Cálculo Diferencial e Integral - ARQUITETURA BIM · Primeira Lista de Exercícios ... Função...
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Primeiro Semestre de 2006 Engenharia Profª. Sarah Tanus FASP – Faculdades Associadas de São Paulo Cálculo Diferencial e Integral
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Primeiro Semestre de 2006 Engenharia
Profª. Sarah Tanus
Cálculo Diferencial e IntegralFASP – Faculdades Associadas de São Paulo
Este material é uma referência de aula empregada pela professora, baseia-se em livros texto consagrados de autores nacionais e internacionais. Seu emprego é restrito às aulas de Cálculo I. Contém resumos de aula e exercícios propostos. Não visa substituir a consulta dos livros recomendados nas referências bibliográficas. Ao contrário espera-se com a sua consulta encorajar os alunos a adquirirem ou consultarem seu material de aprendizado de preferência.
Prof. Sarah Tanus.
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ÍNDICE
AULA 1: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES REAIS4
As Variáveis e a Notação Funcional ( y = f(x))............................................................ 5
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES ......................................................................................... 7
FUNÇÃO INVERSA ............................................................................................................ 7
Primeira Lista de Exercícios ............................................................................................. 8
AULA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO............................. 10
AULA 3: TIPOS DE FUNÇÃO E APLICAÇÕES............................................ 13
3.1 Função Linear ....................................................................................................... 13 Função Quadrática...................................................................................................... 15 Segunda Lista de Exercícios ........................................................................................... 17 Função exponencial .................................................................................................... 19 3.4 Função Logaritmo ................................................................................................. 19 Terceira Lista de Exercícios............................................................................................ 21
AULA 4: LIMITES E CONTINUIDADE ................................................ 23
LIMITE INFINITO ................................................................................................................ 25 LIMITE NO INFINITO........................................................................................................... 25
Lista de Exercícios IV..................................................................................................... 26
AULA 5: DERIVADAS...................................................................................................... 29 DEFINIÇÃO ........................................................................................................................ 30 TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO .......................................................................................... 30 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL .............................................................................. 31 DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA .............................................................................. 31 REGRA DA CADEIA ............................................................................................................ 33 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................... 33 NO CASO DA FUNÇÃO COMPOSTA: ..................................................................................... 33
Lista de Exercícios V ...................................................................................................... 35
AULA 6: INTRODUÇÃO ÀS APLICAÇÕES DA DERIVADA .................... 37
PONTOS CRÍTICOS.............................................................................................................. 37 Problemas Práticos ...................................................................................................... 38
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Aula 1: Funções de uma variável real a valores reais
Aplicações das funções no cotidiano Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais etc. Quando duas grandezas x e y estão relacionadas de tal modo que para cada valor de x fica determinado um único valor de y, dizemos y é função de x. Uma função de uma variável real define-se a partir da terna (X, Y, x ⇒ y), onde:
• X e Y são subconjuntos de ℜ ; • x y representa uma regra que nos permite associar a cada elemento do
conjunto X a um ⇒
único elemento de y. Notar que:
1) Todo elemento de X deve ser associado a algum elemento de Y. 2)Para um dado elemento de X associamos um único elemento em Y Exemplos de função utilizando diagramas: a) b) c) d)
Podemos observar, pelos exemplos acima, que um diagrama de relação X em Y apresenta uma função se:
• de cada elemento de X parte apenas uma flecha; • não “sobra elemento em X.
A lei de formação de uma função, representada por y = f(x), é o critério utilizado para a obtenção dos pares ordenados (x, y); a lei de formação é uma sentença matemática.
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Exemplos: a) São dados X = {0,1,2}, Y = {0,1,2,3,4, 5} e f: X Y, definida por: ⇒f(x) =2x + 1.
Para se obter os pares ordenados de f, substituímos cada elemento x de X na lei de formação y = 2x + 1, obtendo as imagens y.
x ∈ X y = 2x + 1 0 f(0) = 2.0 + 1 = 1 1 f(1) = 2.1 + 1 = 3 2 f(2) = 2.2 + 1 = 5
b) Considerando X = {x Z⏐-1 ≤ x ≤1}, Y = {y ∈ ∈ Z⏐-2 ≤ y ≤2} e f: X⇒ Y, definida por: f(x) = x2}. Para se obter os pares ordenados de f substituiremos todos elementos de X em f(x):
f(-1) = (-1)2 = 1 f(0) = 02 = 0 f(1) = 12 = 1
c)Considerando X e Y = e f: X Y, definida por f(x) = xℜ ⇒ 2 + 4. Isto significa que o valor y da função num ponto x qualquer é x2 + 4. Toda função f: ℜ é denominada função de variável real. ⇒ ℜ
Domínio, Contradomínio e Imagem: O conjunto X é o domínio de f e indica-se por Df; assim X = Df. O conjunto Y é o contradomínio de f. O conjunto formado pelos elementos de Y que são correspondentes dos
elementos do domínio é o conjunto imagem da função (Im).
Im = {y ∈ Y ⏐y = f(x)}
Considerações sobre o domínio de uma função Vimos que, ao definir uma função, começamos por mencionar
explicitamente o seu domínio Df, pois este procedimento faz parte da definição da função. Há funções com domínios restritos por razões algébricas, ou seja, nem sempre conseguimos para qualquer elemento do domínio um par em y. Exemplos:
a) f(x) = 1x
,
Df =
b) f(x) = 13x −
Df =
c) f(x) = x − 2 Df =
As Variáveis e a Notação Funcional ( y = f(x)) Há uma notação alternativa para as funções. Usa-se uma letra qualquer como f, por exemplo, para representar a função e o valor que a função associa a x (“o
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novo valor”) é denotado por f(x) em vez de y. O símbolo f(x) é lido como “f de x”. Usando a notação funcional, podemos reescrever o exemplo anterior da seguinte forma:
Encontre f(2) se f(x) = x2 + 3. f(2) = 22 + 3 = 7
Portanto, a notação y = f(x) nos diz que y é uma função de x. As letras x e y que aparecem numa equação são chamadas variáveis. O valor numérico de uma variável y é determinado por aquele da variável x. Por essa razão, y é denominado de variável dependente e x de variável independente O exemplo seguinte mostra como é usada a notação funcional: Nas montanhas dos Andes, no Peru, o número de espécies de morcegos decresce quando a elevação aumenta. Zoólogos relatam que o número N de espécies de morcegos a uma dada elevação é uma função da elevação h, em metros, de modo que N = f(h). Interprete a afirmação f(150) = 100 em termos do número de espécies de morcegos. Aplicações: Descobrindo a altura Os arqueólogos podem utilizar a função definida por H(x) = 2,75x + 71,48 para estimar a altura, em centímetros, de uma mulher cujo comprimento do úmero (osso do braço do ombro ao cotovelo) é x centímetros. Foi encontrado o fóssil de uma mulher cujo comprimento do úmero é 32 cm. Qual era a altura aproximada, em centímetros, dessa mulher?
