Lista de exercícios 4

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4a LISTA DE EXERCCIOS DE ESTATSTICA (COM RESPOSTA) 1. Um lote de 10 peas contm 3 defeituosas. As peas so retiradas uma a uma (sem reposio da pea retirada) at que a ultima pea defeituosa seja encontrada. O nmero total de peas retiradas do lote contado e anotado. a) Descreva um espao amostral para este experimento. b) Qual a probabilidade de se encontrar as trs peas defeituosas logo no inicio das contagens? Soluo: a) O espao amostral mais simples para este problema : U = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Interpretando este conjunto de eventos podemos dizer que 3 peas so encontras nas trs primeiras retiradas, ou que as 3 peas defeituosas so encontradas em 4 retiradas, ou que as 3 so encontradas em 5 retiradas, e assim por diante at esgotar-se o nmero de peas do lote que 10 b) Definio do evento: A = {as trs peas defeituosas so as primeiras} n(U) = 8 logo P(A) =1 8

2. Dois objetos so escolhidos dentre os quatro denominados A, B, C e D. Se os objetos so escolhidos sem reposio, determine: a) O espao amostral. b) A probabilidade do evento A = {o objeto C escolhido}. Soluo: a) Em primeiro lugar devemos perceber que a maneira se escolher dois objetos em quatro, neste problema, feita por combinao, pois, escolher os objetos A e B o mesmo que escolher B e A, portanto a ordem no importa, e o espao amostral solicitado ser: U = {AB, AC, AD, BC, BD, CD} Caso haja alguma dvida basta descrever as possibilidades de se escolher os dois objetos atravs da rvore de possibilidades. b) Admitindo-se que os eventos sejam igualmente provveis (do contrrio seriam dadas as probabilidades isoladas de cada evento em particular) teremos: n(U) = 6, n(A) = 3 (o objeto C aparece em trs possibilidades), ento P(A) = ou 50% 3. Numa pequena cidade existem apenas duas lojas de artigos eletro-eletrnicos. Sabe-se que cerca de 55% das pessoas preferem comprar algum tipo de aparelho em uma delas, por vender mais barato. No entanto, na loja que vende mais barato cerca de 5% dos aparelhos apresentam algum tipo de defeito, enquanto a outra, cerca de 2% apresentam defeitos. Uma pessoa ganha de presente um aparelho comprado em uma das lojas. Qual a probabilidade deste aparelho ser defeituoso? (D a resposta em percentual).3 1 = = 0,5 6 2

1

Soluo: Interpretao do enunciado: observe que 55% das pessoas preferem comprar algum tipo de aparelho na loja que vende mais barato. Vamos chamar esta loja de A e a outra de B (vamos supor que as outras 45% das pessoas preferem a loja B. Sugerimos aqui supor, porque, eventualmente, podem existir algumas pessoas que no compram em nenhuma das lojas. Talvez prefiram comprar em outra cidade). Com base nesta suposio e nos dados, vamos aos clculos. Primeiro. Vamos definir os eventos: Sejam A = {as pessoas compram na loja A} B = { as pessoas compram na loja \b} D = {O aparelho defeituoso} DA = {O aparelho defeituoso e foi comprado na loja A} DB = {O aparelho defeituoso e foi comprado na loja B} C = {O aparelho defeituoso e foi comprado ou na loja A ou na loja B} Obs.: Usamos aqui D de defeito e C de compra para enfatizar, lembrando que podem ser usadas quaisquer outras letras para designar os eventos. As probabilidades so: P(A) = 0,55 (55 100) probabilidade de uma pessoa comprar um aparelho na loja A P(B) = 1 0,55 = 0,45 probabilidade de uma pessoa comprar um aparelho na loja B Lembre-se, que chamamos de A a loja que vende mais barato, na qual cerca de 5% dos aparelhos so defeituosos (apresentam algum tipo de defeito). Ento: P(D/A) = 0,05 (que a probabilidade condicionada de que um aparelho com defeito seja comprado na loja A). Para a outra loja teremos: P(D/B) = 0,02 (probabilidade condicionada de que um aparelho com defeito seja comprado na loja B) P(DA) = P(A) . P(D/A) = 0,55 0,05 = 0,0275 P(DB) = P(B) . P(D/B) = 0,45 0,02 = 0,0090 Finalmente, como no se sabe, especificamente, de qual loja o aparelho que a pessoa ganhou de presente foi comprado (podendo ter sido de uma ou de outra loja), teremos: P(C) = P(DA) + P(DB) = 0,0275 + 0,0090 = 0,0365 ou 0,0365 100 = 3,65% Com a prtica e um com entendimento dos conceitos de probabilidade e seus clculos, o(a) aluno(a), facilmente, interpretar o problema e dar a resposta de forma mais imediata como se segue: P(C) = 0,55 0,05 + (1 0,55) 0,02 = 0,0365 ou 3,65% 2

4. Duas bolas so retiradas ao acaso, uma aps a outra sem reposio, de uma urna que contm 20 bolas amarelas, 10 pretas, 7 verdes e 2 brancas. Qual a probabilidade de que a primeira das bolas a ser retirada seja de cor amarela e a segunda verde? Soluo: Trata-se de um problema de probabilidade condicionada, pois a probabilidade da segunda ser verde estar condicionada a que a primeira seja amarela, pois o espao amostral (que neste caso a quantidade total de bolas) muda aps a retirada da primeira bola. No total de bolas = 20 + 10 + 7 + 2 = 39 Definio dos eventos: A = {a primeira bola amarela} B = {a segunda bola verde} P(A) =20 397 38

