Lista II Exercícios Probabilidade e Estatística

FACULDADE BRASILEIRA Credenciada pela Portaria/MEC N

o 259 de 11.02.1999

Cursos: Engenharia CivilDisciplina: Probabilidade e Estatstica

Assunto: Turmas: CIV131MA / MEC 131MA / CIV 132NA / MEC 132NA

Lista

1) Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4,

cartas, ao acaso, sem reposio, se obter uma quadra?

OBS. Uma Quadra o conjunto de quatro cartas de mesmo nmero

uma de cada naipe.

2) Duas bolas vo ser retiradas de uma urna que contm 2 bolas brancas, 3

pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas

a) Sejam verdes?

b) Sejam da mesma cor?

3) Lanam-se 3 moedas, verifique se so independentes os eventos:

A: Sada de cara na 1 moeda;

B: Sada de coroa na 2 e 3 moedas.

4) Uma urna contm 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contm 4

bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe

tambm ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?

5) Uma bola retirada ao acaso de uma urna que contm 6 vermelhas, 4

brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela:

a) ser vermelha;

b) ser branca;

c) ser azul;

d) no ser vermelha;

e) ser vermelha ou branca;

f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando

cada bola for recolocada;

g) o mesmo, porm quando as bolas no forem recolocadas.

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

: Engenharia Civil e Engenharia Mecnica - Perodo: 2014/1Probabilidade e Estatstica - Prof.: Valria Ribeiro

Assunto: Probabilidade e Variveis aleatrias CIV131MA / MEC 131MA / CIV 132NA / MEC 132NA

Lista II de Exerccios 1 Bimestre


cartas, ao acaso, sem reposio, se obter uma quadra?

OBS. Uma Quadra o conjunto de quatro cartas de mesmo nmero


pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas

verifique se so independentes os eventos:

A: Sada de cara na 1 moeda;

B: Sada de coroa na 2 e 3 moedas.


bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela r




e) ser vermelha ou branca;


g) o mesmo, porm quando as bolas no forem recolocadas.

Perodo: 2014/1 Prof.: Valria Ribeiro

CIV131MA / MEC 131MA / CIV 132NA / MEC 132NA


OBS. Uma Quadra o conjunto de quatro cartas de mesmo nmero (ou letra),


verifique se so independentes os eventos:


se, ao acaso, uma urna e dela retira-se,





o 259 de 11.02.1999

6) Um dado honesto lanado duas vezes.

a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2

3 ou 4 no segundo lance.

b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em

dois lances.

7) Uma bolsa contm 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contm 3 brancas e

pretas. Se for retirada uma bola de cada bolsa, determine a probabilidade de:

a) ambas serem brancas:

b) ambas serem pretas:

c) uma ser branca e a outra preta.

8) Determinar a probabilidade de haver meninos e meninas em famlias com 3

crianas, admitindo-se as mesmas possibilidades para ambos.

9) Dado o seguinte conjunto de dados:

Bacia

Hidrogrfica A

Cheia / Seca C

Afluentes 5

a) Qual a probabilidade de se selecionar uma

condies de cheia ou tenha 8 afluentes?

b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente

em condies de cheia, ela tenha 8 afluentes?

10) Seja um lote com 20 peas, sendo 5 defeituosas.

peas do lote (uma amostra aleatria de quatro peas). Qual a probabilidade

de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra?

11) Uma rede de computadores composta por um servidor e cinco clientes (A,

B, C, D e E). Registros anteriores indicam que do total de pedidos de consulta,

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probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2

3 ou 4 no segundo lance.


7) Uma bolsa contm 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contm 3 brancas e





se as mesmas possibilidades para ambos.

9) Dado o seguinte conjunto de dados:

B C D E F G H I

C S C S C S S S

6 2 7 6 8 8 9 11

a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em




10) Seja um lote com 20 peas, sendo 5 defeituosas. Escolha, aleatoriamente, 4


de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra?


tros anteriores indicam que do total de pedidos de consulta,

probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2


7) Uma bolsa contm 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contm 3 brancas e 5



J

C

4

bacia que se apresente em


Escolha, aleatoriamente, 4



tros anteriores indicam que do total de pedidos de consulta,


o 259 de 11.02.1999

cerca de 10% vem do cliente A, 15% do cliente B, 15%

de C, 40% de D e 20% de E. Se o pedido no for feito de forma adequada, a

consulta apresentar erro.