Úmero (osso do braço do ombro ao cotovelo)
As variáveis da função apresentada nesse exercício são H e x. Como x representa uma medida (comprimento do úmero), ele não pode assumir valores negativos. A
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função H(x) é do 1.º grau porque sua lei é do tipo y = a x + b, sendo a e b números reais e a ≠ 0.
Composição de Funções A função composta g(h(x)) é a função formada pelas duas funções
g(u) e h(x), substituindo-se u por h(x) na fórmula de g(u). Exemplos:
1) A função f: ℜ⇒ℜ definida por f(x) x2 e a função g: ℜ⇒ℜ definida por g(x) = 3x . Determinar gof e fog 2) Determinar gof e fog 3) Determinar vou:
f(x) = x u(x) = x3 +1
g(x) = 2x – 3 v(x) = x5
Função Inversa Seja y = f(x) uma função de A em B ou f : A →B. Se, para cada y B, existir
exatamente um valor x∈A tal que y = f(x), então podemos definir uma função g: B →A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f –1 .
Exemplos: 1) A função f: R →R definida por y = 2x – 5 tem como função inversa:
f –1 :R R, definida por x = → )5(21
+y
2) A função f: R – {3} R – {1} definida por y = →x
x−−
31 admite a função
inversa f –1 : R – {-1} R – {-3} definida por x = →1
31+
+y
y
Observação: graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto.
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Primeira Lista de Exercícios
Funções: definição, aplicação, composição de funções e função inversa
1) Seja f uma relação de A={-1,0,1,2} em B={0,2,4,6,8}, expressa pela fórmula y = 2x. Faça um diagrama e verifique se f é uma função de A em B.
2) Dados A={-2,-1,1,2} e B={-8,-4,-1,0,1,4,8} e uma relação f de A em B dada por y = x3, com x∈A e y∈B, faça o diagrama e mostre que f é função de A em B. Em seguida, determine o domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem desta função.
3) A tabela a seguir representa o consumo em km/l de um carro em movimento. Velocidade (km/h) Consumo (l)
40 8 60 10 80 13 90 10
100 9 120 8
Faça um diagrama de flechas e mostre que a tabela representa uma função. Em seguida, determine o domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem desta função.
4) Determine o domínio das seguintes funções:
a) x
xf 1)( = b) xxf −= 1)( c) x
xf−
=11)(
5) Seja a função definida por f(x) = mx + n, com m e n reais. Se f(2) = 3 e f(-1) = -3, calcule m e n.
6) Dada a função f(x) = 2
1−x
+ 3
1−x
, determine:
a) f(-1); b) m de modo que m = )2()1(
)0()1(−−−
+ffff
; c) x para que f(x)=23
7) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x+a e g(x) = 5x-b. Calcule o valor de a e o valor de b para que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3.
8) Determine f(-12
), f(1) e f(2), sabendo que f(x) =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥+
<−
113
11
1
2 xsex
xsex
9) Calcule os valores indicados da função dada:
a)f(t) = (2t -1) 23−
; f(1), f(5), f(13); b)f(x) = x - x − 2 ; f(1), f(2), f(3)
c)f(t) = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤−+
−<
5551
53
tttset
tse
f(-6), f(-5), f(16) 10) Estabeleça uma fórmula que forneça a soma de um número, diferente de zero, com seu inverso. 11) Com a fórmula do exemplo anterior, calcule o valor da soma para:
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a) x = 5; b) x= 31
c) x = 43
−
12) Para estudar a taxa do nível de aprendizagem dos animais, um grupo de estudantes de psicologia fez uma experiência na qual um rato branco era colocado, repetidamente, em um labirinto. Os estudantes notaram que o tempo requerido para o rato percorrer o labirinto, na n-
ésima tentativa, era de, aproximadamente, f(n) = 3 + 12n
minutos.
a) Para que valores de n, no contexto do problema, f(n) possui significado? b) Quanto tempo o rato gastou para percorrer o labirinto na terceira tentativa? c) Em que tentativa o rato percorreu o labirinto em 4 minutos? d)De acordo com a função f, aumentando-se o número de tentativas, o que acontecerá com o tempo requerido para o rato percorrer o labirinto? O rato conseguirá percorrer o labirinto em menos de 3 minutos? 13) Suponha que o custo total para se fabricar q quantidades de um certo produto seja dado pela
função: c(q) = q3 - 30q2 + 400q + 500. a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades. b) Calcule o custo de fabricação da vigésima unidade.
14) A população de uma cidade daqui a t anos é estimada em p(t) = 30 -4t
milhares de pessoas.
Qual o crescimento da população durante o 5º ano?
15) Calcule a função composta g(h(x)) a) g(u) = 3u2 + 2u - 6 , h(x) = x + 2
b) g(u) = (2u + 0)2 ,h(x) = x -5
c) g(u) = (u-1)3 + 2u2 ,h(x) = x + 1
16) Determine as funções h(x) e g(x) tais que f(x) = g(h(x)) a) f(x) = (x5 -3x2 + 12)3 b) f(x) = 3 5x −
c) f(x) =(x -1)2 +2(x-1) + 3 d) f(x) = x + 4 - 1
4 3( )x +
17) Dados f(x)=3x+5 e g(x)=2x-3, determine x para que se tenha f(g(x))=0. 18) Sabendo que f(x)=2x-5 e g(x)=3x+m, determine m de modo que fog(x)=gof(x) 19) Determine a função inversa das seguintes funções:
a)y = x + 5 ; b)y = 3423
+−
xx
com x ≠ - 43
20) A função f(x)= 312
−−
xx
, com x ≠ 3 é inversível. Determine f-1(x) e o domínio de f-1(x)
21) Dada a função f(x) = x
x3
12 −, com x ≠ 0, determine f-1(2).
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Aula 2: Representação Gráfica da Função
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares.
dias Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores O Plano Cartesiano
Referência Histórica
Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. Onome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí o nome cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
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O primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se for positivo) ou para a esquerda (se for negativo). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se for positivo) ou para baixo (se for negativo). Observe no desenho, abaixo, que: (a , b) ≠ (b , a)
Para obtermos o gráfico de funções definidas por leis y = f(x), iniciamos
calculando f(x) para vários valores convenientes de x, determinando deste modo um conjunto de pontos (x,y) onde x ∈ Df e y = f(x). A cada par associamos um ponto no plano cartesiano.
y1
x x1
y
(x1, y1)
Gráficos revelam informações a respeito de uma função que podem não estar evidentes em descrições algébricas ou verbais. Enquanto o domínio de uma função normalmente torna-se evidente a partir da definição da função, a imagem é determinada freqüentemente pelo gráfico da função. Exemplo prático: Utilizando novamente o exemplo das montanhas dos Andes, no Peru, o número de espécies de morcegos decresce quando a elevação aumenta. Zoólogos relatam que o número N de espécies de morcegos a uma dada elevação é uma função da elevação h, em metros, de modo que N = f(h). Quais são os significados do valor k no intercepto vertical e c no horizontal da figura abaixo.