P(B/A) =

(lembre-se, no teremos mais 39 bolas e sim 38, pois o espao amostral mudou)20 39 7 38

P(AB) = P(A) . P(B/A) =

=

140 1482

= 0,0945 ou 9,45%

5. Duas bolas so retiradas ao acaso, ao mesmo tempo, de uma urna que contm 20 bolas amarelas, 10 pretas, 7 verdes e 2 brancas. Qual a probabilidade de uma das bolas ser de cor amarela e a outra verde? Soluo: Observe que se no tomarmos o devido cuidado corremos o risco de interpretar o enunciado deste problema de forma semelhante ao do exerccio 4 e acharmos que a resposta a mesma. Quando retiramos as duas bolas ao mesmo tempo e estamos interessado em saber qual a probabilidade de uma ser amarela e a outra verde estamos interessado em saber qual a probabilidade de casos favorveis de se tirar bolas amarelas e verdes (num total de 20 + 7 = 27) em 39 (que o nmero total de bolas). Neste caso, considerando o evento: A = {uma das bolas amarela e a outra verde}, a probabilidade deste evento ser; P(A) =27 39

= 0,692 ou 69,2%

6. Duas mquinas, A e B, so responsveis pela produo de tecidos numa pequena tecelagem. A probabilidade da mquina A falhar de 30% e da mquina B de 20%. Qual a probabilidade da produo ser interrompida pela falha de A ou B? Soluo: 3

O problema solicita o clculo de P(AB). Lembrando que: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) e que P(A) = 0,30, P(B) = 0,20 e P(AB) = P(A) . P(B) = 0,30 0,20 = 0,06, obtm-se: P(AB) = 0,30 + 0,20 0,06 = 0,44 ou 44% Fcil. No? 7. Aps a fabricao de peas automotivas numa grande fbrica, uma pea escolhida ao acaso de um dos dois lotes de peas existentes no final do processo de fabricao, para inspeo. Sabe-se que em um dos lotes cerca de 2% das peas apresentam defeitos e no outro 4%, e que 60% das vezes a pea escolhida vem do lote que contm mais peas defeituosas. Qual a probabilidade da pea escolhida apresentar defeito? (D a resposta em percentual). Soluo: Este problema semelhante ao do exerccio 3. Portanto, vamos resolver de forma mais imediata. Definindo o evento: E = {a pea escolhida apresenta defeito e ou vem do lote que contem mais peas defeituosas ou do outro lote} O evento definido desta forma porque no se sabe qual lote contem 2% de peas defeituosas e qual deles contem 4%. Imagine uma pessoa olhando dois reservatrios contendo os lotes de peas fabricadas. Ela, certamente no saber qual deles produz mais peas defeituosas do que o outro. Mesmo que se escolha um dos lotes, o outro dever ser levado em conta durante os clculos. P(E) = 0,60 0,04 + (1 0,60) 0,02 = 0,032 ou 3,2% Obs.: Se o(a) aluno(a) quiser poder, para fins de estudo, adotar a mesma seqncia de definies de eventos e clculos adotada no exerccio 3. Fica a critrio de cada um. 8. De um total de 500 empregados, 200 participam de um plano de participao de lucros, 400 contam com a cobertura de um plano mdico, e 200 empregados participam de ambos os programas. Qual a probabilidade de um empregado participar dos lucros ou do plano mdico? Soluo: Queremos, mais uma vez, calcular P(AB). Vamos definir os eventos: A = {os empregados participam de um plano de participao de lucros} B = {os empregados contam com a cobertura de um plano mdico} AB = {os empregados participam de ambos os programas} n(A) = 200, n(B) = 400, n(AB) = 200 e n(U) = 500 As probabilidade ficam: 4

P(A) =

200 2 = ; 500 5

P(B) =

400 4 = ; 500 5

P(AB) =

200 2 = 500 5

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) =

2 4 2 4 + = = 0,80 ou 80% 5 5 5 5

9. Uma fbrica de louas tem um processo de inspeo com quatro etapas independentes. A probabilidade de uma pea defeituosa passar numa etapa de inspeo sem ser detectada de aproximadamente 20%. Com base neste valor, determine a probabilidade de uma pea defeituosa passar por todas as etapas de inspeo sem ser detectada. Soluo: Como as etapas de inspeo so independentes e h uma probabilidade de 20% de uma pea defeituosa no ser detectada, para calcular a probabilidade de que a pea defeituosa passe por todas as etapas sem ser detectada, basta multiplicar as probabilidades isoladas de cada etapa j que so independentes. Seja o evento A = {a pea defeituosa passa por todas as etapas de inspeo} P(A) = 0,20 0,20 0,20 0,20 = 0,204 = 0,0016 ou 0,16% O que era de se esperar, pois se a probabilidade da pea no ser detectada em uma etapa de 20%, a probabilidade dela no ser detectada em duas etapas bem menor. Nas quatro menor ainda. 10. Um sistema de processamento consiste de trs processadores dispostos em srie-paralelo conforme mostra a figura abaixo: P2 A P1 P3 Cada processador ou funciona ou falha. Entretanto, o sistema falha se o caminho de A para B interrompido. Seja U o espao amostral constitudo pelas combinaes de funcionamento e no funcionamento dos processadores e seja E o evento o sistema funciona. a) Liste os elementos de U e de E. b) Qual a probabilidade do sistema falhar? Soluo: Com exceo do item b, este exatamente o enunciado da 3a Questo da 2a Lista de exerccios resolvida e j enviada. Portanto, repetimos aqui, apenas a resposta do item a, sem os comentrios: a) U = {{P1F, P2F, P3F}, {P1F, P2F, P3N}, {P1F, P2N, P3F}, {P1F, P2N, P3N}, {P1N, P2F, P3F}, {P1N, P2F, P3N}, {P1N, P2N, P3F}, {P1N, P2N, P2N}} E = {{P1F, P2F, P3F}, {P1F, P2F, P3N}, {P1F, P2N, P3F}} B

