Funcoes Afins e Lineares

Professor Luiz Fernando

4 de fevereiro de 2013

Resultados importantes

FUNCAO AFIM: Uma funcao f : < → < chama-se afim quando existem constantes a, b ∈ < tais que f(x) = ax+ b

para todo x ∈ <.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA PROPORCIONALIDADE: Seja f : < → < uma funcao crescente. As seguintes

informacoes sao equivalentes:

(1) f(nx) = nf(x) para todo n inteiro e x real.

(2) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax para todo x real.

(3) f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ <.

TEOREMA(Caracterizacao da Funcao Afim): Seja f : < → < uma funcao monotona injetiva. Se o acrescimo

f(x + h)− f(x) = ϕ(h) depender apenas de h, mas nao de x, entao f e uma funcao afim.

Atividades

1. Uma caixa dagua de 1000 litros tem um furo no fundo por onde escoa agua a uma vazao constante. Ao meio

dia de certo dia ela foi cheia e, as 6 da tarde desse dia, so tinha 850 litros. Quando ficara pela metade?

2. Pessoas apreessadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns degraus da escada

no percurso. Para certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30 segundos na escada quando sobe 5 degraus e 20

segundos quando sobe 10 degraus. Quantos sao os degraus da escada e qual o tempo normalmente gasto no percurso?

3. Augusto, certo dia, fez compras em 5 lojas. Em cada loja, gastou metade do que possuia e pagou, na saida,

2 reais de estacionamento. Se apos toda essa atividade ainda ficou com 20 reais, que quantia ele tinha inicialmente?

4. Arnaldo da a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e da a Carlos tantos reais quanto Carlos possui. Em

seguida, Beatriz da a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui. Finalmente, Carlos faz o mesmo.

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Terminam todos com 16 reais cada. Quanto cada um possuia no inıcio?

5. Resolva a inequacao

12x+1 < 1

1−x .

6. (AV 1 - MA 11 - 2011) Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o aceano em 42 dias. Seu

suprimento de agua potavel permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de agua por dia (e e isso que os tripulantes

fazem). Apos 12 dias de viagem, o barco encontra 3 naufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:

(a)Qauntos litros de agua por dia caberao agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?

(b)se os dez ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de agua cada um, em quantos dias, no maximo,

sera necessario encontrar uma ilha onde haja agua?

7.(AV 3 - MA 11 - 2011) Considere a funcao f : [1,+∞]→ <, definida por f(x) = x3 − x2.

(a)Defina funcao crescente e prove que f e crescente.

(b)Defina funcao ilimitada e prove que f e ilimitada.

8. (AV 1 - MA 11 - 2012) Considere as seguintes possibilidades a respeito das funcoes afins f, g : < → <,

em que f(x) = ax + b e g(x) = cx + d.

A) f(x) = g(x) para todo x real.

B) f(x) 6= g(x), seja qual for x ∈ <.

C) Existe um unico x real, tal que f(x) = g(x).

Com essas informacoes:

i) Exprima cada uma das possibilidades acima por meio de relacoes entre os coeficientes a,b,c e d.

ii) Interprete geometricamente cada umas das tres possibilidades usando os graficos de f e g.

9. Dadas as progressoes aritmeticas

(a1, a2, ..., an, ...) e (b1, b2, ..., bn, ...)

mostre que existe uma, e somente uma, funcao afim f : < → < tal que f(a1) = b1, f(a2) = b2, ..., f(an) = bn, ...

10. A e B sao locadoras de automovel. A cobra 1 real por quilometro rodado mais uma taxa de 100 reais fixa.

B cobra 80 centavos por quilometro mais uma taxa fixa de 200 reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou de B

sobre A em funcao do numero de quilometro a serem rodados.

11. Um carro sai de A para B e outro sai de B para A, simultaneamente, em linha reta, com velocidades

constantes e se cruzam em um ponto situado a 720 metros do ponto de partida mais proximo. Completada a

viagem, cada um deles para por 10 minutos e regressa, com a mesma velocidade da ida. Na volta, cruzam-se em

um ponto situado a 400 metros do outro ponto de partida. Qual a distancia de A ate B?

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