Laudo Barbosa (07 de Novembro, 2006)

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Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-XMinicurso – Cristalografia e Difração de Raios-X

Segunda aula: Segunda aula: Interações de Raios-x com a MatériaInterações de Raios-x com a Matéria

Laudo BarbosaLaudo Barbosa

(07 de Novembro, 2006)(07 de Novembro, 2006)

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)

http://www.cbpf.br/

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Plano de apresentaçãoPlano de apresentação

• Espalhamento Thomson, Efeito Compton, Efeito Fotoelétrico

• Espalhamento de raios-x por uma, duas e n partículas

• Difração de raios-x por um arranjo linear de partículas (Condições de Laue, Lei de Bragg)

• Difração por um cristal

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EspalhamentoEspalhamento

p1p2

Uma possibilidade

p1 p2

Outra possibilidade

• Há diversas possibilidades de interação entre partículas (colisão elástica, colisão inelástica, fusão, fissão, desintegração... )

• Cada interação tem uma probabilidade de ocorrência

• A probabilidade depende, em geral, da energia e das características de cada partícula envolvida na interação

• A probabilidade específica para uma interação é chamada Seção de Choque

• O resultado efetivo das interações é naturalmente relacionado com a Seção de Choque

NOTA: na descrição física mais rigorosa, não se fala mais em campos, pois o próprio campo é composto por partículas. Também não se calculam

valores exatos, somente probabilidades

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Raios-X Raios-X (interação de fóton com elétron)(interação de fóton com elétron)

Ef E

Espalhamento Thomson ( = “clássico”)

Ef E

• O campo elétromagnético (fóton) leva o elétron a oscilar em sua órbita

• A oscilação implica aceleração/desaceleração

• Elétrons acelerados emitem radiação

• A radiação emitida tem a mesma frequência da incidente (coerente)

Processo análogo

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Ef E

Espalhamento Compton

Ef >> E

• A energia do fóton é muito maior que a energia de ligação do elétron

• Portanto, é como se o elétron estivesse “livre”

• Ocorre colisão inelástica

• O elétron adquire energia, o fóton perde energia

λ1

λ2 > λ1

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Ef E

Efeito fotoelétrico

Ef > E

• A energia do fóton é apenas maior que a energia de ligação do elétron

• O elétron adquire (absorve) a energia do fóton

• Com o excesso de energia, o elétron se desprende do átomo

• O fóton desaparece

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Produção de paresProdução de pares

Ef

Produção de Par elétron-pósitron

Ef > mec2 (512keV)

• A energia do fóton é suficiente para “materializar” um elétron e um pósitron

• O núcleo do átomo adquire momento de recuo

• O fóton desaparece (aniquilação)

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Interação de fótons com a matériaInteração de fótons com a matéria

100 101 102 103 104 105 106 107 108

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

1x10-5

1x10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

(c

m2 /g

)

Energia (keV)

Espalhamento Compton Efeito fotoelétrico Produção de pares Total

Resumo Compartivo das seções de choque

Para a difração de raios-x, o efeito relevante é o espalhamento coerente (Thomson)

http://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/Text/XCOM.html

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Espalhamento (coerente) por uma partícula

Conforme já foi mostrado, o campo elétrico se exprime como uma soma infinita (integral) de termos:

dekFkdtxE txki ).(

21 ),(),(

Cada um dos termos se refere a um comprimento de onda específico, e contribui com amplitude F = F(k,)

Consideremos o caso de uma onda monocromática, de amplitude constante

vekFA

YAeeekFekFdekFkdtxE

xki

oivttixkitxkitxki

2 ; ),(

),(),(),(),(

.21

2.21).(

21).(

21

Podemos calcular o espalhamento da onda Yo por uma partícula carregada (elétron)

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Espalhamento (coerente) por uma partícula

Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre um elétron ?

sDsc

D iiivtitiv

DA eefY D

22)(2

2 ),2(

Encontra-se:

2So

^

S^

D

O

P

• A amplitude da onda espalhada depende do ângulo e cai com 1/D

• A intensidade [ |Y|2 ] da onda espalhada cai com 1/D2

• A onda espalhada chega ao ponto P depois de um intervalo de tempo D/c

• A onda espalhada é defasada por um fator αs relativamente à onda incidente

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Espalhamento (coerente) por duas partículas

Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre dois elétrons ?

iiiivtiiivt sD

sD

eeYYY DD22222

21 ),2(),2(

Encontra-se:

2

So

^

S^

D

O2

P

O1

So

^

S^

O2

O1

O2

O1

So

^

r^

S^

SrSr oˆ.ˆ. Diferença de caminho óptico:

o

sD

sD

SSsriDAi

DA

iiivtiiiivt

sefefD

eeeY DD

ˆˆˆ.ˆ2

2

2

22

22

2

222

ˆ ; 11),2(

1

onde

),2(),2(

Como r << D

O ângulo de espalhamento é o mesmo

para as duas partículas

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Espalhamento (coerente) por n partículas

Por extensão deste raciocínio, podemos calcular o espalhamento devido a várias partículas, não necessariamente idênticas. O único que muda é o termo referente à amplitude de espalhamento para cada partícula, . As contribuições individuais de

cada partícula se somam:

2

)22(.21

02

.21

02

.21

0

||

)(),,2(

)(),2(),2(

n

iiivtsrinj

jjD

An

srinj

jjD

Asrinj

jj

Y

eeftDY

efeDD

eIntensidad

sD

j

jj

• A intensidade do espalhamento é o que efetivamente se mede.

• Nesta medida estão “embutidas” as informações sobre estrutura rj.

• Idealmente, uma medida complementar deveria prover a informação sobre a fase, para se chegar à disposição espacial das partículas (“problema da fase”)

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Difração por um arranjo linear de partículas

Porquê “Difração” ?

• Como o espalhamento é coerente, cada centro espalhador (elétron, partícula) atua como re-emissor da onda incidente.

• Num dado ponto de observação, as contribuições de cada centro re-emissor se somam (interferem)

• A interferência pode ser construtiva ou destrutiva

• O fenômeno é chamado de difração, em alusão ao que ocorre com as ondas.

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n partículas regularmente espaçadas

Tomamos a expressão genérica, para o espalhamento de n partículas, com rj = j.a

a

1 n2

So

S

1

0

.22

.21

02

n

q

saiqDAsaiq

n

qqD

An efefA

n.a << D

Os termos do somatório estão em progressão geométrica, de razão e2ias

saxfA

AAaS

DA

o

ee

onqq

on ix

inxn

. ;

2

11

11

2

2

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n partículas regularmente espaçadas

A intensidade do espalhamento numa dada direção é dada por:

)(

)(

2

)(

)(2*2

2

2

2

2

)(

)(

:ondexsen

nxsenn

noxsen

nxsenonnnn

xf

xfAAAAAI

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0

20

40

60

80

100

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0

5

10

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0

10

20

30

n=10

f(x

)

x

n=3

f(x

)

n=5

f(x

)

Para um número muito grande de

partículas, fn(x) só é significativa

quando x é um número inteiro

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Condição de Laue

A condição para que a intensidade difratada seja significativa é:

msenψ

msensena

msax

ao

aSS o

m

2 )0 (

)2(.

.

para

inteiro) (

Inte

nsid

ade

x

(*) Lembra a Lei de Bragg

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Difração por um cristal

Um cristal é, por definição, uma rede de centros espalhadores, distribuídos regularmente num arranjo periódico sobre as três direções espaciais

Portanto, a posição de cada um dos centros espalhadores de um cristal pode ser especificada por:

)( wvu inteiros w v,u,cbar

A mesma análise usada no caso unidimensional se aplica, estendida a três dimensões. Chegamos a uma expressão que envolve o produto de três somatórios:

wvu

srin

scbainn

nnn eeA,,

.21

0w

).wvu(21

0n

1

0u

321

321

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Em vez de apenas uma, temos, para o cristal, três “Condições de Laue”:

Existe um vetor que, substituindo s, satisfaz simultaneamente as três condições

lsc

h,k,lksb

hsa

.

) ( .

.

inteiros

*rs

recíproca) rede de(vetor

||.||.||

)()()(*

cba

balackcbhr

Portanto, as condições de Laue se reduzem a:

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• Verifica-se que o vetor de rede recíproca é normal ao plano hu+kv+lw=1

• Verifica-se que o módulo deste vetor é 1/dhkl, onde dhkl é a distância entre o plano e a origem

• dhkl é também a distância entre planos paralelos a este e adjacentes: hu+kv+lw=n, n inteiro

u

w

v

1/w

1/u

1/v

dhkl

Tomando o valor absoluto dos dois vetores, obtemos:

hkldsen 12

Lei de Bragg2S/λ So /λ

s

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Outra maneira de se deduzir a Lei de Bragg

Família de planosd

A diferença de caminho óptico para o feixe refletido é: 2dsen

Nas direções em que a diferença de caminho óptico é múltiplo de λ tem-se interferência construtiva

ndsen 2

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