi )/N + a.[N ( xi)]²/N

a. N.N ( xi²) - a.[N ( xi)]² = N.N ( xi.yi ) - N (yi ). N (xi )

a. { N.N ( xi²) - [N ( xi)]² } = N.N ( xi.yi ) - N (yi ). N (xi )

a = { N.N ( xi.yi ) - [N yi ]. [N xi ]} / { N.N ( xi²) - [N xi ]² } (56)

Se substituirmos o valor de a, dado na equação acima, na equação (55), encontraremos

(como exercício, faça os cálculos que omitimos): b = { [N ( xi²)] . [N yi ] - [N xi .yi ]. [N xi]} / { N.N ( xi²) + [N ( xi)]² }.

(57) Durante os cálculos, será desnecessário resolver-se a equação (57). Uma vez que for encontrado o valor do coeficiente angular, “a”, com a equação (55), será mais fácil substituí-lo na equação (55) para se obter “b”. Vamos exemplificar usando os dados da tabela 9. Observe que na tabela 11 nós apresentamos as somas de modo a facilitarem os cálculos. Sugiro que

você faça o mesmo para não se perder durante as operações.

i xi = Vi yi =mi xi.xi xi.yi

1 50,0 43,5 2500 2174,6

2 100,0 87,0 10000 8699,5

3 150,0 130,5 22500 19576,95

4 200,0 174,0 40000 34802,22

5 250,0 217,6 62500 54402,5

6 300,0 261,0 90000 78285

7 350,0 304,5 122500 106561

8 400,0 348,1 160000 139248

SOMA = 1800 1566,151 510000 443749,8 Tabela 11: Determinação da densidade de um fluido empregando o método dos mínimos quadrados. As unidades foram omitidas, mas a massa é dada em gramas e o volume em cm³. Observe que N = 8.

33


A partir dos dados da tabela 11, podemos encontrar o coeficiente angular da reta, equação (56): N (xi ) = 1800 cm³

N (yi ) = 1566,151 g

N ( xi.yi ) = 443749,8 cm³.g

N ( xi²) = 510000 cm6

a = { N.N ( xi.yi ) - [N yi ]. [N xi ]} / { N.N ( xi²) - [N xi ]² }

a = { 8 . 443749,8 - 1566,151 . 1800} / { 8. 510000 - [1800]² } g/cm³

a = 0,870150714 g/cm³ e substituindo-se este valor na equação (55):

b = [ N (yi ) - a.N ( xi) ] / N

b = [ 1566,151 - 0,870150714 . 1800 ] / 8 g

b = - 0,01491 g

Concluímos que a relaçã entre y e x, que torna mínima a soma dos quadrados dos erros é,

y = 0,871 . x – 0,015 (58) e se observarmos que y corresponde à massa, m, e x ao volume, V, teremos

m = 0,871 . V – 0,015, (59)

Como a massa é uma função linear do volume, o coeficiente linear, b = 0,015g, decorre dos erros experimentais. Seu valor real é zero. Considerando, entretanto, que m = .V, equação (36), decorre que dm/dV = , e assim, se derivarmos a equação (59) em relação à massa:

= 0,871 g/cm³.

A partir deste momento podemos questionar qual o desvio associado ao resultado = 0,871 g/cm³. Existe um modo de encontrarmos este desvio(2), mas foge ao nosso objetivo. Em nosso laboratório, quando usarmos este método, estaremos associando-o com outro método, como faremos no exemplo que se segue, ainda com base nos dados da tabela 9, mas, para cada par (Vi; mi), obteremos um valor i = mi/(Vi, conforme a equação (35). Na tabela 12

estão os valores calculados, juntamente com o valor médio e os desvios.

