Lista01 hiperestatica-metodo carga-unitaria_gab

Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária

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1) Calcule o deslocamento vertical do nó 4 da treliça vista na figura abaixo.

Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia EA = 16000 kN.

Solução:

1

3 4

2

2 m 2 m 2 m

1,5 m

1 kN

V1 V2

HA

Utilizando as equações de equilíbrio, calculam-se as

reações de apoio.

0H0F Ax

Em seguida pode-se resolver a equação: 0Mz ,

assim, tomando um eixo z que passa pelo ponto 2 temos:

kN5,0V

0214V0M

1

1z

usando a equação: 0Fy , temos:

kN5,1V

01VV0F

2

21y

Equações de esforços normais para cada uma das barras: (sen = 0,6 e cos = 0,8)

4 N2-4

N3-4

1 kN

1 N1-2

N1-3

0,5 kN

2

N2-3

N1-2

N2-4

1,5 kN

kN33333,1N

0cosNN

kN66667,1N

0senN1

43

4243

42

42

kN66667,0N

0cosNN

kN83333,0N

05,0senN

21

3121

31

31

kN83333,0N

05,1senNsenN

32

4232

Barra Nó i Nó f N N L L.N.N

1 1 2 -0,66667 -0,66667 4 1,7777956

2 3 4 1,33333 1,33333 4 7,1110756

3 1 3 0,83333 0,83333 2,5 1,7360972

4 2 3 -0,83333 -0,83333 2,5 1,7360972

5 2 4 -1,66667 -1,66667 2,5 6,9444722

= 19,305538

m0012066,016000

19,305538

EA

LNN

mm21,1

Resposta: Deslocamento vertical do nó 4 é =1,21 mm (para baixo)

2,0 m 2,0 m 2,0 m

1,5

m

1,0 kN

1

3

2

4

1

4 3

2

5



2) Calcule o deslocamento horizontal do nó 4 da treliça vista na figura abaixo.

Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia constante EA =

533,33 kN. Note que, na tabela abaixo, os esforços para o carregamento original já

foram fornecidos.

Barra N N L L.N.N

1 –2,000 0,500 4,0 -4,0

2 +4,000 1,000 4,0 16,0

3 +2,500 0,625 2,5 3,90625

4 –2,500 -0,625 2,5 3,90625

5 –5,000 0,000 2,5 0,0

= 19,8125 Solução:

1

3 4

2

2 m 2 m 2 m

1,5m

1 kN

V1 V2

HA

Utilizando as equações de equilíbrio, calculam-se as reações de

apoio.

1H0F Ax

Em seguida pode-se resolver a equação: 0Mz , assim,

tomando um eixo z que passa pelo ponto 2 temos:

kN375,0V05,114V0M 11z

usando a equação: 0Fy , temos:

kN375,0V0VV0F 221y

Equações de esforços normais para cada uma das barras: (sen = 0,6 e cos = 0,8)

1 N1-2

N1-3

0,375

1,0

4

N2-4

N3-4

1,0

2

N2-3

N1-2

N2-4

0,375

kN5,0N

01cosNN

kN625,0N

0375,0senN

21

3121

31

31

kN1N

01cosNN

kN0N

0senN

43

4243

42

42

kN625,0N

0375,0senNsenN

32

3242

m0,0371487533,33

18,8125

EA

LNN3

Resposta: O deslocamento horizontal do nó 4 é de 3,71 cm (para direita)

2,0 m 2,0 m 2,0 m

1,5

m

3,0 kN

1

3

2

4

1

4 3

2

5




Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia EA = 31700 kN.

Solução:

Barra N N L L.N.N

1 12 1 4 48,000

2 12 0,33333 4 16,000

3 -12 -0,66667 4 32,000

4 -15 -1,25 2,5 46,875

5 0 -0,41667 2,5 0,000

6 0 0,41667 2,5 0,000

7 -15 -0,41667 2,5 15,625

= 158,500

m005,031700

158,5

EA

LNN

mm5

Resposta: O deslocamento horizontal do nó 4 é de 5,00 mm (para baixo)

1 3

2

4 5

2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m

1,5

m

9,0 kN

1

2

3

4 5

6

7

9,0 kN




Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia constante EA = 3200

kN. Note que, na tabela abaixo, os esforços para o carregamento original já foram

fornecidos (menos a barra 3!).

Solução:

Barra N N L L.N.N

1 +2,00 +1,0000 4,0 8,0000

2 +6,00 +0,3333 4,0 8,0000

3 -4,00 -0,6667 4,0 10,6667

4 -2,50 -1,2500 2,5 7,8125

5 +2,50 -0,4167 2,5 -2,6042

6 -2,50 +0,4167 2,5 -2,6042

7 -7,50 -0,4167 2,5 7,8125

= 37,08396

m0116,03200

08396,37

EA

LNN4V

Resposta: Deslocamento vertical do nó 4 é V4=11,6 mm (para baixo)

1 3

2

4 5

2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m

1,5

m

6,0 kN

1

2

3

4 5 6

7



5) Calcule o deslocamento horizontal do nó 3 da treliça vista ao lado. Todas as nove

barras são tubos de aço (E=210 GPa) com diâmetro externo de 10 cm e diâmetro

interno 9,2 cm.

