Lista de Exercicio de FUNÇÃO EXPONENCIAL

Universidade do Estado do Pará - UEPA

Centro de Ciências Sociais da Educação - CCSE

Núcleo Universitário Regional do Baixo Tocantins

Curso de Licenciatura Plena em Matemática

Instrumentação para o Ensino da Matemática II

Diego Moraes de Lima

Gilcinete Cristina S. dos Reis

Jaciane Freitas de Lima

Jailson Cuimar Paz

Jucicleidison Antunes Melo

FUNÇÃO EXPONENCIAL

1ª Lista de Exercício

MOJU

2011

Diego Moraes de Lima

Gilcinete Cristina S. dos reis

Jaciane Freitas de Lima

Jailson Cuimar Paz

Jucicleidison Antunes Melo

FUNÇÃO EXPONENCIAL

1ª Lista de Exercício

Trabalho apresentado como requisito parcial

para obtenção de nota da 1ª avaliação na

disciplina Instrumentação para o Ensino da

Matemática II, orientada pelo professor Mauro.

MOJU

2011

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3

2 QUESTÕES QUE ENVOLVAM FUNÇÃO EXPONENCIAL ....................................................... 4

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................................... 19

4 REFERÊNCIAS ............................................................................................................................... 20

3

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo mostrar as resoluções de questões dos

principais vestibulares do Brasil, inclusive o do Exame Nacional do Ensino Médio –

ENEM, da disciplina de Matemática em especial no conteúdo de Função

Exponencial, mostrando também algumas resoluções de equações exponenciais.

Este material é importante tanto para profissionais da área de Educação

Matemática, quanto para estudantes que estão tentando ingressar em uma

Instituição de Nível Superior, pois servirá de base para que os professores

construam questões semelhantes, facilitando o ensino aprendizado.

4

2 QUESTÕES QUE ENVOLVAM FUNÇÃO EXPONENCIAL

1 - (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:

(A) -4 (B) -2 (C) -1

(D) 2 (E) 4

Resolução:

2 - (UFRGS) Sabendo-se que , tem-se que vale:

(A) -4 (B) -2 (C) 0

(D)

(E) 2

Resolução:

5

3 - (UFRGS) O valor de x que verifica a equação é:

a) -1

b)

c) 0

d)

e) 1

Resolução:

4 - (UFRGS) A solução da equação é:

a) -2

b)

c)

d)

e) 2

Resolução:

6

5 - (Furg - RS) O valor da expressão A é:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

6 - (UFPI) Sejam x1 e x2 as soluções da equação exponencial

. O valor da soma x1 + x2 é:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

7

Logo:

7 - (Vunesp – SP) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente

a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada

por:

, onde p é massa da pessoa em quilogramas.

Considere uma criança de 8 kg. Determine:

a) A área da superfície corporal da criança;

b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal

duplicar. (Use a aproximação )

Resolução:

a)

b)

23

= 23

)3= (23)3

p2=29

.1,44 = 24.1,44

8

8 - (UFAM) Seja o menor número que é solução da equação .

Então, é um número:

a) Par

b) Primo

c) Não real

d) Divisível por 5

e) irracional

Resolução:

Se é o menor número . Logo não é um número real.

9 - (FGV – SP) A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei

, em que t é o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o

objeto B, de acordo com a lei . Os objetos A e B se encontrarão num certo

. O valor de , em segundos, é um divisor de:

a) 28

b) 26

c) 24

d) 22

e) 20

Resolução:

Pelo enunciado da questão, os objetos A e B se encontrarão se:

Fazendo , temos:

9

Para

Para , não existe

segundos, que é um divisor de 24.

10 - (Mackenzie-SP) O gráfico mostra , em função do tempo, a evolução do

número em bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas abaixo,

decorridos 30 minutos do inicio das observações, o valor mais próximo desse

número é:

a) 18.000

b) 20.000

c) 32000

d) 14.000

e) 40.000

f(t)

8.104

104

0 3 t(horas)

f(t)=a.bt

10

Resolução:

Do gráfico, temos:

f(0)=104

a.b0=104 a=104

f(3)=8. 104

a.b3=8. 104

104.b3=8. 104

b3=8. => b= =>b= 2

Portanto f(t)= 104.2t, onde t é, em

horas, o tempo decorrido.

f(0,5)=104.20,5

f(0,5)=104.