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Exercícios: A) Representar graficamente as funções. E determine o domínio e a imagem.
1)y = 2x x ∈ [0,3] 5)y = 1x
x > 0
2)y = 2 + x x ∈ [0,2] 6)y = x x ≥ 0 1 se x ≤ 0 3)y = 4 - x x ∈ [0,4] 7)y = x se x >. 0 -1 se x < 0 4)y = x2 x ∈ ℜ 8)y = 1 se 0 ≤ x ≤ 2 2 se x > 2
9) f(x) = 10) f(x) = 2 10 2
x se xse x
− ≠=
⎧⎨⎩
......... ... .. ............ .....
2 x se xse x
2
27 2
... ...... ..... ..... .
≠=
⎧⎨⎪
⎩⎪B) Determine o valor de p de modo que o gráfico da função f(x) = 3x+p-2
intercepte o eixo y no ponto de ordenada 4.
C) Determine a raiz da função f(x) = 2x -91 . O que este valor de x corresponde
no gráfico desta função?
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Aula 3: Tipos de Função e Aplicações
3.1 Função Linear Em muitos casos práticos, a taxa segundo a qual uma quantidade varia em
relação a outra é constante. Exemplo: O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$200,00
somada ao custo de produção, que é de R$50,00 por unidade. Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas e construa o gráfico. Custo total = (Custo por unidades). (Nº. de unidades produzidas) + quantia fixa
Definição
Denomina-se função linear aquela cujo valor se modifica a uma taxa constante em relação a sua variável independente. Seu gráfico é sempre uma reta do plano cartesiano; por essa razão. a lei da função linear é também denominada equação da reta. Em termos algébricos, a função linear é da forma y = ax + b onde a e b ∈ℜ, e estes coeficientes numéricos recebem nomes particulares. Cada um deles nos dá uma característica do gráfico da função linear: a: coeficiente angular ⇒inclinação da reta. B: coeficiente linear ⇒ indica em que ponto a reta intercepta o eixo das ordenadas oy.
Coeficiente Angular de uma Reta. Coeficiente angular de uma reta é a modificação sofrida pela ordenada y de um ponto pertencente à reta, quando a abscissa x sofre o acréscimo de uma unidade.
Podemos calcular o coeficiente angular (a) de uma reta não vertical, quando são conhecidos dois dos seus pontos. Suponha que (x1, y1) e (x2, y2) sejam pontos da reta.
a = ∆∆
yx
= y yx x
2 1
2 1
−−
Exemplo: Calcule o coeficiente angular da reta que liga os pontos (-2,5) e (3,-1). O sinal e a magnitude do coeficiente angular indicam respectivamente, a
direção e a inclinação da reta. O coeficiente angular é positivo quando a função é crescente. Caso contrário, o coeficiente angular é negativo. O valor absoluto do coeficiente angular é grande a reta está próxima à posição vertical e é pequeno quando está próxima à posição horizontal.
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x
y
m = 1
m = 21
m = 2
Retas verticais Retas horizontais Equações da reta: Exemplos:
a) Calcule a equação da reta que passa pelo ponto (1,8) e cujo coeficiente angular é 3.
b) Calcule a equação da reta que passa pelos pontos (3,-2) e (1,6). Aplicações Práticas:
Se a taxa de variação de uma quantidade com respeito a outra for constante, a função que relaciona tais quantidades é linear. A taxa de variação constante é o coeficiente angular da reta correspondente. Os dois exemplos seguintes ilustram técnicas que poderemos utilizar a fim de encontrar as funções lineares adequadas em situações dessa natureza. Exemplo 1: Desde o início do ano, o preço de um determinado medicamento, vem sofrendo aumento mensal de R$0,20. No primeiro dia de novembro, o medicamento custava R$6,40. Exprima o preço cobrado no início do ano. Exemplo 2: A média de pontos obtidos em um teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 2000, a média foi de 582, enquanto em 2003, foi apenas 552 pontos. a) Exprima a média relativa ao teste, em função do tempo.
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b) Se a tendência atual se mantiver qual será a média de pontos obtidos em tal teste em 2010?
c) Daqui a quantos anos a média de pontos será de 534 pontos?
Função Quadrática Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. Uma função quadrática é uma função f: que para cada x em ℜ → ℜ ℜ associa f(x)=ax2+bx+c.
Exemplos: As funções f:R⇒ R definidas por:
• f(x) = x2 • f(x) = -4 x2 • f(x) = x2 -4 x + +3 • f(x) = -x2 + 2 x + 7
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola e pode ser obtida por pontos como mostra o exemplo seguinte. y = x2 – 4 Y . .
.
. -3 -2 -1 0 1 2 3 .. Pontos Importantes do gráfico da parábola O estudo prévio destes elementos facilita a representação gráfica da parábola.
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0x- Cruzamento com eixo . No ponto em que a parábola de equação y = Ax2 + Bx + C cruza o eixo 0x devemos ter y = 0. Temos, então, três casos a considerar: 1) ∆ > o Se ∆ > o , a equação y = Ax2 + Bx + C tem duas raízes reais e distintas x1 e x2 . Para x = x1 e x = x2 temos y = 0. Logo neste caso a parábola cruza o eixo 0x nos pontos (x1, 0) e (x2, 0). 2) ∆ = o Se ∆ = o existe um único ponto x para o qual y = 0. Logo, a parábola tem um só
ponto comum com o eixo 0x , precisamente, o ponto (x, 0) em que x = −BA2
.
3) ∆ < o Se ∆ < o, não existe x∈ℜ tal que y = 0. Logo, neste caso, a parábola não cruza o eixo 0x .
0yCruzamento com eixo Se x = 0 temos y = Ax2 + Bx + C = C e, portanto, a parábola cruza o eixo 0y no ponto (0,C). Vértice da parábola
O ponto (x,y) do gráfico da parábola, onde x = −BA2
e y = −∆
4A, recebe o nome
de vértice da parábola. Eixo de simetria
A reta paralela ao eixo 0y e de equação x = −BA2
denomina-se eixo de simetria
da parábola. Isto significa que dados dois pontos x1 e x2 simétricos em relação ao
ponto x = −BA2
, os correspondentes valores de y em x1 e x2 são iguais.
