UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA

ECO 273 – MICROECONOMIA I

Monitora: Damaris Bento (damaris.ortencio@ufv.br)

Lista de Exercício - Revisão Matemática

1 – Diferencie as seguintes expressões utilizando as regras de derivação

a) f ( x )=lnk

f ' ( x )=0

b)f ( w )=7

f ' (w )=0

c) f ( x )=x14

f ' ( x )=14

x−34

d)f ( x )=4 7√ x3

f ' ( x )=14 x52

e) f ( x )=32

.1

x4 ≡

32

x−4

f' ( x )=−6 x−5=−6

x5

f) f ( w )=−4w12

f ' (w )=−2w−12

g)f ( x )=−x−4

f' ( x )=−6 x−5=−6

x5

h)f ( x )=3 x2+6 x

f ' ( x )=6 x+6

i) f ( x )=¿(9x2−2¿ .(3 x+1)

f ' ( x )=18 x . (3 x+1 )+ (9 x2−2 ) .3⇒54 x2+18 x+27 x2−6

f ' ( x )=81 x2+18x−6

j) f ( x )= (3x+10 ) .(6 x2−7 x )

f ' ( x )=3. (6 x2−7 x )+(3 x+10 ) .12 x−7⇒18 x2−12x+36 x2−21 x+120x−70

f ' ( x )=54 x2+78 x−70

k) f ( x )= x2+3x

f ' ( x )=2x . x−( x2+3 ) .1x2

⇒ 2 x2−x2−3x2

=2−3x2

=−1x2

l) f ( x )= 6 xx+5

f ' ( x )=6. (x+5 ) .− (6 x ) .1¿¿

m) f ( x )=¿

f ' ( x )=17¿

f ' ( x )=(34 x−85 ) .¿

n)f ( x )=ln ¿

f ' ( x )= 13¿¿

2- Ache as derivadas parciais e apresente a diferenciais Totais das funções abaixo:

a) Z=2x13−11 x1

2 x2+3 x22

∂ Z∂ x1

=6 x12−22 x1 x2

∂ Z∂ x2

=−11 x12 x2+6 x2

2

dZ=6 x12−22x1 x2d x1−11 x1

2 x2+6 x22d x2

b) Z=7 x1+6 x1 x22−9 x2

2

∂ Z∂ x1

=7 x1+6 x1 x22 ∂ Z

∂ x2=12 x1 x2−18 x2

dZ=7x1+6 x1 x22d x1+12x1 x2−18x2d x2

c) Z=(2 x1+3 ).( x2−2)

∂ Z∂ x1

=2 ( x2−2 )+(2 x1+3 ) .0=2 x2−4

∂ Z∂ x2

=0. ( x2−2 )+(2x1+3 ) .1=2 x1+3

dZ=(2 x2−4 d x1)+(2 x1+3)d x2

d) Z=3 x2+xy−2 y3

∂ Z∂ x

=6 x+ y∂ Z∂ y

=x−6 y2

dZ=(6 x+ y )dx+x−6 y2dy

e) Z=2x1+9 x1 x2+x22

∂ Z∂ x1

=2+9 x2∂ Z∂ x2

=9x1+2 x2

dZ=(2+9 x2)d x1+(9 x1+2 x2)d x2

3 – Calculem a primeira a segunda e as derivadas cruzadas das funções

a) Z=x3+5 xy− y2

fx=3 x2+5 y fxx=6 x

fy=5 x−2 y fyy=−2

fxy=fyx=5

b) Z=5 x2+xy+6 y2

fx=10 x+ y fxx=10

fy=x+12 y fyy=12

fxy=fyx=1

c) Z=−3 x3+5 xy− y2

fx=−6 x2+5 y fxx=−12 x

fy=5 x−2 y fyy=−2

fxy=fyx=5

d) Z=8 x2+7 xy+5 y3

fx=16 x+7 y fxx=16

fy=7 x+15 y2 fyy=30 y fxy=fyx=7

4 - Calcular os valores extremos de x e y, sujeito a uma restrição.

a) Z=x−3 y−xy ;sujeito a x+ y=6

Montando o Lagrangeano

L=x−3 y−xy+λ(6−x− y)

Condição de primeira ordem

∂ L∂ x

=1− y−λ=0 (1 ) ∂ L∂ y

=3−x−λ=0 (2 ) ∂ L∂ λ

=6−x− y=0(3)

Resolvendo o sistema: manipulação algebrica e depois dividindo (1) por (2)

1− y3−x

= λλ⟹1− y=1 (3−x )⟹− y=2−x (−1 )⟹ y=−x+2(4)

Substituindo (4) em (3)

6−x−(−2+x )=0⇒ 6−2 x+2=0⇒ 8=2 x⇒ x=82=4 (5)

Substituindo (5) em (4)

y=−4+2=−2(6)

Podemos ver que temos dois pontos de extremos, sendo y=−2 e x=4

b) Z=7− y+ x2 ;sujeito a x+ y=10

Montando o Lagrangeano

L=7− y+x2+λ(10−x− y )

Condição de primeira ordem

∂ L∂ x

=2 x−λ=0 (1 ) ∂ L∂ y

=−1−λ=0 (2 ) ∂ L∂ λ

=10−x− y=0(3)

Resolvendo o sistema: resolvendo a equação (2)

−1− λ=0⇒ λ=−1(4)

Substituindo (4) em (1)

2 x−λ=0⇒2 x−(−1 )=0⇒ 2x=−1⇒ x=−12

(5)