5

b) Observe que o conjunto E na verdade um conjunto de eventos ou possibilidades do sistema funcionar, ou seja, o sistema funciona se ocorrer a primeira possibilidade ou a segunda ou a terceira. Queremos, no entanto, a probabilidade complementar deste evento, ou seja P( E ), quando o sistema falha. Admitindo-se uma probabilidade de falha ou de funcionamento de 50%, j que o problema no faz nenhuma distino, ou seja: P(P1F) = P(P2F) = P(P3F) = 0,5 P(P1N) = P(P2N) = P(P3N) = 0,5 a probabilidade de que o sistema funcione devido a ocorrncia da primeira possibilidade : P(P1F, P2F, P3F) = P(P1F) . P(P2F) . P(P3F) = 0,5 0,5 0,5 = 0,125 da segunda, sendo: P(P1F, P2F, P3N) = P(P1F) . P(P2F) . P(P3N) = 0,5 0,5 0,5 = 0,125 e da terceira: P(P1F, P2N, P3F) = P(P1F) . P(P2N) . P(P3F) = 0,5 0,5 0,5 = 0,125 Portanto, P(E) = 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,375 e P( E ) = 1 P(E) = 1 0,375 = 0,625 ou 62,5% O(A) aluno(a) poder se questionar porque usamos o conceito de probabilidade complementar. Isto foi feito porque o caminho mais curto, pois basta calcular as probabilidades individuais de trs possibilidades de funcionamento, aproveitando o evento E descrito no item a, e em seguida obter a probabilidade complementar, ao invs de calcular as probabilidades individuais de 5 possibilidades do sistema no funcionar. Fica a critrio de cada um, e como exerccio complementar, fazer estes clculos e comparar o resultado com aquele obtido aqui. Observe, que como admitimos que as probabilidades individuais de funcionamento e falha so iguais (50%), um clculo muito mais rpido, j que todos os eventos seriam igualmente provveis, poderia ser feito da seguinte forma: Considere o evento F = {o sistema no funciona}, ou seja F = {{P1F, P2N, P3N}, {P1N, P2F, P3F}, {P1N, P2F, P3N}, {P1N, P2N, P3F}, {P1N, P2N, P2N}} Que envolve todas as possibilidades de falha. Neste caso, n(U) = 8 e n(F) = 5, usando a definio bsica de probabilidade: P(F) = n (U )n (F )

=

5 = 0,625 ou 62,5% 8

Como sempre, devemos ficar atento de que este procedimento de clculo s poder ser possvel se todos os eventos em questo forem igualmente verossmeis ou provveis. Se as probabilidades de falha ou funcionamento forem distintas, no podemos usar tal procedimento.

6

11. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4 e que P(AB) = 0,7. Se P(B) = p, obtenha o valor de p se: a) A e B forem mutuamente excludentes. b) A e B forem independentes Soluo: Um problema bastante interessante que envolve apenas algebrismo e conceitos bsicos das propriedades da probabilidade. a) Se A e B forem mutuamente excludentes (ou exclusivos), a probabilidade de A ou B ocorre, j que dispomos deste dado, ser, simplesmente: P(AB) = P(A) + P(B) , portanto 0,7 = 0,4 + p e p = 0,3 b) Se A e B forem independentes, teremos que conhecer P(AB), ou seja: P(AB) = P(A) . P(B) = 0,4 . p E, considerando que haja a interseo, eles j no sero mutuamente exclusivos, e, P(AB) = P(A) + P(B) P(AB), ou seja 0,7 = 0,4 + p 0,4p finalmente p = que implica em 0,7 = 0,4 + 0,6p

0,7 0,4 0,3 = 0,6 = 0,5 0,6

p

= 0,5

12. Um dispositivo eletrnico consiste de trs peas. Cada pea tem 99% de probabilidade de funcionar satisfatoriamente. Supondo que o funcionamento de uma pea no interfira nas outras, determine a probabilidade de que o dispositivo no funcione satisfatoriamente. D a resposta em percentual. Soluo: O enunciado de alguns problemas encontrados na literatura de estatstica e probabilidade as vezes causa confuso como o deste problema. Observe que dado a probabilidade de funcionamento de cada pea que compem o dispositivo e pede-se a probabilidade de que o dispositivo no funcione satisfatoriamente. Ai devemos ficar atentos e trabalhar com o conceito de eventos complementares e/ou suas probabilidades. Definio dos eventos: P1 = {a pea 1 funciona}, sendo P(P1) = 0,99 (99 100) P2 = {a pea 2 funciona}, sendo P(P2) = 0,99 P3 = {a pea 3 funciona}, sendo P(P3) = 0,99 no esquecer de dividir