Usualmente, ocorrem os seguintes percentu

cliente A, 2% do cliente B, 0.5% de C, 2% de D e 8% de E.

a. Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?

b. Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo

que esta apresentou erro?

12) Num lote de 12 peas, 4 so defeituosas; duas peas so retiradas

aleatoriamente. Calcule:

A probabilidade de ambas serem defeituosas

A probabilidade de ambas no serem defeituosas

A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.

13) Uma caixa tem 3 moe

terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda

1/5. Uma moeda selecionada ao acaso da caixa. Saiu cara. Qual a

probabilidade de que a terceira moeda tenha sido selecionada?

14) A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas

numeradas de 1 a 5. Uma caixa escolhida ao acaso e uma carta retirada. Se

o nmero par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A?

15) Dois processadores tipos A e B so colocados em teste por 50 mil horas. A

probabilidade de que um erro de clculo acontea em um processador do tipo A

de 1/30, no tipo B, de 1/80 e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que :

a) Pelo menos um dos processad

b) Nenhum processador tenha apresentado erro?

c) Apenas o processador A tenha apresentado erro?

16) De um total de 500 estudantes da rea de exatas, 200

Diferencial e 180 estudam lgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes

que estudam ambas as disciplinas. Qual a probabilidade de que um estudante

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cerca de 10% vem do cliente A, 15% do cliente B, 15%


consulta apresentar erro.

Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do

cliente A, 2% do cliente B, 0.5% de C, 2% de D e 8% de E.

a. Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?

b. Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo

que esta apresentou erro?

Num lote de 12 peas, 4 so defeituosas; duas peas so retiradas

A probabilidade de ambas serem defeituosas

A probabilidade de ambas no serem defeituosas

A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.

13) Uma caixa tem 3 moedas: uma no viciada, outra com duas caras e uma



probabilidade de que a terceira moeda tenha sido selecionada?

caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas



processadores tipos A e B so colocados em teste por 50 mil horas. A



a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?



16) De um total de 500 estudantes da rea de exatas, 200 estudam Clculo




ais de pedidos inadequados: 1% do

b. Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo-se

Num lote de 12 peas, 4 so defeituosas; duas peas so retiradas

das: uma no viciada, outra com duas caras e uma



caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas



processadores tipos A e B so colocados em teste por 50 mil horas. A



estudam Clculo




o 259 de 11.02.1999

escolhido aleatoriamente esteja estudando Clculo

Diferencial ou lgebra Linear?

(A)0,26

(B)0,50

(C)0,62

(D)0,76

17) Suponha que um nmero seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X

o nmero de divisores do nmero sorteado. Calcular o

divisores do nmero sorteado.

18) Considere uma urna contendo trs bolas vermelhas e cinco pretas.Retire

trs bolas, sem reposio, e defina a varivel aleatria X

igual ao nmero de bolas pretas. Obtenha a funo de distribuio de

probabilidade de X.

19) Considere novamente a urna contendo trs bolas vermelhas e cinco pretas.

Seja X a varivel aleatria igual ao nmero de bolas pretas, depois de trs

extraes sem reposio. Encontre a distribuio de 3X e X

20) Num Jogo de dados, Claudio

face 1 em um dos dados apenas,

dois dados apenas, Cludio ganha R$ 50,00 e se sair face 1 nos trs dados ,

Claudio ganha R$80,00. Calcule o

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escolhido aleatoriamente esteja estudando Clculo

Diferencial ou lgebra Linear?


o nmero de divisores do nmero sorteado. Calcular o nmero mdio de

divisores do nmero sorteado.


trs bolas, sem reposio, e defina a varivel aleatria X




eposio. Encontre a distribuio de 3X e X2.