Aplicações Práticas: Exemplo 1: Um fabricante produz canetas ao custo de R$10,00 por unidade. Estima-se que, se cada caneta for vendida por x, os consumidores comprarão, aproximadamente, 80 - x canetas por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante como função do preço de vendas das canetas, construa o gráfico desta função e calcule o preço com o qual o lucro do fabricante será maior. Exemplo 2: A receita R de uma empresa que produz um certo bem de consumo é produto do preço de venda y pela quantidade vendida x daquele bem de consumo. Suponha que o preço y varie de acordo com x, segundo a equação y = 100 - 2x; Determine a)Qual a quantidade a ser vendida para que a receita seja máxima? b)Qual o valor da receita máxima?
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Segunda Lista de Exercícios
Funções Lineares e Quadráticas 1) Dada a função f(x) = ax+b, sabe-se que f(-1)=4 e f(-2)=10. Determinar f(x) e
f(10). 2) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma
parte fixa, no valor de R$2.000,00 reais e uma parte variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) expressar a função que representa seu salário mensal b) calcular o salário de um vendedor que vendeu durante um mês
R$100.000,00. 3) O custo total de produção consiste em uma sobretaxa de R$5.000,00 somada
ao custo de produção, que é de R$60,00 por unidade. Expresse o custo total de produção como função do número de unidades produzidas e construa o gráfico correspondente.
4) Suponha que a quantidade q de um determinado produto, demandada mensalmente pelos consumidores, dependa linearmente do preço unitário p em reais. Sabe-se que ao preço p = 5 são consumidas 300 unidades e ao preço p = 8, 180 unidades. Expresse a quantidade em função do preço. Que quantidade será consumida ao preço de 10 reais?
5) Suponha que entre as velocidades de 80km/h e 140km/h o consumo de combustível de um automóvel cresça linearmente com a velocidade. Sabe-se que a 80km/h o consumo é de 0,1 litro/km e a 140 km/h o consumo é de 0,8 l/km. Expresse o consumo C, entre as velocidades de 80 e 140 km/h, em função da velocidade V. Qual o consumo na velocidade de 90km/h.
6) Um fabricante adquiriu uma máquina por R$20.000,00 valor que após 10 anos sofre depreciação linear de R$15.000,00. a)Expresse o valor da máquina em função do tempo de compra transcorrido e construa o gráfico correspondente. b)Calcule o valor da máquina após 4 anos.
7) Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de uma visita a pontos turísticos é R$6,00 a média do número de passagens vendidas por viagem é 30, e quando o preço passa a R$10,00 o número médio de passagens vendidas é somente 18. Supondo linear a equação de demanda, encontre-a e trace seu gráfico.
8) Duas locadoras de automóveis A e B alugam carros populares nas seguintes condições: A – uma taxa fixa de R$200,00 mais R$0,40 por Km rodado. B – uma taxa fixa de R$140,00 mais R$0,65 por km rodado. a) Expresse o custo de locação em A em função dos quilômetros rodados. b) Expresse o custo de locação em B em função dos quilômetros rodados. c) Em que locadora é mais vantajosa a locação?
9) Dadas as funções abaixo, determine as raízes, o vértice, o gráfico e o estudo de sinal das mesmas:
a) f(x) = x2-7x+12 b) f(x) = -x2+2x+3 c) f(x) = x2+4x+4 d) f(x) = x2+3x+10
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10) Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40t-5t2, onde a altura h é dada em metros e o tempo t em segundos. Determine: a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t=3s b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 60m do solo.
11) Um fabricante produz objetos pelo preço de R$20,00 cada. Calcula-se que, se cada objeto for vendido por x reais, os consumidores comprarão, por mês 120 - x unidades. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço e construa o gráfico dessa função, utilizando-o para avaliar o preço ótimo de venda.
12) Se um objeto é lançado verticalmente do solo com uma velocidade inicial de 50 m/s, a altura atingida (em metros) t segundos após é dada pela função:
H(t) = -16t2 + 160t a) Construa o gráfico da função h(t). b)Use o gráfico do item anterior para determinar quando o objeto atingirá o solo. c)Use o mesmo gráfico para determinar a altura atingida pelo objeto. 13) A Receita R de uma empresa que produz um certo bem de consumo é produto
do preço de venda y pela quantidade vendida x daquele bem de consumo. Suponha que o preço y varie de acordo com x, segundo a equação y=200 - 5x;
a)Expresse a receita da empresa em função da quantidade vendida. Esboce o gráfico b)Qual a quantidade a ser vendida para que a receita seja máxima? c)Qual o valor da receita máxima?
18
Função exponencial É a função f: ℜ⇒ℜ, definida pela lei y = ax , com a ∈ ℜ, a > 0 e a ≠1. Exemplo : Esboce o gráfico de:
a) f(x) = 2x b) f(x) = x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21
obs: Quando temos a > 1 a função é crescente ; E quando 0 < a < 1a função é decrescente. Exemplos de Aplicação: 1) Suponhamos $ 5000 investidos em uma conta que paga 8%
anualmente. Significa isto que a quantia na conta é multiplicada por 1,08 ao fim de cada ano. Denotemos por A(t) o total (montante) na conta ao cabo de t anos. Então:
A(1) = 5000 . 1,08 1 = $ 5.400 após 1 ano A(2) = 5000 . 1,08 2 = $ 5.832 após 2 anos, A(3) = 5000 . 1,08 3 = 6.298,56 após 3 anos, Etc. Assim, após t anos, o total na conta é dado pela função exponencial: A(t) = 5000 . 1,08 t 2) O valor das vendas nas lojas Borders Books and Music aumentou de
$78 milhões em 1991 para $412 milhões em 1994. Supondo que as vendas tenham crescido exponencialmente, ache uma equação na forma P = P0 a t , onde P dá as vendas da Borders em milhões e t é o número de anos desde 1991.
3) Quais das Seguintes tabelas de valores corresponderiam a uma função exponencial, uma função linear ou nenhuma dessas coisas? Para as que corresponderiam a uma função exponencial ou uma função linear, ache uma fórmula para a função.
a) b) c) X f(x) X g(x) X h(x)
0 16 0 14 0 5,3 1 24 1 20 1 6,5 2 36 2 24 2 7,7 3 54 3 29 3 8,9 4 81 4 35 4 10,1
3.4 Função Logaritmo (Revisão de logaritmos)
19
Logaritmo de n na base a é o expoente c que se deve atribuir à base a para se obter o número n.