7

Como o funcionamento das peas so independentes, usaremos os conceitos de probabilidade de eventos independentes, que envolve a regra da multiplicao (mais uma vez ufa), e de eventos complementares: seja o evento A = {o dispositivo no funciona}, ento P(A) = P( P1 ) . P( P2 ) . P( P3 ) = (1 0,99) (1 0,99) (1 0,99) = 0,013 ou seja, P(A) = 0,000001 ou 0,0001% Obs.: este exerccio parecido com o de nmero 18 da 3a lista de exerccio. 13. Um nmero binrio constitudo apenas dos dgitos zero e um (por exemplo, 1011, 1100, 1001, etc.). Suponha que um nmero binrio seja formado por 5 dgitos e que a probabilidade de um dgito incorreto aparecer seja 0,02 e que os erros em diferentes dgitos seja independentes uns dos outros. Qual a probabilidade de aparecer um nmero correto? Soluo: Mais um exerccio em que torna-se necessrio usar os conceitos de probabilidade de eventos complementares. Seja o evento A = {um nmero correto aparece} Se o nmero em questo constitudo por 5 dgitos e a probabilidade de aparecer um dgito incorreto 0,02, ento a probabilidade de aparecer dgitos corretos ser o seu complemento. Como os erros nos dgitos so independentes, obtm-se: P(A) = (1 0,02)5 = 0,9039 ou 90,39% 14. H 90% de probabilidade de uma mquina fabricar uma parafuso sem defeito. Se a fabricao de parafusos sucessivos constitui um processo independente (hiptese geralmente aceita num processo sob controle), Qual a probabilidade de: a) o primeiro parafuso sair perfeito e o segundo sair defeituoso. b) um parafuso sair perfeito e o outro sair defeituoso (ou seja, em qualquer ordem) Soluo: Observe atentamente que o enunciado refere-se ao clculo da probabilidade dos parafusos serem ou no defeituosos durante a fabricao sucessiva destes parafusos. diferente de calcular a probabilidade de defeito ou no ao se escolher aleatoriamente tais parafusos para uma inspeo. a) neste clculo a ordem prevalece, portanto, seja o evento A = {o parafuso perfeito} e B = {o parafuso defeituoso}, ento: P(A) = 0,90 e P(B) = 1 0,90 = 0,10, queremos calcular P(AB) P(AB) = P(A) . P(B) = 0,90 0,10 = 0,09 ou 9%

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b) Neste caso no sabemos a ordem como os parafusos saem, se perfeito ou com defeito, Teremos que considerar as seguintes possibilidades: o primeiro parafuso sai perfeito e o segundo defeituoso ou o primeiro sai defeituoso e o segundo perfeito. Isto nos leva a definir o seguinte evento: C = {ou o primeiro parafuso sai perfeito e o segundo defeituoso ou o primeiro sai defeituoso e o segundo perfeito} P(C) = P(A) . P(B/A) + P(B) . P(A/B), onde: P(B/A) = probabilidade do segundo parafuso sair defeituoso condicionada a que o primeiro saia perfeito) = 1 0,90 = 0,10 (na ntegra, a probabilidade P(B) do item a; apenas usamos a notao de probabilidade condicionada para enfatizar a ordem de ocorrncia dos parafusos) P(A/B) = 0,90 (com o mesmo raciocnio) Finalmente: P(C) = 0,90 0,10 + 0,10 0,90 = 0,18 ou 18% 15. Extraem-se aleatoriamente duas cartas de um baralho comum de 52 cartas. Determine a probabilidade de ambas serem ases, se a primeira carta: a) for reposta. b) no for reposta Soluo: Mais um exerccio que mostra a diferena entre calcular a probabilidade de se extrair objetos de um conjunto com ou sem reposio. a) Se a primeira carta for reposta, o espao amostral no fica alterado. Definindo os eventos: A = {a primeira carta um s} B = {a segunda carta um s} P(AB) = {ambas as cartas so ases}4 5 2 4 P(B) = 52

P(A) =

(como h 4 naipes num baralho, h ento, 4 ases)

P(AB) = P(A) . P(B) =

4 4 52 52

=

1 169

b) Ai entra o conceito de probabilidade condicionada: P(AB) = P(A) . P(B/A), sendo

9

P(B/A) =

3 5 1

(que a probabilidade condicionada de se extrair um segundo s, ou seja, a

probabilidade da segunda carta ser um s na condio de que a primeira, tambm, seja um s) P(AB) =4 3 52 51

=

1 221

(bem menor do que a calculada no item a, o que era se esperar,

pois o espao amostral foi reduzido) 16. Jos aguarda com ansiedade o resultado de dois exames que acaba de fazer. Estima-se que ele tenha uma probabilidade de 0,80 de obter a mdia suficiente para passar em literatura inglesa, e 0,40 para passar em portugus. Determine a probabilidade dele: a) passar em ambos os exames. b)no passar em nenhum Soluo: a) sejam o eventos: A = {Jos obtm mdia suficiente para passar em literatura inglesa} B = {Jos obtm mdia suficiente para passar em portugus} Sendo P(A) = 0,80 e P(B) = 0,40, ento P(AB) = P(A) . P(B) = 0,80 0,40 = 0,32 ou 32% Que a probabilidade de Jos passar em ambos os exames. b) Neste caso trabalhamos com os eventos complementares do item a: P( A B ) = P( A ) . P( B ) = (1 0,80) (1 0,40) = 0,20 0,60 = 0,12 ou 12% Sendo esta a probabilidade de Jos no passar em nenhum dos exames. O(A) aluno(a) poder se questionar porque, simplesmente, no calculamos a probabilidade de Jos no passar em nenhum exame atravs da probabilidade do evento complementar do item a, ou seja: P( A B ) = 1 0,32 = 0,68 ou 68%, j que no item a calculamos exatamente o oposto, isto , a probabilidade dele passar em ambos os exames. Este , sem dvida nenhuma, um resultado completamente errado, e este exerccio constitui um bom exemplo para explicar isto, o que no foi feito em alguns exerccios anteriores. Para explicar, vamos recorrer teoria dos conjuntos. Imagine os eventos A e B definidos no item a sendo representados pelos conjuntos abaixo: Fig. 1 A B