2 m

2 m

4 m

4 m 4 m 3 m 3 m

1 2

3 6

5 4

7

8

9

1

2

3

4

5

6

20 kN

65

4sen ;

65

7cos

13

3

52

6sen ;

13

2

52

4cos

13

2sen ;

13

3cos

Solução:

Para o carregamento original, os esforços normais N são calculados abaixo:

Reações de Apoio

020H0F 1x

kN20H1

014V0M 3)1(z

kN0V3

0VV0F 31y

kN0V1

Nó 1

1

H1

N1

N3

kN22,18801N

kN37,21042N

0senNsenN0F

0HcosNcosN0F

3

1

31y

131x



Nó 4

4

N7

N4

22,18801

kN245,9N

kN03701,24N

0sen18801,22senNsenN0F

0cos18801,22cosNcosN0F

7

4

74y

74x

Nó 5

5

N8

24,03701 24,03701

kN66667,26N

0Nsen03701,24sen03701,240F

8

8y

Observações

1) Os esforços normais nas barras 2, 6, 5 e 9 são iguais aos esforços nas barras 1, 3, 4 e 7, respectivamente;

2) Os esforços normais para a carga unitária foram calculados dividindo-se por vinte os esforços normais para o

carregamento original.

Barra N N L L.N.N

1 37,21042 1,86052 8,06226 558,15629

2 37,21042 1,86052 8,06226 558,15629

3 -22,18801 -1,10940 7,21110 177,50410

4 -24,03701 -1,20185 3,60555 104,16038

5 -24,03701 -1,20185 3,60555 104,16038

6 -22,18801 -1,10940 7,21110 177,50410

7 9,24500 0,46225 3,60555 15,40833

8 26,66667 1,33333 4,00000 142,22226

9 9,24500 0,46225 3,60555 15,40833

= 1852,6805

m0,007313103,253338

1852,6805

EA

LNN

kN03,253338m1012,063716m

kN10210cm2,9cm10

4GPa210EA

11

1i

iii

22

2

622

Resposta: Deslocamento horizontal do nó 3 é =0,0073131 m ou =7,31 mm



6) Calcule o deslocamento vertical no meio do vão AB da viga biapoiada vista na

figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia

EI = 8000 kN.m2.

B A

8,9 kN

4,3m 1,1m

C

1,2m

D

9,8 kN

Solução:

B A

8,9 kN

4,3m 1,1m

C

1,2m

D

9,8 kN

VA VB

B A

4,3m 1,1m

C

1,2m

D

VA VB

1

Reações de apoio para o carregamento original

0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos:

kN87674,8V01,18,95,59,83,4V AA

0Fy , temos:

kN82326,9V08,99,8VV BBA

Tomando a origem de x em A, a equação de esforços no trecho AB é:

m3,4x0)2,1x(9,8x87674,8)x(M)2,1x(9,8xV)x(M ABAAB

Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços:

m3,4x15,2)15,2x(1x5,0)x(M

m15,2x0x5,0)x(M

AB

AB

Assim o deslocamento no meio do vão é:

m00310,08000

524,7997

EI

524,7997

524,7997dx15,2x5,0)2,1x(9,8x87674,8dxx5,0)2,1x(9,8x87674,8EI

C

3,4

15,2

15,2

0

C

Resposta: Deslocamento vertical no meio do vão é =3,10 mm (para cima)



7) Calcule o deslocamento vertical do ponto C da viga biapoiada com balanço vista

na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão. Adote

uma rigidez da seção transversal constante para todo o comprimento da viga

E.I = 609,44 kN.m2.

B A

4,5 m

1,5 kN/m

2,0 m

C

Solução:

B A

1,5 kN/m

4,5 m 2 m

C

VA VB

HA

B A

4,5 m 2 m

C

VA VB

HA

1



kN70833,2V025,1)5,65,1(5,4V AA

0Fy , temos:

kN04167,7V0)5,65,1(VV BBA

Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão:

2

BCBABC

2

ABAAB

x75,0x75,96875,31)x(M)5,4x(V2

xx5,1xV)x(M

x75,0x70833,2)x(M2

xx5,1xV)x(M


5,6x)x(M)5,4x(VxV)x(M

x444,0)x(MxV)x(M

BCBABC

ABAAB

Assim o deslocamento em C:

m001,044,609

6094,0

EI

6094,0

6094,0dx5,6xx75,0x75,96875,31dxx444,0x75,0x70833,2EI

C

5,6

5,4

2

5,4

0

2

C

Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para baixo)



8) Calcule o deslocamento vertical da extremidade C da viga biapoiada vista na


EI = 1000 kN.m2.