Claudio paga R$20,00 a Lcio e lana 3 dados. Se sair

face 1 em um dos dados apenas, Claudio ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em


ganha R$80,00. Calcule o lucro mdio de Claudio em uma jogada.


nmero mdio de





paga R$20,00 a Lcio e lana 3 dados. Se sair

ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em


em uma jogada.


o 259 de 11.02.1999

Gabarito:

1) Resp. P(A) = 0,000048 = 0,0048%

2) Resp. a) 16,67%

3)

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

Resp. P(A) = 0,000048 = 0,0048%

b)27,78%


o 259 de 11.02.1999

4) P(B) = P(I B) + P(II

19/30= 63,33%



a) ser vermelha: P(V) = 6/15 = 2/5

b) ser branca: P(B) = 4/15

c) ser azul: P(A) = 5/15 = 1/3

d) no ser vermelha: P=(V) = 9/15 = 3/5

e) ser vermelha ou branca:


cada bola for recolocada:

8/225 (ev. indep.)

g) o mesmo, porm quando as bolas no forem recolocadas:

P(VBA) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.)


a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no

1, 2 3 ou 4 no segundo lance.

P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3) =

33,33%


dois lances.

A = Sair 4 no 1 lance;

A ou A, ou B, ou ambos.

P(AUB) = P(A) + P(B)

Porm, A + B so independentes = > ento P(A

P(AUB) = P(A) + P(B)

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

B) + P(II B) = ().(3/5) + (1/2).(4/6) =

Uma bola retirada ao acaso de uma urna que contm 6 vermelhas, 4


P(V) = 6/15 = 2/5

P(B) = 4/15

P(A) = 5/15 = 1/3

P=(V) = 9/15 = 3/5

e) ser vermelha ou branca: P(V ou B) = 10/15


cada bola for recolocada: P(VBA) = P(V).P(B).P(A) = (2/5).(4/15).

g) o mesmo, porm quando as bolas no forem recolocadas:

A) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.)

Um dado honesto lanado duas vezes.

a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um

1, 2 3 ou 4 no segundo lance.

P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3) =


lance; B = Sair 4 no 2 lance


P(AUB) = P(A) + P(B) P(AB)

Porm, A + B so independentes = > ento P(AB) = P(A).P(B)

P(AUB) = P(A) + P(B) P(A).P(B) = (1/6) + (1/6) (1/36) = (11/36)

Uma bola retirada ao acaso de uma urna que contm 6 vermelhas, 4


A) = P(V).P(B).P(A) = (2/5).(4/15).(1/3)=

A) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.)

primeiro lance e um

P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3) =



B) = P(A).P(B)

(1/36) = (11/36)


o 259 de 11.02.1999

7) a) ambas serem branc

P(B1,B2) = P(B1B2) = P(B1).P(B2) = (4/6).(3/8) = (1/4) (indep.)


P(P1,P2) = P(P1).P(P2) = (2/6).(5/8) = (5/24) (indep.)


P(B1,P2) + P(P1,B2) = P(B1).P(P2) + P(P1).P(B2) = (13/24)

8) Seja O = menino, A = menina

As probabilidades seriam:

P(OOO) = P(O).P(O).P(O) = 1/8

P(AAA) = P(A).P(A).P(A) = 1/8

P(2O 1A) = P(OOA) + P(OAO) + P(AOO) = 3/8

P(1O 2A) = P(OAA) + P(AAO) + P(AOA) = 3/8

P(Probabilidade de Haver meninas e

9) a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em


P(AUB) = P (A) + P(B)

P(AUB) = (5/10) + (2/10)



P(AB) = P(A).P(B|A) = (5/10). (1/5) = (1/10)

10)

11) a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?

Seja R o evento ocorrer erro

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999


B2) = P(B1).P(B2) = (4/6).(3/8) = (1/4) (indep.)


P(P1,P2) = P(P1).P(P2) = (2/6).(5/8) = (5/24) (indep.)


P(B1,P2) + P(P1,B2) = P(B1).P(P2) + P(P1).P(B2) = (13/24)

O = menino, A = menina

As probabilidades seriam:

P(OOO) = P(O).P(O).P(O) = 1/8

P(AAA) = P(A).P(A).P(A) = 1/8

P(2O 1A) = P(OOA) + P(OAO) + P(AOO) = 3/8

P(1O 2A) = P(OAA) + P(AAO) + P(AOA) = 3/8

Probabilidade de Haver meninas e meninas) = 6/8 = = 0,75 = 75%



P(AUB) = P (A) + P(B) P(AB) = P(A) + P(B) P(A).P(B)

P(AUB) = (5/10) + (2/10) (10/100) = (6/10)

al a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente


P(A).P(B|A) = (5/10). (1/5) = (1/10)

a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?