U No item a do exerccio determinada a probabilidade de Jos passar em ambos os exames, isto , foi determinado o resultado da interseo de A e B, representado na figura 2, abaixo: 10

Fig. 2 A B

Fig. 3 A B

U U ABA B

O que seria ento, o complemento de AB, ou seja, A B ? Exatamente a rea cinza representada pelo diagrama da figura 3 (acima, a direita). Isto no representa bem o evento de Jos no passar em nenhum exame porque parte de A e parte de B ainda estariam contidos em A B , o que contraditrio. Vamos representar ento os resultados corretos. O complemento de A est representado pela figura 4 e o de B pela figura 5 (abaixo). Fig. 4 A B Fig. 5 A B

UA

UB

Finalmente, a interseo A B , que representa exatamente o evento de Jos no passar em nenhum dos exames est mostrada no diagrama abaixo (Figura 6): Fig. 6 A B

U

AB

Observe que A B = A B (complemento da unio de A com B). Esta seria uma outra maneira correta de calcular o item b, calculando primeiro a probabilidade de Jos passar em um exame ou outro, para seguida calcular o probabilidade do evento complementar de A unio B.

11

17. Maria tenta adivinhar um nmero composto por 4 algarismos (escolhidos entre 0 e 9), numa brincadeira proposta por Jos. Admitindo-se que todos os algarismos escolhidos sejam igualmente provveis e independentes, qual a probabilidade dela acertar o nmero? Soluo: Observe o esquema abaixo, no qual, para cada casa a ser ocupara pelos algarismo h 10 possibilidades: 0 1 . . . 9 0 1 . . . 9 0 1 . . . 9 0 1 . . . 9

A probabilidade de acertar um algarismo 1/10, portanto, a probabilidade de Maria acertar o nmero ser: P =1 1 1 1 10 10 10 10

=

1 10 .000

= 0,00001 ou 0,01%

18. Uma das trs hipteses possveis H1, H2 e H3 pode explicar a ocorrncia de um acidente de estrada. Se H1 estiver correta a probabilidade do acidente de 0,75. Se H2 estiver correta, a probabilidade do acidente de 0,80. Se H3 estiver correta a probabilidade do acidente de 0,85. H 1 tem probabilidade 0,4 de estar certa; H2 tem probabilidade 0,5 de estar certa e H3 tem probabilidade 0,1. Determine a hiptese mais provvel para explicar um acidente observado. Soluo: Exerccio bastante interessante que exige bastante raciocnio para a sua soluo. Lendo com bastante ateno o enunciado, observa-se que se a hiptese H1 estiver correta, ento a probabilidade do acidente ocorrer de 0,75, que trata-se de uma probabilidade condicionada a tal hiptese. Partindo deste raciocnio, podemos definir os seguinte eventos: A = {ocorrncia do acidente} H1 = {a primeira hiptese est correta} H2 = {a segunda hiptese est correta} H3 = {a terceira hiptese est correta} AH1 = {o acidente ocorre e a primeira hiptese est correta} AH2 = {o acidente ocorre e a segunda hiptese est correta} AH3 = {o acidente ocorre e a terceira hiptese est correta} As probabilidades so: P(H1) = 0,40; P(H2) = 0,50; e P(H3) = 0,10

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P(A/H1) = 0,75 - probabilidade do acidente ocorrer na condio de que a primeira hiptese esteja correta. P(A/H2) = 0,80 - probabilidade do acidente ocorrer na condio de que a segunda hiptese esteja correta. P(A/H3) = 0,85 - probabilidade do acidente ocorrer na condio de que a primeira hiptese esteja correta. P(AH1) = P(H1) . P(A/H1) = 0,40 0,75 = 0,30 ou 30% P(AH2) = P(H2) . P(A/H2) = 0,50 0,80 = 0,40 ou 40% P(AH3) = P(H3) . P(A/H3) = 0,10 0,85 = 0,085 ou 8,5% Os clculos param por ai. Basta ento escolher qual a probabilidade de interseo a maior. Obviamente, a resposta : a segunda hiptese (H2) a mais provvel. Os problemas a seguir referem-se ao captulo 3 que trata da distribuio de probabilidades e valor esperado. 19. Os valores abaixo representam a distribuio de probabilidade da procura diria de um certo produto: x p 1 0,3 2 0,3 3 0,2 4 0,2 5 0,1 6 0,05

Quantos produtos pode se esperar que sejam encontrados por dia? Soluo: Basta usar a frmula E(x) =

pi =1

n

i

x i , cuja resposta :

E(x) = 0,3 1 + 0,3 2 + 0,2 3 + 0,2 4 + 0,1 5 + 0,05 6 = 3,1 produtos. (moleza, no?) 20. Uma concessionria de veculos estabeleceu num registro os dados referentes a venda diria de veculos num perodo de 30 dias, conforme a tabela abaixo: diano vendas

1 2 16 5

2 9 17 5

3 6 18 4

4 5 19 4

5 5 20 3

6 6 21 5

7 4 22 3

8 4 23 4

9 3 24 5

10 3 25 5

11 4 26 3

12 5 27 1

13 5 28 6

14 3 29 2

15 1 30 2

diano vendas

Quantos veculos esta concessionria espera vender por dia? Soluo: Embora seja um exerccio de valor esperado, este exige uma pouco mais de ateno, pois torna-se necessrio primeiro montar a tabela freqncias relativas (vide captulo 2): 13

