Lista de exerccios: Equaes Algbricas Problemas Gerais Prof Fernandinho

Questes:

01.(IBMEC) Considere o polinmio () = 3 4 + 52 + 20. Determine as trs razes, reais ou complexas, da equao () = 0.

02.(IBMEC) Resolva a equao: 33 2 18 + 6 = 0, em .

03.(UNICAMP) Ache todas as razes complexas da equao: 5 4 + 3 2 2 + 2 = 0.

04.(GV) A equao polinomial 3 7 6 = 0 tem como uma das raiz o valor 1. Quais so as outras duas razes?

05.(UNESP) A equao polinomial 3 32 + 4 2 = 0 admite 1 como raiz. Quais so as outras duas razes?

06.(GV) O polinmio () = 34 223 + 642 58 + 13 tem =1

3 como uma de suas razes. Encontre

todas as razes da equao () = 0 no conjunto dos nmeros complexos.

07.(GV) Sabendo que 3 raiz dupla do polinmio () = 4 33 72 + 15 + 18, determine as outras razes.

08.(GV) O polinmio () = 4 53 + 32 + 5 4 tem o nmero 1 como raiz dupla. Qual o valor das outras duas razes de P(x).

09.(PUC) Sabe-se que a equao 4 + 3 42 + + 1 = 0 admite razes inteiras. Se m a maior das razes no inteiras dessa equao, calcule o valor de m.

10.(UNESP) A altura de um balo em relao ao solo foi observada durante um certo tempo e modelada pela funo () = 3 302 + 243 + 24, com () em metros e em minutos. No instante = 3 minutos, o balo estava a 510 metros de altura. Determine em que outros instantes a altura foi tambm de 510 metros.

11.(UNESP) Uma raiz da equao 3 (2 1). 2 . ( + 1). + 2. 2. ( 1) = 0 = ( 1). Quais so as outras duas razes dessa equao?

12.(UNESP) Duas razes 1 2 de um polinmio () de grau 3, cujo coeficiente do termo de maior grau 1, so tais que 1 + 2 = 3 1. 2 = 2. a) D as razes 1 2 (). b) Sabendo-se que 3 = 0 a terceira raiz de (), d o polinmio ().

13.(FUVEST) A soma e o produto das razes da equao de segundo grau (4 + 3)2 5 + ( 2) = 0

valem, respectivamente, 5

8 e

3

32. Calcule o valor de + .

14.(MACK) Se , so as razes da equao 3 22 + 3 4 = 0, determine o valor de =1

+

1

+

1

.

15.(GV) Responda os dois itens abaixo:

a) Sejam , as razes da equao 3 42 + 6 1 = 0. Calcule o valor de =1

.+

1

.+

1

..

b) Resolva a equao 3 22 5 + 6 = 0, sabendo que a soma de duas razes vale 4.

16.(FUVEST) Sabe-se que o produto de duas razes da equao algbrica 23 2 + . + 4 = 0 igual a 1. Calcule o valor de .

17.(FUVEST) As trs razes de 93 31 10 = 0 so , 2. Qual o valor de 2 + 2?

18.(GV) O polinmio () = 3 52 52 + 224 tem trs razes inteiras. Se a primeira delas o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda 1, calcule o produto da primeira e a segunda.

19.(MACK) Se () = 43 162 + , com real, admite duas razes opostas, calcule o valor de .

20.(MACK) Se a equao 3 + 2 + 8 = 0, com nmeros reais no nulos, tem uma raiz real de multiplicidade 3, calcule o valor de .

21.(IBMEC) Uma das razes do polinmio () = 163 642 + 79 30 igual soma das outras duas razes. Determine as trs razes da equao () = 0.

22.(MACK) Se , so razes do polinmio () = 3 52 + 2 + 8, tais que = 2, calcule o

valor da expresso =

+

.

23.(FUVEST) O produto de duas das razes do polinmio () = 23 . 2 + 4 + 3 igual a 1. Determinar:

a) o valor de . b) as razes de ().

24.(ITA) Se , so razes da equao 3 . + 20 = 0, onde real, determine o valor de 3 + 3 +3.

25.(MACK) Se as trs razes reais, no necessariamente distintas, do polinmio () = 3 3. 2 + . 1, com real, formam uma progresso geomtrica, calcule o valor de 3.

26.(UNESP) Dado que as razes da equao 3 32 + = 0, onde uma constante real, formam uma progresso aritmtica, qual o valor de ?

27.(UNICAMP) Considere o polinmio () = 2 11 + + 2, em que uma varivel real e um parmetro fixo, tambm real.

a) Para qual valor do parmetro o resto do quociente de () por 1 igual a 3?

b) Supondo, agora, = 4, e sabendo que so razes de (), calcule o valor de (

+

).

28.(GV) Considere a equao 3 62 + . + 10 = 0 de incgnita e sendo um coeficiente real. Sabendo que as razes da equao formam uma progresso aritmtica, qual o valor de ?

29.(UNICAMP) As trs razes da equao 3 32 + 12 = 0, onde um parmetro real, formam uma progresso aritmtica.

a) Determine . b) Utilizando o valor de determinado no item anterior, encontre as razes (reais e complexas) da equao.

30.(FUVEST) As razes da equao do terceiro grau 3 142 + . 64 = 0 so todas reais e formam uma progresso geomtrica. Determine:

a) o valor de b) as razes da equao.

