LISTA 1 - MA-327 - C/D/E

1. Considere as matrizes A, B e C abaixo:

A =

1001

B =

0001

C =

0010

a) Calcular 2A , 3A , 4A e deduzir uma regra para An b) Calcular B2 , C2 , B.C e C.B .2. Se A, B e C so matrizes mxn, mxn e nxp, respectivamente, prove que valem as seguintes relaes: a) ( A + B )t = At + Bt b) ( k A )t = k At , k R c) ( At )t = A d) ( A .C )t = Ct . At e) Se A quadrada e inversvel ento ( A 1 )t = ( At ) 1OBS: A t denota a transposta de A3. Mostre, usando induo finita, que ( At )n = (An )t para todo n N* .4. Determine se cada afirmao abaixo verdadeira ou falsa, justificando: a) det ( A + B ) = det A + det B b) det A = det B A = B c) det A.B = det B.A d) A . B = A . C B = C e) A e B diagonais de ordem 2 A . B = B . A5. Dada uma matriz real quadrada A dizemos que: A simtrica se At = A A anti-simtrica se At = A A idempotente se A2 = A A nilpotente se existe k N* tal que A k = 0. A = [ a ij ] triangular superior se tem os elementos a ij = 0 para i > j. A = [ a ij ] triangular inferior se tem os elementos a ij = 0 para i < j Usando as definies dadas, resolver: a) Dadas A e B simtricas, prove a seguinte equivalncia: A.B simtrica se, e somente se, A e B comutam (i.e., A.B = B.A ) b) Se A .B = A e B .A = B ento A e B so idempotentes. c) Se A idempotente ento C = I A idempotente e ainda A.C = C.A = 0. d) Se A idempotente ento ou A = I ou A no inversvel. e) Se A nilpotente ento A no inversvel. f) Se A nilpotente com k = 2 ento A . ( I + A )3 = A. g) Se A simtrica ento Bt .A .B simtrica ( B quadrada de mesma ordem de A). h) Se A anti- simtrica ento B t .A .B anti-simtrica. i) Mostre que qualquer matriz real quadrada A pode ser decomposta, de maneira nica, como uma soma A = B + C, onde B simtrica e C anti-simtrica. j) Se A e B so triangulares superiores ento A + B triangular superior. k) Se A triangular superior ento A t triangular inferior. l) Se A triangular superior e inferior ento A diagonal. m) Mostre que qualquer matriz real quadrada A pode ser escrita como soma A = B + C, onde B triangular superior e C triangular inferior. Tal decomposio nica ?6. Sejam A e B matrizes simtricas e sejam C e D matrizes anti-simtricas. Determine se cada afirmao verdadeira ou falsa, justificando: a) A + B simtrica b) C + D anti-simtrica c) A .B simtrica d) C.D anti-simtrica7. Mostre que no existe matriz inversvel A tal que A2 = 0.8. Sejam A e B matrizes reais n x n tais que o produto A .B inversvel. Mostre que A e B so inversveis.9. Dadas duas matrizes reais A e B tais que A . B = I pode-se afirmar que A inversvel ?10. Seja A2 x 2 uma matriz real tal que A .B = B .A para qualquer matriz real B2 x 2 . Mostre que A um

mltiplo da identidade, isto , A = k I para algum k real.11. O trao de uma matriz quadrada A n x n definido como a soma dos elementos da diagonal de A eindicado por tr A, isto , tr A = a ii . Prove que: a) tr ( A + B ) = tr A + tr B b) tr ( k A ) = k. tr A c) tr (A .B) = tr ( B .A ) d) Se B inversvel ento tr ( B-1 A B ) = tr A12. Mostre que no existem matrizes An x n e Bn x n com A .B B .A = I ( use o exerccio anterior)13. Seja A2 x 2 qualquer. Prove que det ( I + A ) = 1 + det A se, e somente se, tr A = 0.14. i) Considere A e B matrizes reais n x n e desenvolva as seguintes expresses matriciais: a) ( A B )2 b) ( A B ) ( A + B ) c) ( A B ) ( A2 + A .B + B2 ) ii) Repita o exerccio usando agora a hiptese A.B = B.A (A e B comutam) e compare os resultados. 15. Sejam An x n e k N* . a) Mostre que I Ak+1 = ( I A ) ( I + A + ... + Ak ) = ( I + A + ... + Ak ) ( I A) b) Se A nilpotente ento I A inversvel embora A no o seja.16. Mostre, usando induo finita que:

n

nn

nnnn

aana

annana

aa

a

000

2)1(

001001

1

21

para todo n N*

17. Ache a forma genrica de uma matriz simtrica de ordem 2 e de uma simtrica de ordem 3.18. Ache a forma genrica de uma matriz anti-simtrica A de ordem 2 e de uma anti-simtrica de ordem 3.Relacione com o trao da matriz A19. Dada uma matriz real anti-simtrica An x n , usando a definio e as propriedades do determinante proveque: a) os elementos da diagonal so todos nulos: a ii = 0 ( portanto tr A = 0 ) b) det A = 0 quando n mpar.Verifique diretamente os casos n = 2 e n = 3.

20. Sem desenvolver, mostre que 0 uma raiz da equao dada por: det

00

0

cxbxcxaxbxax

0.