Seja R o evento ocorrer erro

B2) = P(B1).P(B2) = (4/6).(3/8) = (1/4) (indep.)

meninas) = 6/8 = = 0,75 = 75%


al a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente


o 259 de 11.02.1999

b) Qual e a probabilidade de uma consulta ter

originado do cliente E, sabendo

12)

13) Resoluo:

Considere os seguintes eventos

A: Primeira Moeda,

B: Segunda Moeda

C: Terceira Moeda

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

Qual e a probabilidade de uma consulta ter

originado do cliente E, sabendo-se que esta apresentou erro?

Considere os seguintes eventos


o 259 de 11.02.1999

14) Resoluo:

P(A) = - P(P/A) = 4/9

P(B) = - P(P/B) = 2/5

P(P) = P(A P) + P(B P) = P(A).P(P/A) + P(B).P(P/B)

P(P) = [().(4/9)] +[(1/2).(2/5)] = 19/45

P(A/P) = P(A P)/ P(P)

P(A/P) = (2/9)/(19/45) = 10/19 = 0,5263 = 52,63%

15) a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?

P(A B) = P(A) + P(B) P(A

0.04483



16) Soluo: Vamos representar

lgebra linear pelo conjunto A no diagrama de Venn

quantidade de elementos dos conjuntos, comeando sempre pelo nmero de

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

P) = P(A).P(P/A) + P(B).P(P/B)

P(P) = [().(4/9)] +[(1/2).(2/5)] = 19/45

P(A/P) = (2/9)/(19/45) = 10/19 = 0,5263 = 52,63%


P(A B) = 0.0333333333333333 + 0.0125



Soluo: Vamos representar Clculo diferencial pelo pelo conjunto C e

lgebra linear pelo conjunto A no diagrama de Venn-Euler a seguir, colocando a



0.0333333333333333 + 0.0125 0.001 =

pelo conjunto C e

Euler a seguir, colocando a



o 259 de 11.02.1999

elementos da interseo. Ao colocar o nmero de

elementos de um conjunto, no podemos es

interseco.

Observe que: 70 + 130 + 50 + 250 = 500.

favorveis o nmero de elementos do conjunto C unio com A, ou seja,

n(CA) = 70 + 130 + 50 = 250.

500 estudantes da rea de

= 1/2 = 0,5 = 50%. Portanto, a opo correta (B).

17)

18) Resoluo: Repare

possibilidades em 8 de ser uma bola preta; mas, a segunda ter 5 em 7 se a

primeira for vermelha, ou 4 em 7 se a primeira foi preta, e assim por diante.

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

elementos da interseo. Ao colocar o nmero de

elementos de um conjunto, no podemos esquecer de descontar os da

Observe que: 70 + 130 + 50 + 250 = 500. Assim, o nmero de resultados


n(CA) = 70 + 130 + 50 = 250. O nmero de resultados possveis o tota

500 estudantes da rea de exatas. Logo, a probabilidade P(C ou

Portanto, a opo correta (B).

18) Resoluo: Repare que no h reposio: a primeira extrao tem 5



de descontar os da

Assim, o nmero de resultados


O nmero de resultados possveis o total de

ou A) = 250/500

que no h reposio: a primeira extrao tem 5




o 259 de 11.02.1999

A partir do diagrama de arvore, podemos construir uma PPP, PPV, etc.

Finalmente, observe que so equivalentes os eventos:

Somando as probabilidades dos eventos, encontradasfuno de distribuio de X:

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

A partir do diagrama de arvore, podemos construir uma tabela com os eventos

Finalmente, observe que so equivalentes os eventos:

Somando as probabilidades dos eventos, encontradas anteriormente, obtemos a funo de distribuio de X:

tabela com os eventos

anteriormente, obtemos a


o 259 de 11.02.1999

19)

20)

259 de 11.02.1999 D.O.U. de 17.02.1999

Bons Estudos!Prof Valria Ribeiro.

Bons Estudos! Valria Ribeiro.

Lista II Exercícios Probabilidade e Estatística

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