Vamos recordar a simbologia: A1 = o evento que representa 1 venda diria A2 = o evento que representa 2 vendas dirias E assim por diante. A varivel aleatria, xi neste caso so os valores de A i . A tabela montada fica: A i (ou xi ) 1 2 3 4 5 6 9 Fi 2 3 6 6 9 3 1 f i = Fi/n 2/30 = 0,0667 3/30 = 0,1000 6/30 = 0,2000 6/30 = 0,2000 9/30 = 0,3000 3/30 = 0,1000 1/30 = 0,0333

Obs.: s para lembrar, a tabela montada comeando-se pela freqncia absoluta Fi , que indica o nmero de vezes que o evento A i ocorre. Por exemplo, 3 vendas dirias ou 4 correm 6 vezes (basta contar quantas vezes esses valores aparecem na tabela do enunciado). 5 vendas dirias ocorrem 9 vezes, e assim por diante. O valor esperado ser ento: E(x) = 0,0667 1 + 0,1 2 + 0,2 3 + 0,2 4 + 0,3 5 + 0,1 6 + 0,0333 9 = 4,07 Espera-se que a concessionria venda 4,07 veculos por dia (este valor poder ser arredondado para 4 veculos, sem nenhum problema). 21. Duas mquinas M1 e M2, sendo operadas independentemente, podem apresentar uma certa quantidade de defeitos a cada dia. A tabela abaixo d a distribuio de probabilidades dos defeitos que cada mquina apresenta: Nmero de defeitos M1 M2 0 0,1 0,3 1 0,2 0,1 2 0,3 0,1 3 0,2 0,1 4 0,09 0,1 5 0,07 0,15 6 0,04 0,15

Qual mquina espera-se que ocorra mais defeitos? Soluo: Basta calcular o valor esperado para quantidade de defeitos apresentados por cada mquina, e em seguida comparar os resultados: Para a mquina M1 E(x) = 0,1 0 + 0,2 1 + 0,3 2 + 0,2 3 + 0,09 4 + 0,07 5 + 0,04 6 = 2,35

14

Para a mquina M2 E(x) = 0,3 0 + 0,1 1 + 0,1 2 + 0,1 3 + 0,1 4 + 0,15 5 + 0,15 6 = 2,65 Espera-se que ocorra mais defeitos na mquina M2. 22. Sabe-se que na produo diria de uma grande fbrica de aparelhos eletrnicos, 2 em cada 100 unidades apresentam defeitos de fabricao. Trs unidades so escolhidas ao acaso e verificadas. Qual o nmero esperado de unidades defeituosas dentre as trs escolhidas? Soluo: Primeiro teremos que determinar o conjunto de possibilidades de se escolher as trs peas, defeituosas ou no, construindo o espao amostral, e para isto, recorremos a rvore de possibilidades. Chamando de D uma unidade defeituosa e de N uma unidade no defeituosa, obtemos: 1a possibilidade 2a possibilidade 3a possibilidade D D N D D N N D D N N D N N possibilidades

DDD DDN DND DNN NDD NDN NND NNN

O espao amostral : U = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN } O prximo passo consiste em determinar a distribuio de probabilidades que nada mais do que as probabilidades referentes a todas as possibilidades de seqncia de D e N (a rvore acima foi montada iniciando-se com D para uma unidade defeituosa, porm nada impede que comecemos com N, ficando a critrio de cada um, inclusive a escolha das letras, ou seja, poderamos chamar de A uma unidade defeituosa e de B uma unidade no defeituosa). Cada uma das possibilidades do espao amostral consiste, portanto, de um resultado. A probabilidade de uma unidade defeituosa ser escolhida : P(D) =2 100

= 0,02 ( 100 = 2%)

15

E a probabilidade de uma unidade no defeituosa: P(N) = 1 P(D) = 1 0,02 = 0,98 A distribuio de probabilidades fica, ento: Resultado NNN DNN NDN NND DDN DND NDD DDD Probabilidade do resultado 0,98 0,02 0,98 0,98 0,02 0,02 0,98 0,02 0,98 0,98 0,02 0,98 0,02 0,98 0,02 0,02 0,98 0,98 0,98 0,02 0,98 0,02 0,02 0,02 = = = = = = = = 0,941192 0,019208 0,019208 0,019208 0,000392 0,000392 0,000392 0,000008 No de peas Defeituosas x 0 P(x) = 0,941192 0,019208 + 0,019208 + 0,019208 = 0,057624 0,000392 + 0,000392 + 0,000392 = 0,001176 = 0,000008

} }

1

2 3

A seqncia aqui est diferente daquela apresentada pela rvore de possibilidades. Isto foi feito para que o nmero de peas defeituosas fosse escrito em ordem crescente. Obs.: a probabilidade de cada resultado calculada pela regra da multiplicao, ou seja: P(NNN) = P(N) . P(N) . P(N) P(DNN) = P(D) . P(N) . P(N) P(NDN) = P(N) . P(D) . P(N) e assim por diante. Finalmente, o clculo do valor esperado: E(x) = 0,941192 0 + 0,057624 1 + 0,001176 2 + 0,000008 3 = 0,06 So esperadas 0,06 unidades defeituosas. Comentrio embora 0,06 unidade no tenha qualquer significado real, pois no existe uma frao de aparelho eletrnico, isto nos d uma idia de que quase nenhum aparelho defeituoso encontrado na verificao de 3 escolhidos ao acaso, estando de acordo com o valor da probabilidade de que um aparelho seja fabricado com defeito que 2% neste caso. Se h uma possibilidade de se encontrar apenas 2 aparelhos defeituosos em 100, diga l em 3. 23. A distribuio de probabilidades de ocorrncia de acidentes num dia de semana ente 1 e 6 horas da manh so dadas abaixo: 0 0,10 1 0,15 2 0,20 3 0,25 4 0,18 5 0,07 6 0,04 7 0,01