Loga n = c a⇔ c = n , n e a > 0 e a ≠ 1
Propriedades: l) loga 1 = 0 lll) loga am = m ll) loga a = 1 lV) alog
a b = b logaritmos decimais: log 1 = 0; log 10 = 1; log 10m = m; 10log b = b logaritmos naturais ou neperianos: ln 1 = o; ln e = 1 ln em = m eln b = b Propriedades Operatórias: Sejam a,b, e c positivos e a ≠ 1
Logaritmo do Produto: loga(b.c) = loga b + loga c,
Logaritmo do Quociente: loga (bc
) = loga b - loga c
Logaritmo da Potência: loga bn = n loga b n ∈ R Função logaritmo é a função f: ℜ *
+ → ℜ , definida pela lei:
y = loga x, com a ∈ ℜ , a>o e a ≠ 1; f(x) = loga x
Exemplos: Esboce o gráfico: a) f(x) = log2 x b)f(x) = log
12
x
20
Terceira Lista de Exercícios Funções Exponencial e Logaritmo
1) Construa o gráfico, dê o domínio e a imagem de cada função e diga se ela é crescente ou decrescente. a) f(x) = ln x b) f(x) = ex c) f(x) = log3 x d) f(x) = 3x
2) Calcular o valor da expressão:
a) log5125 + log0,01 - log√10 – log1/39 + log39√3 3) Resolver as equações logarítmicas:
a)log2(3x-2) = 5 b)log3(x2-2x) = log3(5x-10) c)log3 x – 12log3x + 27 = 0 d)log5[log4(log3x)]=0 e)log2(x+3) + log2(x-4) = 3 f)log2(x2+2x-7) – log2(x-1) = 2 g) log3(x-1) + log3(2x+1) – log3(x-3) = 3
4) Calcular os logaritmos utilizando o processo de mudança de base e a calculadora: a) log57 b) log1310
5) Resolver as equações utilizando o processo de mudança de base e a calculadora: a) 2x = 5 b) 32x = 4
6) Projeta-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50 milhões . t02,0la) Qual é a população atual? b) Qual será a população daqui a 30 anos? 7) Daqui a t anos, o valor de um automóvel será V(t) = 18000.(0,65)t dólares. Determine:
a) o valor do carro daqui a 3 anos. (utilize a calculadora). b) Após quantos anos aproximadamente o carro terá o valor de 12000 reais? c) Após quantos anos o carro valerá a metade de seu valor atual?
8) Em certa região, uma determinada doença cresce a uma taxa de 12% ao mês. Considerando-se que hoje há 200 infectados e que a função matemática que representa a quantidade de infectados em relação ao tempo em meses é dada por f(x) = 200.(1,12)x, determine:
a) o número de infectados após 5 meses, considerando que a doença não foi
controlada b) após quantos meses aproximadamente o número de infectados será de 350
pessoas. 9) João investiu R$1.000,00 em uma aplicação que rende 5,25% de juros compostos ao ano. Qual será o valor do montante depois de seis meses? E depois de dezoito meses? Quanto tempo será necessário para que o saldo atinja R$ 2500,00? 10) Estima-se que a população de um certo país cresça exponencialmente. Se a população era de 60 milhões em 1986 e de 90 milhões em 1991, qual será a população em 2001? 11) Os seguintes dados foram compilados por um pesquisador durante os primeiros 10 minutos de um experimento projetado para estudar o crescimento de bactérias:
21
Número de minutos 0 10 Número de bactérias 5000 8000 Supondo que o número de bactérias cresça exponencialmente, quantas bactérias haverá após 30 minutos. Quantos minutos levará para que o número de bactérias atinja 50% do valor atingido em 30 minutos? 12) Um automóvel vale hoje R$ 20.000,00. Estima-se que seu valor (y) daqui a x anos seja dado pela função exponencial y = a . bx. Sabendo-se que o valor estimado para daqui a três anos será R$ 15.000,00, Qual é o valor estimado para daqui a 6 anos? 13) Suponha que o total de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado, aproximadamente, pela função S(t) = 1000 . log2(1 + t), onde t é o número de anos e S é o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria. Determine tempo necessário e suficiente para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano.
22
Aula 4: Limites e Continuidade
Com estudo dos limites e derivadas, teremos ainda mais recursos para a análise do comportamento de uma função, e também para a elaboração mais minuciosa de seu gráfico.
O gráfico de uma função f: R R nos mostra visualmente como variam os valores de f(x) à medida que variamos x em R. É um instrumento importante, que nos ajuda a reconhecer as propriedades de f. Considerando a função f(x) = 2x + 1, vamos analisar seu comportamento nas proximidades do ponto x = 2.
⇒
Atribuindo a x valores menores que 2, cada vez mais próximos de 2, dizemos que estamos fazendo x tender a 2 pela esquerda, ou por valores menores que 2, e escrevemos: x 2 ⇒ - ( leia: x tende a dois pela esquerda). Estamos tomando valores de x cada vez mais próximos de 2, porém menores do que 2. A tabela seguinte nos mostra o que ocorre, neste caso, com f(x) = 2x + 1:
x 1,8 1,9 1,95 1,99 1,995 1,999 X⇒ 2-
f(x)
Atribuindo a x valores maiores que 2, cada vez mais próximos de 2, dizemos que estamos fazendo x tender a 2 pela direita ou por valores maiores que 2, e escrevemos x 2⇒ + (leia: x tende a dois pela direita). Estamos tomando valores de x cada vez mais próximos de 2, porém maiores que dois:
x 2,2 2,1 2,05 2,01 2,005 2,001 X 2⇒ +
f(x)
Em ambos os casos notamos que, quando x tende a 2, f(x) tende a 5, quanto mais próximo x está de 2 tanto mais próxima f(x) está de 5.
Definição: Seja f a função definida à direita e à esquerda de b, conforme demonstra o
gráfico.
L1
L2
b
23
Para descrever este comportamento dizemos que o limite lateral direito de f no ponto b e o número L1 e escrevemos: limx b+⇒ f(x) = L1 . E que o limite lateral esquerdo é o número L2 e escrevemos lim x b -⇒ f(x) = L2 . Neste caso os limites laterais não são iguais. Considerando, agora, a função g:
b
L
Observando o gráfico podemos afirmar que lim x ⇒ b
- g(x) = L e lim x b⇒ + g(x) = L isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais.
Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b. Lim x ⇒ b g(x) = L
No exemplo anterior os limites laterais são distintos, e por isso dizemos que a função f não tem limite no ponto b.