Com , temos f(0,5)

10000.1,4

f(0,5) 14000

11 - (FGV-SP) Uma certa mercadoria foi promovida por uma substancial

campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a

quantidade de diárias de venda era 10.000 unidades. Imediatamente após, as

vendas de diárias decresceram a uma taxa proporcional às vendas de diárias,

tal que: V(t)=B.ek.t, sendo B o número de unidades vendidas em determinado

dia, V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias, e=2,72 e k um número

real.

Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era

8.000 unidades.

a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da

promoção?

b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida a 6.400 unidades?

Considere que log 2 = , sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10.

Resolução:

Nas resoluções a seguir, admitamos que, no período de “pouco antes de

encerrar a promoção” até o último dia da promoção, a quantidade diária de

vendas tenha sido constantemente igual a 10.000 unidades.

De V(0) = B. ek.0 = B e V(0) = 10000, temos que B = 10000.

De V(10) = 8000, temos 10000.ek.10 = 8000 e, portanto, e10k=0,8.

a) V(30) = 10000.ek.30

V(30) = 10000.(e10k)3

V(30) = 10000.(0,8)3

V(30) = 10000.0,512

V(30) = 5120 unidades

11

b) V(t) = 6400

10000.ek.t = 6400

ek.t = 0,64

ek.t = (0,8)2

ek.t = (e10k)2

ek.t = e20k

kt=20k

t=

t = 20 dias

resposta: a) 5120 unidades b) 20 dias

12 - (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma

que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 . 2 –0,2t, em que v0

é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12

000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12 000 = v0 * 2 –2

12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

13 - O número de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente

segundo a função n(t)=2000.30,04t, sendo t o número de dias após o início do

experimento. Calcule:

a) O número n de bactérias no início do experimento;

b) Em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.

12

Solução:

a) Sabemos que o início o t=0 logo temos que calcular n(0)

n(0) = 2000.30,04.0

n(0) = 2000.30

n(0) = 2000.1

n(0) = 2000

Logo, o número de bactérias no início do experimento era de 2000.

b) Temos agora que o número inicial era de 2000 quando ele triplicar o número será

de 6000. logo precisamos ter n(t)=6000, mas n(t)=2000.30,04t. Temos então que

2000.30,04t = 6000

2000.30,04t = 2000.3

30,04t=3

0,04t = 1

t=1/0,04

t=25

Então, para triplicar as bactérias do início do experimento serão necessários 25 dias.

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0

13

14 - (Vunesp) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei

Q(t) = k . 2-0,5t, em que k é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t)

indica a quantidade de substância (em gramas) no instante t.

Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico,

determine os valores de k e de a.

Solução:

Q(t) = k.2-0,5t

2048 = k,20

K = 2048

512 = 2048.2-0,5a

2-0,5a =

2-0,5a = 2-2

-0,5a = -2

a = 4

15 – (UFPA) Uma das práticas mais prazerosas da relação humana – o beijo – pode

ser, paradoxalmente, um dos maiores meios de transmissão de bactérias. Supondo

que o número de bactérias (N) por beijo (b) é determinado pela expressão N(b) =

500 . 2b, para que o número de bactérias seja 32.000 você terá de dar:

512

2048

8

a 0

14

a) 6 beijos

c) 8 beijos

b) 5 beijos

d) 7 beijos

e) 4 beijos

Solução

N(b) = 500 . 2b

32.000=500 . 2b

= 2b

64 = 2b

26 = 2b

b=6

16 – (ENEM) A população mundial está ficando mais velha, os índices de

natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte,

são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das

Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou

mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas

percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos

ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população

total nos países desenvolvidos.

Fonte: “Perspectivas da população mundial”, ONU, 2009

Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).

Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao

ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a

população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa

população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento

15

entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a

população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:

a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. Solução: Para x = 30, temos e0,03 x 30 = e0,3 x 3 , como e0,3 = 1,35 então por substituição temos

(1,35)3 . Basta então aplicar na fórmula dada, y = 363 x 2,460375 que resulta em y =

893,116125 milhões.

17 - (Vunesp) O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na

atmosfera grande quantidade de radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos.

Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e sabendo que o

local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de se reduzir,

por desintegração, a 1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderá

ser habitado novamente a partir do ano de:

a) 2014 b) 2098 c) 2266 d) 2986 e) 3000

A função que relaciona a quantidade de presente em função de tempo é

.

