Geometria I

Professor Luiz Fernando – 23/02/2013

1. (Exame – Acesso – 2013) O semicírculo da figura está inscrito no triângulo retângulo

ABC de catetos AB = 7 e BC = 24. Qual o valor numérico do raio do semicírculo?

2. (Exame – Acesso – 2013) No retângulo ABCD da figura os triângulos cinzentos têm

todos a mesma área. Quanto vale ?

3. (Exame – Acesso – 2013) Considere um triângulo isósceles inscrito em um círculo de

raio 3 metros, como mostra a figura. Se x representa a medida, em metros, da altura

deste triângulo com relação à sua base. Expresse a área deste triângulo em função de

x.

4. (Exame – Acesso – 2013) A figura abaixo é composta por 4 semicircunferências. As

duas menores possuem o mesmo raio, medindo 1,5 cm. A semicircunferência

intermediaria tem diâmetro igual ao raio da circunferência maior. Em cm² qual é a

área sombreada?

5. (Exame – Acesso – 2013) A figura abaixo mostra três circunferências de 1 cm de raio,

tangentes entre si duas a duas, e um triângulo eqüilátero circunscrito a essas

circunferências.

a) Calcule o lado do triângulo eqüilátero.

b) Sendo S1, S2 e S3 as áreas das regiões sombreadas, conforme indicado na figura,

mostre que S3 > S1 + S2.

6. (MA 13 – AV3 – 2012) No triângulo ABC a bissetriz do ângulo BAC encontra o lado BC

em D.

a) Mostre que (Teorema da bissetriz interna).

b) Use o teorema acima e a figura abaixo para calcular tangente de 15°.

7. (MA 13 – AV3 – 2012) O icosaedro regular é o poliedro formado por 20 faces

triangulares eqüiláteras. Determine quantas diagonais não passam pelo seu centro.

8. (MA 13 – AV3 – 2012) Considere o paralelepípedo retângulo de bases ABCD e EFGH e

com arestas laterais AE, BF , CG e DH. As medidas são AB = 6, AD = AE = 4 e M o ponto

médio da aresta EF. São feitas as seções pelos planos MHA e MBG. Retirando-se os

tetraedros EMHA e FMBG resulta o poliedro P.

a) Faça um desenho do poliedro P e calcule seu volume.

b) Determine o cosseno do ângulo entre as retas AH e MG.

9. (MA 13 – AV1 – 2012) No trapézio ABCD os ângulos A e D são retos. AB = 12, CD = 4 e

AD = 10. O ponto E pertence ao lado AD e o ponto F pertence ao lado BC. Sabe-se que

as retas EF e AB são paralelas e que o segmento EF fica dividido em três partes iguais

pelas diagonais do trapézio. Calcule a distância entre as retas AB e EF.

10. (MA 13 – AV2 – 2012) No setor AOB de centro O, raio AO = 3 e ângulo AOB = 60° está

inscrita uma circunferência como mostra a figura.

a) Calcule o raio dessa circunferência.

b) Calcule a área da região sombreada.

11. (Qualificação 3) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro

regular de aresta a, calcular a distância entre duas faces opostas.

12. (Qualificação 3) A figura abaixo mostra uma folha de papel retangular ABCD, com AB =

25 cm e BC = 20 cm. Foi feita uma dobra no segmento AE de forma que o vértice B

coincidiu com o ponto P do lado CD do retângulo.

a) Calcule o comprimento do segmento DP.

b) Calcule a razão entre as áreas dos triângulos ADP e PCE.

c) Calcule o comprimento do segmento AE.

13. (Qualificação 2) Seja ABC um triângulo eqüilátero de lado 6 e AD um segmento

perpendicular ao plano desse triângulo de comprimento 8.

a) Localize o ponto P do espaço que é eqüidistante dos quatro pontos A, B, C e D e

calcule a distância comum R = PA = PB = PC = PD.

b) Calcule o cosseno do ângulo entre as retas reversas AC e BD.

14. (Qualificação 2) No triângulo ABC assinale o ponto P do lado AC e o ponto Q do lado BC

de forma que AP AC e BQ BC. Seja J o ponto de interseção de AQ e BP.

a) Mostre que Sugestão: Trace QL paralelo a BP e use semelhança de

triângulos.

b) Calcule a razão

c) Decida se área do triângulo BPQ é maior do que, menor do que ou igual a metade

do triângulo ABC.

15. (Qualificação 1) ABCD é um quadrado, M é o ponto médio do lado BC e N é o ponto

médio do lado CD. Os segmentos AM e BN cortam-se em P.

a) Mostre que

b) Calcule a

c) Se AB = 1, calcule a área do quadrilátero PMCN.

16. (Qualificação 1) Na figura abaixo, ABCDEFGH é um cubo de aresta 1. AE, BF, CG e DH

são arestas e a face ABCD está contida em um plano . Seja T o tetraedro BDEG. Seja X

um ponto da aresta AE (diferente de A e de E) e o plano paralelo a que passa por

X. A intersecção de com T é o quadrilátero MNPQ, como mostrado na figura .

a) Mostre que MNPQ é um retângulo.

b) Mostre que o perímetro de o perímetro de MNPQ é igual a , independente do

ponto X.