Continuidade Se lim x ⇒ b g(x) = g(b), isto é se g tem limite no ponto b e tal limite coincide
com valor de g no ponto b, dizemos que g é uma função contínua no ponto b. Exemplos: Verificar se as funções a seguir possuem limite no ponto b
1) f(x) = x2 b = 2
2)f(x) = b = 0 ⎩⎨⎧
>+
≤
010
2
2
sexxsexx
3)f(x) = 21
++
xx ;x -2 b = 4 ≠
4)f(x) = 242
−−
xx ; x 2 b = 2 ≠
5)f(x) = x1 x 0 b = 4 ≠
6) f(x) = x x 0 b = 9 ≥
7) f(x) = x x 0 b = 0 ≥
24
Limite Infinito Seja f uma função definida à direita de um ponto b . Dizemos que tem limite lateral direito (mais infinito) no ponto e escrevemos
f∞+ b +∞=−→
)(lim xfbx
, quando qualquer que seja o número , existe , tal que . bk > bx > kxf >)(De modo análogo, se está definida à esquerda de b , dizemos que tem limite lateral esquerdo no ponto b e escrevemos
f f∞+ +∞=+→
)(xfbx
lim , quando para existe tal que . 0>k bx < kxf >)(
Se b , dizemos que tem limite f ∞+ no ponto e escrevemos b +∞=→ )(lim xfbx . Exemplos: Verifique se existe o limite da função no ponto b :
a)||
1)(x
xf = 0=b
b) 2
1)(x
xf = 0=b
Outros exemplos
c)x
xf 1)( = 0=b
d)2
1)(−
=x
xf 2=b
e)x
xf 1)( = 0=b
Exercícios Verificar se as funções a seguir possuem limite no ponto b.
51)(−
=x
xf 5=b
2
1)(x
xf = 0=b
xxxf
−+
=2
2)( 2=b
2
3)(x
xxf −= 0=b
Limite no Infinito Seja uma função definida num intervalo f ),( +∞a . Se à medida que x assume valores cada vez maiores no intervalo ),( +∞a os correspondentes valores de se aproximam de um número L, dizemos que o limite de para
)(xff x tendendo a
é L. ∞+Exemplos: Determine os limites:
a)xx1lim +∞→ ; 0>x
25
b)212lim
−+
+∞→ xx
x =
De modo análogo podemos definir os limites para a função definida no intervalo . Exemplos: )0,(+∞
a) = xx −−∞→lim2lim xx −∞→ = 3lim xx −∞→ =
Lista de Exercícios IV Limites
1. Explique o significado da equação 5)x(flim
2x=
→
2. Explique o que significa 3)x(flim
1x=
−→
e 7)x(flim1x
=+→
. Nessa situação é possível que
exista?
)x(flim1x→
3. Explique o significado de cada uma das notações a seguir: a) b) ∞=
−→)x(flim
3x−∞=
+→)x(flim
4x
4. Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da
quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por que. a) b) c) d) e) f(3) )x(flim
0x→)x(flim
3x −→
)x(flim3x +→
)x(flim3x→
5. Determine, se existir, o valor do limite a partir do gráfico dado.
Se não existir, explique por que. a) b) c) d)
e) f)
)x(flim3x→
) x(f3
)x(flim2x −→
x(flim1x→
)limx −→
)x(flim2x +→
)x(flim2x→
26
6. Para a função g cujo gráfico é dado, determine: a) b) c) d)
)x(glim6x −→
)x(glim0x −→
)x(glim0x +→
)x(glim4x→
7. Calcule os limites:
a) ( ))3x4x2
5xlim +−→
b) 3x
4x5 3
2xlim −
+
→
8. Calcular os limites indeterminados (caso 0/0) utilizando algum processo de fatoração:
a) lim x→2 1)-(x
2)5x-2x(x 23 ++
b) lim x→-7 7)(x49)-(x 2
+
c) lim (x3-8)/(x-2) x→2
d) lim (x2+8x+16)/(x+4) x→-4
e) lim (8x4+x3-5x2+7x)/(x2-x) x→0
9) Dada a função f(x) = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥+
22
22
xsex
xsex
a) esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x = 2 c) verificar se existe o limite de f(x) para x→2 d) verificar se f é contínua em x = 2. Justifique
10) Dada a função f(x) = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥+
34
332
xx
xsex
a)esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x=3 c)verificar se existe o limite de f(x) para x→3 d) verificar se f é contínua em x=3. Justifique
27
11) Dada a função f(x) = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+
≥
21
22
xsex
xsex
a) esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x = 2 c) verificar se existe o limite de f(x) para x→2 d) verificar se f é contínua em x = 2. Justifique
12) Dada a função f(x) = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+
10
113
xse
xsex
a) esboçar o gráfico b) calcular os limites laterais para x = 1 c) verificar se existe o limite de f(x) para x→1 d) verificar se f é contínua em x = 1. Justifique
13) Calcular os limites: a) lim (3x2+2x-1) x→∞
b) lim (4x3+2x2-10x +1) x→-∞
c) lim (3x2+2x-1)/(7x3+3x-2) x→∞
d) lim (5x2+3x-1)/(7x2+6x-2) x→∞
e) lim (9x5+2x-1)/(3x4+3x-2) x→∞
15) Calcular os limites: a)lim (sen(x)/x) b) lim (1+1/x)x
x→0 x→∞
28
Aula 5: DERIVADAS
A diferenciação é um dos conceitos básicos do ramo da Matemática conhecido como cálculo e possui grande variedade de aplicação como o traçado de curvas, a otimização de funções e a análise de taxas de variação. Geometricamente falando a derivada nos dá a inclinação de uma curva em um ponto. - Inclinação da Curva.Vimos que conhecendo a inclinação e um ponto de uma reta, podemos determinar sua equação. Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f(x) admita uma reta tangente t num ponto P. A inclinação da curva no ponto P é dada através da inclinação da reta tangente; para definir a inclinação da curva em P, não devemos considerar o que acontece em um ponto Q muito afastado de P. Exemplo 1: Dada f(x) = x2, determinar a inclinação da curva no ponto em que x = 1. De modo geral, a abscissa de um ponto próximo de (1,1) pode ser escrita 1+h, onde h é um número muito pequeno, positivo ou negativo, mas diferente de zero. Logo (1+h, 1+2h+h2) pertence à curva. A inclinação da reta que passa entre os dois pontos (1,1) , (1 + 2h + h2) é: m = Quando o ponto cuja abscissa é 1+h se aproxima do ponto (1,1), o número h se aproxima do zero. Quando h se aproxima de 0, a inclinação da reta que passa pelos dois pontos se aproxima de 2 , que é, portanto a inclinação da curva no ponto (1,1) .A inclinação de uma curva em um determinado ponto é o valor para o qual tende o quociente das diferenças quando h tende a zero. Lembrando que limite é o valor para o qual uma função tende quando sua variável tende para um número específico, obtemos: "inclinação da curva é igual ao limite, quando h tende
a zero, de f x h f x
h( ) (+ − )
M = limh 0→
f x h f xh
( ) (+ − )
Exemplo 2: Achar a inclinação da curva f(x) = x2 no ponto (-2,4). Exemplo 3: Achar a inclinação da curva f(x) = x2 em um ponto arbitrário.