34


Vi mi i = mi/Vi médio -i médio -i)

2

i (cm³) (g) (g/cm³) (g/cm³) (g/cm³)2

1 50,0 43,492 0,869840 0,000209 0,00000004363996

2 100,0 86,995 0,869950 0,000099 0,00000000978156

3 150,0 130,513 0,870087 -0,000038 0,00000000142619

4 200,0 174,011 0,870056 -0,000007 0,00000000004354

5 250,0 217,610 0,870440 -0,000391 0,00000015295781

6 300,0 260,950 0,869833 0,000216 0,00000004646976

7 350,0 304,460 0,869886 0,000163 0,00000002663016

8 400,0 348,120 0,870300 -0,000251 0,00000006305031

6,960391 0,000000 0,00000034399929

0,00000004914276 g/cm³

médio = 0,870049 g/cm³

amostra 0,00022682 g/cm³ Tabela 12: Cálculo da densidade média, médio, equação (2), da variância, ², equação (6), e do desvio padrão desta amostra com N =8 elementos. amostra = (²). Observe que a soma dos desvios é nula. Como já discutimos, podemos usar o desvio padrão da amostra para encontrarmos o desvio padrão corrigido, através da equação (14) e da tabela 6. Tomando um valor médio para = (1,14 + 1,06)/2 = 1,1, porque N = 8 está entre 5 e 10, teremos

m0 = . /(N)

m0 = 1,1 . 0,000221682/(8) g/cm³

m0 = 0,000084 g/cm³ ,

de forma que a densidade do óleo é

= (0,870049 ± 0,000084) g/cm³ ,

indicando que o valor mais provável da densidade seja 0,870049 g/cm³, e que a probabilidade do valor verdadeiro estar compreendido na intervalo [0,869965 g/cm³; 0,870133 g/cm³] é 68%. Compare o valor acima com aquele que obtivemos empregando o método dos mínimos quadrados.

35


6. Convertendo equações não lineares em equações lineares

Outra técnica muito elegante consiste em transformarmos um problema não linear em um problema linear, e então poderemos empregar o método dos mínimos quadrados para encontrarmos a grandeza desejada. Vamos iniciar com um exemplo razoavelmente simples: obtermos o valor da aceleração da gravidade através da queda livre no vácuo, figura 10. Consideremos um referencial no qual a aceleração seja

a = -g j, (60) sendo j o versor do eixo Y (vertical), e “g” o módulo da aceleração gravitacional. Convencionamos que os vetores estarão escritos em negrito para diferenciá-los dos escalares.

Figura 10:Pequeno objeto abandonado da altura “h”, atinge o solo no instante t = tq (tempo de queda).

Tomando como condições iniciais da velocidade, V(0) = 0, e do espaço, S(0) = hj, conforme a figura a equação (66) pode ser integrada duas vezes em relação ao tempo para encontrarmos

V(t) = V(0) –g.t j

V(t) = –g.t j, (61) e

36


S(t) = S(0) –(g.t²/2) j =

S(t) = hj - (g.t²/2) j. (62) No instante t = tq a partícula toca o solo, ou seja, S(tq) = 0, então

hj - (g.tq²/2) j = 0

hj = (g.tq²/2) j

h = (g.tq²/2) (63)

A equação (63) nos permite propor uma solução elegante: se chamarmos y = h e se chamarmos x = tq/2, estaremos transformando a equação (63) em uma equação linear,

y(x) = g.x, (64)

sendo “g” o coeficiente angular desta equação. O método então consiste em soltamos a partícula de diversas alturas, hi, e anotamos o tempo de queda correspondente a cada uma destas alturas, tqi. Em seguida, calcularemos xi = (tqi.)², como na tabela 13.

i hi tqi xi = (tqi)²/2 gi

(m) (s) (s²) m/s/s

1 0,4000 0,27791728 0,038619008 10,3575938

2 0,4500 0,30179363 0,045539697 9,8814886

3 0,5000 0,31958998 0,051068879 9,7906986

4 0,5500 0,33595026 0,056431288 9,7463662

5 0,6000 0,35682282 0,063661263 9,4248838

6 0,6500 0,36457694 0,066458173 9,7805879

7 0,7000 0,37101534 0,068826193 10,1705466

8 0,7500 0,39079742 0,076361313 9,8217274

9 0,8000 0,40743591 0,083002012 9,6383206

10 0,8500 0,41367577 0,085563820 9,9341054

g médio = 9,8546319

amostra = 0,2611212

m0 = 0,0875282

37


APÊNDICE 1: APROXIMAÇÕES ou “ARREDONDAMENTOS”

Quando efetuamos operações com números provenientes de medidas precisamos fazer

algumas aproximações. Se as arestas de um retângulo forem x = 2,34cm e y = 5,12cm, precisamos considerar que tanto x quanto y possuem três algarismos significativos, e não é correto expressarmos o resultado do produto x.y com um numero de algarismos significativos superior ao número de algarismos significativos de x e ao de y. Pois bem, se efetuarmos

A = x.y = 2,34cm.5,12cm = 11,9808cm²,

o resultado acima não está corretamente escrito. Ele deve ser escrito com apenas três algarismos significativos. Assim sendo, qual é a melhor opção:

A = 11,9cm² ou A = 12,0cm²?

