*La transformada de Laplace

*La transformada de FourierLa transformada de Fourier para seales peridicas es un espectro discreto de frecuencias. La primera ecuacin es la de sntesis y la otra la de anlisis.

*La transformada de FourierExisten funciones no peridicas como la funcin escaln, la funcin rampa, o la funcin impulso, etc. El espectro de estas funciones es un espectro continuo en los que se puede encontrar energa en cualquier intervalo de frecuencia diferente a cero, por pequeo que ste sea.

*La transformada de Fourier

*La transformada de FourierExisten funciones del tiempo que al querer encontrar su equivalente en Fourier, nos encontramos con una expresin indeterminada al sustituir los lmites de integracin. Este problema surge cada vez intentamos obtener la transformada de Fourier de una funcin del tiempo cuyo

*La transformada de FourierAlgunas de estas funciones son el escaln, signo, etc. Aunque su equivalente de Fourier si exista y se obtenga a partir de ciertos resultados bsicos, existen ciertas funciones como la exponencial creciente, seales aleatorias, y otras que no son absolutamente integrales.

*La transformada de FourierAdems las tcnicas de Fourier no permiten analizar los sistemas a partir de las condiciones iniciales que este presenta. Estas dos objeciones se superan al usar la transformada de Laplace, que adems tiene una nomenclatura ms sencilla y una mayor facilidad de manejo.

*Frecuencia complejaAntes de comenzar el desarrollo de la Transformada de Laplace, se dar una definicin puramente matemtica de la frecuencia compleja, para luego desarrollar gradualmente una interpretacin fsica mientras avanza el curso.

*Frecuencia complejaSe dice que cualquier funcin que puede escribirse en la forma

donde y son constantes complejas (independientes del tiempo), est caracterizada por la frecuencia compleja Para conocer la frecuencia compleja de una funcin dada por inspeccin, es necesario escribirla de la forma anterior.

*Frecuencia complejaConsiderese la siguiente funcin senoidal exponencialmente amortiguada

donde

*Frecuencia complejaLa parte real de est asociada con la variacin exponencial; si es negativa, la funcin decrece conforme t aumenta, si es positiva aumenta, y si es cero, la amplitud de la senoidal es constante. Mientras mayor sea la magnitud de la parte real de , mayor ser la rapidez del aumento o disminucin exponencial.

*Frecuencia complejaLa parte imaginaria de describe la variacin senoidal; especficamente, representa la frecuencia angular. Una magnitud grande de la parte imaginaria indica una variacin ms rpida respecto al tiempo. Por lo tanto, valores mayores de la magnitud de , indican una variacin ms rpida respecto al tiempo.

*Frecuencia complejaSe denota por a la parte real, y por a la parte imaginaria:

es la frecuencia compleja, es la frecuencia neperiana y es la frecuencia angular.

*La transformada de LaplaceLa transformada de Laplace se presentar como un desarrollo o evolucin de la transformada de Fourier, aunque se podra definir directamente. El objetivo es hacer que la variacin en el tiempo sea de la forma

*La transformada de LaplacePara lograrlo se considerar la transformada de Fourier de en vez de , haciendo entonces

y su respectiva transformada de Fourier

*La transformada de Laplace

tomando la transformada inversa de Fourierse obtiene

*La transformada de LaplaceAhora se sustituye por la variable compleja , y como es constante,

donde la constante real se incluye en los lmites para garantizar la convergencia de la integral impropia. En trminos de

*La transformada de LaplaceLa ecuaciones anteriores definen el par de la transformada bilateral de Laplace.Puede pensarse que la transformada bilateral de Laplace expresa a como la sumatoria (integral) un nmero infinito de trminos infinitesimalmente pequeos cuya frecuencia compleja es

*La transformada de LaplaceLa transformada de Laplace que se toma con lmite inferior

define la transformada unilateral de Laplace, la transforma inversa sigue inalterada, pero slo es vlida para

*La transformada de LaplaceTambin se puede usar el smbolo para indicar la transformada directa o inversa de Laplace:

*La transformada de LaplaceLinealidad de Laplace

*La transformada de LaplaceFuncin exponencial

*La transformada de LaplaceFuncin escaln

*La transformada de LaplaceFuncin rampa

*La transformada de LaplaceFunciones de la forma

*La transformada de LaplaceFuncin senoidal

*La transformada de LaplaceFuncin cosenoidal

*La transformada de LaplaceFunciones desplazadas en el tiempo

*La transformada de LaplaceFuncin pulso

*La transformada de LaplaceFuncin impulso

*La transformada de LaplaceFunciones desplazadas en la frecuencia

*La transformada de LaplaceCambio de la escala de tiempo

*La transformada de LaplaceTeorema de diferenciacin real

*La transformada de LaplaceTeorema del valor finalSi f(t) y su derivada se pueden transformar por el mtodo de Laplace, y si existe el limite de f(t) cuando t tiende a infinito.

*La transformada de LaplaceTeorema del valor inicialSi f(t) y su derivada se pueden transformar por el mtodo de Laplace, y si existe el limite de sF(s) cuando s tiende a infinito.

*La transformada de LaplaceTeorema de integracin real

*La transformada de LaplaceTeorema de diferenciacin compleja

*La transformada de LaplaceIntegral de convolucin

*La transformada de LaplaceTransformada inversa de Laplace

Integral de conversinTablasFracciones parciales

*La transformada de LaplaceFracciones parciales con polos distintos Considere F(s) escrita en la forma factorizada

para m

*La transformada de LaplaceSi F(s) slo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples de la siguiente manera:

*La transformada de Laplaceen donde ak(k=1,2,...,n) son constantes y se denominan como el residuo del polo en s=-pk. El valor de ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuacin anterior por (s+pk) y suponiendo que s=-pk, esto nos lleva a

*La transformada de LaplaceSe observa que todos los trminos expandidos se cancelan con excepcin de ak. Por lo tanto el residuo ak se encuentra a partir de

*La transformada de LaplaceEncontrar la transformada inversa de Laplace de

*La transformada de Laplace

*La transformada de Laplace Fracciones parciales con polos mltiples Se usar un ejemplo para demostrar como obtener la expansin en fracciones parciales de F(s)

*La transformada de Laplace

*La transformada de LaplaceRealizar tareas 1 y 2