Determine a probabilidade de ocorrer: a) exatamente 4 acidentes. b) pelo menos 3 acidentes. Soluo: a) Basta extrair o resultado diretamente da tabela acima:

16

P(4) = 0,18 ou 18% b) Queremos P(x 3), pois pelo menos 3 significa 3 ou mais. Neste caso, podemos usar a probabilidade do evento complementar para x 3, ou seja: P(x 3) = 1 P(x < 3) P(x < 3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,10 + 0,15 + 0,20 = 0,45 e P(x 3) = 1 0,45 = 0,55 ou 55% 24. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara trs vezes mais freqentemente do que coroa. essa moeda jogada trs vezes. Determine a distribuio de probabilidade x, onde x o nmero de caras que aparece. Soluo: As possibilidades de cara e coroa nas trs jogadas esto agrupadas no espao amostral U abaixo: U = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} Dispensamos aqui o uso da rvore de possibilidades Sendo C = cara e K = coroa, P(C) = 3P(K), conforme o enunciado. Se P(C) + P(K) = 1, ento 3P(K) + P(K) = 1, portanto, 4P(K) = 1 e P(K) =1 1 ; P(C) = 3 = 4 4 3 4

Obtido os valores individuais para as probabilidades de cara e coroa, vamos calcular as probabilidades para as trs jogadas: Resultado KKK CKK KCK KKC CCK CKC KCC CCC Probabilidade do resultado1 4 3 4 1 4 1 4 3 4 3 4 1 4 3 4 1 1 4 4 1 1 4 4 3 1 4 4 1 3 4 4 3 1 4 4 1 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4

= = = = = = = =

1 64 3 64 3 64 3 64 9 64 9 64 9 64 27 64

No de peas Defeituosas x 0

P(x)1 64

} }

1

3 64

+

3 64

+

3 64

=

9 64

2

9 64

+

9 64

+

9 64

=

27 64

3

27 64

17

Portanto, a distribuio de probabilidades para as trs jogadas da moeda em que a freqncia de aparecer cara trs vezes a de aparecer coroa :1 9 27 27 , , , 64 64 64 64

Normalmente, embora no seja necessrio, comum mostrar o resultado final numa tabela como se segue, que na verdade, um resumo da tabela de clculos acima: x 0 1 2 3 P(x)1 64 9 64 27 64 27 64

25. Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas so pagas aps o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: a) Nenhuma ser paga com atraso. b) No mximo 2 serem pagas com atraso. c) Ao menos 3 serem pagas com atraso. Soluo: Trata-se de um problema que resolvido aplicando-se o modelo de distribuio binomial, pois s duas possibilidade de ocorrncia de eventos, a de sucesso e a de falha. A etapa que exige mais raciocnio consiste em identificar os parmetros n, nmero de observaes, x, nmero de sucessos, que para este exerccio o sucesso o atraso das faturas, e p, a probabilidade de atrasar a fatura. p = 40% ou p = 0,40 (probabilidade de uma fatura ser paga com atraso) n = 14 (nmero de observaes = 14 faturas expedidas) Para o clculo das probabilidades empregamos a frmula binomial abaixo: P(x) = p x (1 p) n x n x

ou as tabelas binomiais se os parmetros estiverem tabelados.

a) x = 0 (nenhuma fatura paga com atraso) 14 14 0 0 P ( x = 0) = = 1 1 (0,60)14 = 0,0008 0 0,40 (1 0,40 ) 14 ! 14 ! 14 Obs.: = C14, 0 = ( 14 0 )!0 ! = 14 ! = 1 0

1 b) No mximo 2 serem pagas com atraso significa que podemos ter nenhuma, uma ou 2 pagas com atraso. Neste caso temos uma probabilidade acumulada: P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2).

18

P(x = 0) = 0,0008 (calculada no item a) 14 14 1 P ( x =1) = 1 0,40 (1 0,40 ) 14 sendo 1 = C14,1 = 14 14 P ( x = 2) = 2 14 sendo 2 0,40 2 (1 0,40 )14 1

= 14 0,40 0,6013 = 0,0073

2

= 91 0,402 0,6012 = 0,0317

7 = C14, 2 = 1 ! 4 1 3 2 ! 4 1 1 = = 7 13 = 91 (14 2 )!2 ! 1 !2 2 1

Pacumulada = P(x 2) = 0,0008 + 0,0073 + 0,0317 = 0,0398 Portanto, h uma probabilidade de cerca de 3,98% de no mximo 2 serem pagas com atraso. c) Ao menos 3 serem pagas com atraso significa que podemos ter 3, 4 ou mais, at 14. Queremos calcular P(x 3). Como fica exaustivo calcular P(3) + P(4) + P(5) + . . . + P(14), usamos o conceito de probabilidade complementar: P(x 3) = 1 P(x < 3) = 1 P(x 2) calculado no item b ou seja, P(x 3) = 1 0,0398 = 0,9602 26. Pesquisa mdica indica que 20% da populao em geral sofre efeitos colaterais negativos com o uso de uma nova droga. Se um mdico receita o produto a quatro pacientes, qual a probabilidade de: a) Nenhum sofrer efeito colateral. b) Todos sofrerem efeitos colaterais. c) Ao menos um sofrer efeito colateral. Soluo: Identificao dos parmetros: p = 0,20 n = 4 (so observados 4 pacientes) 14 a) x = 0 P(x = 0) = 0 0,20 0 (1 0,20 ) 4 0 = 1 1 0,804 = 0,4096