A resposta a esta questão é o ponto fundamental quando se trata das aproximações. Primeiramente observe que

11,9808 = 11,0000 + 0,9898, e devemos perguntarmo-nos se 0,9808 está mais próximo de 1,0 ou de 0,9. Neste caso é fácil:

1,0 - 0,9808 = 0,0192 é menor do que 0,9808 - 0,9 = 0,0808.

Veja a escala: 0,9808

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Desta mesma maneira você deve proceder em todos os arredondamentos, por exemplo vamos “arredondar” o número N = 354,37 com

a) 4 algarismos significativos: N = 354,4 pois 0,37 está mais próximo de 0,40 do que de 0,30; b) 3 algarismos significativos: N = 354, pois 4,4 está mais próximo de 4,0 do que de 5,0; c) 2 algarismos significativos: N = 3,5.10² pois 54 está mais próximo de 50 do que de 60; d) 1 algarismo significativo: N = 4.10² pois 354 está mais próximo de 400 do que de 300.

Tenha cautela quando estiver próximo da metade do intervalo. Na escala de 0 a 10, o número

5,00001 passou da metade do intervalo, por isto está mais próximo de 10 do que de 0, então, se formos escrever o número y = 125,000001 com

a) Três AS: y = 125; b) Dois AS: y = 1,3.10².

A situação pode gerar um legítima dúvida é quando o número 5 aparece seguido de zero. Por

exemplo, se a = 3150 e se b =30 então a.b = 94500, mas respeitando o fato de b possuir apenas dois AS, deveremos escrever a.b com apenas dois AS. Neste caso, qual será a melhor escolha, a.b =9,4.104 ou a.b = 9,5.104? De que número 4500 está mais próximo, de 4000 ou de 5000? Neste caso não há resposta, de forma que qualquer uma das poções, b =9,4.104 ou a.b = 9,5.104, é possível. Particularmente, por questões meramente psicopatológicas, prefiro a.b = 9,4.104.

38


APÊNDICE 2: Derivadas

Figura 8: variação de y = f(x), y, devida a uma variação x, em x.

y/t = 12x.cos .e3t.

Voltemo-nos para o caso de uma função de mais de uma variável que possa ser escrita como

y(x,t,) = cxN.tM. K, (34) Considerando que c, N, M e K sejam números reais. Considerando o que sabemos sobre as derivadas parciais, vamos aplicar a equação (25) para conhecermos o desvio de y devido aos desvios das variáveis s, t e :

yx = N.cxN-1.tM. K = N.y/x, (35a)

yt = M.cxN.tM-1. K = M.y/t, (35b)

yx = K.cxN.tM. K-1 = K.y/, (35c)

39


de modo que

Δy = { [ (N.y/x).Δx]² + [ (M.y/t).Δt]² + [ (K.y/).Δ]² }

Δy/y = { [N.Δx/x]² + [ M.Δt/t]² + [ (K.Δ/]² } (36)

40


APÊNDICE 3: PRINCIPAIS EQUAÇÕES

Valor médio: XMED = { Xi } / N (1)

(5)

Variância: 2 = { [( XMED – Xi)2 ] / (N-1) },

Desvio padrão corrigido :

= { [(Xi )² ] / N } (6)

Propagação de erros (desvios):

Δf = [ (f/xi).Δxi ] ². (29)

41


EXERCÍCIOS

1. Diga quais são os algarismos significativos, quais são os algarismos duvidosos e o número de algarismos significativos nas medidas a seguir. Suponha que foram feiras corretamente.

a. 23,9468cm; b. 9,8530s; c. 45,84.10-6s; d. 345C; e. 0,000891g

2. Faça as seguintes conversões. Dê sua resposta em notação científica. a. 345mm para km; b. 300s para h; c. 456,800cm para km; d. 10h para min; e. 4589m² para cm²; f. 895mL para km³.