31.(FUVEST) Sejam as razes da equao 102 + 33 7 = 0. Qual o nmero inteiro mais prximo do nmero 5 + 2. ( + )?

32.(ITA) Quais so os valores de de modo que a equao 3 62 2 + 30 = 0 tenha duas de suas razes somando 1?

33.(GV) Qual a soma das razes da equao 3 2 + 5 = 32 + 2 + 17?

34.(FUVEST) As razes do polinmio () = 3 32 + , onde um nmero real, esto em progresso aritmtica. Determine:

a) o valor de . b) as razes desse polinmio.

35.(GV) A equao polinomial 3 2 7 + 15 = 0, apresenta uma raiz igual a 2 + . Obtenha as outras razes.

36.(MACK) O polinmio () = 3 + . 2 + . + , com , reais, admite as razes 1 e . Determine o valor da expresso = + .

37.(UNESP) Seja a funo polinomial () = 3 + 22 + + , sendo constantes reais. Sabendo que 1 + raiz da funo polinomial, calcule os valores de .

38.(UNICAMP) Dada a equao polinomial com coeficientes reais 3 52 + 9 = 0. a) Encontre o valor numrico de de modo que o nmero complexo 2 + seja uma das razes da referida equao.

b) Para o valor de encontrado no item anterior, determine as outras duas razes da mesma equao.

39.(FUVEST) A equao 3 + . 2 + 2 + = 0, onde so nmeros reais, admite o nmero complexo 1 + como raiz. Nessas condies, calcule o valor de .

40.(FUVEST) Resolva a equao 4 53 + 132 19 + 10 = 0, sabendo que o nmero complexo 1 + 2 uma das suas razes.

41.(UNICAMP) Uma das razes do polinmio 24 + 33 + 32 + 3 + 1 = 0 o nmero complexo . Qual o resultado da soma dos quadrados de todas as razes desse polinmio?

42.(FUVEST) O polinmio () = 4 + 2 2 + 6 admite 1 + como raiz. Qual o nmero de razes reais deste polinmio ()?

43.(ITA) Seja P um polinmio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as razes de P so, respectivamente, 10 e 40. Sendo afirmado que

trs razes de P so reais e distintas e formam uma progresso aritmtica, calcule essas trs razes.

44.(FUVEST)

a) Sendo a unidade imaginria, determine as partes real e imaginria do nmero complexo =1

1+

1

2+ .

b) Determine o polinmio de grau 2, com coeficientes reais, que tenha como raiz e que possua coeficiente dominante igual a 8.

45.(ITA) Sobre a equao polinomial 24 23 + 2 + 1 = 0, sabemos que os coeficientes so

reais, duas de suas razes so inteiras e distintas e 1

2

2 tambm sua raiz. Determine os valores de .

46.(FUVEST) O polinmio () = 4 + 3 + 2 + 8, em que , so nmeros reais, tem o nmero complexo 1 + como raiz, bem como duas razes simtricas. a) Determine , , e as razes de () = 0. b) Subtraia 1 de cada uma das razes de () e determine o polinmio com coeficientes reais, de menor grau, que tenha coeficiente dominante igual a 1 e possua esses novos valores como razes.

47.(MP) A equao 3 152 + 36 130 = 0 admite uma raiz , tal que 10 < < 20. Encontre todas as razes (reais ou complexas) dessa equao.

48.(MP) Resolver a equao 23 32 18 + 5 = 0 em , sabendo que a equao admite uma raiz fracionria negativa.

49.(MP) Resolver a equao 23 + 2 24 14 = 0 sabendo que a equao admite uma raiz fracionria positiva.

50.(MP) Resolver a equao 24 173 + 232 17 + 21 = 0 sabendo que a equao admite uma raiz inteira maior que 5 e uma raiz fracionria positiva.

Gabarito:

01. {5, 2, 2} 02. {1

3, 6, 6} 03. {2, 2} 04. {2, 3} 05. {1 + , 1 }

06. {1

3, 1, 3 + 2, 3 2} 07. {1, 2} 08. {1, 4} 09. =

3+5

2

10. = 09 = 18

11. {, 2} 12. ) 1 = 1 2 = 2

) () = 3 32 + 2 13. + = 9

14. = 3

4 15.

) = 4

) {2, 1, 3} 16. = 8 17. 2 + 2 =

26

9 18. 1. 2 = 56

19. = 4 20. = 18 21. {3

4,

5

4, 2} 22. = 2 23.

) = 7

) {3

2, 1 + 2, 1 2}

24. 3 + 3 + 3 = 60 25. 3 = 0 26. = 3 27. ) = 11

) 1

2

28. = 3 29. ) = 10

) {1, 1 + 3, 1 3} 30.

) = 56

) {2, 4, 8} 31. 10

32. = 1 = 1

33. = 3 34. ) = 2

) {1, 1 + 3, 1 3} 35. {2 , 3}

36. = 3 37. = 6 = 8

38. ) = 5

) {2 , 1} 39.

= 2 = 0

40. {1 + 2, 1 2, 1, 2}

41. = 3

4 42. 43. { 1, 2, 5} 44.

) () =1

2 () = 1

) () = 82 8 + 10

45. = 1 = 2

46. ) = 2, = 2, = 8 {1 + , 1 , 2, 2}

) () = ( 1). ( + 3). (2 + 1) 47. {1 + 3, 1 3, 13}

48. {5

2, 2 + 3, 2 3} 49. {

7

2, 2 + 2, 2 2} 50. {

3

2, 7, , }