29
Definição A derivada de uma função f é aquela função, denotada por f', tal que seu valor em
todo número x do domínio de f seja dado por f'(x) = limh 0→
f x h f xh
( ) (+ − )
se este limite existe. Notação de Derivada. Além de f'(x), outros símbolos são usados para representar a derivada. Por
exemplo: dxdy Então se y = x2 ,
dxdy = 2x
Exemplo 4 : Calcular a derivada de f(x) = 3x2 + 12.
Técnicas de Diferenciação 1 - Se c é uma constante e se f(x) = c para todo x, f'(x) = 0. A derivada de uma constante é zero. Exemplos: f(x) = 5 ⇒ f'(x) = g(x) = -20 ⇒ g'(x) = ---- 2 – Se n é qualquer número real, e se g(x) = xn, então g'(x) = nxn-1. Exemplos: f(x) = x8 ⇒ f'(x) = ----
h(x) = x ⇒ h'(x) = ----
g(x) = x ⇒ g(x) = x12 ⇒ g'(x) = ----
3 – Se f é uma função, e c é uma constante, e g é a função definida por g(x) = cf(x), então se f'(x) existe, g'(x) = cf'(x). Exemplos: g(x) = 5x7 ⇒ g'(x) = ----
f(x) = 9 x23 ⇒ f'(x) = ----
4 – Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x) + g(x), então h'(x) = f'(x) + g'(x). Exemplos: h(x) = x2 + x ⇒ h'(x) =
h(x) = 7x4 – 2x3 + 8x + 5 h'(x) = ⇒ 5 – Se f e g são funções e se h é a função definida por h(x) = f(x) . g(x), então h'(x) = f(x). g'(x) + f'(x). g(x). Exemplos: h(x) = (2x3 – 4x2) . (3x5 + x2) h'(x) = ⇒ h(x) = (3x2 + 2x) . (x – 1) h'(x) = ⇒
6 – Se f e g são funções, e se h é a função definida por h(x) = )()(
xgxf , g(x) ≠ 0
então, se f'(x) e g'(x) existem, h'(x) = 2))(()()(')(')(
xgxfxgxfxg − .
Exemplo:
30
h(x) = 14
422
3
+−+xx
x
Exercícios 1) Determine a derivada das seguintes funções: a) f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 2
b) f(x) = 48
51 xx −
c) f(t) = 34
21
41 tt −
d) f(x) = x2 + 3x + 21x
e) f(x) = 4253xx
+
f) f(x) = 3
3 1x
x +
g) f(x) = - 3
2542
12 2
32
2
++++++
xxx
xx
h) f(x) = 10 (3x + 1) (1 - 5x) i) f(x) = (2x4 – 1) . (5x3 + 6x)
j) f(x) =12 +x
x
l) f(t) = )13(512
−++ x
xx
Derivada da função Exponencial f(x) = ax ⇒ f’(x) = ax ln a Exemplos: f(x) = 2x f’(x) = ⇒ f(x) = ex ⇒ f’(x) =
Derivada da função Logarítmica f: ℜ⇒ℜ+
f(x) = loga x ⇒ f’(x) = ax ln
1
Exemplos: f(x) = ln x f’(x) = ⇒ f(x) = 3ln x⇒ f’(x) = f(x) = log5 x ⇒ f’(x) =
Exercícios Nos exercícios de 1 a 12 obtenha a função derivada da função dada. 1) f(x) = 10 . ex
2) f(x) = 2. 3x
3) f(x) = log2 x 4) f(x) = 1 + 2lnx
31
5) f(x) = x2 + 2x + 1 6) f(x) = ln x + 2ex
7) f(x) = x2 . ex
8) f(x) = 4 + 5x2. lnx
9) f(x) = xxln
10) f(x) = x
x
ee
−+
11
11) f(x) = xx
xln
1+
12) f(x) = 12 +x
e x
32
Regra da Cadeia Regra de derivação de uma função composta:
Regra da Cadeia Sejam u e v duas funções deriváveis e f = u v; Portanto f(x) = (u o v ) (x)= u(v(x)) o
f’(x) = u’(v(x)) . v’(x) Exemplos: derivar f(x) = (x3 + x2 + 5x)10
Exercícios Derivar: 1) f(x) = (x2 + 3x + 20)6
2) f(x) = (x + 2)7
3) f(x) = 3
5233
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
xx
4) f(x) = (4x2 + 5)3 . (x2 – 5) 5) f(x) = ln (x3 + 3x2- 2x)6) f(x) = ln (x2 + 5) 7) f(x) = x3 + e2x
8) f(x) = x . e-2x
9) f(x) = (1 + x3 )4
10) f(x) = 1213
−+
xx
11) f(x) = xx 54
12 +
12) f(x) = xx
x+
−−
−
25
323
13) f(x) = (1 – x) . x21−
14) f(x) = xex +
Derivada das Funções trigonométricas f(x) = sen x ⇒ f’(x) = cos x
f(x) = cos x ⇒ f’(x) = - sen x
f(x) = tg x f’(x) = ⇒ x2cos1
No caso da função composta: f(x) = sen (u(x)) ⇒ f’(x) = cos (u(x)) . u’(x) f(x) = cos (u(x)) f’(x) = - sen (u(x)) . u’(x) ⇒Exemplos: a) f(x) = sen 3x b) f(x) = -4 sen x2
c) f(x) = sen3 x
33
d) f(x) = cos 5x e) f(x) = cos 5x
Exercícios Determine a derivada 1) f(x) = sen t32) f(x) = (sen x + cos x )5
3) f(x) = cos (x3 –2x) 4) f(x) = cos ex
5) f(x) = sen (cos x)
6) f(x) = xx
xsen.