Resolução:

Segundo o enunciado, quando , o local poderá ser novamente habitado.

Então:

Ou seja, em 1986 + 112 = 2098 o local

poderá ser habitado.

16

18 - São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca metade de sua

radioatividade. Qual é a porcentagem de sua atividade original que

permanecerá no fim de 20 anos?

A função que relaciona a quantidade de cobalto-60 presente em função do tempo é

Resolução:

Segundo o enunciado, temos t = 20 anos. Então:

19 - Datação arqueológica com carbono-14

O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos.

Com a morte, o nível de C-14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo

radioativo de meia-vida de 5 730 anos, e como é relativamente fácil saber o

nível original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C-14

num fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas. A

atividade radioativa do C-14 decai com o tempo pós-morte segundo a função

exponencial , em que A0 é a atividade natural do C-14 no

organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte.

Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório

para ter sua idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiações de C-14 por

grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora,

qual é a idade aproximada do fóssil?

17

Resolução:

A função que relaciona a quantidade de C-14 no fóssil em função do tempo é

. Segundo o enunciado, A(t) = 7 e A0 = 896. Então:

20 - (UEPA) No final do mês de abril de 2003, a população de Belém viveu um

dia de pânico em decorrência de boatos que espalhavam-se rapidamente pela

cidade. Tudo começou logo cedo, pela manhã, com um assalto a um carro-

forte em frente a um banco, localizado em uma movimentada avenida

belenense. A polícia perseguiu os bandidos e estes fizeram reféns. As

testemunhas do ocorrido incumbiram-se de iniciar o zunzunzun, espalhando,

sem muita clareza, o que acontecera. A quantidade de pessoas que recebia

informações distorcidas sobre o fato duplicava a cada 10 minutos e, depois de

uma hora, 1.024 cidadãos paraenses já se encontravam aterrorizados, achando

que a cidade estava sendo tomada por bandidos. Ao final da manhã, bancos,

comércio, escolas e repartições públicas já estavam com o expediente

encerrado. Com base nos números citados, quantas pessoas testemunharam

ao assalto?

a) 4 pessoas d) 32 pessoas

b) 8 pessoas e) 64 pessoas

c) 16 pessoas

18

Solução

Quando Q(t) for nos primeiros 10 minutos do assalto 2t.x pessoas testemunharam,

ou seja, Q(1)= 21.x

Quando Q(t) for nos primeiros 20 minutos do assalto 2t.x pessoas receberam

informações, ou seja, Q(2)= 22.x







Seja t o tempo em minutos, Quando Q(t) for uma hora, 60 minutos, temos que

Q(6)=1024, ou seja, Q(6)=2t.x

Logo

Q(t)=2t.x

1024=26.x

1024= 64x

x =

x = 16

19

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho foram abordadas questões resolvidas dos principais

vestibulares do Brasil, ENEM, UEPA, UFPA, Vunesp, Unit-SE, FGV–SP, PUC-RS,

UFRGS, Furg–RS, UFPI, UFAM, Mackenzie-SP, da disciplina Matemática em

relação ao conteúdo Função Exponencial, tornando-se um poderoso material de

apoio para o vestibular.

20

4 REFERÊNCIAS

APOSTILA DIGITAL. Enem – 2009 (oficial) – Conceito de função exponencial e

gráfico. Disponível em: <http://apostiladigital.orgfree.com/wordpress/enem-2009-

oficial-conceito-de-funcao-exponencial-e-grafico>. Acesso em 12 maio 2011.

FTD. Resolução das Atividades Complementares: matemática m7 – função

exponencial. Disponível em:

<http://www.ftdsistemadeensino.com.br/index.aspx?DID=116&&ano=13&ensino=113

>. Acesso em: 10 maio 2011.

SENA. MATEMÁTICA: função exponencial. Disponível em:

<http://pt.scribd.com/doc/6080160/FUNCAO-EXPONENCIAL-INTENSIVO>. Acesso

em: 12 maio 2011

TUTORBRASIL. Exponenciais: resolução de equações tipo I – exercícios.

Disponíve em:

<http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/exponenciais/equacoes_e

xponenciais_01.php>. Acesso em: 10 maio 2011.

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