Substituindo (5) em (3)

10+ 12− y=0⟹ y=10,5 (6)

Podemos ver que temos dois pontos de extremos, sendo y=10,5 e x=−0,5

5- Determine os valores (ou valor) extremos da função, especificando se são pontos de máximos e de mínimos

a) Z=−x2+6 x− y2+2 y

Condição de primeira ordem para extremos f ' ( x )=0

∂ Z∂ x

=−2 x+6=0 ∂ Z∂ y

=−2 y+2=0

−2 x+6=0⇒ 2x=6⇒ x=62=3

−2 y+2=0⇒2 y=2⇒ y=22=1

Temos que x* =3 e y* = 1 agora vamos verificar se são pontos de máximo ou de mínimo

fxx=−2 fyy=−2 fxy=fyx=0

Montando o Hessiano e calculando o determinante

H = [−2 00 −2] ¿ H 1∨¿−2<0

¿ H 2∨¿ (−2.−2 )−(0.0 )=4>0

Portanto temos um ponto de máximo dado às condições de segunda ordem

6 - Suponha que a função de utilidade seja dada por U=( x+2 )( y+1) e que Py = 6, Px = 4 e R = 130.

Max U=xy+x+2 y+2

SujeitoàW =xPx+ yPy

a) Escreva a função de Lagrange.

L=x . y+x+2 y+2+λ (w−xPx− y Py )

b) Encontre os níveis ótimos de compra x* e y*

∂ L∂ x

= y+1−λPx=0 (1 ) ∂ L∂ y

=x+2−λPy=0(2)

∂ L∂ λ

=w− xPx− yPy=0(3)

Dividindo (1) por (2)

y+1−λPxx+2− λPy

=0⇒ y+1x+2

= λPxλPy

=¿

Py ( y+1 )=Px ( x+2 )⇒Py . y+Py=Px . x+2Px

Py . y=Px . x+2Px−Py⇒ y= Px . x+2 Px−PyPy

⇒ 4.x+2.4−66

=4 x+26

(4)

Substituindo (4) em (3)

w−x .4−6.( 4 x+26 )=0⇒w=4 x+4 x+2

w=8 x+2⇒ x=130+28

=16,5(5)

Substituindo (5) em (4)

y= 4.x+26

=4. (16,5 )+2

6=66+2

6=688

=8,5

Temos então x¿=16,5e y¿=8,5

c) A condição suficiente de segunda ordem para um máximo está satisfeita?

Para fazermos as condições de segunda ordem temos que montar a matriz hessiana orlada, assim precisamos das derivadas de segunda ordem

f xx=0 f yy=0 f xy=f yx=1

0 −4 −6−4 0 1−6 1 0

|H|1=(0.0 )− (−4.−4 )⇒−4<0

|H|2=[ (0 )+(−4.1.−6 )+(−6.−4.1 ) ]−[ (−4.−4.0 )+(0.1.1 )+(−6.0 .−6 )]

|H|2=(24+24 )− (0+0+0 )⇒24>0

Como podemos ver é um ponto de máximo.

7 – Um indivíduo tem preferencia por dois bens X (carne) e Y(cerveja) representadas pela seguinte função de utilidade:

U ( x , y )=x12 . y

12 ; onde Px = 4 e Py = 2 , são os preços dos bens X

e Y, e a renda W = 100

Resolva o problema de maximização

Max U=x12 . y

12

SujeitoàW =xPx+ yPy

a) Escreva a função de Lagrange

L=x12 . y

12+λ (w−xPx− yPy)

Encontre o x e y ótimos (extremos)

∂ L∂ x

=0,5x−0,5. y0,5−Px=0(1)

∂ L∂ y

=0,5 x0,5 . y−0,5−Py=0(2)

∂ L∂ λ

=W −xPx− yPy=0(3)

Dividindo (1) por (2)

0,5 x−0,5 . y0,5

0,5 x0,5. y−0,5=PxPy

⇒ yx=Px

Py ⇒ y=x

PxPy

(4)

Substituindo (4) em (3)

w−xPx−xPxPy

Py=0⇒ w=xPx+xPx ⇒ w=2 xPx ⇒ x=w2Px

(5)

Substituindo (5) em (4)

y= w2 Px

.PxPy

⇒ y= w2Py

Então temos que :

x¿=1002.4

=12 ,5 e y¿=1002.2

=25

b) A condição de segunda ordem é o suficiente para um ponto de máximo?

f xx=¿

8. (ANPEC – 2004) Considere a função f ( x )=x3−2x2+ x−1. Julgue as afirmativas abaixo:

a) O ponto x = 1 é ponto de máximo local.

Encontrando os pontos críticos fazendo f ' ( x )=0

3 x2−4 x+1=0

x i=4±√16−12

6=4 ±2

6

x1=13

x2=1

f ' ' ( x )=6 x−4f ' ' (1 )=2

Podemos observar pelos resultados que a função é convexa, ou seja, um ponto de mínimo a alternativa é falsa.

9. (ANPEC- 1993) Uma firma vende o seu produto em

concorrência perfeita a um preço igual a $40. O custo total é

dado por C=10+20Q2, onde Q representa a quantidade

produzida. Para o nível de produção que maximiza o lucro,

calcule o valor do lucro total.

L=R−CL=P .Q−C

L=40Q−10−20Q 2

L'=40−40Q40−40Q=0

Q=1L' '=−40⇒Ponto demáximo

L=40 (1 )−10−20 (1 )2=10