B A

10 kN

4 m

C

1 m

Solução:

B A

10 kN

4 m

C

1 m

VA=12,5 kN VB

B A

4 m

C

1 m

VA=1,25 VB

1



kN5,12V00,5100,4V AA

0Fy , temos:

kN5,2V010VV BBA

Tomando a origem de x em C, a equação de esforços nos trechos CA e AB são:

m0,5x0,1x5,25,12)x(M)1x(Vx10)x(M

m0,1x0,0x10)x(M

ABAAB

AC


m0,5x0,1x25,025,1)x(M

m0,1x0,0x)x(M

AB

AC

Assim o deslocamento no meio do vão é:

m0167,01000

3/50

EI

3/110

3/50dxx25,025,1x5,25,12dxxx10EI

m

0,5

0,1

0,1

0,0

m

Resposta: Deslocamento vertical da extremidade C da viga é C = 1,67 cm (para baixo)



9) Calcule o deslocamento vertical da extremidade (nó C) da viga biapoiada vista na


EI = 11250 kN.m2.

B A

6 kN/m

4m 1m

C

Solução:

B A

6 kN/m

4m 1m

C

VA VB

HA

B A

4m 1m

C

VA VB

HA

1



kN25,11V05,1)56(4V AA

0Fy , temos:

kN75,18V0)56(VV BBA

Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão:

2

BCBABC

2

ABAAB

x3x3075)x(M)4x(V2

xx6xV)x(M

x3x25,11)x(M2

xx6xV)x(M


5x)x(M)4x(VxV)x(M

x4

1)x(MxV)x(M

BCBABC

ABAAB

Assim o deslocamento em C:

m001,011250

25,11

EI

25,11

25,1175,012dx5xx3x3075dxx4

1x3x25,11EI

C

5

4

2

4

0

2

C

Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para cima)



10) Calcule o deslocamento vertical do nó B do quadro isostático visto na figura

abaixo. Considere o quadro trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia

constante nas duas barras EI = 135500 kN.m2.

B

A

C

6 m

8 kN

4 m

1 kN

Solução:

B

A

C

6 m

8 kN

4 m

1 kN

B

A

C

6 m

1

4 m

Equações de momentos para o carregamento original

Barra BC – origem do eixo x em B

m6x0x8)x(MBC

Barra AC – origem do eixo x em C

m4x0x148)x(MBD

Equações de momentos para a carga unitária

Barra BC – origem do eixo x em B

m6x0x)x(MBD


m4x06)x(MBD

m0124,0135500

1680

EI

1680

1680dx6x48dxxx8MMEI

VB

4

0

6

0

VB

Resposta: Deslocamento vertical do nó B é VB=1,24 cm (para baixo)



11) Calcule os deslocamentos horizontal e vertical do nó B do quadro isostático

representado pela figura abaixo. Considere o quadro trabalhando basicamente à

flexão com inércia EI = 80000 kN.m2.

B

A

C D

12 kN/m

5 m

2 m

20 kN

2 m

Solução:

B

A

C D

12 kN/m

5 m

2 m

20 kN

2 m

B

A

C D

5 m

2 m

2 m 1


Barra BD – origem do eixo x em B

m2x0x20)x(MBD

Barra CD – origem do eixo x em D

m5x040x6)x(M 2

BD


m4x0x20190)x(MBD



m2x0x)x(MBD


m5x02)x(MBD


m4x02x)x(MBD

m01325,080000

1060

EI

1060

1060dx2xx20190dx240x6dxxx20MMEI

HB

4

0

5

0

2

2

0

HB

Deslocamento horizontal do nó B = 0,01325 m.

Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =13,3 mm (para esquerda)



12) Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico hiperestático

representado pela figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia EI=20000 kN.m2

e a barra 2 de inércia 4EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão.

1

2

B

A

C D

5 m

4 m

3

3 m

8 kN

Solução:

B

A

C D

8 kN

1,6 kN

1,6 kN

8 kN

B

A

C D

1

0,2

0,2

1



m3x0x8)x(MBD


m5x0x6,124)x(MCD

Barra AC – origem do eixo x em A

m4x0x8)x(MAC



m3x0x)x(MBD


m5x0x2,03)x(MCD

Barra AC – origem do eixo x em A

m4x0x)x(MAC

m0183,020000

366

EI

366dx

EI

)x(8dx

EI4

x2,038dx

EI

)x(8

dxEI

xx8dx

EI4

x2,036,124dx

EI

xx8

EI

MM

HB

4

0

25

0

23

0

2

HB

4

0

5

0

3

0

HB

Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =18,3 mm (para esquerda)

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