3. Escreva o número 65,48350 com: a. Seis algarismos significativos; b. Cinco algarismos significativos; c. Quatro algarismos significativos; d. Três algarismos significativos; e. Dois algarismos significativos; f. Um algarismo significativo.

4. Realize as seguintes operações e dê sua resposta em notação científica e nos sistema

internacional de unidades, respeitando o número de algarismos significativos. a. 345 s + 23,2s; b. 23,5m/34,2s; c. (89,3m)³; d. 67h + 22 min;

e. 12l + 0,0456m³.

5. A aresta de um paralelepípedo mede cinco centímetros. Qual é a leitura correta, no sistema internacional, caso seja feita com

a. Uma fita métrica graduada em centímetros? b. Uma régua graduada em milímetros; c. Um paquímetro graduado em décimos de milímetros?

d. Uma trena graduada em milímetros? 6. Para se determinar a massa específica (densidade absoluta) de um determinado metal,

tomou-se uma amostra com alto grau de pureza, na forma de um paralelepípedo de massa m e arestas x, y e z, como dadas a seguir.

x =(1,98 0,05)cm; y =(1,96 0,05)cm; z =(5,08 0,05)cm;

m =(52,679 0,005)g; Determine: a. O desvio relativo das arestas e da massa; b. O valor mais provável do volume da amostra; c. O desvio relativo do volume; d. O desvio do volume da amostra; e. O volume da amostra;

f. O valor mais provável da densidade da amostra;

42


g. O desvio relativo da densidade; h. O desvio da amostra; i. A densidade da amostra; j. Qual deve ser o metal.

7. Responda qual é a unidade. a. Do desvio padrão; b. Da variância; c. Do desvio relativo.

8. Abaixo estão as notas de um grupo de 40 alunos.

Construa um histograma a. Determine a média das notas, <N>; b. Determine o desvio padrão, , com dois algarismos significativos; c. Qual a porcentagem de alunos que se encontram com nota no intervalo

[<N> - ; <N> - ].

d. Construa um histograma para as notas de 0 a 100, com intervalos de amplitude 10. Represente no gráfico a média e o intervalo [<N> - ; [<N> - ].

9. Determine cada uma das seguintes grandezas: a. Constante elástica K, sendo F = K.x, onde F = (300 5)N e x = (2,000,05)m;

b. Área A, para A = r², sendo r = (8,000,02)cm; c. Momento de inércia I, com I = m.L², onde m = (30,345 0,005)g e

L = (250,00 0,05)cm; d. Coeficiente de dilatação linear , quando ΔL = L0..ΔT, ΔL = (0,0920,005)mm,

L0 = (50,000,05)m e ΔT= (802)°C.

77 62 55 73 78

59 90 63 67 45

21 76 29 82 58

41 65 50 65 35

85 76 22 93 33

52 80 38 25 60

70 54 72 39 22

28 35 59 79 74

80 94 81 66 52

38 52 33 62 52

43


GABARITO

1) a) AC: 2, 3, 9, 4, e 6. AD: 8cm. Total: 6 AS. b) AC: 9, 8, 5, e 3. AD: 0s. Total: 5 AS. c) AC: 4, 5 e 8. AD: 4.Total: 4 AS. d) AC: 3 e 4. AD: 5. Total: 3 AS. e) AC: 8 e 9. AD: 1. Total: 3 AS.

2)

a) 345mm =3,45.10-4 km; b) 300s = 8,33.10-2 h; c) 456,800 cm = 4,56800.10-3 km; d) 10h = 6,0.102 min; e) 4589m² = 4,589.107 cm²; f) 895ml = 8,95 10-13 km³.