1+
7) f(x) = 1
cos2 +x
x
8) f(x) = x2 . tg x 9) f(x) = cos x + (x2 + 1) . sen x
10) f(x) = xxxx
cossen
−+
11) f(x) = x2 sen x + cos x 1) f(x) = ex . cos x
34
Lista de Exercícios V Derivadas
1) Determinar a derivada da função f(x) = x2 no ponto x=3 utilizando a definição
de derivada. 2) Determine a primeira derivada de: a) f(x) = 10x3-5x2+3x+9 b) f(x) = 5senx + 23cosx -4 c) f(x) = ex – lnx + 3x – 1 d) f(t) = sent – t3/2
e) f(u) = cosu+ 9lnu- 1/u2
f) f(x) = 2x + 3x – 4 g) f(x) = xx +tan
h) f(x) = 66
5 2 64x
xx
x −+−
3) Determine a primeira derivada de: a) f(x) = senx . x2
b) f(t) = cost. (t3+2t-1) c) f(m) = 3m. (2m8+5m) d) f(x) = xx ln.
e) f(x) = senxx 13 −
f) f(x) = x
xcosln
g) f(x) = 13
1848
2
−+−
xxx
4) Calcular a primeira derivada de cada função abaixo: a) f(x) = (x5+2x-4)7 b) f(x) = (3x2+2x-6)3 c) f(x) = (6x-1)8 d) f(x) = ln(x2+4x) e) f(x) = ln(3x7+2) f) f(x) = ln (5x9+3) g) f(x) = ln(senx) h) f(x) = ln (cosx) i) f(x) = sen (3x-1) j) f(x) = sen(x2+4x-2) k) f(x) = cos(2x-7) l) f(x) = cos (3x6) m) f(x) = e2x n) f(x) = e5x+1 o) f(x) = sen5x
35
p) f(x) = cos2x q) f(x) = 432 +− xx r) f(x) =
3zes) f(t) = cos(wt+3) t) f(t) = sen(wt3+2t) u) f(t) = e9t+2
5) Calcular a primeira derivada de: a) f(x) = sen(3x+4). e2x+5
b) f(t) = cos(5t+2).ln(t2-7t+1)
c) f(x) = )3ln()28(
5
43
xxxx+
+−
d) f(x) = 34
)23cos(xex −
6) Calcular a primeira derivada de:
a) f(x) = )3()29(
5
43
xxsenxx++−
b) f(x) = ln(x3+5x2-1)
c) f(x) = 973 19
xxx −+
d) f(x) = senx + 9x4-8cosx + ex
e) f(t) = (9t3-1)5. (24x+1) f) f(x) = ex. lnx g) f(x) = xx tan.23 + 7) Calcular até a derivada de ordem 3: a) f(x) = x4-2x3+9x-7 b) f(x) = sen(3x) 8) Determinar a equação da reta tangente:
a) ao gráfico de f(x) = x no ponto (1,1). b)
b) ao gráfico de f(x) =x2+3x+7 no ponto (0,7). c) ao gráfico de f(x) =x3+2x-4 no ponto de abscissa igual a 2. d) ao gráfico de f(x) =6x5+2x-1 no ponto de abscissa igual a –5. e) ao gráfico de f(x) = senx no ponto (π/6, ½) 9)Um ponto em movimento obedece à equação horária S(t) = t2+ t . (t em segundos e S em metros). Determine a sua velocidade no instante t=1s. 10)Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão v(t)=t3+lnt . Determinar a sua aceleração no instante t=2s
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11)Determinar a velocidade e a aceleração no instante t=3s de um móvel que tem
equação horária )2
.2
cos(3)( ππ+= ttS
Aula 6: Introdução às Aplicações da Derivada
O tópico sobre aplicações de derivadas será dado no próximo semestre. Estudaremos, aqui, apenas um exemplo para ilustrar esse tema. O máximo local e o mínimo local de uma função está relacionado com o valor em que a primeira derivada desta função se anula. Se a segunda derivada no ponto encontrado é positiva, então esse ponto é de mínimo local. Se a segunda derivada no ponto encontrado é negativa, então esse ponto é de máximo local. Derivadas de ordem mais elevada. Derivada Segunda A derivada Segunda fornece a taxa de variação da taxa de variação da função original. A derivada Segunda de uma função é a derivada de sua derivada. Se f’ é a função derivada de uma f e se f’ é derivável sua derivada é chamada de derivada segunda de f, e pode ser representada por f’(x). Do mesmo modo podemos definir as derivadas terceira, quarta, quinta, etc., de f. Exemplos: a) f(x) = x2 f’(x) = 2x (derivada primeira) f’’(x) = 2 (derivada segunda) f’’’(x) = 0 (derivada terceira) f4(x) = 0 (derivada quarta b) Ache todas as derivadas da função f definida por: f(x) = 8x5 + 6x3 – x2 + 6 Os sinais da derivada primeira. Os sinais da função derivada f’ estão relacionados ao crescimento ou decrescimento de f. Valem as seguintes propriedades:
a) Se f’(x) é positiva para todo x de um intervalo I, então f é crescente em I; f’(x) > 0, ∀ x ∈ I ⇒ f é crescente em I.
b) Se f’(x) é negativa para todo x de um intervalo I, então f é decrescente em I; f’(x) < 0, x ∈ I f é decrescente em I. ∀ ⇒
Pontos Críticos São os pontos onde f’(x) = 0 podem ser de máximo ou de mínimo ou de inflexão. Exemplos. (no caderno) Exercícios Determinar os pontos críticos e estudar a variação de cada função. E faça um esboço do gráfico.
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a) f(x) = x3 – 3x ∀ x ∈ ℜ
b) f(x) = 14
4
+− xx -2 ≤ x ≤ 2
Problemas Práticos 1) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas se tampa de pedaços quadrados de papelão com 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e virando para cima os lados. Ache o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível. 2) Um terreno retangular as margens de um rio deve ser cercado, menos ao longo do rio, onde não há necessidade de cerca. O material para a cerca custa R$12,00 por metro no lado paralelo ao rio e R$8,00 por metro nos outros dois lados. Dispõe de R$3600,00 para gastar com a cerca. Ache as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercada com R$3600,00 Exercícios 1) Um refrigerante é vendido em latas cilíndricas de volume 400 ml. Calcular o raio da base de modo que o material gasto na embalagem seja o mínimo possível (isto é, de modo que a área total do cilindro seja mínima). 2) Deseja-se construir uma piscina retangular de 24 m de perímetro e profundidade 1,50 m. Se o metro cúbico de água necessária para encher a piscina? 3) Se uma lata de zinco de volume 16π cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura e o raio para que o material usado na sua fabricação seja mínimo.
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Bibliografia Básica:
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. 10. ed, São Paulo: Makron Books, 1999, vol. 1. CHAPMAN, S.J. Programação em Matlab para Engenheiros. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. STEWART, J. Cálculo. 4 ed., São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001, vol.1. Bibliografia Complementar:
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000, vol1. EDWARDS JR, C.H. Cálculo com geometria analítica. 4ed., Rio de Janeiro: Tebel, 1994, vol.1. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. 3ed., São Paulo: Cia Nacional, 2001, vol 1. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 5 ed., São Paulo: Makron Books, 1992. HOFFMANN, L.D.; BRADLEY,G.L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 6 ed., Rio de Janeiro: LTC, 2002.
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