Disciplina: FISI0172 - Metodos de Fsica Teorica I

Perodo: 2015.2

Professor: Stoian I. Zlatev

Lista de exerccios 02

Assunto. A derivada complexa. Condicoes de Cauchy-Riemann. Funcoes analticas.

Em todos os exerccios x e y indicam as partes real e imaginaria de z, correspondentemente. Asfuncoes u(x, y) e v(x, y) na representacao f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sao reais.

1 As funcoes u(x, y) e v(x, y) sao, respectivamente, as partes real e imaginaria de uma funcaoanaltica w(z).

a) Admitindo que as derivadas requeridas existem, mostre que u e v sao solucoes para a equacaode Laplace, isto e,

2u = 2v = 0, 2 = 2

x2+

2

y2

Solucoes da equacao de Laplace, tais como u(x, y) e v(x, y), sao denominadas funcoes harmonicas.

b) Mostre que

u

x

u

y+v

x

v

y= 0

e de uma interpretacao geometrica.

2 Mostre que a derivada da funcao dada nao existe em nenhum ponto do plano complexo.

a) f(z) = z; b) f(z) = z z;c) f(z) = ex (cos y i sen y) .

3 Mostre se a funcao f(z) = Re(z) = x e analtica ou nao.

4 Mostre que a derivada f (z), bem como a segunda derivada f (z), existem em todos os pontosdo plano complexo. Calcule f (z).

a) f(z) = iz + 2; b) f(z) = ex (cos y i sen y) ;c) f(z) = z3; d) f(z) = cosx cosh y i senx senh y.

5 Determine onde e que a derivada complexa existe. Calcule a derivada.

a) f(z) = 1/z; b) f(z) = x2 + iy2; c) f(z) = zIm z.

Respostas: (a) f (z) = 1/z2(z 6= 0); (b) f (x+ ix) = 2x; (c) f (0) = 0.

6 Determine o conjunto onde a funcao dada e analtica.

a) f(z) = x2 y2 2xy + i2y(x 1)b) f(z) = ey(cosx+ i senx)

c) f(z) = x2y2 + i2x2y2

d) f(z) = 2x+ ixy2;

1

7 Use os teoremas para mostrar que a funcao dada e analtica no domnio indicado. Calcule a

derivada.

(a) f(z) =1

z4, z 6= 0;(b) f(z) =

r (cos(/2) + i sen(/2)) , r > 0, < < + 2pi;

(c) f(z) = ecos (ln r) + ie sen (ln r) , r > 0, 0 < < 2pi.

Respostas: (b) f (z) = 12f(z) ; (c) f(z) = if(z)z .

8 Determine a funcao inteira f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tal que v(x, y) = 3x2y y3 para todosx, y R e f(0) = 1.

9 Ache a funcao analtica

w(z) = u(x, y) + iv(x, y)

se

a) u(x, y) = x3 3xy2;b) v(x, y) = ey senx.

A referida funcao analtica e unica?

10 A funcao f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analtica. Mostre que [f(z)] tambem e analtica.

2