3) 65,48350

a) 65,4835 b) 65,483 c) 65,48 d) 65,5 e) 66 ou 65 f) 7.101

4)

a) 345 s + 23,2s = 368s b) 23,5m/34,2s = 0,687 m/s c) (89,3m)³ = 7,12.105 m³ d) 67h + 22 min = 2,4.105 s e) 12l + 0,0456m³ = 5,8.10-2 m³

5)

a) (5,0 0,5) cm no S.I.: (5,0 0,5).10-2 m b) (5,00 0,05) cm no S.I.: (5,00 0,05).10-2 m c) (5,000 0,005) cm no S.I.: (5,000 0,005).10-2 m d) (0,500 0,005) dm ou (5,00 0,05) cm no S.I.: (5,00 0,05).10-2 m

6)

a) O desvio relativo das arestas e da massa: Δx/<x> = 0,05cm/1,98cm = 0,025 = 2,5% Δy/<y> = 0,05cm/1,96cm = 0,026 = 2,6% Δz/<z> = 0,05cm/5,08cm = 0,0098= 0,98% Δm/m = 0,005g/52,679g = 9,5.10-5 = 0,0095%

b) O valor mais provável do volume da amostra: <V> = <x>.<y>.<z> = 1,98cm.1,96cm.5,08cm = 19,7cm³

c) O desvio relativo do volume equação (36): ΔV/<V> = { [Δx/<x>]² + [Δy/<y>]² + [Δz/<z>]² } = 0,037

d) O desvio do volume da amostra: ΔV = <V> . (ΔV/<V>) = 0,7 cm³

e) O volume da amostra: V = (19,7 0,7)cm³

f) O valor mais provável da densidade da amostra: <d> = <m>/<V> = 52,679g / 19,7 cm³ = 2,67 g/cm³

g) O desvio relativo da densidade: Δd/<d> = { [ΔV/<V>]² + [Δm/<m>]² } = 0,037

44


Obs.: Sendo o desvio percentual no volume é muito maior que o desvio relativo da massa, durante a propagação dos erros, ele terá tal impacto sobre o desvio da densidade de forma que o desvio da massa é desprezível.

Δd/<d> = { [ΔV/<V>]² + [Δm/<m>]² } { [ΔV/<V>]² } = ΔV/<V> = 0,037

Isto ocorreu porque o instrumento empregado para medir a massa é muito mais preciso do que aquele empregado para medir as arestas.

h) O desvio da amostra: Δd = <d> . (Δd/<d>) = 0,037. 2,67 g/cm³ = 0,10 g/cm³

i) A densidade da amostra:

d = (2,67 0,10) g/cm³ Obs.: Fizemos a opção de escrever a densidade dom três AS, mantendo dois AS para o desvio, embora também fosse aceitável escrevermos

d = (2,7 0,1) g/cm³, e diríamos que a densidade da amostra é 2,7 g/cm³ para aqueles que não trabalham com propagação de erros e tampouco a compreendem. Neste caso, a informação 2,7 g/cm³ é correta e fica implícito que o algarismo 7 é duvidoso.

j) Qual deve ser o metal: Consultando a referência bibliográfica, a densidade do metal nos leva a concluir que se trata do

alumínio. Obs.: Ligas metálicas podem oferecer densidades que sejam iguais à densidade de um outro metal que não esteja presente na liga.

7) a) A unidade do desvio padrão é igual à unidade da grandeza medida:

= { [(Xi )² ] / N }

A unidade do valor médio da grandeza, <x> é a mesma unidade de cada medida, xi, da grandeza x. Conseqüentemente, a unidade de cada desvio, Δxi = xi – Δxi, é a mesma unidade da grandeza x. Sendo a unidade de G² igual a unidade da grandeza G, fica justificada a afirmação:

a unidade do desvio padrão da medida é igual à unidade da grandeza medida.

b) A unidade da variância, ², é igual ao quadrado da unidade do desvio padrão, .

d. O desvio relativo é adimensional, porque

unidade de Δd/<d> = unidade de Δd / unidade de <d> = 1.

8) a) 55 b) 22

9)

a) K = (150 5) N/m; b) A = (201 1) m²; c) I = (1,8966 0,0006).10-3 kg. m²; d) = (2,3 0,1).10-5 /°C.

45


Referências Bibliográficas

(1) Vuolo;

(2) Otaviano A. M. Helene, Vito R. Vanin, Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental – Editora Edgard Blucher, São Paulo, 1981.

(3) Paradine, Rivett, Métodos estatísticos para Tecnologistas, Editora da Universidade

de São Paulo, São Paulo, 1974.

Laboratório de Física 1. Considerações iniciais

Documents

Transcript of Laboratório de Física 1. Considerações iniciais