14 b) x = 4 (todos) P(x = 4) = 4

1 0,20 4 (1 0,20 ) 4 4 = 1 0,204 0,80 0 = 0,0016

1 c) Ao menos um significa 1, 2, 3 ou 4 (x 1) P(x 1) = 1 P(x 10). Utilizaremos desta vez as tabelas de distribuio acumulada. Como as tabelas fornecem valores acumulados a partir de x = 0, torna-se evidente que: P(x > 10) = 1 P(x 10) Da tabela de distribuio acumulada , para p = 035, n = 20 e x = 10 obtermos P(x 10) = 0,9468 Portanto, P(x > 10) = 1 0,9468 = 0,0532 ou seja 5,32% a probabilidade de que mais de 10 passageiros faltem ao embarque. Abaixo transcrevemos uma parte da tabela de distribuies acumuladas (2a tabela) para n = 20, de forma resumida, para que o aluno(a) consiga observar como feita a consulta das tabelas e obter o resultado solicitado. Observe que o valor obtido pelo cruzamento de p = 0,35 com x = 10. p 0,30 0,0008 0,0076 . . . . . . 0,9829 . . . 1,0000 0,35 0,0002 0,0021 . . . . . . 0,9468 . . . 1,0000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,90 0,0000 0,0000 . . . . . . 0,0000 . . . 1,0000 0,95 0,0000 0,0000 . . . . . . 0,0000 . . . 1,0000

n 20

x 0 1 2 . . . 10 . . . 20

0,01 0,8179 0,9831 . . . . . . 1,0000 . . . 1,0000

0,05 0,3585 0,7358 . . . . . . 1,0000 . . . 1,0000

. . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . .

.

.

.

.

Alguns valores de referncia para x e p so mostrados na tabelas apenas para orientao e comparao com as tabelas fornecidas, e para facilitar a consulta. 30. A probabilidade de um computador de uma grande rede falhar de 25%. Qual a probabilidade de que entre 20 computadores no mximo 3 falhem? Soluo: Identificao dos parmetros: p = 25% ou 0,25 n = 20 No mximo 3 falhem significa P(x 3 ), ou seja 3 ou menor. Podemos obter a probabilidade diretamente da tabela de distribuies binomiais acumuladas:

n

x

0,01

0,05

. . .

p 0,25

0,30

. . .

0,90

0,95

21

20

0 1 2 3 . . . 10 . . . 20

0,8179 0,9831 0,9990 1,0000 . . . 1,0000 . . . 1,0000

0,3585 0,7358 0,9245 0,9841 . . . 1,0000 . . . 1,0000

. . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . .

.

.

0,0032 0,0243 0,0913 0,2252 . . . 0,9961 . . . 1,0000

0,0008 0,0076 0,0355 0,1071 . . . 0,9829 . . . 1,0000

. . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . .

.

.

0,0000 0,0000 . . . . . . . . . 0,0000 . . . 1,0000

0,0000 0,0000 . . . . . . . . . 0,0000 . . . 1,0000

P(x 3 ) = 0,2252 ou 22,52% Uma outra opo seria calcular usando a frmula binomial, que um procedimento bem mais exaustivo, como se segue: P(x 3 ) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) Lembrando que os valores de p e n no se alteram, teremos: para x = 0 P(x = 0) = 20 0 0,25 0 (1 0,25) 20 0

= 1 0,75 20 = 0,0032

11 20 1 P(x = 1) = = 20 0,25 0,75 19 = 0,0211 1 0,25 (1 0,25)

20

2 20 2 P(x = 2) = = 190 0,25 2 0,75 18 = 0,0669 2 0,25 (1 0,25)

20

P(x = 3) = Finalmente:

20 3

0,25 3 (1 0,25)20 3 = 1.140 0,25 3 0,75 17 = 0,1339

P(x 3 ) = 0,0032 + 0,0211 + 0,0669 + 0,1339 = 0,2251 ou 22,51% Onde a pequena diferena deve-se a erros de arredondamento nas contas. Obs.: 20 0 = C 20, 0 =

(

20 ! = 1 20 0 ) ! 0 !

22

20 1 20 2 20 3

= C 20, 1 =

(

2 ! 0 = 20 2 1 ) ! 1 ! 0 2 ! 0

= C 20, 2 = ( 20 2 ) ! 2 ! = 190 = C 20, 3 =

( 20

2 ! 0 3 ) ! 3 !

= 1.140

31. Cerca de 25% dos vos de uma companhia area chegam atrasados. Qual a probabilidade de em 10 vos: a) No mximo 5 chegarem atrasados? b) Exatamente 5 chegarem atrasados? Soluo: Torna-se evidente que muito rpido consultar as tabelas. Vamos trabalhar somente com as tabeles de probabilidade binomial acumulada. a) No mximo 5 significa 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 sucessos, que neste caso o atraso dos vos. Ento queremos P(x 5). Para p = 0,25 e n = 10, obtm-se: P(x 5) = 0,9803 ou 98,03% b) P(x = 5) = P(x 5 ) P(x 4) P(x 4) = 0,9219 (da tabela) e P(x 5) = 0,9803 (item a) P(x = 5) = 0,9803 - 0,9219 = 0,0584 ou 5,84% UFA!!

23